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Full text of "Die ausdehnugslehre"

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® Die 



Ausdehnungslehre. 



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Vollständig und in strenger Form 



bearbeitet 



. Hermann Grassmann, 

Professor am Gymnasium zu Stettin. 



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B£ELIN, 1862. 

VERLAG VON TH. CHR. FR. ENSLIN. 
(ADOLPH ENSLIN.) 



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Vorrede. 



Das TOrHefend« Wtfk «mftMtl die g«fkmmle Aufd^unvngftlelm) 
eine matliemfttisehe WiBaenschaft, tob weleher ich schon Tor 17 Jahren 
den ersten Theil anter dem befonderen Utel: ,IMe Hneale Avs^h* 
nmigrielMe, ein nener Zweig der MatheiMtik — Leipxig 1844, Verlag 
TOn Otto Wigand* herausgegeben habe. Ansserdem habe ich In der 
Vorrede des genannten Werkes die wefenlUchsten Gegenstände ange<> 
de«tet, welche nach meinem Plane den Inhalt des «weiten Tiieiles 
ansmachen follten. Statt nun diefen iwdten Theil als Fortfetsang 
jenes ersteren su Ter5ffentliehen , und dadurch jenem Plane gemttss 
das begonnene Werk absnschliessen , habe ich es Torgexogen, den in 
jenem behandelten Stoff anch in dies ncne Werk mit anfEunehmen, 
und fo ein xnfammenhftngendes Game su liefern. Der Hauptgrund, 
der mich dazu bewogen hat, ist die Schwierigkeit, welche nach dem 
Urtiielle aller Mathematiker, deren IJrtheil ich lu hören Gelegenheit 
fand, das Studium jenes Werkes wegen feiner, wie fie meinen, mehr 
philoföphischen als mathematischen Form dem Lefer bereitet. Und in 
der Thai mnss diefe Schwierigkeit fehr bedeutend gewefen fein, da 
«war wohl die geometrischen Abhandlungen, welche ich aur Eilftu- 
terung jenes Werkes gesehrieben habe (Grelle B. 36, 42, 44, 49, 52-, 
Geometrische Analyfe Leipzig 1847) mehrfisch von andern Mathema- 
tikem erwfthnt und benutzt find, aber das in jenem Werk felbst ver* 
art>eitete Gebiet nirgends, wenn ich eine interessante kleine Abhand- 
lung TOn Kysaeus (Bedeutung und Anwendung der Zahlen in der 
Geometrie, Siegen 1850) ausnehme, berdhrt oder zu weiteren For^ 
schungen verwandt ist. Damit hängt auch sufammen, dass nie eine 
Beurtheilung des Werkes, ja nicht .einmal eine Anzeige dcsfelben, 
ausser im ICesskatalog, oder eine Inhaltsangabe, ausser einer von mir 
felbst Ycrfassten (in Grunert's Archiv B. VI.) erschienen ist. Jene 
Schwierigkeit nun zu heben , war daher eine wefentliche Aufgabe f&r 
mich, wenn Ich wollte, dass das Buch nicht nur von mir, fondern 
auch von andern gelefen und verstanden werde. Es konnte aber diefe 



IV 

Schwierigkeit nicht gehoben werden, ohne den Plitn des Ganxen wefent- 
lieh zu ändern. Denn He liegt nicht in einer willkürlich gewählten 
Form, fondem in dem Plane, den ich vor Augen hatte: die Wissen- 
schaft unabhängig TOn andern Zweigen der Mathematik von Grund 
aus aufzubauen. Die Ausführung gerade diefes Planes, wenn gleich 
ße für die Wissenschaft an üch die fördemdste fein musste, wie fio 
es denn auch fnbjectlT gewefen ist, musste bei jeder Form der Dar- 
stellung bedeutende Schwierigkeiten bieten, zumal in einer Wissen- 
schaft, wie die Ausdehnungslehre ist, welche die Hnnlichen Anschau- 
ungen der Geometrie zu allgemeinen, logischen BegriffSen erweitert 
und vergeistigt, und welche an absttakler Allgemeinheit es nicht nur 
mit jedem andern Zweige, wie^xicr Algebra^ Kombinationslehre , Tunk- 
tionenlehre, aufnimmt, fondern ffe durch Vereinigung aller in diefen 
Zweigen zu Grunde liegenden Elemente noch weit Überbietet, und fo 
gavisserjnaflstii den SshlvststeiB diea gefummteo Gebäudea der Ibthe- 
«^tikWdett . .V . . 

Ich mfusstct daher dielen gp^azen Plan^ aufgeben, upd habe nun für 
dffli vorliegende Werk diu üMglie» Zw«ige der Mathematik,, wenjigstens 
In .iltfer elementare fiB^^jckaluag . voi^iusgefetzt Ebenfo habe .ic^ 
i& der Form dtf P%iitUllatig gesad« deii entgegengefetzten. Weg. ^ 
foseblugen; wie cl^rt, iadem .ich diq streng^t^ ma^liematisclie Fproi, 
die» wir übcrlnMipt kennen) die Sloklidiscbe, für das vorli^ig^de Wer|^ 
angewandt, und alles, waft zur Erläa^rung oder zur Begründung des 
gewählten Gangea diente, in. Animerkungen v^rwiefSen habe. Eine noth; 
vifendige Folge des fo veiändertaa Plfines ^ar es , dass die fammtlicben 
Refultate de» enten Tlieile», lo weit Tie nicht Anwendungen auf die 
Phy^ enthielten, mit in die neue Bearbeitung aufgenommen und 
nach dem verändertan Plana nen abgeleitet werden mussten (wie dies 
in No. 1—136, :h6— 329 gcsehehen ist> Dennoch und 4urch,<lie Ver- 
schiedenheit der Methoden die. beiden Bearbeitungen desselben Stoilfes 
einander fo unähnlich geworden, dass man, mit Ausnahme der abge-! 
leiteten B^faltate itlbst^ welche der Natur der; Sache naeh keine Ab: 
we^chung zmgen, kaum eine Uebereinstimmung herausfinden wird. 
fis> ist daher auch dia alit^ Beaibeitung durch die neue di;^*chaus nicht 
Überflüssig gemacht Denn auch die neue Methode is^ an fich keines* 
wegca der älteren vonMziehen, da vielmehr die bis auf die ersten 
Id?cn hinabsteigende un4 von hier ans ganz unabhängig fortschrei* 
tende Methode der ecsten Bearbeitung Ü^r in das Wefen der Sache 
hiaeinfülut, und. daher in rein wissenschaftlicher Beziehung entschie- 
dene Vorzüge vor der letzteren hat. Dicfe dagegen wird auf der 
andern Seite für den Mathematiker, der die anderweitig gewonnenen 
Schutze mathematischen Wissens bei feinen Studien nicht gerne .müssig 
liegen ßeht, ann<)hmlicher und jedenfjalls leichter verständlich fein« 
So ergänzen und erläutern fich beide Darstellungen gegenleitig.. Die 
hier gewählte schliesst fich am engsten an die Arithmetik an^ doch 



in der Weife, dasB fie die ZaUgi^see tchon al« ei&e stetige TOTHut* 
t^t^p*. Wie f im die Arithmetik »Ue Abn^ea GidBwn aus einer einiigtott^ 
ip üebr^gen wiUkürl^flhei) Orijfsse, die ala Bhilieit grefeiftt wiisa, utid 
imt e befeichQet Xein mag, eptmckelt <Tergleiche bi^ii LefarbKcb 4eF 
AntWetik) 1B60 Berlia bei EdsHh), To fetat dieAufldehnttngBlefat« 
in d^r hier gegebenen Fassung mehrere folche Grössen, et, ei,^-«« 
van denen ke^e aus den übrigen ableitbar ist, s* B. e| fick nlekt a«ii 
et dadurch entwickeln lässt, dass ei mit irgend einer Zahlgröase' miil« 
tiplicirt wird 9 ^voraus, und betrachtet aunftehat die aus jenen £inhei(!eii 
durph Multiplikation mit Zahlgrössen und A4ditian diefer Produkte 
entstandenen Grössen,, welche ich exten five Grössen (oder Ausr 
dehnungsgrössen) genannt: hftbe. Hieraus ergeben fich denn leicht die 
in Kap. 1 vorgetragenen Gefetze der Addition, Subtraktion, VieV 
fachupg (Multiplikation mit Zahlen) und Theilung (DiviTion durch 
Zahlen). Es mag auffallend, erscheinen, dass diere fo einfache Idee, 
welche im Grunde genommen in weiter nichts besteht, als dass eine 
Vielfachenfumme verschiedener Grössen (als welche hiernach die exten* 
live Grösse erscheint) als selbstatändige Grösse behandelt wird, in der 
That %u einer neuen Wissenschaft ßch entfalten foU^ und man hat 
mir denn auch, hieran anknüpfend, den Einwurf gemacht, dass die 
ganze Ausdebnungslehre nur eine abgekürzte Schreibart fei, ja dass 
es fehlerhaft fei, • Ausdrücke als Grössen zu behandeln, welche gar 
keine Grössen feien. Allein diefer Einwurf beruht auf einem gäns« 
liehen Verkennen des Wefens der Mathematik und der Grössen. Auf 
dieie Weife würde die ganze Arithmetik, ja, man kann fagon, die 
ganze. reine Mathematik, bloss eine abgekürzte Schreibart fein; denn 
die Zahl ist nur ein abgekürzter Ausdruck für eine Summe von Ein* 
heiten, das Produkt für eine Summe gleicher Zahlen, die Potenz. für 
ein Produkt fulcher u. f. w.; dennoch würde ohne diefe abgekürzte- 
Schreibart, oder, um es richtiger auszudrücken, ohne diofe Zusammen* 
fassung zu einer Einheit des Begriffes kein Fortschritt denkbar fein. 
Es würde zum Beispiel ohne diefe Zufammenfassung nicht möglidi 
fein, zu dem Begriffe der. wegnehmen den Rechnungsarten (Subtrahiren» 
Diyidiren, Eadiciren, Logarithmirea) , und zu den durch He neu fich 
entwickelnden Zahlformen: der negativen, gebrochenen, inrationalen 
und imaginären, zu gelangen. Es kommt überall nur darauf an, dass 
man auch wirklich dasjenige zufammenfasse, was feinem Wefen nach 
eine Einheit bildet, und was daher auch zu neuen Reful taten führen 
muss, zu denen man ohne jene Zufammenfassung nicht gelangen würdet 
Die Ausdehnungslehre führt nun in der That zu einem unerschöpflicheu 
Beichthum folcber Beziehungen, welche ohne Bildung jener Begriffs- 
einheit, wulclie in der extenfiven Grösse erscheint, auf keine Weife 
aufzufassen oder abzuleiten wären. - Ob man diefem Begriffe den Na- 
men einer Grösse zugesteht, ist an und für fich von fdir untergeord- 
neter Bedeutung^ da es hier auf Namen wenig ankommt. Die Fra^ 



VI 

ist nur die, ob diefer nene Begriff mit dem allgemeinen Begiiflfe der 
GMsse wirklich fo snfammenliftnge, dass lie ihrem Wefen nach iU 
einem Gefammtbegriife fich sufammenschliedsen, und dase eine swi- 
sehen beiden Gebieten gezogene Gränslinie das ZufammengehÖrige will- ' 
kflrlich nnd der Sache widersprechend Wertrennen würde. Ist letateräs 
der Fall, fo wäre es fogar fehlerhaft, diefem neuen Begriffe nicht 
den Kamen der Grösse beizulegen. Kun glaube ich in derThat, däss 
zwischen dem, was ich extennve Grösse genannt habe, und zwischen 
aHgemeinen ZahlgrOssen nnd namentlich'der imaginären Grösse (a-fbi) 
eine fo innige Beziehung herrscht, dass es wiederfinnig wftre, die eine 
als Grösse zu betrachten und die andere nicht, da ja in der That die 
imaginftre Grösse ebenfo aus 2 Einheiten 1 und i =s Y^ durch reelle 
ZahlkoefQcienten ableitbar ist, wie die extenfiven Grössen aus 2 oder 
mehr Einheiten ableitbar find (f. tt. No. 413 Anm.) 8o scheint es mir 
alfo TOllstftndig gerechtfertigt , wenn ich die eztenfiTe Grösse als Grö s se 
bezeichne. Aber ich gehe noch weiter, indem ich fie nicht nur als 
Grösse überhaupt, fondem auch als einfache Grösse bezeichne, Ihr 
treten nämlich gegenüber andere Grössen,, welche den Charakter znfam- 
mengefetzter Grössen ebenfo entschieden an ßch tragen, wie jene den 
der einfachen, und welche erst durch Addition höherer Gebilde nnd 
bcfonders durch die Betrachtung der Quotienten und der Funktionen 
hineintreten (vergl. Kr. 77, 377 und 364). Ich fahre nun fort, den 
Gang der £ntwi(^elung in dem vorliegenden Werke überflchtlich zu 
verfolgen. An die Addition, Subtraktion, Vielfachung und Theilung 
schliesst fich nun (in Kap. 2) der allgemeine Begriff der Multiplikation 
extenfiver Grössen an, welcher auf die Beziehung der Multiplikation 
zur Addition (nämlich darauf, dass man statt der Summe die Summan- 
den multipliciren darf) gegründet ist. Hiemach führt die Multiplika- 
tion der genannten Grössen auf die ihrer Einheiten (Ci, e^,* • •) zurück, 
und aas der Betrachtung der Produkte diefer Einheiten ergeben fich 
dann verschiedene Gattungen der Multiplikation. Es gelingt nun, aus 
diefen Gattungen zwei ausznfondern , auf welche Hch alle übrigen zu» 
Tückführen lassen. Die eine derfelben fällt in ihren Gefetzen ganz 
züfammen mit der gewöhnlichen Multiplikation in der Algebra und ist 
daher von mir die algebraische genannt worden. Aber fie ist in Bezug 
liuf die durch fie erzeugten Grössen bei weitem die verwickeltste und 
kann nur durch Betrachtung der Funktionen zur vollen Klarheit ge- 
bracht werden , weshalb ich fie auf den zweiten Abschnitt diefes Wer- 
kes verwiefen habe. Die Bezeichnung für diefe algebraische Multipli- 
tion mnss der Katur der Sache nach mit der gewöhnlichen Bezeichnung 
der Multiplikation zufammenfallen, da es widerfinnig wäre, Verknü- 
pfungen, welche in allen Beziehungen denfelben Gefetzen unterliegen, 
, verschieden zu bezeichnen. Die zweite jener Multiplikationen , welche im 
dritten Kapitel behandelt ist, zeigt lieh als die für die Ausdehnungslehro 
charakteristische, und fie wefentlich weiter fördernde, indem fie die 



Vtt 

irwieUedenen 8tofen ein&elier Orössen ttefort, «eiche in der Aaadeli- 
muigslelure hervortreten. Sie ist dadurch fekennxeichnet, dasf swei 
ein&ehe Faktoren des Prodoktes noi yertauscht werden dOrfen, wenn 
man suglelch das Vorzeichen (-f r-) des Produktes umkehrt. Da 
swar fttr diefe Multiplikation die Beziehung zur Addition diefelbe ist, 
wie bei jeder If uUiplikatioo , aber die ttbrigcn Oefetze derfelben wo* 
fentlich Ton deuen der gewöhnlichen Multiplikation abweichen, fo war 
es nothwendig, He durch die Bezeichnung zu unterscheiden. Ich habe 
in diefeiod Werke dafOr die Bezeichnung durch eckige Klammem, die 
das Produkt umschliessen, gewählt, fo dass aKo rab] = — [ba] ist, 
wenn a und b einfache Faktoren diefes Produktes ßnd. Es entfaltet 
fleh dies Produkt zu einer ausserordentlichen Mannigfaltigkeit von 
Erschidnungsformen, und Iftsst in reicher Fülle Beziehungen hervor 
treten, welche auf alle Zweige der Mathematik ein unerwartet 
neues Licht werfen, fo dass bs den eigentlichen Mittelpunkt der nenen 
Wissenschaft bildet. Nachdem der Begriff der Grössen-Ergänsung hin* 
zugekommen ist, tritt jenes Produkt in einer ganz nenen Eigenthüm* 
lichkeit, als inneres Produkt (Kap. 4) hervor, fo dass es in diefer Form 
aus dem Bereiche der in der ersten Bearbeitung dargestellten Gegen* 
stände ganz heraustritt. (Vergleiche jedoch die Vorrede zu jenem 
Werke p. XI.) Mit Anwendungen auf die Geometrie (Kap. 5) schliesst 
der erste Abschnitt des Werkes. In dem zweiten Abschnitte treten 
nun die zufammengefetzten Grössen hervor, welche wir im Ganzen 
als Funktionen einfacher Grössen charakteriüren können. Das ente 
Kapitel diefes Abschnittes behandelt die Funktionen im Allgemeinen, 
woran fleh die algebraische Multiplikation und Divillon anschliesst, 
das zweite die Lehre von den Reihen, das dritte die Di£ferenzialrech* 
nung und das vierte endlich die Integralrechnung, und zwar alle 
diefe nur in fofem als extenfive Grössen in Betracht gezogen werden* 
Doch glaube ich, dass auch die entsprechenden Zweige der gewöhn* 
liehen (auf Zahlgrössen fleh besiehenden) Mathematik und namentlich 
die Integralrechnung durch diefe Darstellung nicht nur wefentlich ver* 
einfaeht, fondem auch mannigfach ergänzt und weiter gefördert und« 
Da der Stotf feit der ersten Bearbeitung bedeutend angewachsen ist, 
fo habe ich die Atiwendungen auf die Phyfik ganz weglassen müssen \ 
doch hoffe ich, wenn mir Zeit und Kraft dazu gestattet ist, eine ma- 
thematische Bearbeitung der wichtigsten Zweige der Phyfik in felbst- 
ständigen Werken folgen zu lassen, in denen ich von der hier vorge* 
ii^ßgenen Wissenschaft Anwendung machen werde. Ich habe mich eifrig 
bemüht, überflüssige Kunstausdrücke zu vermeiden und mich auf das 
möglichst geringste Maass neuer Kunstausdrücke zu beschränken *, aber 
da man nun einmal ohne Worte nicht reden kann, und daher auch 
zu neuen Begriffen entweder neue Wortbildungen oder neue Wortver* 
bindungen. gebraucht, oder alten Worten ein neues Gepräge verleihen 
mnss, fo blieb doch noch eine üomliche Menge unvermeidlicher Kunst- 



«HI 

Mtdm^ ftfarig. um dM8 VevitSiidBiflS tm eiliichlini , IMt teH «i» 
BAd^t die EoiMtaiudraeke fo gewAhll, dass fle, wie ieh hofft, dnrek 
jUm Bildung feU»8t unmittelbar au den dureh- fie dai^eetellten Begriff 
ednueni, und dann habe ich amSchlüsBo ein alphabetisches Veneich- 
nias deFXelben mit Hinwcifung auf die Stellen, wo fie erklärt find, 
gej^eben. Es bleibt mir noch äbrig, auf verwandte Bestrebungen an^ 
derer .Mathematiker hinzuweifen. Es beziehen fich diefe fast ohne 
Ausnahme. aaf diejenigen Gegenstände, welche ich als Anwendungen 
der Ausdehnungalehre auf die Geometrie bezeichnet habe (alfo auf 
die S8- 24, 29^-30, 37-40, 5ß, 74^79, 91 ^ 92, 101, 102, 114—110, 
144—148, 159—170 der Aufidchnungslehre von 1844 und iftuf die NnL 
216—347 des vorliegenden Werkes). Bei der ersten Bearbeitung (1844) 
war mir unter den hier einschlagenden Arbeiten nur das berühmte 
Werk des BegrOndert der geometrischen Analyfe: der barycentriache 
Calcul von Moebius, bekannt, welches die Addition dar Punkte lehrte. 
Hingegen waren mir , die Arbeiten über die geomeiaische Addition der 
Strecken (von gegebener Länge und Richtung), fowie über die Bedeu* 
tung der imaginären Grössen unbekannt geblieben. Die letztere wurde 
tu ihrer Vollständigkeit zuerst in einer Abhandlung von Gauss (Göt- 
üjigtr gelehrte Anzeiger 1831) dargestellt, auf welche mich Gauss auf 
Veranlassung der den gleichen Gegenstand behandelnden Stelle in der 
Vorrede zur Ausdehnungslehre (pag. XI bis XIV) brieflich aufmerkfam 
machte. Schon in diefer Darstellung des Imaginären lag der Begriff 
der geometrischen Addison von Strecken in Einer Ebene. Der erste, 
welcher die geometrische Addition der Strecken in ihrer ganzen All- 
gemeinheit gelehrt hat, scheint Bellavitls gewefen zu fein, indem 
er schon 1835 (Annali delle scienze de regno Lombardo- Veneto , 8^ 
volume) den hier gehörigen Calcul aufstellte (vergl. unten p. 149 Anm.) 
Unabhängig davon entwickelte Möbius (1843) in feiner Mechanik des 
Himmels die Gefetze der geometrischen Addition der Strecken und 
wandte fie auf die Probleme der Mechanik des Himmels an. Nach 
dem Erscheinen meiner Ausdefanungslehre (von 1844) mehrten fich 
die Arbeiten ikuf dem Gebiete der geometrischen Analyfe. Ins Befon- 
dere waren es wieder Moebius und Bellavitis, welche die Wissenschaft 
wefentlich weiter forderten und auch zum Verständniss und zur wei- 
tereu Vwbreitung der von mir vorgetragenen geometrischen Rechnungs- 
methode in bedeutender Weife beitrugen. Dazu kamen nun noch meine 
eigene Arbeiten über diefen Gegenstand, welche theils in meiner 
Schrift: nGeometrische Analyfe, geknüpft an die von Leibnitz erfiyi- 
dene Charakteristik, gekrönte Preisschrift, Leipzig 1847,** welche Moe- 
bius durch eine daran angeschlossene lichtvolle Darstellung den Mathe- 
matikern zugänglicher zu machen fuchte, theils in Crelle's Journal 
(Band 36, 42, 44, 49, 52) niedergelegt find. Femer trat ein Jahr 
nach dem Erscheinen meiner linealen Ausdehnungslehre Saint-Venant 
mi^ der geometrischen Multiplikation der Strecken hervor (Comptet 



IX 

rendns, Tome XZI p. 030 sq.^ 15. Septembre 1845), welche identtock 
ist mit der von mir in jenem Werke daif estellten ftosswen MultlpU» 
kation der Strecken (pag. 28-~40). Offenbar kannte er dies Werk 
nicht, und ich «chickte daher 2 Exemplare dcBTelben an Canchy mit 
der Bitte, eins davon an Saint- Venant abzugeben, dessen Adressemir 
anbekannt war. Späterhin veröffentlichte Canchy in mehreren Anf- 
ffttzen, welche in den Comptes rendns von 1853 abgedruckt find, eine 
Methode, um vermittelst gewisser Tymbolischer Grössen, welche er 
jclefs alg^briques nennt, algebraische Gleichungen und verwandte Pro- 
bleme zu löfen; eine Methode, welche genau mit der in meiner Aus- 
dehnungsichre von 1S44 (§. 45, 46 und 93) dargestellten übereinstimmt. 
Ich bin weit davon entfernt, den berühmten Mathematiker eines Pla- 
giats beschuldigen zu wollen, doch glaubte ich es mir und der Sache 
schuldig zu fein, dass ich deshalb eine Prioritätsreclamation an die 
Pariser Akademie richtete. Allein die Commission , welcher diefe Re- 
clamation im April 1854 zur Prüfung und Berichterstattung übergeben 
wurde (Comptes rendus Tome 38 p. 741) , hat nie etwas von fich hören 
lassen , und auch Cauchy hat feitdem über den Gegenstand nichts mehr 
veröffentlicht. Es find die erw&hnten Abhandlungen Cauchy's die ein- 
zigen , welche ausserhalb des Gebietes der Geometrie einen Berührungs- 
punkt mit meiner Ausdehnungslehre (von 1844) darbieten. Und da 
auch diefe Abhandlungen einen felbsts tändigen Ursprung beanspruchen, 
fo scheint es, als ob der eigentliche Kern meines Werkes, abgcfeheu 
von dem geometrischen Beiwerk desfelbeu, nirgends zu verwandten 
Bestrebungen angeregt habe. Und dennoch bin ich an dies neue Werk, 
welches das alte in Hch aufnehmen und zum Abschlüsse bringen folltc, 
mit frischem Muthe herangegangen. Denn ich bin der festen Zuver- 
Hcht, dass die Arbeit, welche ich auf die hier vorgetragene Wissen- 
schaft verwandt habe, und welche einen bedeutenden Zeitraum mei- 
nes Lebens und in demfelben die gespannteste Anstrengung meiner 
Kräfte in Anspruch genommen hat, nicht verloren fein werde. Zwar 
weiss ich wohl, dass die Form, die ich der Wissenschaft gegeben, eine 
unvollkommene ist und fein muss. Aber ich weiss auch und muss es 
aussprechen, auch auf die Gefahr hin, für anmaassend gehalten zu 
werden, — ich weiss, dass wenn auch dies Werk noch neue 17 Jahre 
oder länger hinaus müssig liegen bleiben follte, ohne in die lebendige 
Entwicklung der Wissenschaft einzugreifen, dennoch eine Zeit kom- 
men vrird, wo es aus dem Staube der Vergessenheit hervorgezogen 
werden wird, und wo die darin niedergelegten Ideen ihre Frucht tra- 
gen werden. Ich weiss, dass wenn es mir auch nicht gelingt, in 
einer bisher vergeblich von mir ersehnten Stellung einen Kreis von 
Schülern um mich zu fammeln, welche ich mit jenen Ideen befruch- 
ten und zur weiteren Ent Wickelung und Bereicherung derfelben anre- 
gen könnte, dennoch einst diefe Ideen, wenn auch in veränderter 
Form, neu erstehen und mit der Zcitentwickelung in lebendige Wcch- 



felwirkong treten werden. Denn die Wahrheit ilt ewig, ist göttlieh; 
nnd keine Entwickelungsphafe der Wahrheit, wie geringe auch das 
Gebiet fei, was fie amfasst, kann spurlos vorübergehen; fie bleibt 
bestehen , wenn auch das Gewand , in welches schwache Mensehen (le 
kleiden, in Staub zerfällt 

Stettin, den 1^9. August 1861. 



-♦»***o©^«^ 



Inhalt« 



No. nag. 
Erster AlMMlinitt« Die einfachen Verkntipfangen exten- 

fivcr Grössen. • .■ • r • 1 

K^. 1. Addition, Subtraktion, Vielfiokchang und Theilnng 

extenßver Grössen* • • • • • ••.•••• 1 

§. 1. Begriffe nnd Kecbnnngsgefetze .* • • * 1 

§. % Zufammenhang Ewisehen den ans einem System 

von Einheiten ableitbaren Grössen • • • • 14 

J. 3. £rfet2nng durch Zahlgleichungen ^ die I&h] als 

Quotient 27 

K^. 2« Die Prodaktbildung im Allgemeinen 20 

S. 1. Produkt «weier Grössen • * • • • 37 

§. 2. Produkt mehrerer Grössen • • •. • 43 

§. 3. Die verschiedenen Arten der Prodaktbildung- • 48 

Kap. 3. Kombinatorisches Produkt 31 

$. 1. Allgemeine Gefetze der kombinatorischen Mul- 

* tiplikation 52 

§. 2. Das kcmbinatorisdie Produkt als Grösse 69 

§. 3w Aenssere Multiplikation von Grössen höherer 

Stufe 78 

§. 4. Ergänxung der Grössen^ • 86 

S. 5. Produkt in Betug auf ein Hauptgebict •••?••• 94 
J. 6. VertauschaAg der Faktoren und Anilöfang der 

Klammem • • • 114 

S.' 7. Zurückleitung «nd Erfetzung • • 127 

S. 8. Elimination der Unbekannten aus algebraischen 

Gleichungen 134 

K^. 4. Inneres Produkt 107 

S. 1. Grundgefetze der inneren Multiplikation 137 

S- 2. Begriff des Kormalen und feine Gorrelaten • • • • 151 
S* 3. Gefetze der inneren Multiplikation, an den Be- 
griff des Normalen geknüpft 164 

§. 4. Inneres Produkt zweier Grössen erster Stufe • • 188 
S. 5. Einffthning der Winkel 195 



XII 

Ko. pi«. 

Kap. 5. Anwendung auf die Geometrie 142 

§. 1. Addition u. f. w. von Punkten und Strecken • • 216 

§. 2. Räumliche Gebiete - 228 

§ 3* Kombinatorische Multiplikation der Punkte • • • 239 

§. 4. Addition von Linien und Flächen 272 

§. 5. Planimetrische u. stcreometrische Multiplikation 287 
§. 6. Gleich Null gefetztes planimetrisches Produkt, 

ebene Kurven 306 

§. 7. Innere Multiplikation in der Geometrie 330 

Zweiter Almcliiiltt« Funktionenlehre 223 

Kap. 1. Funktionen im Allgemeinen 223 

§. 1. Reduktion auf eine Variable* . • . t • • * • • • 348 

§. 2. Ganze Funktionen und Darstellung derXelben 

durch lückenhaltige Produkte 353 

S. 3. Algebraische Multiplikation • 364 

$. 4. Ganze Funktionen ersten Grades und Darstel- 
lung derfelben als Quotienten 377 

S. 5. Die Funktionen als eztenfive Grössen • •• 392 

§. 6* Verwandtschaften von dem Gefichtspunkte der 

Fcinktionsverknttpfung aus betrachtet • • 401 

§. 7. Normale Einheiten und Stetigkeit der Funktionen 419 

Kap. 2. Diflferenzialrcchnung 293 

§. 1. Differenzial erster Ordnung * * • . 428 

§. 2. Differenzialquotient erster Ordnung 435 

§. 3. Differenziale höherer Ordnung 443 

Kap. 3. unendliche Reihen • * • 309 

§. 1. Unendliche Reihen im Allgemeinen • 454 ' 

S. 2. Die Reihen als Funktionen einer Zahlgrösse*** 460 
§. 3. Entwickelung der Funktion einer extenflven 

Grösse in Reihen 468 

Kap. 4. Integralrechnung • 328 

§. 1. Integration von Düferenzialausdräcken 471 

$. 2. Integration von DifferenzialgleiehaBgen , wenn 

die unabhängige Variable eine Zahlgrösse ist** 491 
$. 3. Integration von DifferenKialgleichungen^ wenn 

die unabhängige Variable eine exteoüve Grösse ist 500 



-—^ICI — 



Erster Abschnitt. 



jPie tinfti^tn ^txkmpfm^tn trttn^ittt ^tdfftn. 



AAAAAAA/^AAAA.^AAAAAAA 



Cl^eilung e^floer drohen. 
§. 1. Begriffe und Bechnnngsgesetse. 

1. Erklärung. Ich sage, eino Grösse a sei aus den 
Grössen b, c, • • durch tue Zahlen ß,Yi''* abgeleitet, wenn 

a = /9b -f yc + • • • 
ist, wo /9, y, • • • reelle Zahlen sind, gleichviel ob rationri oder 
irrational, ob gleich null oder verschieden von null. Auch 
sage ich, a sei in diesem Falle numerisch abgeleitet 
aus b, c,*** 

2. Erklärung. Ferner sage ich, dass zwei oder mehrere 
Grössen a, b, c«-- in einer Zahlbeziehung zu einander 
stehen, oder dass der Verein der Grössen a, b, c,--* einer 
Zahlbeziehung unterliege, wenn irgend eine derselben sich 
aus den übrigen numerisch ableiton lässt, also wenn sich a. B. 

a =3 /9b + yc + • • • 
setzen lässt, wo /9, /,* • • reelle Zahlen sind. Besteht der Verem 
nur auis Einer Grösse a, so soll nur in dem Falle gesagt 
werden, der Verein unterliege einer Zahlbeziehnng, wenn 
a = o ist. Wenn zwei Grössen a und b, von denen kdne 
null ist, in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, sa be- 
zeichne ich dies durch 

a = b, 
und sage a sei kongruent b. 

1 



2 (» 

Anmerkung:. Zwei reelle Zahlen stehen also immer, zwei ver- 
schieden benannte Grössen stehen nie in einer Zahlbeziehung zu einander. 
Kuli ist aus jeder Grössenreihe numerisch ableitbar, nttmlich durch 
die Zahlen o, o, • • • Mehrere Grössen also, unter denen eine null ist, 
stehen stets in einer Zahlbeziehung zu einander. 

Das Zeichen (=) ist in ähnlichem Sinne von Möbius (in seinem 
barycentrischen Calcül) gebraucht. Die Benennung (kongruent) gründet 
sich auf geometrische Betrachtangen. Zur Bezeichnung abstrakter 
Beziehungen ist sie Ton Gauss gebraucht. 

S.Erklärung. Einheit nenne ich jede Grösse, welche 
dazu dienen soll, um aus ihr eine Reihe von Grössen numerisch 
absuleHen, xmi zww nenne ich die Einheit eine ursprüng- 
liche, wenn sie nicht aus einer anderen Einheit abgeleitet 
ist. Die Einheit der Zahlen, also die Eins, nenne ich die 
absolute Einheit, alle übrigen relative. Null soll nie als 
Einheit gelten. 

4. Erklärung. Ein System vonEin heiten nenne 
ich jeden Verein von Grössen, welche in keiner Zahlbeziehung 
Bu einander stehen, und welche dazu dienen sollen, um aus 
ihnen durch beliebige Zahlen andere Grössen abzuleiten. 

Anmerk. Hierhergehört auch der Fall, wo der Verein nur ans 
einer Einheit besteht (die jedoch nach Nr. 3 nicht null sein darf). 

5. Erklärung. Extensive Grösse nenne ich jeden 
Ausdruck, welcher aus einem Systeme von Einheiten (welches 
sich jedoch nicht auf die absolute Einheit beschränkt) durch 
Zahlen abgeleitet ist, und zwar nenne ich diese Zahlen die 
zu den Einheiten gehörigen Ableitungszahlen jener Grösse ; 
z, B. ist das Polynom 

«1 ©1 + «2 ^2 H 9 oder^ae odcr^Or er 

wenn ai, aj,* • • reelle Zahlen sind, und et, Cj,* • • ein System 
von Einheiten bilden, eine extensive Grösse, und zwar ist 
dßeaefte aus den Einheiten ei, Cj, * • • durch die zugehörigen 
Zahlen ai, Oi» * * * abgeleitet. Nur wenn das System blos aus 
dtr absoluten Einheit (1) besteht, ist die abgeleitete Grösse 
keine extensive, sondern eine Zahlgrösse. Den Ausdruck 
Grösse überhaupt werde ich nur für diese beiden Gattungen 
derselben festhalten. Wenn die extensive £hrösse aus den 
ursprünglichen Einheiten abgeleitet werden kann, so nenne ich 
jene Grösse eine extensive Grösse erster Stufe. 



An merk. Aas d«r Elemeniarmathemutik setzen wir die Rech- 
nungsgesetze iür Zahlen, und auch für die sogenannten „benannten 
Zahlcn^^, d. h. für die aus Einer Einheit abgeleiteten extensiven 
Grössen voraus*, jedoch nur für den Fall, dass jene Einheit eine 
ursprüngliche ist. 

6. Erklärung. Zwei extensive Grössen , die aus demsel- 
ben System von Einheiten abgleitet sinä, addiren, heisst, ihre 
zu denselben Einheiten gehörigen Ableilungszahlen addiren, d. h. 

7. Erklärung. Eine extensive Grösse von einer andern, 
aus demselben Systeme von Einheiten abgeleiteten suiitra- 
hiren, heisst die Ableitungszahlen der ersteren von den zu 
denselben Einheiten gehörigen Ableitungszahlen der letMeren 
subtrahiren, d. h. 

^ae --^/Je = ^(a — /J)e 
An merk. In Bezug auf die Kl^mmerbeieichnnjig halte ich die 
Bestimmung fest, dass ein ohne Klammem geschriebenes Polynom oder 
Produkt aus mehreren Faktoren gleichbedeutend ist dem -mit Klam- 
mern geschriebenen Ausdruck, in welchem alle Klammem gleich zu 
Anfang eintreten, also a + b + c = (a + b)+ c, abc =c (ab) c 
u. s. w. 

8. Erklärung* Für extensive Grössen a, b, o gellen 

die Fundamentalformeln: 

1) a + b = b + a, 

2) a + (b + c) = a + b + c, 

3) a + b — b = a, 

4) a — b + b = a. 

Bevireis. Es sei a = Xae. b = ^ße, c=55^ye, seist 

1) a + b = Z^ae -f 2^ße — Z^(ä+Jye [nach 6]. 

= Z(J?T^)e = Zß~o + Z^ [6]. 

= b + a. 

2) a + + c)=Xae + (Zße + Zye) 

= Z ^+Z(7+7 )^ [6]. 

= Z (« + (^ + y)) e ' [6]- 

= Z(a + ß')e + Zt^ [«3- 

= i:ae+ZßO'hZy^ [6]. 

=:a + b -j- c 



4 (• 

3) a + b - b = Xäc + ^ße - ^^ße 

= Z (^+ß)e-^ ßi [6]. 

= Z(a + iJ-i?)e [7]. 

= ^ae = a 
4) a — b + b = Zäe — J^ßl + ^^ 

= X{a-ß + ß)o [6]. 

= Xae = a 

9. Für extensive Grössen gelten die sämmtlichen Gesetze 
algebraischer Addition und Subtraktion. 

Beweis. Denn diese Gesetze können, wie bekannt, aus 
den 4 Fundamentalformeln in No. 8 abgeleitet worden. 

10. Erklärung.^ Eine extensive Grösse mit einer Zahl 
multipliciren heisst ihre sämmtlichen Ableitungszahlen mit 
dieser Zahl multipliciren, d. h. 

Xae . ß = ß •Z^=X(ai5)-e 

11. Erklärung.} Eine extensive Grösse durch eine Zahl, 
die nicht gleich null ist, dividiren, heisst ihre sämmtlichen 
AJbleituflgszahlen durch diese Zahl dividiren, d. h. 



Z«e:/?=2^^^ 



12. Für die Multiplikation und Division extensiver Grössen 
(a, b) durch Zahlen (/?, y) gelten die Fundamentalformeln: 

n ^ß = ß^^ 

2) Bßy = a(^y), 

3) (a + b)y =a7 + by, 

4) a Cß+Y) =«/? + «/, 

5) a . 1 = a, 

6) ajS = dann und nur dann, wenn entweder a = 0, 
oder ß = 0, 

7) a : i» = a ^, wenn j» ^ ist ♦). 

Beweis. Es sei a = J^ae, b=:Zße^ wo die Summe 
weh auf das System der Einheiten e^ ...Ca bezieht, so ist 

*) Das Zeichen ^ sEUBammengesetst ans "7 und z. soll ungleich 
bedeuten. 



«•) 5 

1) ajS==jSa nach der Definition [s. Formel in No. 10]. 

2) a/Jy = Z c^ ßY = ZißßVe y [10]. 

= i:iaßr)o _ [10]. 

= iMßrFo = Z«e (^y) [10]. 

= a(/?y) _ 

3) (a+b)y = ( Ztte + Zjg^ ) / = ZC« + /?) e y [6]. 

= Z («+^)y'e [10]. 

= Z(«y + i5y)-ej= Z(ay)e + Zf^y)e[6]. 

= ay + l>y 

4) a(i9+y)=Z ae(^ + y) = Z«tf + y)'e. [10]. 

= Z(«i^ + ay)e = Z«^ • e + Z«/ ' ^ [6]. 
= Zäe.iJ + Z«ey [10]. 

= a/9 + ay 

5) a-l=^Zäe.l=Zäe [10]. 

= a 

6) a) wenn a = ist, so ist 

ajJ = 0./9 = 
b) wenn ß = ist, so ist 

ajJ = a.0 = Zäe-0=ZÖ^ [*0]. 

= Z0" [5. Anm.] 

= 
c) wenn a/9 = 0, so hat man 

= aj9 = Zae j9 = Z^aß-o [10]. 

Hieraus folgt nun, dass alle Podukte aß d. h. aiß, a^ßy 
' " On ß null sein müssen. Denn gesetzt , es wäre eins der- 
selben, z. B. atß nicht null, so hätte man aus der Gicichung 
= aiß ei + Oj/Jej + ccni* e« 

durch Mult. mit -^ die Gleichung 

d. h. Ol wäre aus ej^^-On numerisch ableitbar, oder zwi- 
schen den Einheiten ei*-**e,^ bestände eine Zahlbeziehung, 



6 (t» 

was gegen die Annahme ist, da Bi, 62,* ••Oq ein System von 
Einheiten bilden sollen. Somit ist 

also entweder jS = 0, oder wenn /9 ^ ist, 

= ai = a2=...a„ 
also a = ^ae = ^Oe = ^0 [5. Anm.] 

= 
d. h. wenn a/} = ist, so niuss entweder ß oder a gleich 
null sein. 

7) a : /J = Xae ; ß = / — e [**]> da /S nicht null ist. 

13. Für die Multiplikation und Division extensiver Grössen 
durch Zahlen gelten die algebraischen Gesetze der Multipli- 
kation und Division. 

Beweis. Denn aus den Fundamen talformeln (1 bis 6) 
des vorhergehenden Satzes folgen in bekannter Weise die 
sftmmtlichen algebraischen Gesetze der Multiplikation, und durch 
Formel (7) desselben Satzes wird die Division, ebenso wie 
in der Algebra, auf die Multiplikation zurückgeführt. Also 
gelten auch die algebraischen Gesetze der Division für die 
Division extensiver Grössen durch Zahlen. 

§. 2. Zusammenhang zwischen den ans einem System 
von Einheiten ableitbaren Grössen. 

14. Erklärung. Die Gesanmtheit der Grössen, welche 
aus einer Reihe von 'Grössen ai, a2,*"an numerisch ableitbar 
sind, nenne ich das aus jenen Grössen ableitbare Gebiet (das 
Gebiet der Grössen ai,**an), und zwar nenne ich es ein Ge- 
biet n-ter Stufe, wenn jene Grössen von erster Stufe (d. h. 
aus n ursprünglichen Einheiten numerisch ableitbar) sind, und 
sich das Gebiet nicht aus weniger als n solchen Grössen ab- 
leiten Iftsst. Ein Gebiet, welches ausser der Null keine Grösse 
enthillt, heisst ein Gebiet nullt er Stiffe. 



i«) 7 

An merk. Das Gebiet erster Stiü^ ist also cUe Ges^mmtfaeit der 
Vielfachen einer Grösse erster Stufe, wenn man nämlich unter Viel- 
fachem einer Grösse jedes Produkt der Grösse mit einer reellen Zahl- 
grösse versteht. 

15. Erklärung. Zwei Gebiete heissen identisch, wenn 
jede Grösse des ersten Gebietes zugleich Grösse des zweiten 
ist und umgekehrt. Wenn jede Grösse eines Gebietes (A) 
zugleich Grösse eines andern (B) ist (ohne dass das Umge- 
kehrte nothwendig stattfindet), so nenne ich beide Gebiete 
einander incident, und sage dann, das erste Gebiet (A) sei 
dem zweiten unlergeordnet, das zweite dem ersten über- 
geordnet. Die Gesammtheit der Grössen, welche zweien oder 
mehreren Gebieten zugleich angehören, heisst ihr gemein- 
schaftliches Gebiet, und die Gesammtheit der Grössen, welche 
sich aus den Grössen zweier oder mehrerer Gebiete numerisch 
ableiten lassen, ihr verbindendes Gebiet. 

Anmerk. Ist z. B. das Gebiet A aus den Einheiten e^, es, e« 
abgeleitet und das Gebiet B aus den Einheiten ej, e3, e4, so ist das 
den Gebieten A und 6 gemeinschaftliche Gebiet das aus den Einheiten 
e^, 63 abgeleitete, und das A und B verbindende Gebiet das aus den 
Einheiten e^, e^, e^, e^ abgeleitete. 

16. Erklärung. Zwischen n Grössen ai,* • an herrscht 
dann und nur dann eine Zahlbeziehung, wenn sich eine 
Gleichung 

tti ai H a^aa= 

aufstellen lässt, in welcher die Zahlen aj,... On nicht alle zu«- 
gleich null sind. 

Beweis. Denn wenn in der Gleichung 

ttj ai -I «„»11 = 

auch nur Eine der Zahlen aj,** •On von null verschieden ist, 
z. B. Ol, so ist die mit dieser Zahl verbundene Grösse ai aus 
den Qbrigen numerisch ableitbar; denn dann ist 

ai = — - as ^aa • a^. 

Umgekehrt, wenn irgend eine Zahlbeziehung zwischen 
den Grössen ai ••• an herrscht, z. B. 

«1 = ft »2 + 1*383 H /^nfln 

se wird 

-Si +/»|ai+Ä83+-- + iJn«n=*0, 



8 (i« 

eine Gleichung, in welcher wenigstens der Koefficient von ai 
ungleich null ist. 

17. Wenn n Grössen in einer Zahlbeziehung zu einander 
stehen, und sie nicht alle null sind, so muss sich aus ihnen 
ein Verein von weniger als n Grössen aussondern lassen ^ 
welcher keiner Zahlbeziehung unterliegt, und aus dem die 
übrigen Grössen numerisch ableitbar sind. 

Beweis, Es seien ai****an die in einer Zahlbeziehung 
zu einander stehenden Grössen, so muss [nach No. 2] sich eine 
derselben aus den übrigen numerisch ableiten lassen; dies sei 
Bn und sei etwa 

»n = «l«! "I «n-l Bn-i. 

Herrscht nun zwischen den Grössen ai**-an_i abermals 
eine Zahlbeziehung, so wird wieder eine derselben etwa an-i 
aus den übrigen ai,-*-aii-.2 numerisch ableitbar sein müssen. 
Es sei 

«n-l = ^1«! -| ^n-2 an~2- 

Führt man diesen Ausdruck für an-i in die erste Gleichung* 
ein, so erhält man 

«n = («1 + «n-ii^i) ai H (an-.2 + «n-l /»n-a^n-s, 

also ist dann auch an aus ai, • • • an--2 numerisch ableitbar. 

Dies Verfahren wird man fortsetzen können, so lange als 
noch zwischen den jedesmal übrig bleibenden Grössen eine 
Zahlbeziehung stattfindet. Man wird also zuletzt entweder zu 
einer Schaar von mehreren Grössen kommen, die in keiner 
Zahlbeziehung mehr zu einander stehen, und aus denen die 
übrigen numerisch ableitbar sind, oder es bleibt zuletzt nur 
Eine Grösse, etwa ai, übrig, aus der alle übrigen numerisch 
ableitbar sind. Im letztern Falle darf diese Eine Grösse % 
nicht null sein, weil sonst alle übrigen Grössen, als numerisch 
daraus ableitbar, auch null sein würden, was der Annahme 
widerstreitet. In beiden Fällen gelangt man also (No. 2) zu 
einem Vereine, der keiner Zahlbezichung mehr unterliegt und 
aus dem alle übrigen der n Grössen ai**-an numerisch ab- 
leitbar sind. 

18. Erklärung. Wenn in einem Verein von Grössen 
ai, 82,* ••an die erste a| nicht null ist, und keine der fol- 



i») 9 

genden fleh aus den vorhergeb^den numerisch ableiten lässt, 
Ib unterliegt der Verein keiner Zahlbeziehung. 

Beweis. Denn gefetzt, er unterliege einer Zahlbezie- 
bung, fo müsste (nach 16) zwischen den Grössen ai, aj^^-^an 
eine Gleichung 

«181 +«283 H ana„==0 

aufgestellt werden können, in welcher nicht alle Koefficienten 
tti, a29 • • - ttn zugleich null Ond. . Es fei Or der letzte unter 
diefen Koefficienten, welcher, von null verschieden ist, fo er- 
hält man 

«l«! + «28» + • • • ar»r = 0, 
alfo, wenn r grösser als 1 ist, 

ar = 81 ^2 • • • — — 8,^1, 

«r ßr «r 

d. h. ar ist aus den vorhergehenden Grössen ai-^Sn-i nu- 
merisch ableitbar, gegen die Vorausfetzung, Ist aber r = l, 
fo hat man 

«181 — 0; 
alfo, da dann a^ ungleich null angenommen ist, 

81 = 0, 
was gleichfalls der Yorausfetzung widerstreitet. Alfo kann 
keine Zahlbeziehung zwischen den Grössen ai • • • an herrschen. 

19. Wenn eine Grösse ai aus n Grössen b^ , b, • • • b^ 
numerisch ableitbar ist, und dabei die zu b^ gehörige Ablei- 
tungszahl ungleich null ist, fo ist das aus den n Grössen bj, 

ba bn ableitbare Gebiet identisch mit dem aus den n Grössen 

81, b2, • • • • bn ableitbaren. 

Beweis. Es fei ai=iSibi + ftb, + -. ßX, wo ß, 
ungleich null ist, fo ist 

^^--"h-T^^ -K 

ßl Pl ßl 

Ist nun c numerisch ableitbar aus b^, ba, • • • b^, etwa 

C = yibi +Y2b2 -i f-ynbn, 

fo erhÄlt man c als aus ai, ba, • • • b^ abgeleitet, indem man 
hier statt b^ den gefundenen Werth fetzt, nämlich 



10 €•• 

Umgekehrt ist c numcristh aUeilbar «us ai > bj , * • • bn, 
etwa 

C = OiBi + ajb2 + • • • + «nba, 
fo erhält man c als aus bi, b,, * • • bn abgeleitet , indem man 

statt ai seinen Werth ß^bi + /?2b2 H i^n*^n fetzt, nämlich 

c=aiftbi +(«2 +aii?2)b2H +Ji<^ + <^ißJK 

Alfo, jede Grösse , die einem der beiden Gebiete angehört, 
gehört anch dem andern an, d. h* beide Gebiete find identisch. 

20. Wenn m Grössen ai, ••• a^, die in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehen, aus n Grössen b| , • • • b^, nume- 
risch ableitbar find, To kann man stets zu den m Grössen 
ai, • • • »m »oc*^ (n-m) Grössen am+i , • • • a» von der Art hin- 
zufügen, dass Tich die Grössen b^, • • • bn auch aus ai • *• a^ 
numerisch ableiten lassen, unS alfo das Gebiet der Grössen 

Bi an identisch ist dem Gebiete der Grössen bj -* • • b^; 

auch kann man jene (n-m) Grössen aus den Grössen b^ • • • b^ 
felbst entnehmen. 

Beweis. Nach der Annahme ist ai aus bi • • • bn ab- 
leitbar. Von den Zahlen, durch welche diefe Ableitung er- 
folgt, muss mindestens Eine von null verschieden fein, weil 
fönst ai felbst null wäre, alfo der Verein der m Grössen 
(nach 2) einer Zahlbeziehung unterläge. 

Es fei die zu b^ gehörige Zahl yon null verschieden, und 
dies wird man immer annehmen können, da manja dielndices 
beliebig wählen kann. Dann ist nach 19 das aus b^, bj,- • b,, ab- 
leitbare Gebiet identisch dem aus ai, b2, * • - b^ ableitbaren. Man 
habe nun für irgend ein r, welches <: m ist, gefunden, dass 
das Gebiet der Grössen bj, b2,-**bn identisch fei dem Gebiete 
der Grössen ai, 83, • • • a,, br^-l, • • • • bn, fo wird nun, da nach 
der Hypothefis ar-M aus bi, bj, • • • bn ableitbar ist, es auch 
(vermöge der Gebiels-Identität) aus ai, aj, • • • a,, bp+i • • • b^ 
ableitbar fein. In dem Ausdrucke diefer Ableitung ar+i = 

«lai H Ojap + ^r+ibrfi H ßj)^ muss nothwendig einer 

der Koefficienten , die zu br+i, • • • bn gehören, von null ver- 
schieden fein, weil fönst zwischen den Grössen ai- - • -Br^i eine 
Zahlbeziehung stattfände, gergen die Hypothefis; es fei dies etwa 
ßruy ^ö ^^^9 ^^^^ 1^5 ^^^ ^"S ^i9 "* ar, br+i • • • ' bn aWcit- 



»•) u 

bare Gebiet identisch dem aus ai, • • • • ar+i , br-n • • • • b^ ab- 
leitbaren; alfo auck dies letztere Gebi^ identisch dem Gebiete 
der Grössen b^ • • • • b^. Diefen Schluss kann man alfo von 
r=:l an verfolgen, bis r = m wird; d. h. es wird dann das 
Gebiet ai • • • • bJ^^^^ j * • • • bn identisch dem Gebiete bj • • • b^; 
imd .bezeichnet man dann die fo übrig gd)liebenen Grössen 
bm+i, * - - bn beziehlich mit am m» * * * &119 ^^ ^'^^ das Gebiet 
der Grössen ai • • • a^ identisch dem Gebiete der Grössen 
bi • • • b„. 

31. Wenn n Gföis?sert (aj, • • • aj, welche in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehen, aus n andern Grössen (bi, . • bj 
numerisch ableitbar find, (0 ist das Gebiet. der ersten Grössen- 
reihe identisch d^m der letzteren. 

BewiBis. Man hat nur in dem vorhergelienden Satze 
m=^n zu fetzen, fo erfolgt der zu erweifende Satz. 

22. Wenn n Grössen (bw -aj aus weniger als n Grössen 
(b,,--«bm) numerisch ableitbar find, fo stehen jene n Grössen 
stets in einer Zahlbeziehung zu einander. 

Beweis. Es feien a,, • • • an aus bi • • • b^ ableitbar, wo 
m <: n ist. Nun können ai • • • am entweder in einer Zahlbe- 
ziehung zu einander stehen oder nicht. Im ersteren Falle 
stehen auch a^ , • • • a^, da unter ihnen die Grössen ai, • • • a^ 
vorkommen, in einer Zahlbeziehung zu einander. Im zweiten 
Falle ist das Gebiet der Grössen ai • • • a^ (nach 21) iden- 
tisch dem Gebiete der Grössen bi-'-b^, alfo ist jede aus 
b,,- • -bm numerisch ableitbare Grösse auch aus ai,« • 'a^ nume- 
risch ableitbar, alfo find namentlich die Grössen am-fi,-*an> 
welche nach der Hypolhefis ausbi,«"-bm ableitbar find, auch 
aus ai,--*aa^ ableitbar, d. h. auch im zweiten Falle besteht 
zwischen ai-***au eine Zahlbezic^hung. 

23. Wenn ein Gebiet, n-ter Stufe aus n Grössen erster 
Stufe ableitbar ist, fo stehen diefe in keiner Zahlbez^iehung 
zn einander, und umgekehrt: Wenn n Grössen erster Stufe 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, fo ist das aus 
ihnen ableitbare Gebiet ein Gebiet n-ter Stufe. 

Beweis. Es fei A da^ aus. den n Grössen erster Stufe 



12 (•« 

ai a^ ableitbare Gebiet. Wenn nun zuerst A ein Gebiet 

n-ter Stufe ist, fo kdifelcn ai a^ in kniner Zahlbeziehuug 

zu einander stehen; denn dann würde fich eine dieser Grössen 
aus den übrigen n— 1 nnmerisoh ableiten lassen, alfo auch das 
Gebiet aus dtefen n — 1 Grössen ableitbar Tein , was dem Be^ 
griffe des Gebietes n-ter Stofe [nach 14] widerstreitet. Zwei« 
tcns umgekehrt, wenn ai, • • • a,^ in kdncr Zahlbeziehung zu 
einander stehen, fo können lie [nach 22] nicht aus weniger 
als n Grössen numerisch abgeleitet werden, airo auch das aus 
ai,*"an ableitbare Gebiet nicht, alfo ist dies Gebiet [nach 14] 
von n-ter Stufe. 

2fl. Jedes Gebiet n-ter Stufe kann aus n Grössen erster 
Stufe, die in keiner Zahlbezichung zu einander stehen, ab- 
geleitet werden, und zwar aus beliebigen n iblcher Grössen 
des Gebietes. 

Beweis. Denn es feien ai, • • • • a^ die Grössen, aus 
denen ursprünglich das betrachtete Gebiet hervorgegangen ist, 
und feien bi, • • • b^ n Grössen diefes Gebietes, die in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehen. Da b^, • • • b,^ dem aus 
ai,'-'fln abgeleiteten Gebiete angehören, fo werden fich 
[nach 14] die Grössen b^ • • -bn aus ai • • -8^ numerisch ableiten 
lassen, und da*zugleich jene Grössen bj — 'b^ in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehen [Vorausfelzung], fo wird [nach 21] 
das aus b^ • • • b,^ ableitbare Gebiet identisch dem aus a^ • • • a^ 
ableitbaren. 

An merk. Durch diefen Satz ist jeder specifische Unterschied 
zwischen den ursprünglichen Einheiten und den daraus numerisch 
abgeleiteten Grössen aufgehoben, indem man jedes Gebiet, statt aus 
den ursprünglich zu Grunde gelegten n Einheiten, auch aus beliebigen 
n Grössen diefes Gebietes, die in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehen , ableiten , und diele Grössen alfo statt jener ersteren als Ein- 
heiten fetzen kann. Es hätte fich diefei wichtige Satz auch direkt 
aus der Theorie der Elimination ableiten lassen. In der That ist unfer 
Satz nur eine Transformation des Satzes: Wenn n Grössen yf«-y«i 
ganze hom<^ene Funktionen ersten Grades von n anderen Xi**<.zn 
und, und die ersteren in keinem anderen Falle alle zugeich null 
werden können, als wenn auch die letzteren alle null werden, fo 
lassen fich auch die letzteren (xj xn) als ganze homogene Funk- 
tionen ersten Grades von den ersteren (yf-yn) darstellen. 



n 



Doch ist der hier gelieferte Beweis nicht nur elementarer, fondem 
hat auch den Vorzog, dass dabei die wefentlichaten einfachen Bezie* 
hangen zwischen den extenfiven Grössen klarer hervortreten. 

29. Die Stufenzahlen zweier Gebiete find zufammen- 
genommen ebenfo gross als die Stufenzahlen ihres gemein- 
schaftlichen und ihres verbindenden Gebietes zufammenge- 
nommen / d. h. wenn m und n die Stufenzahlen der gegebenen 
Gebiete find , r die ihres gemeinschaftlichen , v die ihres ver* 
bindenden Gebietes, fo ist 

m + n = r + V. 

Beweis. Es feien A und B die beiden gegebenen Ge- 
biete m-ter und n-ter Stufe, un4 fei A aus den Grössen 

«f'^m? B aus den Grössen bi b^ ableitbar. Dann kann 

[nach 23] weder zwischen af^a^, noch zwischen bi-«-bj 
eine Zahlbeziehung herrschen. Ferner möge fich ein Verein 
von r, aber auch nicht von mehr, Grössen finden lassen, welche 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und welche bei- 
den Gebieten zugleich angehörend Diefe Annahme wird immer 
zulässig fein, da r auch nuU fein darf. Es feien Ci*«*Cr 
diefe Grössen. Dann wird man [nach 20] in die Reihe der 
Grössen aj • • • • am statt r derfelben , etwa statt ai • • • • ar die 
Grössen Cf«Cr in der Art einführen können, dass das aus 
diefer neuen Grössenreihe ableitbare Gebiet identisch fei dem 
Gebiete A. Ebenfo wird man in die Reibe der Grössen 
b| • • »bo statt r derfelben, etwa statt b^ • • -br die Grössen 
Oi^'-Ct in der Art einführen können, dass das aus diefer 
neuen Grössenreihe ableitbare Gebiet dem Gebiete B identisch 
fei. Dann ist also A aus den ra Grössen Ci* •• -Cr, arH****&m 

ableitbar, und B aus den n Grössen e^ Cr, br+f**bQ. 

Keine diefer Grössenreihen unterliegt [nach 23] einer Zahlbe- 
ziehung. Dann ist klar , dass alle aus Ci • • • Cr ableitbaren 
Grössen den Gebieten A und B gemeinschaftlich find; aber 
auch keine andern, da es fönst, wider die Annahme, mehr 
als r in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen 
geben würde, die beiden Gebieten A und B gemeinschaftlich 
wären. Das den Gebieten A und B gemeinschaftliche Gebiet 
ist alfo das aus c^ • * • c, abgeleitete Gebiet, alfo [nach 28] ein 



14 €•• 

Gebiet Mcr Stufe. Nun bilden ferner alle Grössen c^ •••€,, 

«r+i " '^my ^r+i b^ clue Reihe von Grössen, die in keiner 

Zahlbeziehung zu einander stehen. Denn gefetzt, es herrschte 
zwischen ihnen^ e&ie-Zafalbeziebiing^ {a mtisste diefe von der 
Form 

a+b+c=0 
fein, wo a aus ar+i • • • 'a^, b aus ht^i • • •^-b^^, 4 atts Cf • -c, 
abgeleitet ist. Hier können weder a noch b null fein. Denn 
wäre a null, fo wäre b + c = 0, und es bestände alfo eine 

Zahibeasiehung zwischen den Grössen br+t K9 Cj • • • -Cr, 

was, wie bewiefen, unmöglich istj und wäre b huH, fo be- 
i^tftnde eine Zahlbeziehüng zwischen aj-^-iva^, Cf-Cr, was 
glßichfaffs als unmöglich nachge\Yißf§n isj„ S^ßllj^n ^^ir die 
obige Gleichung in der Form dar :. 1 [, r u v), 

a= — b — c, 
fo ist die linke Seite aus ar-ff-^a^ numerisch abgeleitet, 
geJhöitt alfo dem Gebiete A an, die reehte S^ite ist ms 
br-Hi"'bn, Ci««'Cr numcrisch abgeleitet, gehört alfo dem Ge- 
biete B an, folglich gehört a dann beüden Gebieten 2^ugleich 
an. D« aber a ^us %:+!*• 9,^ nun^eiuseh ..abgeleitet ist, und 
zwischen ar+f-a^, Ci---Ci; Hfiipe Zablbg^iehung ,|i^rpjwjjit 
(wie oben gezeigt wurde), fo ist a nichlt. aus Ci««"-Cr ab- 
leitbar. Alfo würden dann die Gebiet^ A und B mehr als 
r iti keiner Zahlbeziehüng zu einander stehende Grössen ^ge- 
meinschaftlich haben, was gegen die Vorausfetzung ist. Somit 
folgt, dass der ganze Verein der Grössen Ci • • • c, , ar+i • • • • a,n, 
br+i • • • ' b^ keiner Zahlbeziehung unterliegt. Das aus diefcn 
Grössen ableitbare Gebiet besteht aber aus den Tämmilichen 
Grössen, welche rieb aus den Grössen der Gebiete A und 6 
ableiten lassen , d. h. ist ihr verbindendes Gebiet. Die Stufen- 
zahl desselben fei v, fo ist [nach 22] v gleich dar Anzahl der 
Grössen Ci---Cp, ar+i-'-a^, br+i-'-b^, d. h. 
v = m+n — r, oder 
m + n = r + v. 
26. Zwei Gebiete (A und B), welche beziefalich von 
a-ter und j^-ter Stufe find und in einem Gebiete n-ter Stufe 
liegen, hab^n, wenn a 4- i^ ^ n ist, mindestens ein Gebiet 
von (a + /S — n)-ter Stufe gemein. 



•tl 15 

- Beweis. Das A und B vertriitdende Gebiet fei vonv-ter 
Stufe ^ dai» ihnen gemeinschaftliche wn r-ter Stufe, fo ist 
[nach 25] 

a4-i^ = r4-v, oderr:=a + ß — v, 
d. h. Da A und B in einem Gebiete n-ter Stufe liegen, fo 
liegt auch ihr verbindendes Gebiet in diefem Gebiete n-ter 
Stufe, alfo ist v entweder ebenfo gross oder kleiner als n, 
alfo r = a + i^ — v entweder ebenfo gross als a + 1^ ^ n 
oder grösser. « 

' A Hrraerk. »Die bisher entwickelten Sät^e finden fich schon , wenn 
gleich meist in an^deren Formen, ii\ meiner ersten Bearbeitung der 
Ausdehnungslehre vom Jahre 1844, und zwar Satz 18 und 23 und 
genau in der entsprechenden Form in §. 20 jenes Werkes, Sat^ 24 in 
§. 126 enthalten, und auch die Idee des ßeweifes für diefe Sätze ist 
hier und dort diefclbe. 

§. 3. DiQ Zahl als Quotient extensiver Grössmi 

und Ersetzung der Gleichungen zwischen extensiven Grössen 

durch Zahlgleiehungen. 

27. Erklärung. Ich nenne zwei Vereine Von Cflei- 
chungen einander er fetzend, wenn fich jeder von beiden 
Vereinen aus dem andern ableiten lässt. 

Anmerk. Hierbei ist auch der Fall eingeschlossen, in welchem 
einer der beiden Vereine oder jeder von beiden nur aus einer Glei- 
chung besteht. 

28. Eine Grösse x, welche aus n in keiner Zahlbeziehung 

zu einander stehenden Grössen ai a^ abgeleitet ist, ist dann 

und nur dann null, wenn ihre n Ableitungszahlen null find, 
d. h. die Gleichung 

(a) x^ai + Xaaa 4- • • • • +^ifin = 
wird erfetzt durch die n Gleichungen: 

(b) = X, = X2 = = x^. 

Beweis. Denn wäre irgend eine der Ableitungszahlen 
von null verschieden, fo würde vermöge der Gleichung (a) 
nach 16 zwischen ai • • • • a^ eine Zahlbeziehung herrschen, 
gegen die Annahme. Gilt alfo die Gleichung (a), fo gilt auch 
der Gleichungs verein (b). Umgekehrt, gilt der letzte Verein, 
fo folgt daraus die Gleichung (a). Alfo wird diefe Gleichung 
durch jenen Verein erfetzt. 



16 €•• 

29. Zwei Grössen eines Gebietes n-ter Stufe find dann 
und nur dann einander gleich, wenn ihre n zu denfelben Ein- 
heiten gehörigen Ableitungszahlen einander gleich find, d. h. 
die Gleichung 

(a) Oiei + «aea H a^e^ = ß^et + ß^e^+ • • • .^^e„ 

wird erretzt durch die n Gleichungen 

(b) ay—ßu «2=ft, ••••? ^a = ßti' 

Beweis. Denn die Gleichung (a) wird erfetzt durch die 
Gleichungen 

(«1 -ßi)e, + («2 -192)62 +•••+(«„- i^n)en = 0, 

und diefe (nach 26) dtarch die n Gleichungen 

= tti - ft = «2 — /Ja = . . . . = a„ - j9„ , 

d. h. durch die n Gleichungen 

«1=^1? fh=ßu •••j aii = ^ii- 
SO. Erklärung. Wenn eine extenllve Grösse a aus 

einer andern b, die nicht null ist, fich numerisch ableiten 

lässt, fo verstene ich unter — die Zahl, durch welche b aus 
' a ' 

a 8A)geIeitet werden kann, d. h. 

— = a, wenn a ? 0. 
a 

31. Wenn 2 Grössen (a und b) aus derfelben Grösse 
(c) numerisch abgeleitet find, und die zweite nicht null ist, 
To kann man, statt die erste durch die zweite zu dividiren, 
die Ableilungszahlen entsprechend dividiren, d. h. 

^ = -^, wenni^c^O. 

Beweis. Wenn /?c ^ ist, fo ist (nach 12, 6) auch ß ^0 

d 
und c^O. Dann ist ac=-^(ße) nach 13, alfo 

P 

32. Eine Gleichung, deren Glieder alle aus derfelben 
Grösse (a) numerisch ableitbar find, wird durch eine Gleichung 
erfetzt, die man erhält, indem man alle Glieder der ersteren 
durch eine beliebige aus jener Grösse (a) numerisch ableit- 



9t^ <7 

baire, aber ym ludl yent^odene Grdsi^ #v^irl, d. h. die 
Gleichang 

(a) aa + /Sfi + • ' • = fh^ + Ä» + •^* • 
wird erfeizt durch die Gleichung 

Beweis. Wenn ^^0., fo muss [nach 12, 6] fowohl 
^^0 als a^O fein. Somit kann man a auch, da es von null 
verschieden ist, als Einheit betrachten. Dann wird, nach 29, 
die Gleichung (a) erfetzt durch 

a + i* +• • • =«1 + ft +• •■•? 
oder, wenn man durch ^^0 dividirt, durch die Gleichung 

Q Q Qi Hl 

d. h. (nach 31) durch die Gleichung 

^a ^a ' 5ia ^la 
33. ErklUrung. Wenn die Grössen ai< • - •Aq in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehen, und die Grösse 

a = oiai + 0232 + » • • • + a^a^ 
ibt, fo nennen wir, wenn m kleiner als n ist, die Grösse 

«lai + «202 -\ «in»m 

ydie Zurückleitung der Grösse a auf das Gebiet a^as* • • «ami 
unter Ausschliessung des Gebibles 8^41801+2 •••• an»*' Wir 
fügen, die Zurückleitnngen mehrerer Grössen feien in dcm- 
felben Sinne genommen, wenn die Grössen auf dasselbe Ge- 
biet und unter Ausschliessung desselben Gebietes zurück- 
geleitet sind. 

An merk. Wenn ins Befondere a = «laj + o^ai +••• an^n ist, 
fo ist z. B. €t|ai die ZarQckleitang von a auf das Gebiet a|, unter 
Ausschliessung des Gebietes 83 • • «an^ ferner: wenn a = (X|a| -f" ^^ i^t, 
fo ist^Äjai die Zurückleitung auf das Gebiet %, unter Ausichliessung 
des Gebietes aa* 

3iK. Jede Gleichung, deren Glieder Produkte je einer 
exlenflYen Grösse mit einer Zahl find, wird, wenn die exten- 
flven Grösse^ einem Gebiet n-ter Stufe angehören, erfetzt 
durch n Zahlengleichungcn, die man erhält, indem man in 
der gegebenen Gleichung statt aller extenfiven Grössen ihre 

2 



i8 (a* 

zu derfelben Einlieft gehörigen AbMlungszahten fetot; und 
zwar gilt dies, welche n in kein^ Zahlbeziehiing stehende 
Grössen des Gebietes man auch als System von Einheiten an- 
nehmen mag, d. h. die Gleichung 

(a) aa* + /?b + . • • = xk + AI + . . . 
in welcher 

a = a^d H a^e^, k = xiCi -| x^% 

• ^ • . 

ist, wird erfetzt durch die b Gleichangen 

'««1 + ^A +• • • =xxi + -Wi +• • • 
et«, 4- /Jft + • • • =x*2 + ^ H 

vorausge fetzt, dass ei^-^Cn in keiner Zahlbeziehung zu ein- 
ander stehen. 

Beweis. Setzt man in die Gleichung (a) die Ausdrucke 
für a, b, • • • • k, 1, • • ein, fo erhält man 

(«Ol + ßßi-i )ei + CaOi + ßß2 + " Oea + • • • (««n -h 

i5i5n + • • •)en = (^^+AAi-f • . Oeif • • •(^«+^+- • Oe«. 
Diefe Gleichung wird (nach 29) erfetzt durch die n Glei- 
chungen 

«Ol + /^Ä + • • • = ««1 + ^ + • • • 

(^(h + ßß2-\ =XH2 + XXi-] 

35. Jede Gleichung, deren Glieder Produkte je einer 
cxtenfiven Grösse mit einer Zahl find, bleibt bestehen, wenn 
man statt aller extenfiren Grössen ihre in demfelben Sinne 
genommenen Zurückleitungen fetzt. 

Beweis. Man nehme an, die gegebene Gleichung fei 
die Gleichung (a) des vorhergehenden Satzes, in welcher a, 
h, • • • • k, 1 • • diefelbe Bedeutung haben wie vorher, fo ist 
zu zeigen, dass diefe Gleichung auch fortbesteht, weiTn man 
statt der Grössen a, b, • • • k, 1 ihre Zurückleitungen auf das 
Gebiet Cj • • • . e„ , unter Ausschliessung des Gebietes e^-f-i • • • • e^, 
fetzt, d. h. dass auch 

Cc) aa'+i9b'+-.-=xk'-f -11' + -.. 



fei, wo a' = aiei +••• a^e^, k = »iei -j «a^m? 



ist. In der That wird die Gleichung (a) erfetzt durch die 
B Gleichungen (b) der vorigen Nummer. Multiplicirt man nun 
die ersten m dieser n Gleichungen beziehlich mit Oi, 62, - - • e^ 
und addirt dia fo erhaltenen Gleichungen, fo erhalt man die 
zu erweifende Gleichung (c). 

An merk. Es liegt hierin zagleich der speciellere Satz, dass 
gleiche Grössen, in gleichem Sinne zurückgeleitct, auch gleiche Zurück- 
leitangen geben, oder anders ausgedrückt , dass die Zurückleitung 
einer gegebenen Grösse bestimmt ist, wenn das Gebiet, auf welches, 
und das Gebiet, unter dessen Auwchliessung zurückgeleitet werden 
foll, gegeben ist. 

36. Wejui die Zahlen x^- • *x,^, durch welche eine exten- 
Tive Grösse x aus einem System von n Einheiten Oi, Oa^ * * * On 
abgeleitet wird, einer Gleichung m-ten Grades genügen, (0 
genfigen auch die Zahlen yi***yn) durch welche diefelbe 
Grösse aus einem System von n andern dasselbe Gebiet lie- 
fernden EinheHen %, a2 • • • a^ abgeleitet wird, einer Gleichung 
tthten Grades, und zwar ist die. letzte homogen, w«nn die 
erste es ist» 

Beweis. Es ist .nach der Annahme 

X s= XiCi + XjOa -I Xj^eü, 

und zwischen diefen Ableitungszahlen bestehe die Gleichung 

f(xi, ••••xj==0, 
in welcher f das Zeichen einer Funktion m-ten Grades ist. 
Nun mjQßsen die neuen Einheiten ai • • • • a^, da fle dem Ge- 
biete Ol • • • ^ • e,^ ang^ören^ aus di^ren Einheiten Oi, • • • e^ ab- 
leitbar rein« Es fei 

ai = ^ «i,rer = «i^iei + «1,2 62 + • • • (h.n^n^ 

8ii=^«n,rer= «ii,!^! + ««,2 «2 ^ «n,!!^^- 

Ferner, da yi*«*- y^ die Ableitungszahlen in Bezug auf 
diefe neuien Einheiten fein feilen, fo hat man auch 
x==yiai + yaa» +. • • y„a„, also 



«0 fH« 

= Yi»i + y2a2 +•" Ynan> 

= Yl 2^«1,rer + y2 Xtt2,rer+- ' ' YnXan.rÖr^ 

= X(Yr«r,t)ei+X(Yr«r,2)-e2 +••• H-^CYr^r,*») ' ^n- 

Alfo nfteh 29 

Xl = Z" «r,lYr = «1,1 Yl + «2,1 Y2 + ' ' ' «n,! Yn> 
X2=Z^at,2Yr=«i^2Yl+«2,2Y2+---«ii,2Ynr 

X«=^ar,nYr= «i,«Yl + «2,nY2 + ' ' • «n^nYn? 

d. b. :&i, * * • • x^ find ganze homogene Funktionen ersten Gra- 
des von Yi y^, folglich, fetzt man in 

f(xi,..-.xj==0 
statt Xl, •••Xq diefe Werthe, fo erhült man eine Funklion 
m-ten Grades von Yi-'-Yn und zwar eine homogene, wenn 
die erstere eine folche war. 

^ap. 2. iSie l^tobuktbUbung im ^%metnen. 
§. 1. Produkt zweier Grössen. 

SIT. Erklärung. Unter dem Produkte tabj einer exten- 
fiven Grösse a in eine andere b, verstehe ich diejenige exten- 
Tive Grösse (oder auch Zahlgrösse), die man erhält, indem 
man zuerst jede der Einheiten, aus denen die erste Grösse a 
nümerlisch abgeleitet ist, mit jeder d6r Einheiten, au^ denen 
die zweite b numerisch abgeleitet ist, zu einem Produkte 
verknüpft, dessen erster Faktor die Einheit der ersten Grösse 
und dessen zweiter Faktor die Einheit der zweiten Grösse istj 
dann dies Produkt mit dem Produkte derjenigen Ableitungs- 
zahlen multiplicirt, mit welchen jene Einheiten verknüpft waren, 
und die fömmtlicheh fo gewonnenen Produkte addirt, d. h. es ist 

wo e^, e^ die Einheiten, aus denen die Grössen numertech 
abgeleitet find, o^, a^ die zugehörigen Ableitungszahlen be- 
zeichnen, und die Summe fich auf die verschiedenen Werthe 
der Indices r und s bezieht. 

An merk. Da das Produkt extcnriver Grössen nach der Erklä- 
rung wieder entweder eine.extenfiye Gröase oder eine Zahlgrösse ist. 



•«> «1 

fo muss dasselbe [nach 5] ans einem System von Einheiten numerisch 
ableitbar fein. Welches dies System von Einheiten, fei, und wie aas 
ihnen die Produkte 6^65, aus denen jenes Produkt zusammengefetzt 
ist, numerisch abzuleiten föien, darüber fagt die Definition nichts 
aus. Soll alfo der Begriff eines befond^ren Produktes genau festge- 
stellt werden , fo müssen noch über jenes System von Einheiten und 
über diefe Ableitungen die nöthigcn Bestimmungen getroffen werden. 
Sobald diefe Bestimmungen getroffen fmd, fo geht aus der allgemeinen 
Gattung der Produktbildungen, wie fie oben festgestellt wurde, eine 
befondere Art der Produktbildung hervor. Hat man z. B. das Pro- 
dukt P = [(xi ei -}- Xa Cj) (yi e^ -f yj e^)] , fo ist dasselbe [nach 37J gleich 
Xi yt [Ci Oll + Xt Yi [ei Oj] -j- xj yi [Cj ej -|- xj y^ [cj Ca]. Befondere Arten 
der Produktbildung würden nun hervorgehen, wenn noch die Ein- 
heiten festgefetzt würden, aus denen dies Produkt numerisch abge- 
leitet werden foll, und die Art bestimmt würde, wie die vier Produkte 
[^1^]) [^^1) [^^L [<Hi^al aus Jenen Einheiten numerisch abzuleiten 
ßnd; fo &. B. könnte festgefetzt werden, dass diefe vier Produkte 
felbet das System der Einheiten bildeten, aus denen P numerisch ab- 
zuleiten ist, dann find x,yi, x^y,, Xjy^, Xjyj die Ableitungszahlen von 
P; und wir hätten eine befondere Art der Produktbildung, die fich 
dadurch auszeichnen würde, dass zu ihrer Feststellung keine Glei- 
chungen erforderlich wären. Oder man könnte drei unter ihnen , etwa 
[Ciei], [eiCj], [e^ej] als Einheiten festfetzen, und die Bestimmung hin- 
zufügen/, dass [eaej = [616^1 fein foUtej dann würden die Abl^tungs- 
zahlen von P fein Xjy^, (x,ya -1- Xjyi) , x^yj*, eine Art der Produkt- 
bildung, die fich dadurch auszeichnen würde, dass ihre Gcfetze mit 
denen der algebraischen Multiplikation identisch fein würden. Oder 
mau könnte eine unter ihnen , z. B. [e^Ca], als Einheit festfetzen , aus 
welcher das Produkt P numerisch abzuleiten fein foll, und für die 
übrigen etwa die Bestimmungen treffen, dass [eiCi]~0, [eaei] = — 
[e^ea], [eaea]=0 fein foll. Dann würde das Produkt P nur eine 
Ablcitungszahl haben, nämlich Xjya — xayr, eine Produktbildung, die 
ich unten kombinatorische genannt habe. Ja man könnte auch ein 
System von anderen Einheiten, unt^v denen [eiej, [OjCa], [eaei], [e^ea] 
nicht vorkämen, zu Grunde logen, und dann bestimmen, wie diefe 
vier Produkte aus ihnen abzuleiten feien , z.. B. kösoite man etwa die 
abfolute Einheit zu Grunde legen, und etwa festfetzen, es folle [eje,] 
= li [eiea] = 0, [cjei] =0, [caCa]— 1 fein, in diefem Falle würde P 
eine Ziü^il, ntmlich =sx,yi + Xaya fein; eine Produktbüilung, die ich 
unten innere genannt habe. Gegenwärtig werde ich nur diejenigen 
Gefetze behandeln, welche aus der allgemeinen Erklärung des Pro- 
duktes in 37 hervorgehen, und welche alfo für alle Arten der Pro- 
dukte gelten. Ich habe das Produkt durch eine Klammer umschlossen, 
am es von dem gewöhnlichen Produkte dec Algebxs zu unterscheiden. 



22 C»9 

38. Statt zu einer Grösse a einen Faktor b hinznzu- 
fOgen, kann man iiin in dem Ableilungsansdruck der ersteren 
jeder Einheit auf entsprechende Weife hinzufügen, d. h. 

lEä^r 1>] = Z^«, [ e/b]! 
Beweis. Es fei h = ^ß,o, fo ist 
[Zä^r b] = [ Z^Z/ ^TeJ] =Z«,^.[e ,o.] [37] 

= Z«ii?.[eie,] + Z«2/J,[e2e.] + • • • • [9] 

= «i[e,Zl».e.] + o»[e,Z^.e,l +^ ; [37] 
= «iCcib] -I- 02[ei,b] H = Zor[epbi- 

39. Ein Produkt zweier Faktoren, dessen einer Faktor 
eine Summe ist, ist gleich einer Summe von Produkten, die 
man erhält, indem man in dem ursprünglichen Produkte, statt 
des zcrstttckten Faktor's, nach und nach jedes Stttck fetzt, d. h. 

[(a + b+...)p] = [ap] + [bp] + .... 
[p(a+b-|-..)] = [pa] + [pb] + ..... 
Insbefondere ist 

[(a4-b)c] = [ac] + [bc] 

[c(a + b)]==[ca]+Jcb]. __ 

Fewels. Es fei a = Zor«« b = ^ßi^t +••••» fo »st 
[(a + b+.^l . 

= [( Za,e,+Zigre,+ '- • )p] = [Z(o,+/»r+ • • • )e,p] {»] 
=ZK+<?.-f--)[ej] [38] 

= Za^rP] + Z|?rKp 1 + [9] 

= [Z«rer p] + [Z/Sa p] + . . . • [38] 

= [ap] + [bp]H . 

Somit ist die erste Formel bewiefcn. Den Beweis der zweiten 
Formel erhält man aus dem der ersten, wenn man den Faktor 
p ttberail als ersten Faktor einfetzt. 

HO. Statt den einen Faktor eines Produktes (zweier 
Faktoren) mit einet Zahl zu multiplioiren , kann man das. ganze 
Produkt mit diefer Zahl multipliciren , d. h. 

[(aa)b] = o[ab] 

[b(oa)] = a[ba]. 

Beweis. Es fei a=Z<V<!r> ^o ist 



[(aa)b] = KaZ^M = [Z««r-e, b] [10] 

= Z"c a^[e,b] [38] 

= a^a,^b] [13] 

= a[Z«rerb3 [38] 
= a[ab]. 
Der Beweis der zweiten Formel ergiebt fleh, wenn man 
b überall als den ersten der beiden Faktoren Tetzt. 

4L1. Statt zu einer Grösse, die aus beliebigen 6rd8sen 
a, b, ••• numerisch abgeleitet ist, einen Faktor p hitizuzu- 
füg^n, kann man ihn in dem Ausdruck diefer Ableitung zu 
jeder der Grössen a, b, ••• auf entsprechende Weife hinzu- 
fügen, d. h. 

[(aa + ßb-{ )p] = «[ap] + i^fbp] -\ und 

[p(aa -f iJb +.-.)] = «[pa] + i^[pb] + ••• •• 

Beweis. [(aa+/?b+ • • Op] = [(«a)p]+[(^b)p] + • • • [39] 

=a[ap]+i9[bp] + ... [40]. 

43. Das Produkt zweier Faktoren, welche aus beliebigen 
Grössen numerisch abgeleitet find, erhält man, indem man 
zuerst statt jedes Faktors eine der Grössen fetzt, aus denen 
er abgeleitet ist, das fo gewonnene Produkt mit dem Produkte 
der zu den fubstituirten Grössen gehörigen Ableitungszahlen 
multiplicirt, und die fämmtlichen Produkte, welche fleh auf 
diefe Weife bilden lassen, addirt, d. h. 

wo a,, bg beliebige Grössen, «,, ß^ beliebige Zahlen find. 

Beweis. [^^^ßÄ]=^<^r[^rI^ßA] [41] 

=ZarCigJa,bJ) [41] 

=Z«Ä[aA] [i3]. 

§. S. Produkt mdur^er Orössen. 

43. Erklärung. Wenn aus einem Produkte ein anderes 
dadnrch abgeleitet werden kann , dass man statt jedes Faktors, 
der in dem ersten Produkte vorkommt, einen andern (ihm 
gleichen oder von ihm verseliiedenen) Faktor fetzt, fo nenne 
ich die beiden Produkte einander entsprechend, und nenne 



84 CM 

jeden Faktor des ersten Proinktes e^spreplf^d dem fftr ihn 
rubstituirten des andern Produ^tftSn- Zv^^ien Grössen oder 
zweien entsprechenden Produkten bea^iebqngsweire zwei Fak- 
toren in entsprechender Weire hinzufügen, heisst fie fo hin- 
zufügen, dass die entstehenden Produkte wieder einander 
entsprechend werden, und zwar fo, dass der in dem einen 
und der in dem andern Produkte hinzugefügle Faktor ent- 
sprechende Faktoren werden, und die bislier einander ent- 
sprechenden. Faktoren auch entsprechend bleiben. Bin Prjodokt, 
in welchem die Faktoren a , b , • • • irgend vrie . enthalten find, 
werdeich, wo es angemessen scheint, mit- Pa, b,... bezeichnen; 
dann drückt Innerhalb derfelben Entwickelung Ph, ,*,... das ent- 
sprechende Produkt aus, in welchem die Faktoren h, i, ••• 
der Reihe nach den Faktoren a, b, ••• entsprechen. 

An merk. Diefe- Bestimmungen find nnentbefarlich , wenn man 
allen Zweideatigkeiten entgehen will. Denn da die Faktoren • eines 
Produktes extenfiver Grössen weder unter allen Umständen vertausekt) 
noch zu befonderen Produkten vereinigt werden dürfen, fo ist die 
Art, wie ein Faktor in das Produkt eingeht, bestimmt zu fixiren* Als 
Beispiel zweier entsprechender Produkte feien die Produkte a(bc) und 
d(ef) gewählt, wo die Faktoren fieh der Reihe naoh entsprechen. 
Sollen zu ihnen noch beziehlich.die Faktoren g und h in entsprechender 
Weife hinzugefügt werden, fo kann dies auf verschiedene Ai'ten ge- 
schehen, z. B. fo, dass die Produkte a(bc)g und d(ef)h hervorgehen, 
oder a(bgc) und d(ehf j u. f. w. *Was die Bedeutung ausgelassetielr 
Klammern betrifft, fo verweife ich auf No. 7 Anmerkung. 

49:. Wenn ein gegebenes Produkt einen Faktor p ent- 
faäU, der ans beKebigen Grössen a, b, c, ••• durch die Zah- 
len q, r, s abgeleitet ist, und man Tetzt in jenem Produkte 
statt des Faktors p nach und nach die Grössen a^ b, c, •••, 
multiplicirt die To erhaltenen Produkte bezichlich mit q, r, s, • • - 
und jaddirt diefe Ausdrücke, fo ist ihre Summe gleich dem 
gegebenen Produkte, d. h. 

Pq»trbt.. = qPa + rPb-f •••• 
Bewei8. Wie das Produkt auch beschaffen Tei, immer 
kann man es fo entstanden denken, dass zu dem Faktor p 
die übrigen Faktoren fortsehreitend in bestimmter Weife hin- 
zugetreten feien, nämlich fo, dass zu p zuerst ein anderer 
Faktor (fei es als erster oder als zweiter Faktor des Produkts) 



hinzugetreten fei , zu dierem Produkte wieder ein anderer und 
fo fort. Statt nun aber einen Faktor zu einer numerisch ab- 
geiüitelen Grösse hinzuzufügen, kann mah ihn, nach 41, in 
dem Ausdruck jener Ableitung zu jeder der Grössen, aus 
denen jene erslere abgeleitet war, auf entsprechende Weife 
hinzufügen. Folglich statt zu p = qa + rb -f • • • die übrigen 
Faktoren in der genannten Weife fortschreitend hinzuzufügen, 
kann man fie in dem Ableitungsausdruck in entsprechender 
Weife zu jeder der Grossen a, b, •• hinzufügen, d. h. 

Pp = qPa + rPb + • •, wenn p = qa + rb + • •. 
/iS. Der Satz 42 gilt auch für mehr als zwei Faktoren, d. h. 

BeAveis. Gilt der Satz für irgend eine Anzahl von 
Faktoren, z. B. für [^qr^r^^s^^s 2^^aMm\y fo dass alfo 

(a) [XqÄ^rÄ- • -X^rnkm] =Z'qA---^m[aA---kJ. 
iiit, fo gilt er auch, wenn noch ein Faktor, z. B. XJ^, hin- 
zutritt; denn es ist 

= XqrV ••^iJa A-'kjX ^in (nach a) 

= Xq/s • • • ^m/l-n [«r^s ' ' ' k^l^] [42] . 

Alfo wenn die Formel 45 für irgend eine Anzahl von 
Faktoren gilt, fo gilt fie auch, wenn noch ein Faktor hinzu- 
tritt. Nun gilt JTie aber, nach 42, für zwei Faktoren, alfo 
auch für drei, vier u. f. w., alfo für beliebig viele. 

46. Statt die Faktoren eines Produktes mit einer Reihe 
von Zahlen zu multipliciren, kann man das ganze Produkt 
mit dem Produkte diefer Zahlen multipliciren, d. h. 

Pqa,rb,... = qr--Pa,b,.... 

Beweis. Nach 44 ist Pqa=qPa, alfo auch 

Pqa, rb, sc . . . = qPa, rb, sc, . . . ' [44] 

= qrPa,b,sc,... [44] 

u. f. w., endlich ' 
= qrs-.-Pa,b,c,... [44], 

47. Zwei in einem Produkte vorkommende Faktoren, 
welche in einer Zahlbeziehung zu einander stehet), kann man 
ohne Wcrthanderung des Produktes verlauschen, d. h. 

Pq», ra =^ Pr», qa. 

2* 



26 C«9 

Beweis. Es ist 

Pqa,ra = qrPa,a [46] 

= rqPa,a = Pr»,qa [46]. 

§. 3. Die n^erschiedenen Arten der Produktbildjung. 

J5I:8. Erklärung. Wenn die Produklbildung dadurch 
näher bestimmt wird, dass zwischen den Produkten der Ein- 
heiten Zahlbeziehungen bestehen, fo nenne ich jede Gleichung, 
welche eine Mche Zahlbeziehung ausdrückt, eine zu jener 
Art der Prodoktbildung gehörige Bestimmungsgleichung. 
Einen Verein von p Bestimmungsgleichungen, von denen keine 
aus den übrigen gefolgert werden kann, nenne ich, wena 
zwischen den Produkten keine andere Zahlbeziehung herrscht, 
als die aus jenen Gleichungen gefolgert werden kann, ein zu 
jener Produktbildung gehöriges System von Beslimmungs- 
gleichungen. 

49. Jedes System von m Bestimmungsgleicbungen zwi- 
schen den n Einheilsprodukten Ej, *• • • E^ kann auf die Form 
gebracht werden, dass jede der Gleichungen ausdrückt, wie 

aus n — m jener Einheitsprodukte, z.B. aus Ei En_ni di^ 

übrigen m numerisch ableitbar find. Dann bilden Ei**-En_j|^ 
ein System von Einheiten, aus denen alle Produkte, die zu 
dicfer Produktbildung gehören, ableitbar find. 

Beweis. Nach 48 foll jede Gleichung des Systems der 
m Bestimmungsgleichungen eine Zahlbeziehung zwischen E^, 
••••Eu ausdrücken. Jede folche Zahlbeziehung wird fich, 
nach 16, auf die Form 

bringen lassen, in welcher die Zahlen ai,-* a^ nicht alle zu- 
gleich null find. Es fei eine derfelben betrachtet, und fei in 
ihr etwa «^ ungleich null, fo kann man En durch Ei,«*.Ea_i 
ausdrücken. Substituirt man diefen Ausdruck in die übrigen 
(m — 1) Gleichungen, fo werden fie von der Form 

aßi-i a^-iE^_i = 0. 

In keiner der fo erhaltenen Gleichungen dürfen die Zahlen 
«1? • • «n-i «"e zugleich null werden, weil fönst diefe Be- 
stimmungsgleichung aus der ersten gefolgert werden könnte, 



51) 27 

was dem Begriffe eines Systems von BesUmmungsgleichungen 
(nach 48) widerspricht. Es Tei eine der To erhaltenen Glei- 
chungen betrachtet, und fei in ihr ^wa der Koefficient von 
En-i ungleich null; fo wird En_i fich durch Ej- •• -Eq^j aus- 
drücken lassen ) und wenn diefer Ausdruck in die übrigen 
(m — 2) Gleichvngen eingeführt wird, ib erhalten fie die 
Form 

Da auf diefe Weife durch die Anwendung jeder neuen 
Gleichung immer eine neue unter den Grösseu Ex-*£n aus 
den übrigen Gleichungen verschwindet, wur wollen annehmen, 
jedesmal die letzte unter den bis dahin vorhandenen, (b be- 
hält man zuletzt nur noch die Grösse E^ £^.^9 durch 

welche Heb alle übrigen £^^„4.1- • * Eq ausdrücken lassen. 

SO. Erklärung. Jede Produktbildung, deren Bestim- 
mungsgleichungen geltend bleiben, wenn man istatt der darin 
verkummenden Einheiten beliebige aus ihnen numerisch abge- 
leitete Grössen Tetzt, heisst eine lineale Produktbildung (Mul- 
tiplikation). 

^1« Für Produkte aus zwei Faktoren giebt es ausser 
derjenigen Produktbildung, welche gar keine Besiimmungs- 
gleichung hat, und derjenigen, deren Produkte alle null find, 
nur zwei Gattungen linealer Produktbildung, und zwtfr ist 
das System der Bedingungsgleichungen für die eine 

tl) [eA] + [e.eJ = 0, 
für die andere 

(2) [eres] = [e,ej, 
wo für r und s, wenn e^, 02, • * e,^ die Einheiten find, nach 
und nach jede 2 der Zahlen 1- -n gefetzt werden foUen. 

Beweis. Jede Bestimmungsgleichung wird bei zwei Fak- 
toren, die aus den Einheiten Ci« • -6^ abgeleitet find, die Form 
haben 

(a) Z^«r,8[eres]=0, 
wo die Koefficienten a^^^ beliebige Zahlen find, die aber nicht 
alle gleichzeitig null werden dürfen, und wo für r und s nach 
und nach je zwei der Werthe 1 • • • • n in die Summe einge- 
führt werden foUen. Wir nehmen an, die Froduktbilduiig foUe 



28 C»* 

eine lineale fein; d. h. nach 50, es foll jede Bestimmungs- 
gleichung noch geltend bleiben, wenn man statt der Einheiten 
beliebige aus ihnen numerisch abgeleitete Grössen fetzt. Man 
fetze in (a) wS^Xr,ueu statt e^ und ^Xs,vev statt e^, wo die 
Summen fleh nur auf die Indices u und v beziehen, und Xr,u 
und Xp^y beliebig zu wählende Zahlen bedeuten; Dann er- 
halten wir 

=-^0, g [^Xr,ueuXxs,vev] 

= -^ar,fl^Xr,uXs,v[euev] [45J 

alfo = ^ar,.Xr,uXs,v[ei^] 113], 

indeifi fleh nun die Summe auf alle vier Werthe r, s, u, v 
bezieht. Vertauscht man hier r mit s und u mit v, was man 

kann, da r, s, u, v in jedem Gliede ganz beliebige der Zah- 
len l«--n find, fo erhält man 

Oi=^as,rXfl,vXr,u[eveü], V ' - 

und indem man diefe Gleichung mit der obenstehenden addirt, 
erhält man * 

(b) = Xxr,uXfl,v(ar,8[euev] + a8,r[eveu]), 

eine Gleichung, welche für die Anwendung bequemer Ist, als 
die beiden vorhergehenden. Sie muss für alle Werthe, die 
man den Grössen Xr,u9 ^8,v geben mag, gelten. Man fetze 
nun in (b) irgend eine der Grössen Xr,u etwa Xa,c zuerst = 1, 
dann = — 1 , fubtrahire die fo erhaltenen zwei Gleichungen 
von einander, und dividire durch 2^ fo fallen alle Glieder 
weg, welche Xa,o entweder keinmal oder zweimal enthielten, 
und es bleibt nur 

Xx8,Y(aa,8[ecev] + a8,a[evec]) = 0, 
wobei jedoch unter den Werthpaaren von s und v dasjenige 
auszulassen ist, für welches zugleich s==a und v = c ist. 
Setzt man nun hierin wieder irgend eine der Grössen -Xs^y, 
z. B. Xb,d zuerst gleich 1 und dann gleich - 1, fubtrahirt dfe 
fo erhaltenen zwei Gleichungen und dividirt. durch 2, fo fallen 
wieder die Glieder weg, welche Xb,d keinmal oder zweimal 
enthalten und es bleibt 

(c) aa,b[eced] + ab,a[edec] = 

zunächst nur für je vier Indioes a, b, c, d, von denen nicht 



»i) 29 

gleiehzeitig der erste dem zweiten, der dritte dem vierten 
gleich ist. Hierdurch reducirt fich die Gleichung (b)aur 

= Xxr,uXr,u«r,r[<^ueu]. 

Setzt man hierin für eine der Grösi^en Xr,u, etwa für Xa,c, 
nach der Reihe zwei^einander nicht enlgegengefetzle Wcrthe, 
z. B. 1 und 2 ein, fubtrahirt die To erhaltenen Gleichungen 
von einander und dividirt die Restgleichung in diefem Falle 
durch 3, To bleibt 

= aa,a[ecec], 
d. h. die Gleichung (c) gilt auch für deri vorher ausgeschloßse- 
nen Fall, dass a = b, c = d ist. 

Somit folgt aus der Gleichung (a), wenn fie eine lineale 
Bestimmungsgleichung fein, d. h. noch geltend bleiben foll, 
welche aus den Einheiten abgeleitete Grössen man Auch statt 
derfelben einführen mag, nothwendig die Gleichungsgruppe (c), 
aber auch umgekehrt, wenn die Gleichungsgruppe (c) gilt, fo 
folgt aus ihr die Gleichung (b), welche ausdrückt, dass die 
Gleichung (a) lineal fei. 

Setzen wir in (c) die Indices c und d einander gleich, 
fo geht fie über in 

(e) (aa,b + ab,a) [CcCc] =0, 
und fetzen wir in ihr a = b , fo geht fie über m 

(0 aa,a([eced] -f- [edec]) = 0. • 
in diefen gleich null gefetzten Produkten muss (nach 12, 6) 
jedesmal der eine oder der andere Faktor null fein. 

Nehmen wir zuerst an [ecCc] fei von null verschieden, 
fo muss nothwendig für je zwei Indices a und b 

«a,b + «b,a==0, d.h. — aa,b = «b,a 

fein. Setzen wir dies in (c) ein, fo erhalten wir 
aa,b([eced] — [edOc]) = 0. 
Sollte hier'[eced] — [OdCc] von null verschieden fein, fo 
müsste der andere Faktor aa,b für je zwei Indices a und b 
null fein, d. h. die Gleichung (a) würde identisch null gegen 
die Annahme. Somit muss in diefem Falle, wo [Cc^c] von 
null verschieden ist, 

[ecOd] — [edec] = 0, d. h. [eced] = [edec] 
fein 9 d. h. es tritt die Gleichungsgruppe (50, 2) ein. Ist nun 



30 C*l 

im zweiten Falle [ecec]=0, oder, indem wir a statt c Teizen 
[eaea] = 0, To können wir diefe Gleichung als Bestimmungs- 
gleichung an die Stelle der Gleichung (a) Tetzen, dann ist 
aa,a = i, während alle übrigen Koefficientcn null find, und 
es folgt dann, indem wir diefen Werth aa,a = l in (f) ein- 
fetzen, 

[OcOd] + [edec] = 0, 
d. k es tritt die Gruppe (50, 1) ein. Nun w^e noch mög^ 
lieh, dass beide Gruppen (50, 1) und (50, Z) zugleich geltend 
wären. Allein dann würde folgen, dass [e<ied]==0, alfo alte 
Produkte null wären, ein Fall, den wir oben ausgeschlossen 
hatten. Es find alfo keine andern linealen Produktbildungen 
möglich, als die .im Satze genannten. Dass diefe nun in di^ 
That iineale find, folgt fogleioh aus der Gleichung, (q),» v.er«< 
glichen mit (a). In der That, wenn 

(g) [eaCb] + [ebea]=0 
die Bedingungsgleichungen find und man fetzt irgend eine ^ev- 
fclben als die Gleichung (a), fo ist für fie aa,b == 1, ab,» = If i, 
und alle übrigen Koefficienten find null. Dann geht die Glei- 
chungsgruppe (c) über in 

[CcCd] + [edec]=0, 
welche schon in der gegebenen Gruppe (g) enthalten waren. 
Alfo fmd jene beiden Gattungen der Produktbildung lineal und 
zwar die einzig möglichen ausser der bestimmungslofon und 
der verschwindenden. 

An merk. Soll alfo das bislier fich von felbst darbietende Princip, 
dass nämlich jedes durch eine Gleichung ausdrilckbare Gefetz auch 
bestehen bleibt, wenn man statt der Einheiten beliebige aus ihnen 
abgeleitete Grössen fetzt, auch in der nächsten £ntwickelung noch 
fortbestehen, fo ist kein anderer Fortschritt möglich, als der zu den 
beiden genannten Produktbildungen. Nehmen wir der Einfachheit 
wegen nur zwei Einheiten e^ und e^ an, fo ist das System der Be« 
Stimmungsgleichungen für die erste Gattung gleichzeitig 

[ei ej = [ea Ca] = und [e^ ej] = - [ej-e^], 
und für die zweite [Cj Cj] == [cj ej]. 

In Bezug auf die Operationen ist die letztere Gattung die ein- 
fachere. Ja, da die Bestimmungsgleichungen derfelben nichts weiter 
ausdrücken als die Vertauschbarkeit der Faktoren , fo ist diefe Multi- 
plikationsgattung, was die Operationen anlangt, identisch mit der 
gewöhnlichen Multiplikation der Algebra, weshalb ich fie auch die 



M) 3i 

algebraische genannt habe *) , Es versteht fieh von falbst , dass 
ihr auch eine algebraische Divifion, Potenzirung u. f. w. zur Seite 
geht, und dass man für alle dicfe' Verknüpfungen cxtenliver Grössen 
unmittelbar die algebraischen Gefetze als geltend annehmen darf. Hin- 
gegen ist diefe Multiplikation, was die durch fie erzeugten Grössen 
betrifft, fehr viel komplicirtcr als die erstere Gattung, weicheich dje 
kombinatorische genannt habe. In der That, betrachten wir bei zwei 
Einheiten e^ und e^ das Produkt zweier Faktoren [(qiCi + qae2) 
(riCi +r2e2)] = qiri [eiCj +qara [eaCa] + qira feiCa] -fq^rjeaei], fo 
reducirt fich dies bei der ersten Gattung, wo [Ci e^ ] — [cj ej] = 0, 
[cj ej] = — [Ci Cj] ist, auf (qj rj ~ qj r^) [Cj ej] , alfo auf nur eine Ein- 
heit, nämlich [ejea]*, ja, wenn in einer Entwickeiungsreihe nie mehr 
als jene beiden - ursprünglichen Einheiten Ci und e^ vorkommen, fo 
wird man, ohne der Allgenaeinheit Eintrag zu thun, [eie2] = l fetzen 
können, und erhält dann als Refultat der Multiplikation eine Zahl. 
Ganz anders bei der zweiten Gattung, wo fich jenes Produkt auf 
qi r-i [Ci Ci] + qa r, [ej e^] + (qi rj + qj rj [e^ e^J reducirt, alfo auf nicht 
weniger als drei Einheiten. Da es in der Entwickelang der Wissen- 
schaft vor allen Dingen darauf ankommt, die nach und nach hervor- 
tretenden Grössen in iiirem einfachsten Begriffe zu erfassen, fo ist 
hier der Uebergang zu der ersten Gattung der Multiplikation mit 
Nothwendigkeit geboten. Ja, da die durch algebraische Multiplikation 
extenfiver Grössen erzeugten Gebilde nicht mehr als einfache Grössen 
üch darstellen, fondern vielmehr den Funktionen der' Algebra fich 
parallel stellen, fo werden wir diefer Multiplikation erst im zweiten 
Theile diefes Werkes wieder begegnen, welcher die, Funktionen be- 
handeln wird. 

Ich verweife in Bezug auf die Entwickelung der verschiedenen 
Multiplikationsgattungen auf die vorher angeführte Abhandlung in 
Crelle's Journal. Dort habe ich für den obigen Satz einen zwar weit- 
1 auf tigeren, aber elementareren Beweis gegeben. Die allgemeine Idee 
der Multiplikation, wie fie im ersten §. diefes Kapitels entwickelt 
ist, habe ich schon in der ersten Ausgabe meiner Ausdehuungslehre 
($. 10 -12) zu Grunde gelpgt. 



§. 1. Allgememe Oesetze der kombinatorischen Kultiplikation. 

92. Erklärung. Wenn die Faktoren eines Produktes 
P aus einem Systeme von Einheiten abgeleitet find, und je 
zwei Produkte der Einheiten, welche durch Vertauschung der 



*) Grelle Journal B. 49, S. 139. 



32 €*• 

beiden letzten Faktoren auseinander hervorgehen, zur Sninme 
null geben, jedes Produkt aber, was läuter verschiedene Ein- 
heiten als Faktoren enthält, von null verschieden ist, fo nenne 
ich jenes Produkt P ein kombinalorisches, und jene Faktoren 
desrelben feine einfachen Faktoren; d. h. fmd b und c Ein- 
heiten, A aber eine beliebige Reihe von Einheiten, fo wird 
die angegebene Beslimmung ausgedrückt durch die Formel 
[Abc] + [Acb]=0. 
Aiim. Warum hier gerade mit diefer befonderen Multiplikations- 
gattung der Anfang gemacht wird, ist No. 50 Ar.merk. entwickelt. 

33. Man kann in jedem kombinatorischen Produkt die 
beiden letzten (einfachen) Faktoren vertauschen, wenn man 
nur zugleich das Vorzeichen (+) in das entgegengefetzte ver- 
wandelt, d. h. 

[Abc] + [Acb]=0; 
auch wenn A eine beliebige Reihe von Faktoren ist und b 
und c einfache Faktoren find. 

Beweis 1. Es feien zuerst b und c Einheiten. Da nun 
A eine beliebige Reihe von Faktoren ist, und die Faktoren 
aus den Einheiten numerisch abiettbar find, fo erhält man, 
indem man statt der Faktoren von A ihre Ableitungsausdrücke 
fetzt, und die Klammern löst, (nach 45) einen Ausdruck, der 
aus den Produkten der Einheiten numerisph ableitbar ist, alfo 
die Form hat 

WO Er Produkte der Einheiten find. Setzt man dies ein, fo 
wird 

[Abc] + [Acb] = L S"«Abc] + LZöjErCb] 

= Z «r[E.bc] + ZajE ^cb] [44] 

= Zc^[E,bc] + [E,cbT) [12, 4] 

= J^aft [52] 

= 0. 
2. Es feieti b und c aus den Einheiten c , 02, • • • nume- 
risch abgeleitet, und fei 

fo ist 



«») 33 

•lAbc] + [Acb] = [A XAÄXr r^] + rAZ/;ÄZ ^r] 

= X /?r/s[Ae,eJ + ZYjÄ^ e.e,] [46] 

=ZigrysC[Ae,e,] + [Ae.eJ) [12] 

= ZßryB'^ [Beweis!] 

= 0. 
54. In . einem kombinatorischen Produkte kann man 
beliebige zwei aufeinander folgende einfache Faktoren ver- 
tauschen, wenn man zugleich das Zeichen (4^) umkehrt, d.\u 

[AbcD] + [AcbD] = 0, 
wenn A und D beliebige Faktorenreihen, b und c einfache 
Faktoren find. • - 

Beweis. Es ist 

[AbcD] + [AcbD] = [[Abc]D] -f [[Acb]D] [38] 
= [([Abc] + [Acb])D] [40] 

= 00 [53] 

= 0. 
5S. In einem kombinatorischen Produkte kann man be- 
liebige zwei einfache Faktoren vertauschen, wenn man zu- 
gleich das Zeichen (+) umkehrt, d. h. 

Pa,b = — Pb,a, oder Pa,^ + Pb,a = 0. 

Beweis. Angenommen, zwischen a und b stehen inP«,b 
noch n einfache Faktoren.* Vertauscht man jetzt b mit dem 
nächst vorhergehenden Faktor, d. h. rückt man b um eine 
Stelle nach links, Ib ändert fich (nach 54) das Zeichen; rückt 
man allb b nach und nach über die n Faktoren hinweg, welche 
ursprünglich zwischen a und b standen, fo ändert fich das 
Zeichen n-mal, jetzt folgt b unmittelbar auf a^ vertauscht 
man jetzt a mit b, fo ändert fich das Zeichen noch einmal. 
.Tetzt steht b auf der Stelle, wo ursprünglich a stand; um 
nun auch a auf die Stelle zu bringen, wo ursprünglich b 
^tand, hat man nun noch a um n SteHen nach rechts zu 
rücken, wobei fich das Zeichen noch n-mal ändert. Im Ganzen 
hat es fich 2n -f * wia' geändert; durch die 2R-maIige Aen- 
derung wird das Zeichen aber wieder das ursprüngliche, und 
da nun noch die einmalige Aenderung hinzukommt, fo ist 
das letzte Zeichen dein ursprünglichen entgegengefetzt, alfo 

Pa,b= Pb,a, oder Pa,b + Pb,a = 0. 



94 Ol* 

89, Erklärung. Wenn van a^wei Grössenreihen jei\e 
die Grössen a und b enthält, und zwar jede derfelben ein- 
mal, und in beiden Reihen a früher steht als b, oder in beiden 
b früher steht als a, fo Tage ich, diefe t)eiden Grössen feien 
in jenen Reihen gleich geordnet, hingegen He fefen in 
jenen Reihen entgegengefetzt geordnet, wenn in der 
einen a früher stellt als b, in der andern b früher als a. 

S7. Zwei kombinatorische Produkte^ welche diefelben 
einfachen Faktoren (aber in verschiedener Folge) enthaHen, 
find einander gleich oder entgegengefetzt, je nachdem die 
Anzahl der in beiden Produkten einander entgegengefetzt ge- 
ordneten Faktorenpaare gerade oder ungerade ist, d. h. 

p=(-iyo, 

wenn P nnd Q kombinatorische Produkte find, welche die- 
felben einfachen Faktoren enthalten, und wenn r die Anzahl 
der Faktorenpaare ist, welche in P entgegengefetzt geordnet 
find, wie in 0. 

Bew.eis. Wenn zuerst je z^ei Faktoren, welche in 
dem einen Produkte, etwa in Q, unmittelbar aufeinander folgen, 
in beiden Produkten gleich geordnet find, fo leuchtet ein, 
dass dann beide Produkte identisch find, und He alfo kein 
entgegengefetzt geordnetes Faktorenpaar enthalten können. 
So lange es daher in noch Faktorenpaare giebt, welche 
entgegengefetzt geordnet find, wie in P, fo giebt es auch 
noch mindestens zwei Faktoren, welche in Q unmittelbar auf- 
einander folgen, und welche in Q entgegengefetzt geordnet 
find wie in P. Angenommen , a und b feien zwei folche Fak- 
toren. Vertauscht man fie untereinander, fo erhält man ein 
Produkt Ol 9 welches dem Produkte Q (nach 54) entgegen- 
gefetzt bezeichnet ist, und in welchem alle Faktorenpaare, 
mit Ausnahme des Faktorenpaares a, b, ebenfo geordnet find 
wie in Q, während dies Faktörenpaar a, b in Oi entgegen- 
gefetzt geordnet ist wie in Q, alfo ebenfo geordnet wie in P. 
Alfo ist die Anzahl der Faktorenpaare, welche in Qi und P 
entgegengefetzt geordnet find, um 1 kleiner, als die Anzahl 
derer, welche in und P entgegengefetzt geordnet find. Ist 
diefe letztere Anzahl alfo r, fo ist die erstere r — 1. Ist 



35 

nun r — 1 noch nicht null, d. h. giebi es noch Faktorenpaare, 
welche in Qi und P entgegengefetzt geordnet find, fo kann 
n>an mit Qi wieder fo verfahren wie vorher mit Q; man er- 
balte dadurch aus Oi das Produkt 02> fo ist 02 = — Oi,. alfo 
= (— 1)^0, und die Anzahl der Faktorenpaare, welche in 
Qi und P entgegengefetzt geordnet find, ist r~ 2. Fährt 
man in diefer Weife fort, bis man zu Q^ gelangt, fo wird 
0, = ( — lyo, und die Anzahl der Faktorenpaare, die in Or 
und P entgegengefetzt geordnet find, beträgt r — r, alfo 
null, d. h. die Faklorenpaare in Q, und P flnd fämmtlich 
gleich geordnet, alfo Ot = P» fomit P = 0, = (~1)'0. 

S8. Wenn man in einem kombinatorischen Produkte 
eine Reihe von r einfachen Faktoren mit einer unmittelbar 
darauf folgenden Reihe von s einfachen Faktoren vertauscht 
(ohne im Uebrigen die Ordnung der Faktoren zu ändern), fo 
ist das fp hervorgehende Produkt dem ursprünglichen gleich 
oder enigegeagefetz.t, je nachdem rs gerade oder ungerade 
ist, d. h. 

[fiC] = (- iy'[CB], [ABC] = (- iy^kCBl 
wo B eine Reihe von r, C von s einfachen Faktoren d»rst^. 
Beweis. Es fei C = CiC2--*Ca, alfo 

[ABC] = [ABciC3---cJ. 
Vertauscht man nun Ci mit dem letzten einfachen Faktor 
von B, d.h. rückt man c^ um Eine Stelle vor, fo ändert fich 
(nach 55) das Vorzeichen des ganzen Produktes; rückt Ci alfo 
um s einfache Faktoren vor, d. h. rückt man ihn vor die 
Faktoren von B, fo ändert fich das Zeichen r mal, alfo wird 
[ABcjCa . • • cj = (— l/[AciBc2C3 • • • c J , alfo dies 
= (-iy(-l/[AciC2Bc3...c,] 
= (-inAciC2Bc3-..cJ 

= (— l)*[ACiC2C3BC4---Cj u. f. w. 

== (— l!r[AciC2 • • -CgB] oder 
[ABC] = (— 1)"[ACB], 
und wenn man hierin A == 1 fetzt 
[BC3 = (-ir[CB]. 
99. Wenn man in einem kombinatorischen Produkte 
eine Reihe von q einfachen Faktoren mit einer durch r ein- 



36 

fache Ffiktoren gelrennten Reihe von s einfachen Faktoren 
vertauscht, fo ist dus fohervorgehettd© Produkt dem ursprüng- 
lichen gleich oder entgegengefetxt , je nachdem rs 4-sq'+'-qr 
gerade oder ungerade ist, d. h. ' 

[AFC] = (- iy«+«q + qr[CBA] , 

WO A, B, C Reihen von beziehKch q, r, s einfachen Fak- 
toren darstellen. 

Beweis. Es ist 

[ABC] =•(— iy<i ^")«[CAB] [ST] 

= (_l)«+-q4-qr[CBA]. 

60. Wenn zwei einfache Faktoren eines kombinatorischen 
Produktes einander gleich find, fo ist- da^f Produkt null, d. li. 

Beweis. Es fei P«,b irgeatl ein kombinatorisches Pro- 
dukt, welches die Faktoren a und b enthält, und Pb,a das 
durch Vertauschung von a und b aus ihm hervorgehende, fo 
ist (nach 55) 

atfö, wenn a gleich b ist, 

Pa,a+Pa;a = 0, d.h. 2Pa,a = 0, 

fomit auch Pa,a = 0. 

61. Ein kombinatorisches Produkt ist null, wenn zwischen 
feinen eingehen Faktoren eine Zahlbeziehung herrscht, d. h.* 

[aiajag aji=0, 

wenn eine der Grössen ai a,n fich -aus den übrigen nume- 
risch Ableiten iässt, z. B. 

81 = 0282 +a3a3 -f a„,a^ 

ist. 

Beweis. Man erhält, indem man den Werth von aj in 
das Produkt einfetzt ' 

[818283 aj = [(«282 + «383 H amam)a2a3 aj, alfo 

(nach 44) 

= a2[82a2a3 8^1 + a3[a3a2a3 aJ + • • 

'^mlama2 83 • • • • a^jj 
= «4-0 + «3.0 +..•.. a«,-0 [59] 

= 0. 



37 

< 02. Erklärung. Unter der Determinante aus n 
Reihen von je n Zahlen versteht man, wenn man die r-te 
Zqhl der s-ten Reihe mit a^*> bezeichnet, dasjenige Polynom, 

welches man aus dem Produkte aj^^af^ a^^ dadurch erhält, 

dass man in ihm nach und nach die unteren Indices auf alle 
möglichen Arten verfetzt, während man die oberen unver- 
ändert läs§t, dann jedes diefer Produkte mit dem + oder ~ 
Zeichen verfieht, je nachdem die Anzahl derjenigen Paare 
von Indices, welche unten entgegengefetzt geordnet find wie 
oben, gerade oder ungerade ist und diefe fämmtlichen Glieder 
addirt. Man bezeichnet diefe Determinante mit ^ + aj^^a^^ 
• • • «aj, d. h. man fetzt 

wo r, s, • • • • w die Zahlen 1,2 n, in irgend einer Ord- 
nung genommen, gleich flnd, wo die Summe fleh auf alle 
möglichen Ordnungen diefer Art bezieht, und u die Anzahl 
der Index-Paare bezeichnet, welche unten enlgegengefetzt 
geordnet find, wie oben. 

An merk. Der Vollständigkeit wegen habe ich diefen Begriff der 
Determinante hier aufstellen zu müssen geglaubt , zumal da es zweck- 
mässig schien ,• die Zeichenbestimmung in der einfachem Form , wie f ie 
hier dargestellt ist, festzufetzen , während- die fönst gebräuchliche, 
durch Cauchy eingeführte Form der Zeichenbestimmung ein Zurück- 
gehen auf die Permutations-Gtefetze nothwendig machen würde. Dass 
man übrigens statt der unteren Indices auch die oberen vertauschen 
kann, leuchtet ein, doch ist es unangemessen, eine folche zwiefache 
Bestimmung in eine strenge Definition aufzunehmen. 

63. Das kombinatorische Produkt von n einfachen Fak- 
toren, welche aus n Grössen ai, as, a^ numerisch abge- 
leitet find, erhält man, indem man aus den n Reihen von 
2^hIeH, durch welche jene Faktoren aus den n Grössen a^, 
^29 "' ^n abgeleitet find, die Determini^nte bildet, und diefe, 
mit dem kombinatorischen Produkte der Grössen a^- • • '3^ mul- 
tipUoiri, wobei nämlich die Zahlen, durch welche der erste 

jener Faktoren aus a^ a,| abgeleitet ist, die erste Beihe 

bilden, u. f. f., d. h. es ist 
[a^ai + . • -«iXlK'^ai + • • a^^aj. • » -^a^-h, + • .aJDaj] 
= ^+aa)af...<-).[aia,.^.aJ, 



39 

Beweis. Es ist (nach 65) das Produkt auf der Hnken 
Seile 

= Za?>af > • • • • a^;>[a,a, • • • a^], 
wo jeder der Indices r, s, ••• w nach und nach jeden der 
Werthe 1 • • • • n annehmen foll. Sind von diefen Werlhen 
zwei oder mehrere einander gleich , fo enthält das Produkt 
[a,a0**-a^] gleiche Faktoren, ist airo (nach 60) nuH. Lassen 
wir daher die Glieder, welche diefe Produkte enthalten, weg, 
To bleiben nur die übrig, in denen die n Indices r, s, -«w in 
irgend welcher Ordnung den Werthen 1 , 2, • • • n gleich Tind. 
Es ist airo dann (nach 57) das Produkt [a^a« • • • a^] gleich 
(— l)«[aja3 •• • -aj, wenn u die Anzahl der Faktorenpaare 
ist, welche in dem Produkte [a,a0- • • -a^] entgegengefetzt ge- 
ordnet find wie in [aia2***-aj, d. fa. die Anzahl derjenigen 
Paare von Indices, wetehe in dem Produkte a?^cK*)- • -o^») 
unten entgegengefetzt geordnet find wie oben, fomit ist das 
gegebene Produkt 

= Z^(— l)«aWaf). . . -aS^^Eaiaj • • • aj, d. k. (nach 62) 
= X + «?^«?^- • • •«1|-[M2- • • -aj. 

64. Erkiftrung. Unter multiplikativen Kombi- 
nationen aus einer Reihe von Grössen verstehe ich die 
Kombinationen ohne Wiederholung aus diefen Grössen, und 
zwar jede Kombination aufgefasst als kombinatorisches Pro- 
dukt, dessen einfache Faktoren die Elemente der Kombination 
find; fo z.B. find [ab], [ac], [bc] die multiplikativen Kom- 
binationen aus den Grössen a, b, c zur zweiten Klasse. 

65. Jedes kombinatorische Produkt von m einfachen 
Faktoren, wdche aus n in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehenden Grössen ai* •• »a^^ numerisch abgeleitet find, ist aus 
den multiplikativen Kombinationen diefer Grössen zur m-ten 
Klasse numerisch ableitbar, und zwar ist die zu irgend einer 
diefer Kombinationen gehörige Ableitungszahl die Determinante 
aus denjenigen m Ableitungszahlen jener m Faktoren, welche 
zu den m Elementen diefer Kombination gehören, d. h. 

LZöTä^^Z^M • • • •] =-2^X"+Ms- • [Ms- • • •], 
wo r < s <••••• . 



m^ 39 

Beweis. Es ist 

[^/««ttaZ^Mi • • •] = X(aaft---)[a«ab---] [45]. 
Da (nach 60) [a^aib* *] null ict, Tobald zwei der Fak- 
ieren, alfo hier zwei der Indices a, hy *•• gleich find, To 
können wir die Bedingung hrnzufttgen, das« a, B, ••• all^ 
von einander verschieden feien. Nun feien a, i, •••, nach- 
dem ße sieigend geordnet find, =:r, s^ t «-••, alfo r<s 

<: t ,.and fei u die Anzahl der Grössenpaare, welche in 

der Reihe a, b, c, •" eatgegengefetzt geordnet (lad, wie 

in r, s, t, ..., Xo ist [aaai ••••] = (— l)*[a,ji3 ], fumit 

i^t das gegebene Produkt 

Aber nach der Definition (60) ist ^( — 1)*««/Jj-**, wenn 
a, 6, ' • • in irgend einer Ordnung genommen , gleich r, s, • • • 
find, gleich der Determinante ^+«,1?, , alfo 

[2ä^2^ßb^i> • • • •] ='2^2- + «,i9,.-.[a,a,. • •], 
wo r <:s -< ••. 

66. Umkehrung von 61. Wenn ein kombinatorisches 
Produkt null ist, fo stehen feine einfachen Faktoren in einer 
Zahlbeziehung zu einander, d. h. wenn 

[aia2..;aj = 
ist, fo muss fich eine Gleichung 

Oiai 4- Oja, H o^b,^ = 

aufsteilen lassen, in welcher die Zahlen ai, (hy ' " (^m n>cht 
alle zugleich null fiad. 

Beweis. Es fei das kombinatorische Produkt 
[»182 ••aj = 0. 

Zu zeigen ist, dass ai, a2> • • • 80^ in einer Zahlbeziehung 
stehen müssen. 

Angenommen, fie stftnden in keiner Zahlbeziehung zu 

einander. Bilden dann ei 0^ das System der Einheiten, 

aus denen ai«**an numerisch abgeleitet (ind, fo kann man 
(nach 20) zu den m Grössen ax • • • 8^ noch n — m Grössen 
8.141* ' -8|» annehmen, fo fich aus ai* • * »a^ die Einheiten e^^^e^ 
numerisch ableiten lassen. Führt man die Ausdrücke diefer 
Ableitungen in das kombinatorische Produkt [eiCs * * * e J ein, 



40 C** 

und löst die^ Klammern auf, fo erhält man (nach 63) eine 
Gleichung der Form 

[eie2---ej = a[aia2 aj, 

wo a eine Zahl ist. Nun ist aber [a^aj* • • 8^1 = 0*, alfo auch 
[aiBz --amaniH-i- •'•aj=0, alTo 
[eie2---ej = a0 = 0. 
Dies widerstreitet aber der Erklärung in 52, nach welcher 
[eie2 * • * e J von naiH verschieden ist. Alfo ist die Annahme, 
dass ai« • -am in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, un- 
möglich. Sie stehen alfo in einer Zahlbeziehung zu einander. 

67. Ein kombinatorisches Produkt ändert feinen Werth 
nicht, wenn man zu einem einfachen Faktor desfelben ein 
beliebiges Vielfaches eines andern einfachen Faktors desfelben 
Produktes addirt, d. h. 

"a, b -f qa = Pa, b, 

wenn q eine Zahl ist und P ein kombinatorisches Produkt be- 
zeichnet. 

Beweis. Es ist 

Pa,b + qa = Pa,b + qPa,a [44] 

= Pa,b [60]. 

68. Die fämmtlichen Sätze kombinatorischer Multipli- 
kation bleiben noch bestehen, wenn man statt der n ursprüng- 
lichen Einheiten, beliebige n aus ihnen abgeleitete Grössen, 
die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, einführt. 

Beweis. Erstens gelten alle in der Definition des kom- 
binatorischen Produktes gegebenen Bestimmung(3n , auch wenn 
man statt des Systems der n ursprünglichen Einheiten n folche 
Grössen felzt, wie fie der Lehrfatz bestimmt. Nämlich, es 
ist auch für diefen Fall (nach 53) 

[Abc] + [Acb]==0, 
und das Produkt der fämmtlichen n Grössen ist von null ver- 
schieden, denn wäre es gleich null, fo müsste (nach 66) 
zwischen den n Faktoren eine Zahlbeziehung herrschen, gegen 
die Vorausfetzung. Diefe beiden Bestimmungen waren nun 
die einzigen in der Definition enthaltenen. Ferner gelten aber 
auch alle in den ersten beiden Kapiteln entwickelten Gofetze 
für den Fall jener Substitution. Aus jener Definition und 



••J 41 

dieren Geretzen waren aber die räthmtüchen Gefetze der kom- 
binatorisclien Maltiplikation abgeleitet. Alto gelten diefe Ge- 
Fetze auch nach jener Substitution. 

§. 2. Bas kombinatorische Produkt als Grösse. 

Vorbemerkung. Wenn eine Verknüpfung von Grössen 
wieder als Eine Grösse erkannt werden foll, fo müssen die 
folgenden Fragen beantwortet werden; Wann find zwei folche 
Verknüpfungen einander gleich oder von einander verschieden? 
wann stehen fie in einer Zahlbeziehung zu einander, und in 
welcher? Für die Vollendung des Begriffs wird es dann noch 
wichtig fein , die rämmtlichen verschiedenen Grössenreihen ab- 
leiten zu können, deren jede, wenn fie der fraglichen Ver- 
knüpfung unterworfen wird, diefelbe Grösse liefert, wie die 
andern. Diefe Fragen foUen hier für das kombinatorische 
Produkt beantwortet werden, wobei wir den Begriff der mul- 
tiplikativen Kombinationen zu Grunde legen. 

69. Wenn die Grössen ai, aa^-'a^ in keiner ZsÄlbe- 
ziefaung zu einander stehen, fo stehen auch ihre multiplika- 
tiven Kombinationen zu einer beliebigen Klasse in keiner 
Zahlbeziehung zu einander, d. h. die Gleichung 

a) aA + /9BH =0, 

in welcher A, B, •••• die multiplikativen Kombinationen aus 
ai--*a,^ zu irgend einer Klasse find, und a, ß^ ••• Zahlen 
bedeuten, wird erfetzt durch die Gleichungsgruppe 

b) a = 0, i» = 0, . 

Beweis. Es fei die Gleichung (a) stls geltend ange- 
nommeft. Man muttiplicire die ganze Gleichung kombinatorisch 
mit denjenigen unter den Grössen ai-'-a,^, welche in dem 
Produkte A nicht vorkommen; es fei Aj diefe Faktorenreihe, 
fo dass alfo das kombinatorische Produkt [AAi] die fämmt- 
lichen Grössen ai* • • «8^ als Faktoren enthält. Dann erhält man 
a[AAi]+i?[BAJ+----=0. 

Da nun A und B verschiedene Kombinationen find^ fo 
muss B wenigstens einen Faktor enthalten, der nicht in A 
enthalten ist. Es fei a, ein folcher; fo muss a, in Ai ent- 
halten fein, da A^ von den Faktoren aj-'-a^ alle diejenigen 



42 €»• 

enthalt, die in A nicht vorkommen. Somit kommt a, fowohl 
in B als in A^ vor, folglich- ist das kombinatorische Produkt 
[BAj] (nach 60) null. Aus demfelben Grunde auch CA^ u. f. w. 
Somit reducirt fleh die Gleichung auf 

.a[AAi]=0. 
Alfo muss (nach 12, 6) entweder a oder [AA^] null fein. Da 
nun [A All ein kombinatorisches Produkt von n Grössen ai« • -an 
ist, die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, fo ist 
dasfelbe ungleich null (nach 66). Somit muss der andere 
Faktor, alfo a, null fein. Aus demfelben Grunde find /?,••• 
null,* d. h. z^vischen den Kombinationen A, B, • • herrscht 
keine Zahlbeziehung. 

10. Zwei kombinatorische Produkte (A und ß), die nicht 
null find, stehen dann und nur dann in einer Zahlbeziehung 
zu einander, wenn die aus ihren einfachen Faktoren ableit- 
baren Gebiete identisch find; d. h. 

a) A = B 

dani^ und nur dann, wenn die einfachen Faktoren von A 
dasfelbe Gebiet liefern wie die von B; oder: 

b) [aia2----aj = [bib2....bj 

dann und nur dann, wenn fich jede aus ai b^^ numerisch 

ableitbare Grösse auch aus bi? • «b^ ableiten lässt, alfo wenn stets 

c) Xjai + Xgaa H x^b^= y^h + 72^2 + • • • Ymbrn 

gefetzt werden kann, welche Werthe auch entweder Xi» • • -x^, 
oder Yi* • • 'Ym haben mögen. 

Beweis 1. Angenommen zuerst, das Gebiet a^ a^ fei 

identisch dem Gebiete bi b^,, fo find die Grössen aj- • • -a^ 

aus bi«*'b„^ numerisch ableitbar. Dann ist (nach 63) 

[9132 • • • -aml = «[^2 • • • *K]y 

WO a eine Zahl ist (nämlich die dort beschriebene Determinante). 
Diefe Gleichung drückt aus, dass die beiden kombinatorischen 
Produkte in Zahlbeziehung stehen und da auch keins von beiden 
null ist, fo gilt (nach 2) die Kongruenz; 

[M2--aJ = [bib2.--bJ. 
2. Umgekehrt fei angenommen, diefe Kongruenz gelte, 
alfo die beiden kombinatorischen Produkte stehen in einer 
Zahlbeziehung zu einander ohne null zu fein, und fei 

[aia2---aj=:a[bib2---bj. 



i^e) 43 

Man füge auf beiden Seiten den kombinatorischen Faktor 
bi hinzu, fo erhält man 

[aiBj a>i] = «[bibj b^bj. 

Aber [bjba bn^bi] ist, da es zwei gleiche Faktoren (bi) 

enthält, (nach 60) null; alfo ist auch 

Folglich stehen (nach 66) die einfachen Faktoren diefes 
Produktes, d. h. a^,, ^2'i*"^m9 ^i i^ ^'"^^ Zahlbeziehung zu 
einander. Alfo muss fich (nach 16) eine Gleichung der Form 

Oiai + «282 -j «toöm + Ml = 

aufstellen lassen, in welcher die Zahlen Oj, «2, ••• «mj ßi 
nicht alle zugleich null find. In diefer Gleichung kann auch 
ßi nicht null fein, weil fönst zwischen *den Grössen ai, 82, • • • 
dm (nach 16) eine Zahlbeziehung herrschen, alfo das kombi- 
natorische Produkt [8182 ' ' ' ' ^m] (nach 61) null fein müsste, 
was der Vorausfetzung widerstreitet. Wenn nun aber ßi un- 
gleich null ist, fo kann man die obige Gleichung durch ßi 
dividiren, und erhält 

. ^^ Ol «2 «m • 

Pl P2 ' Pm 

d.h. bi ist aus ai* •• -8,^. numerisch ableitbar. Aus demfelben 
Grunde find auch bj , ba , — bn^ aus ai a^j numerisch ab- 
leitbar. Nun stehen aber auch bi,«*--bQ| in kjpiner Zahlbe- 
ztehung zu einander, weil fönst das kombinatorische Produkt 
[bib2'«bm] (nach 61) null fein müsste, was der Vorausfetzung 
widerstreitet; alfo find iq Grössen .bf-'b.,, welche in keiner 
Zahlboziehung zu einander stehen» aus m Grössen a^ • • • a^^ 
mimorisch ableitbar, folglich ist (nach 21) das aus der ersten 
Grösscnreihe ableitbare Gebiet dem aus der zweiten ableit- 
baren identisch. 

Anm. Da zwei gleiche Grössen immer in einer Zahlbeziehung 
za einander stehen , fo folgt aus ders^ vorhergehenden Satze unmittel- 
bar, dass zwei gleiche kombinatorische Produkte immer ein und das- 
felbe Gebiet haben, dem feine einfachen Faktoren angehören, und 
dass daher ausser die fem Gebiete nur noch der durch eine Zahl dar- 
stellbare metrische Werth gegeben zu fein braucht, damit der ganze 
Werth jdes kombinatorischen Produktes genau bestimmt fei. Ist näm- 
lich dann in dem Gebiete irgend ein kombinatorisches Produkt ge- 
geben, aus dessen einfachen Faktoren dasfelbe ableitbar ist, fo wird 



44 e»« 

jede0 sondere kombinatorische Produkt, aus dessen einfachen Faktoren 
dasfelbe Gebiet ableitbar ist , durch eine einfache Zahl bestimmt fein, 
welche das Verhältniss diefes Produktes zu jenem darstellt. 

71. Erklärung. Wenn man aus einer Reihe von 
Grössen eine zweite Reihe dadurch ableitet, dass man zu 
irgend einer Grösse der Reihe ein Vielfaches der benachbarten 
Grösse der Reihe addirt, während man all« übrigen Grössen 
der Reihe ungeändert lässt, fo Tage ich^ es fei die erste Reihe 
in die zweite durch eine einfache lineale Aenderung 
umgewandelt; leitet mati aus diefer zweiten Reihe wieder 
durch einfache lineale Aenderung eine dritte ab, u. f. f., fo 
fage ich, es fei die erste Reihe in die letzte durch mehr- 
fache lineale Aenderj^ng umgewandelt. In beiden Fällen 
alfo fage ich, es fei die erste (eihe in die letzte durch lineale 
Aenderung umgewandelt. 

Wenn alfo p und q irgend zwei aufeinander folgende 
Grössen der Reihe fiiid, fo lässt fich durch einfache lineale 
Aenderung umwandeln die Reihe 

^ .. .p, q,.... in p +aq, q--- 

oder in • • • • «p, q + ap,- • •, 
wo a eine beliebige Zahl ist. 

Anm. Die Wahl des Ausdrucks bezieht fich auf den Gegenfatz 
zu einer weiter unten zu behandelnden Aenderung, welche ich circu- 
läre Aenderung nenne. Beide Ausdrücke gehen auf die Geometrie 
zurück und zwar auf die beiden Fundamentalgebilde der Geometrie, 
die gerade Linie und den Kreis, oder vielmehr auf das Lineal und 
den Zirkel, indem, wie ich später zeigen werde, die lineale Aenderung 
in der Geometrie ficli einfach mittelst des Lineals , die circuläre mittelst 
des Zirkels bewerkstelligen lässt. 

72. Bei der linealen Aenderung einer Grössenreiho 
bleibt das kombinaforische Produkt diefer Grössenreihe un- 
geändert. 

Beweis. Nach 67 ändert ein kombinatorisches Produkt 
feinen Werth nicht, wenn man zu einem Faktor ehi beliebiges 
Vielfaches eines andern Faktors desfelben addirt, alfo ändert 
es feinen Werth nicht bei einfacher linealer Aenderung feiner 
Faktoren, alfo auch nicht bei mehrfacher. 

78. Man kann durch lineale Aenderung zwei belicfbige 
Grössen einer Reihe beliebig im umgekehrten Verhältniss 



i4J 45 

ftüdern; d. h. es lässt fich durch lineale Aenderung umwan- 
deln die Reihe 

....p....q.. .. in ....«p....-!- . 

^eweis« Erstens feien p und q zwei aufeinander fol- 
gende Grössen dier Reihe, fo lässt Hch (i^acb 71) «durch lineale 
Aenderung nach und nach verwandeln: 

p, q in p, q -f- (a — l)p, dies wieder in p + q -f- 
(a-l)p,q + (a— 1)P, d.h.inap + q, q+.(a— l)p; 

dies in ap + q, q + (a - l)p — ^^-—(«P + q), d. h. 
in ap 4- q, --, und dies endlich in ap -f 9 — 9? — ? 

d. h. in ap, -ä-. 

Zweitens; Sind p und q durch die Grössen Pi, P2, • • • Pn 

getrennt 9 fo verwandelt fich durch lineale Aenderung, indem 

man die im ersten Thei] als zulässig erwiefene Umwandlung 

anwendet, 

Pi 
P> Pij P2, • • • Pnj q in ^i — j P2 Pnj q, 

dies in ap, pi, pa : a, ps p^, q, 

und, indem man fo fortfährt, fo erhalt man zuletzt 

«P> Pn P2^--Pii> — j d. b. 
.. • a 

p. . . .q. . . geht über in • * ap- . 

*y4. Aus einer beliebigen Grössenreihe kann man durch 
lineale Aenderung jede andere Reihenfolge derfelben Grössen 
ableiten, vorausgefetzt, dass man für den Fall, dass das kom- 
binatorisGfae Produkt der abgeleiteten Grössenreihe dem der 
ursprünglichen entgegengefelzt ist, das Vorzeichen von einer 
der Grössen der neuen Reihe ändert; d. h. wenn a', b', c',- • • 
diefelben Grössen find wie a, b, c, • • •, nur in anderer Reihen- 
folge, fo lässt fleh durch lineale Aenderung umwandeln: 
a, b, c, • •• • in a', b', c', • • • 
wenn [abc- • •] = [a'bV» • •] 
ist, hingegen 



46 (*4 

a, b, c, • • ••• in — a', bV c', • • • 
wenn [abc- .••] = — [a'bV- • • •] 
ist. 

Beweis 1. Wenn p und q zwei beliebige Grössen jener 
Reihe find, fo vei^wandeln fleh duFeh lineale Aenderung, in- 
dem man nämlich abwechfelnd zum ersten unfl zweiten Faktor 
beziehlich den zweiten und ersten addirt und fubtrahirt, Schritt 
für Schritt 

p, (f in p + q, q, dies in p + q, q - (p + q), 
d. h. in p + q, — p, dies in q, — p, 

2. Man kann alfo durch lineale Aenderung zwei auf- 
einander folgende Grössen der Reihe in die umgekehrte 
Ordnung bringen, wenn man nur das Vorzeichen der einen 
ändert. Somit kann man auch durch lineale Aenderung jede 
Grösse der Reihe auf jede Stelle bringen, bei gehöriger Zeichen- 
änderung. Es feien nun a', b', c', • • • • diefelben Grössen wie 
a, b, c, ••* aber in anderer Reihenfolge, fo wird man die 
Reihe a, b, c, ••• durch lineale Aenderung in eine Reihe 
umwandeln können, deren Grössen der Reihe nach mit a^ b', 
c' • • • entweder gleiph odea: ihnen entgegengefetzt find. Nun 
kann man (nach 73) durch lineale Aenderung zwei beliebige 
Grössen p,.q einer Reihe im umgekehrten Verhältniss ändern, 
d.h. fo ändern, dass, wenn die eine Grösse p in ap über- 
geht, dann die andere q in — übergehe; alfo kann man 

namentlich die zuletzt gefundene Reihe fo ändern, dass jede 
beliebige Grösse p derfelben, welche einer der Grössen a, b, 
c, • •/ entgegengefetzt ist, in (— l)p, d.h. in — p, über- 
geht, während die erste Grösse jener Reihe, nämlich + a' in 

a' 

+ — i, d. h; in + a' übergeht. Wendet man diefe Aenderung 

nach und nach auf jede Grösse jener Reibe an, welche einer 
der Grössen a, b, c, ••• entgegengefelzt ist, nur nicht auf 
die erste Grösse If a' jener Reihe, fo erhält man zuletzt ent- 
weder die Reihe 

a', b', c\ oder — a', b', c' , 

wo noch das Vorzeichen von a' zu bestimmen ist. Da nun 



diere Reihe aus a, b, c, durch lineale Aenderung hervor- 
gegangen ist, fo muss (nach 72) im ersten FaUe 

[abc ] = [a'bV..--], 

im zweiten 

[abc- . . .] = [-. a'bV. • . •] = ~ [a'bV- • • •] 
fein, 

75. Wenn man zu irgend einer Grösse (p) einer Grössen- 
reihe ein Vielfaches einer andern Grösse (q) jener Reihe addirt, 
alfo ^tatt p fetzt p -f aq, während man alle übrigen Grössen 
jener Reihe unverändert lässt, fo lässt fich die fo hervor- 
gehende Reihe aus der ursprünglichen durch lineale Aenderung 
ableiten, d. h. es lässt fich durch lineale Aenderung umwandeln 

p, , q in p 4- «Qj • q» oder auch 

in p,. , q + «P; 

Beweis. Wenn in der gegebenen Reihe zwischen p und 
q keine Grösse steht, fo folgt das zu erweifende unmittelbar 
aus der Definition [71]. Stehen zwischen p und q die Grössen 
Pi> P2 j • • • • Pb> fo ist (nach 73) durch lineale Aenderung um- 
zuwandeln 

Pj pu Pa^'-Pn» q in Pj q» Vu P2 + Pn; und dies 

(nach 74) 
in p + aq, q, pi, p^,. • " + f^] dies 
wieder (nach 74) 

inp-f aq, pi, pa, Pa, + q, 

wo das Vorzeichen von q noch zu bestimmen ist. Da die 
letzte Reihe aus der ersten durch lineale Aenderung hervor- 
gegangen ist, fo ist das kombinatorische Produkt der ersten 
Reihe (nach 72) dem der letzten gleich; alfo 

[PP1P2 Pnq] = [(p + «q)PiP2 • • •'• Pni.+ q)] 

= + [(p + aq)PiP2-"-Puq]. 
Aber es ist (nach 65) 

[pPiP2- • -Pnq] = + [(P + aq)PiP2- • -Pnq], 
d.'h* es gilt in der vorigen Formiel das -f Zeichen, alfo 
haben wir statt ip q, zu fetzen q, d. h. die gewonnene Reihe 
ist f -}- aq, pi, P2, • • • Pn, q. Es verwandelt fich alfo durch 
lineale Aenderung 

P q in P + aq,*----q, 



uocl auf diefelbe Weife folgt, dass Hch auch durch lineale 
Aenderung umwandeln Iftsst 

p q i» p, q + ap. 

76. Wenn zwei von null verschiedene kombinatorische 
Produkte einander gleich find, fo lassen fich die einfachen 
Faktoren des einen aus denen des andern durch lineale Aen- 
derung ableiten, d. h. wenn 

(a) [abc...;] = [ABC..-UO 

ist, fo lässt rieh durch Ifheale Aenderung die Grössenreihe 

(b) a, b, c, in A, B, C, 

umwandeln [Umkehrung von 72]. 

Beweis; Da die von null verschiedenen kombinatorischen 
P^^odukte [abc-*-] und [ABC«--] einander gleich find, und 
fie alfo in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, fo müssen 
(nach 70) die aus iKren einfachen Faktoren ableitbaren Ge- 
biete identisch fein; d. h. die aus der Grössenreihe a, b, c,* • • 
numerisch ableitbaren Grössen müssen auch m& A , B , C , • • • 
numerisch ableitbar fein und umgekehrt. Airo müssen nament- 
lich A, B, 6, • • • felbst, aus a, b, c, • • • numerisch ableitbar 
fein. In den Ausdrücken dieier Ableitung darf nicht der 
Koefficient von irgend einer der Grössen a, b, c, •••, z. B. 
der von a, in allen gleichzeitig null fein; denn fönst wären 
die Grössen A, B, C, • • •, deren Anzahl n fei, aus den n — 1 
Grössen b, c, ••• abteitbar; alfo würde (nach 22) eine Zahl- 
beziehung zwischen ihnen herrschen, ihr Produkt alfo (nach 
61) null fein, gegen die Annahme. Es fei a' eine der Grössen 
A, B, C, ••• und zwar eine folche, in deren Ableilungs- 
ausdruck der KöefScient von a nicht null fei, und fei 

a'^=ctia + i^ib+ , 

wo alfo OiZ^ ^^^l f^ i^^^^ fi<^h durch lineale Aenderung nach 
und nach umwandeln 

1 



a,b,c,---,l in Oia, b, c, , — 

«1 


[72], 


dies in («la-fjSib -]-••••), b, c," 


• i «'^' 


d. h. in a', b, c, •••• — . 





Nun muss aber (nach 19) das aus a', b, €,•••• ableit- 
bare Gebiet identisch Tein dem aus a, b, c, ••• ableitbaren, 
alfo müssen namentlich die Grössen A, B, C*-- aus a', b, 
c, •••• ableitbar fein. Nun ist es wieder, aus demfelben 
Grunde wie vorher, unmöglich, dass der KoefBcient von b in 
allen Ausdrücken diefer Ableitung zugleich null Tei. Es fei 
b' eine der Grössen A, B, C, ••• und zwar eine folche, in 
der jener Koefficient nicht null ist, und fei 

b' = a2a' + i92b + y2C+----, 
fo lässt fich durch lineale Aenderung, auf diefelbe Weife wie 

vorher, a', b, c, — umwandeln 

' ' ' ' Ol 

in a', b', c — ^. 

Ebenfo fei c' = «aa' + ßs^' + /sC + ^ad +•• •, wo y^ 
ungleich null ist , fo lässt ftch wieder durch lineale Aenderung 

a', b', c, • • • ---5- umwandeln 
Ö1P2 

in a', b', c', <d, • 



Auf diefe Weire fahre man fort bis zur vorletzten Grösse. 
Diere fei k, fo erhält man zütetzt die Grössenreihe 

a', b', c', ...., k', — ? . 

Da nun diefe Grössenreihe aus der ursprünglichen a, b, 
c, • • • hervorgegangen ist; fo muss (nach 72) ihr kombina- 
torisches Produkt gleich dem jener Grössenreihe fein; alfo 

faVc' k'— 5 — ? 1 == [abc kl]. 

Ferner find die n — 1 Grössen a'^ b', c', • • • * k' aus der 

Reihe der n Grössen A, B, C, K, L entnommen, und da 

a', b', c% • • • k' alle von einander verschieden fein müssen, 
weil fönst (nach 61) das kopibinatorische Produkt derfelben 
null wäre, was vermöge der fo eben entwickelten Gleichung 
mit der Vorausfetzung streitet, fo kann von den Grössen A, 
B, C, v-K, L nur jioch eine übrig fein, welche nicht unter 

den Grössen a', . b', c' k' enthalten ist. Dies fei T und 

4 



50 Cf«' 

fei 1 = o^a' + i^^b' -i + pc^k' + ^l', fo verwandelt fich die 

zuletzt gewonnene Reihe durch lineale A^enderung in 

a', b', c' . . . . k', ^ ^'^'^ . 

Die Grössenreihe a', b', c', k', V enthält aber die- 

felben Grössen, wie die Reihe A, B, C,« • «K, L, nur in anderer 

Ordnung; alfo ist (nacli 74) a', b', c', k', 1' durch lineale 

Aenderung umzuwandeln in A, B, C^'-'K, + L, alfo »auch 

inA, B, C,...., K, + — ^^^ 



«ift- •••««-!' 



indem es (nach 73) gleichgültig ist, zu welcher Grösse maa 

den Zahlfaktor —~~^ — hinzufügt. Es fei diefer Zahlfaktor 

= ^5 fo ist alfo durch lineale Aenderung aus a, b, c,« • • -k, 1 
schliesslich hervorgegangen A, B, 1, • • • K, eL, Alfo ist (nach 72) 

[abc. . . .kl] = [ABC KeL] = f[ABC. • -KL]. 

Es ist aber auch nach der Hypothefis 

[abc.... kl] = [ABC.... KL]. 
Alfo auch 

€[ABC. . . -KL] = [ABC. . KL], 
d. h. € = 1, alfo ist eh = L, und fomit hat Tich durch lineale 
Aenderung umgewandelt die Reihe: 

a, b, c, k, 1 in A, B, C,. . «K, L, 

eine Umwandlung, deren Möglichkeit zu erweifen war. 

77. Erklärung. Die multiplikativen Kombinationen 
der ursprünglichen Einheiten zur m-ten Klasse, nenne ich 
Einheiten m-ter Stufe, eine aus diefen Einheiten numerisch 
abgeleitete Grösse, eine Grösse m-ter Stufe, und zwar eine 
einfache, wenn He fleh als kombinatorisches Produkt von 
m Grössen erster Stufe darstellen lässt, eine zufam men- 
ge fetzte, wenn dies nicht möglich i$t. Das aus den ein- 
fachen Faktoren einer einfachen Grösse ableitbare Gebiet, 
nenne ich das diefer Grösse zugehörige Gebiet, kurz 
das Gebiet diefer Grösse. Ich nenne endlich eine einfache 
Grösse A einer andern übergeordnet, untergeordnet, 



*•) 51 

oder mit ihr incident, je nachdem dies von den Gebieten 
diefer Grössen gilt (vergh No. 15). 

77b. Zu f atz. Ein kombinatorisches Produkt aus m 
Grössen erster Stufe ist eine einfache Grösse m-ter Stufe, 
und ist aus den Einheiten m-ter Stufe numerisch ableitbar. 

A n m. Als Beispiel einer zufammeDgefetzten Grösse führe ich hier 
die Samme (ab) + (cd) an , wenn a, b, c, d vier in keiner Zahlbeziehung 
zu einander stehende Grössen find. Sollte nämlich (ab) + (cd) eine 
einfache Grösse, etwa = (pq) fein , fo müsste [(ab + cd) (ab* -j- cd)] 
= [pqpq] == fein (na<Jh 60) •, aber [(ab + cd) (ab + cd)] = (abcd) + 
(cdab), da [ab ab] und [cd cd] null find. Aber (nach 58) ist (abcd) 
=- (cdab)« Alfo [(ab + cd) (ab + cd)] = 2(abcd). Somit müsste, wenn 
(ab) + (cd) eine einfache Grösse wäre , (abcd) = fein , alfo (nach 66) 
a, b,'c, d in einer Zahlbeziehung stehen, was der Vorauafetzung 
widerstreitet. 

§. 3. Aeussere Multiplikation von Grössen höherer Stufen. 

78. Erklärung. Zwei Einheiten höherer Stufe äusser- 
lich multipliciren, heisst die einfachen Faktoren derfelben, 
ohne ihre Reihenfolge zu verändern, kombinatorisch multipli- 
ciren , d. h. 

[(.0102 • • • e„)(ea,+i ej] = [CiCa • • • • e J. 

Anm. Den Namen der äusseren Multiplikation habe ich gewählt, 
um zu bezeichnen, dass das Produkt nur dann geltenden Werth hat, 
wenn der eine Faktor ganz ausserhalb des Gebietes der andern liegt. 
Es steht der äusseren Multiplikation die innere (f. Kap. 4) gegenüber. 

79. Statt eine einfache Grösse A mit einer andern B 
äusserlich zu multipliciren, kann man nach der Reihe die ein- 
fachen Faktoren der ersten mit denen der zweiten kombina- 
torisch multipliciren, d. h. 

[(ab« • • OCcd' • ••)] ==[a«b- • «cd- • • •]. 
Beweis. Es feien Ox • On die ursprünglichen Einheiten, 
und fei 

a = Xaaea, b=^ß^e^ c = ^ycef, d = ^^teb,«-- 

fo ist 

[(ab...)(cd---)] 

= [(X«Ie"aX ^b ) i ^h^i2^i^t )] 

= LZ^öa^T^- [e«efe • . . ]^Y, rfb • • • [ec et • • • ]] [45] 



52 (99 

= ^ Mt • ' • ^ yA' ' -[(ege^ > ■ - KecCb ■ * •)] [42] 

= ^aa£b_- . -y^JcJ^-reaet • • -e.e^ • • •] [78] 

= LZ^«aefl^i?6efc • • -^ycecX^^bSb • • •] [45] 

= [ab....cd.. ]. ;' 

79b. Zufatz. Wenn eine einfache Grösse A, welche 
nicht null ist, einer andern B, welche gleichfalls nicht null 
ist, untergeordnet ist, fo lässt fiph die letztere als äusseres 
Produkt darstellen, dessen einer Faktor A und dessen anderer 
Faktor eine einfache Grösse C ist, alfo in der Form 
B = [AC]. 

Beweis. Pf ach 77 ist A dem B untergeordnet, wenn 
das Gebiet von A dem von B untergeordnet ist, d. h (nach 
15) wenn jede Grösse des ersten Gebietes zugleich Grösse 
des zweiten ist. Es fei A = [aiag • • 'a^], wo ai- • an» Grössen 
erster Stufe find, fo stehen diefe, da A ungleich null fein foU, 
in keiner Zahlbeziehung zu einander (61). Ferner fei B = 
[bi-'-bJ. Da nun die Grössen ai^-a^^ dem Gebiete B an- 
gehören follen, fo müssen fie aus bj* • -b^ numerisch ableitbar 
fein. Dann aber kann man (nach 20) zu den Grössen aj • • • • a^ 
noch (n — m) Grössen a^+i-'-an von der Art hinzufügen, 
dass die Gebiete ai* • • -a^ und b^* • -bj^ identisch find. Ist aber 

dies der Fall, fo müssen (nach 70) die Produkte [ai aj 

und [bi • • • bj in einer Zahlbeziehung, zu einander stehen. 
Es fei 

[bi- . . bJ = a[pi. . . -aj = a[(ai- • • -a^-a^+i. • aj 

= [(ai • • • a«) • (aa^-^i • • • a J] [79]. 
Alfo weÄU noch 

«[am+i an] = C 

gefetzt wird, fo wird 
B = [AC]. 
80. Die Elammerfetzung in einem äusseren Produkt ist 
gleichgültig für das Refultat, d. h. 
[A(BC)] = [ABC]. 
Beweis 1. Es feien A, B, C einfache Grössen, A = 
[ai«-*^aq], B = [bi---bJ, C = [Ci-"C3], fo ist 

[A(BC)] = [ai- . . .aq((bi. • .b,)(ci. • • -c,))] 

= [ai...aq(bi...b,cx..-c.)] [79] 



»•> 53 

= [ai---aqbi---b,Gi.-cJ [79] 

= [(ai--aq)(bi...b,)(ci...cj] [79] 

= [ABC]. 
2. Es Teien A, B, C Summen einfacher Grössen, A = 
XaT, B = Zß^ C=2cr, fo ist_ 

[A(BC)] = I XAa(ZB 72:c7)] = Z Aa(B,Cc) [45] 
= XAaBbCc [Beweis 1] 

= [Za;Zb;Zc;] [45] 

= [ABC]. 

81. Wenn ai-'-a^, bf-bn Grössen erster Stufe find, 
welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und A 
aus ai* • -ain durch Addition und Multiplikation hervorgegangen 
ist und B aus bi-..b„, und 

[AB] = 
ist, fo muss entweder A = oder B = fein. 

Beweis. Es fei A von a-ter Stufe, B von ß-lev Stufe, 
und feien Aj, A2, • • • • die multiplikativen Kombinationen aus 
ai-'ani zur a-ten Klasse, B^, B2, • • • die zur ß-iea Klasse 
aus bi-.ba, (b find (nach 77) A und B darstellbar in den 
Formen 

alfo ist 



A = ZaaAa, B=ZftBj, 



[AB]=Z«ai?b[AaB6]. 

Hier find die [AaB^] als multiglikative Kombinationen von 
«1* • 'anu hj» • bn zu betrachten. Sie stehen alfo (nach 69) in 
keiner Zahlbeziehung zu einander. Aifo ist (nach 34) 

für jedes r und s; alfo weiin B^O ist, d. h. irgend eine der 
Grössen ß^ ungleich null ist, fo folgt, ar=:0 für jedes r, 
d.h. A = 0. 

82. Wenn eine Summe S einfacher Grössen mit einer 
von null verschiedenen Grösse erster Stufe a äusserlich mul- 
tiplicirt null giebt, fo lässt fich die erstere (S) als äusseres 
Produkt darstellen, in welchem a ein Faktor ist, d. b. in 
der Form 

S = [aP], wenn [aS]=0. 



54 (»» 

Beweis. Es fei S eine Summe von Grössen m-ter Stufe, 
und feien ei, e,, • • • e^ die ursprünglichen Einheiten, fo kann 
man (nach 20) zu a stets noch (n -> 1) andere Grössen b, 
c, • • - der Art hinzufügen, dass (ich die Grössen Ci • • • • e^ 
aus a, b, c, • • • numerisch ableiten lassen. Dann Iftsst fich 
' auch jeder einfache Faktor in jeder der Grössen m-ter Stufe, 

deren Summe S ist, aus a, b, c, numerisch ableiten. 

Alfo lässt fich jede diefer Grössen , und alfo auch ihre Summe 
S, aus den multiplikativen Kombinationen zur m-ten Klasse aus 
a, b, c, • • • ableiten. Es feien nun [aBJ, [882], • - • diejenigen 
unter diefen Kombinationen, welche a enthalten, und Ci, C3, • • • 
diejenigen unter ihnen, welche a nicht enthalten j und fei 

S = ft[aBJ + ^aEaBj] +. . • + nCi + y^Ca +• • •• 
Da nun nach der Annahme [aS] = fein foll^ fo hat man 
= [aS] = yi[aCJ + ya[aC,] + • - , 
da [aaBJ, [aaBs], • * • null find. Da nun a nicht in Cj, C,, • • • 
enthalten ist, fo find [aCx], [aCs],*-- multiplikative Kombina- 
tionen, stehen alfo in keiner Zahlbeziehung zu einander. Somit 
folgt aus der obigen Gleichung, = yi[aCi] +,y2[öC2] +•••, 
dass Yi9 Y2y ' * alle null find (nach 16). Folglich ist 
S = ft[aBi]+ft[aB2]+... 

= [a(/?iBi + ÄBj +..)] = [aP] , wenn 
P = ABi + ftB2+-- 
gefetzt wird. 

83. Wenn eine Summe S einfacher Grössen mit jeder 
von m, in keiner Zahlbe2iehung zu einander stehenden Grössen 
ers4er Stufe ai, •• * a^ äusserlich multiplicirt null giebt, fo 
lässt fich S als äusseres Produkt darstellen, in welchem a^* • «am 
Faktoren find, d, h. in der Form 
S = [aia2 • • • amSnj] , 
wenn = [aiS] == [ajS] = . • . = [a^S J. 

Beweis. Es feien ei**-en die ursprünglichen Einheiten, 
fo lassen fich (nach 20) zu ai« • -am noch n — m andere Grössen 

«m-ji* • '^n der Art hitizufägen, dass fich Ci- • 'Cn aus ai a^ 

numerisch ableiten lassen. Demnach lassen fich auch alle in 
S vorkommenden Grössen erster Stufe aus ai- * • -a,^ numerisch 
ableiten. Nun ist angenommen [aiS]=0, folglich Iftsst fich 



»#) 55 

(nach 82) S in der Form S = [aiSJ darstellen. Hier ist S^ 
wieder eine Summe einfacher Grössen. Stellt man die ein- 
fachen Faktoren diefer Grössen als Yielfachenfumme von 
ai'-aa dar, fo kann man, ohne den Werth (1er Produkte 
zu ändern, (nach 67) in allen diefen Yielfachenfummen das 
Glied, was ax enthält, weglassen. Nachdem dies geschehen, 
habe fleh Si in P^ verwandelt, fo ist 

S = [aiSi] = [aiPJ, 

wo ?i nur aus den Grössen aa a^ hervorgegangen ist (kein 

ai enthält). Nun ist ferner [828] = 0, d.h. 

= [a2aiPi], oder (nach 55) [axa2Pi] = 0. 

Da nun 82?! nur aus den Grössen 82 a^ erzeugt ist, 

fo muss (nach 81) entweder ai oder [a2Pi] null fein. Das 
erste ist gegen die Annahme, alfo a2Pi = 0. Somit muss Pj 
in der Form [aaSj] darstellbar fein; hier kann wieder in Sa 
die Grösse 82 fortgeschafft werden, ohne den Werth des Pro- 
duktes a^Sa zu ändern; es fei Pi = [8282] = [a2P2], wo P2 
nur noch aus 9iz""^n erzeugt ist (ohne ai und 82), fo ist 
S = [aia2P2]. Dann ist [838] = 0, alfo [a3aia2P2] =0, oder 

[aia2a3P2]=0. 
Da nun [83 P2] nur ans 83* '«'an erzeugt und, fo muss 
(nach 81) entweder [aiaj] null fein, oder [a3P2]. Ersteres 
ist nicht möglich, weil fönst (nach 61) zwischen ai und aj 
eine Zahlbeziehung herrschen würde, ^egen die Vorausfetzung. 
Es muss alfo [a3P2]=0, alfo P2 in der Form darstellbar P2 
== [«sFslj wo wieder P3 nur aus 84- • -an erzeugbar ist u, f. f., 
bis endlich 

S = [aia2* • »amSm] 
wird. 

84. Wenn eine Summe 8 von Grössen m-ter Stufe mit 

jeder von m Grössen erster Stufe a^ a^^, die in keiner 

Zahlbeziehung zu einander stellen, äusserlich multiplicirt null 
giebt, fo ist 8 dem äusseren Produkte diefer m ißrössen kon- 
gruent, d. h. wenn 

= [aiS] =• • •= [a^S], fo ist 8 = [ai • • • -aj. 

Beweis. Dann ist (nach 83) 8 in der Form [ai • • • -an^Sn^l 
darstellbar, hier muss, da 8 ein Ausdruck m-ter Stufe ist. 



56 C»» 

Sm von nulUdr Stufe, alfo eine Zahl fein und dann können 
wir (nach 8) statt S = [ai - • a„jS J schreiben 
S = [af-aJ. 

85. Wenn es m + 1 Grössen ai« • • 'aa-f-i: giebt, d^ren 
jede mit einer Summe S von Grössen m-ter Stufe äusserlich 
multiplicirt null giebt, fo ist entweder S = oder [ai- • -anj^-i] 
= 0. 

Beweis. Gefetzt, es fei [af • •än^+i] nicht null,, «ilfo 
auch [at'-aml nicht null, alfo ai«--am in keiner Zahlbe- 
ziehung zu einander stehend, fo ist, da auch [a|S] = [aaS]* • • 
= [amS] = ist, (nach 84) S = a[ai.-.aJ. Nun foU aber 
auch iBiai+iS] — 0, alfo a[ai • • -a^+i] = 0, alfo, da [ai • -a^^-t] 
nach der Annahme von null verschieden ist, fo muss a=:0, 
alfo auch S=a[ai • • •am]=0, d. h. es ist entwender [ai • * -8^+1] 
oder S null. 

§. 4. Ergänzung der Grössen in Bezug auf ein Hauptgel^iet 

86. Erklärung. Hauptgebiet nenne ich das Gebiet 
der ursprünglichen Einheiten, aus welchen alle der Betrach- 
tung unterworfenen Grössen hervorgegangen find. 

87. Zwei einfache Grössen A und B lassen fleh, wenn 
die Summe ihrer Stufenzafalen die des Hauplgebietes um y 
übertrifft, in der Form darstellen 

A = [CAi], B = [CBJ, 
wenn C eine einfache Grösse von y-ter Stufe ist. 

Beweis. Es fei a die Stufenzahl von A, ^ die von 
B, n die des Hauptgebietes, alfo 
a + i9==n+y. 

Dann haben (nach 26) die Gebiete A und B mindestens 
ein Gebiet (a -f- j9 — n)-ler, alfo y-tcr Stufe gemein. Es fei 
C eine Grösse y-ler Stufe diefes Gebietes, fo ist C fowohl 
der Grösse A, als der Grösse B untergeordnet, alfo (nach 
79b) A in der Form [CAi] und B in der Form [Cß,] dar- 
stellbar. 

88. Einfache Grössen (n - l)-ter Stufe in einem Haupt- 
gebiete n-ter Stufe geben zur Summe wieder eine einfache 
Grösse (n— l)-ter Stufe. 



M} 57 

Beweis. Bs l&ien A und B die beidien Grössen (n — l)-ter 
Slttfe, welche in einem Hauplgebiele n-ter Stufe liegen; Co 
müssen He, da die Summe C2n -^ 2) ihrer Siufenzahlen die 
des Hauptgebieles um n — 2 übertrifft, (nach 87) in der Form 

A = [Ca], B=s:[Cb]i 
darstellbar Tein, we C eine Reihe von n — 2 einfachen Fak- 
toren erster Stufe darstellt, a und b aber Faktoren erster 
Stufe find, alfo 

A + B = [Ca] + [Cb] = [C(a + b)] [44]. 

Hier \^ a + b, als Summe zweier Grössen erster Stufe, 
wieder eine Grösse erster Stufe, alfo ist A + B ate kombt- 
natoriscfaes Produkt. von a — 1 Grössen erster Stufe darstell- 
bar, alfo reibst eine Grösse (n — l)-ter Stufe. 

Anm. Hat man in einem Sauptgebiete n-ter Stufe zwei Grössen 
A nnd B, deren Stufcnzablen grösser als 1 und kleiner a]^ n — 1 find, 
fo giebt ihre Summe im Allgemeinen nicht mehr eine einfache Grösse. 
So z. B. lässt lieh, wenn a, b, c, d vier in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehende Grössen erster Stufe find, die Summe S — ab + cd 
nicht mehr in Form eines kombinatorischen Produktes von Faktoren 
erster Stufe darstellen. In der That müsste dann (nach 60) 

[SSJ:=0 
fein, alfo 

= [S S] = [(ab + cd) (ab + cd)] = [abcd] + [cdab] , 
da [abab] und [cdcd] (nach 60) null find. Aber da (nach 58) [cdab] 
= [abcd] ist, fo hätte man dann 

= 2[abcd], 
d.h. es müssle [abcd] null fein, alfo (nach 66) a, b, c, d in einer 
Zahlbeziehung zu einander stehen, gegen die Vorausfetzung. Alfo ist 
S dann nicht in Form eines kombinatorischen Produktes von Grössen 
erster Stufe darstellbar, und ist alfo dann eine zufammengefetzte Grösse. 

89. Erklärung. Wenn in einem Hauptgebiete n-ter 
Stufe das kombinatorische Produkt der ursprünglichen Ein- 
heilen Ol, 02, ••• On gleich 1 gefetzt ist, und £ eine Einheit 
beliebiger Stufe, d. h. entweder eine der ursprünglichen Ein- 
heiten oder ein kombinatorisches Produkt von mehreren der- 
felben ist, fo nenne ich „Ergänzung von E'' diejenige 
Grösse, welche dem kombinatorischen Produkte E^ aller in U 
nicht vorkommenden Einheiten gleich oder cntgegengefetzt 
ist, je nachdem [£E'] der abfoluten Einheit gleich oder ent- 
gegengefetzt ist; ich bezeichne die Ergänzung einer Grösse 

4* 



58 €•• 

durch einen vor das Zeichen der Grösse gefetzton T^rtikalen 
Strich, alfo die von E durch |E. Die Ergftnzung ^ner Zahl 
Tetze ich diefer Zahl gleich; «Ko: 

|E = [EE']E', 
wenn £ und E' die einfachen Faktoren Ci* • • -eo eBlkalto» und 

[eie2---ej = l 
ist; und 

|a = a, wenn a eine Zahl ist. 
Anm. Bei der Definition idt Yoraudgefetzt, dass IßE'] nur ent- 
weder + 1 oder —1 fein könne. In der That, da E und E' kombi- 
natorische Produkte der ursprünglichen Einheiten find und E' alle 
in E fehlenden Einheiten enthält, fo unterscheidet fich [EE'] von 
[eiea"««en] nur durch die Folge feiner Faktoren, und beide find aHo 
(nach 57) einander entweder gleich oder entgegengefetzt, hUo da 
[Cie2...en}=l ist, fo ist [EE'] = + 1. 

90. Erklärung. Unter der Ergänzung einer beliebigen 
Girösse A rerstehe ich diejenige Grösse |A, die man erhält, 
wenn man in dem Ausdrucke, welcher die numerische Ab- 
leitung jener Grösse aus den Einheiten darstellt, statt jeder 
diefer Einheiten ihre Ergänzung fetzt, d. h. 

KoiEi + OjEa +--0 = ai|Ei + a2|E2 + , 

wo El, E2, ••• Einheiten beliebiger Stufen find. 

Zufatz. Wenn n die Stufenzahl des Hauptgebietes und 
a die der Grösse A ist, fo ist n — a die der Ergänzung. 

Anm. Der vertikale Strich erscheint alfo nach diefen Definitionen 
mit den Eigenschaften eines Faktors. Es hat diefer Faktor, wie fich 
weiter unten zeigen wird, eine auffallende Analogie mit dem imagi- 
nären Ausdruck Y—1^ fo dass man ihn unter gewissen Umständen 
dadurch erfetzen kann. Den vertikalen Strich habe ich gewählt, um 
darauf hinzudeuten, dass, wie ich unten zeigen werde, diefe Ergän- 
zung geometrisch durch das auf einem gegebenen Gebilde fenkrecht 
stehende Gebilde dargestellt wird. 

91. Das äussere Produkt einer Einheit in ihre Ergän- 
zung ist 1 , d. h. 

[E|E] = 1. 
Beweis. Wenn E' das kombinatorische Produkt aller in E 
nicht enthaltenen ursprünglichen Einheiten ist, fo ist (nach 89) 

|E = + E', je nachdem [EE'] = +• 1. 
Airo wenn das untere Zeichen gilt, fo ist 

[E|E] = [EE'] •= 1 



»1 59 

imd wenn das obere gilt, To ist 

[E|E] = - - [EET = - (— t)= 1. 

92. Die Ergänzung der Ergftnzung einer Grösse A ist 
diefer Grösse A gleich oder entgegengeretzt, je nachdem das 
Produkt der Stufenzahlen dierer Grösse einerfeits und ihrer 
Ergänzung andrerreits gerade oder ungerade ist, d. h. 

||A = (-1)VA, 
wenn q die Stnfenzahl yon A und r die von |A ist. 

Beweis. Angenommen Tei zuerst, dass A ein kombi- 
natorisches Produkt der ursprünglichen Einheiten Tei, und B 
^ I A feine Ergänzung, fo enthält nach der Definition B alle 
die Einheiten, welche dem A fehlen, und zwar fo, dass 
A|A = 1, alfo 

AB = 1 
ist. Die Ergänzung von B wiederum ist, da A alle Einheiten 
enthält die der Grösse B fehlen, (nach 90) der Grösse A 
gleich oder entgegengefetzt, je nachdem BA der abfoluten 
Einheit gleich oder entgegengefetzt ist; nun ist (nach 58) 
BA = (— 1)^AB, weim q und r die Stufenzahlen von A und 
B find; alfo, da AB==:i ist, 

BA = (-1)^, 
fomit auch die Ergänzung von B gleich + A oder — A, je 
nachdem (— 1)^ gleich -}- 1 oder — 1 ist, d. h. 

|B = (-1)<?A. 
Aber B war gleich |A angenommen, fomit 

||A = (-1)<^A, 
wenn A ein »kombinatorisches Produkt der ursprünglichen Ein- 
heiten ist. 

Es fei zweitens A eine beliebige Grösse q-ter Stufe, 
ihre Ergänzung von r-ter Stufe, und fei 

A = (tfii -f- ct2E2 -f" • • s 
wo El, Es)*** kombinatorische Produkte der ursprünglichen 
Einheiten, Oi, 029"' Zahlen find, fo ist (nach 90) 

|A = ai|Ei + a,iE2 +•..-, 
fomit, da |Ei, jEs wieder Einheitsprodukte find, 

IIA = ai||Ei + a,||Ea +..••. 
Nun find Ei, E2, • * * von gleicher Stufe mit A, alfo von 



60 

q-rjleir Stufe 9 und ihre ErgiUiziii^n von r-l^ Stufe;« Mo ist 

nach dem ersten Thuile des^Be^weifes ||Bit=^(— 1)^%, jlBa 
5=(-^l)yE2 u. f. w.„ fOfll^t .1 j .j- ,j\ i 

... J|A;=(7Tr.l)naiEa'+«3Er^+^v;). . . 

93. hX ^e Stufe]pahL;(n) ies Haupilgebietes ungerade, 

fo ist .. ..;. i ..: tn... . . , ;, ,,., 

0. ¥.flb«^^a<lö, fo ist , .,,,.,,,,., J i .,.. 

wenn q die Stufenzahl von A ist. 

Beweis. Denn dann ist die Situfepizahl von |A gleich 
(n — q), alfo (nach 9Z) ||A = (~-:l)^^°"^>A. Ist nun n un- 
gerade, fo ist entweder q oder n — q gerade, alfo ( — l)<i('i-4> 
= 1 und alfo dann ||A = A. Ist i gerade, fo i^t q(n — q) 
geradfJ ^(jleriiqg/^rfi^ie,, j^jiwkehdwn q^ß ist, alfo dann iCj- 1)^^''-^ 
= (— 1>, und ||A= (-- 1)^A. 

Annu Sind- q und r beide ungerade, wie z. B, wenn man die 
Ergänadufeen vOÄ'ör5s8eoerBitörr«S*iife-'Ktt. einem Gebiet zweitöl»»i8%ufti 
betracht«*, fo wird HAä-h^.A, fo d^Bs aifö in ^diiefem Fülte -dJlb 
Zeichen | denfelbcn Gefetzen unterliegt wio; i = ^ — 1 , und wir er- 
halteiL daher hier eine reelle Bedeutung des- Imaginären. Es wird 
fich ^«bci der Anwendung auf die Geometrie zeigen, dass Strecken, 
d. h. Linien von bestimmter Richtung und Länge als Grössen erster 
Stufe zu betrachten und, und dass in Bezug auf Üe die Ebene als 
Gebiet zweiter Stufe erscheint, fo dass alfo Mer dlsP obenerwähnte 
Fall, wo |(A=:^ — A ist, ^intrit?!. ^Ich werde zeigen, dass die Er- 
gänzung einer Strecke, wenn man als ursprüngliche Einheiten zwei 
gegeneinander fenkrechte Strecken von gleicher Länge annimmt, die 
auf ihr fenkrechte Strecke ist, und man fieht daher schon hier, dass 
die reelle Bedeutung, die wir hier dem Imaginären beilegen, genau 
der geometrischen Bedeutung desfelben, wie fie voh Gauss zuerst 
aufgefasst wurde, entspricht; nur dbss die fe Bedeutung hier in s^lge- 
meinerer Form hervortritt. 

§. 5. Produkt in Sezug auf ein Hauptgebiet. 

94. Erklärung. Wenn die Summe der Stufenzahlen 
zweier Einheiten kleiner oder cbenfo gross ist als die Stufen- 
zahl n des Hauptgebietes, ft) verstehe ich uftter ihrem pro- 
gressiven Produkte ihr äusseres Produkt, jedoah mit der 



Sestimmimg, das« das progressive Produkt der n ursprüng- 
IMIieii fiätiheiten 1 Tel Hingegen, wenn die Stfbime der Stufen- 
Eahlen zweier Einheiten grösser ist als die Stufenzahlen (n) 
des Hauptgebietes, fo verstehe ich unter ihrem regressiven 
(eingewandten) Produkte diejenige Grösse, deren Ergänzung 
ddb progreifStve Produkt der Ergän^ngen jener Einheiten ist. 
Das progressive und regressive Produkt fasse ich zufammen 
unter dem Namen des auf ein Hauptgebiet bezüglichen 
Produktes. Die Bezeichnung ist für alld diefe Produkte die- 
felbe, nftmlich die einer das Produkt umschliesseiiden Klam- 
mer. Alfo 

|[fiF] = [|E|F], 
wenn* Me Summe der fitufbnzahlen von S und F kleiner ist 
als tliii^' Stufe (n) des Rai^tgebietes^ und 

[eie2---ej = l, 
wettfi Ol, e^, • • • • Ca die Reihe der ursprünglidien Einheiten ist. 
Anm. Auf die hier behandelte MaUiplikation und auf die alge- 
braische lAssen fleh alle Multiplikationen, die überhaupt für die 
Wissenschaft von Interesse lind, zurückfilhrcn. Es kommt daher nur 
darauf an, diefe beiden Multiplikationsgattnngen von einander durch 
die Bezeichnung unzweideutig zu 'unterscheiden. Wenn man bei der 
«Igabrai&chen Multiplikation* alle überflttssigen Klammem vermeid^, 
^Ifo nie dn algebraisches Produkt, welches mit einer andern 
Qrösse durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Divifion ver- 
bunden werden foll, durch eine Klammer umschliesst, fo wird eine 
in diefen Fäljen angewandte Klammer stets ein unzweideutiges Zeichen 
der bezüglichen Multiplikation fein. In denjenigen Fällen, wo 
da» algebraische Produkt £o verknüpft wnrd, «dass. eine -Kkuaimer- 
fstzuQg n5thig wird, alfo wenn das Produkt potenzirt oder lo^rith- 
mirt werden foll, oder in ein Funktionzeichen (wozu auch Summen- 
zeichen, Differenzialzeichen u. f. w. gerechnet werden können) einrückt, 
fo wird wieder alle Zweideutigkeit gehoben, wenn man in diefem 
Falle entweder für die bezügliche Multiplikation zwei Klammem an- 
wendet, oder, was bequemer erscheint, für diefe FlbUe dem alge- 
braischen Produkte stets die run,de Klammer, dem bezüglichen die 
eckige zuweift, während man in den erstgenannten Fällen nach Be- 
quemlichkeit über beide verfügt. Es ist noch zu erwähnen , dass die ge- 
wählte Bezeichnung für die verschiedenen Arten der bezüglichen Multi- 
plikation, fobald das Hauptgebiet bekannt ist, durchaus zureichend 
ist und keinen Vcrwechfelungen Raum giebt , und dass die Rechnungs- 
gefetze überall diefelben find , und nur noch von den Stufenzahlen der 
zu verknüpfenden Grössen und von der des Hauptgebietes abhängen. 



9» OM 

.. fli9. Weivi q und r die Stufenzriden zweier Crossen 
A und B find, und n die des Hauptgßbietes, fo ifii die Stufen- 
zahl de^ Produktes [AB] erstens gleich q + r, wenn q+,v 
kleiner als n ist, zweitens gleich q + r — n, wenn q + r 
grösser eder ei^ento^ gross als n ist, in beiden FftUen alfo 
kongruent der Summe der Stufenzahlen in Bezug auf den 
Modul, n, d. h. wenn 

. C = [AP], fo wt 

8^q 4- r (Modul, n), 
wo q, r, s, II beziehlich die ^tufensahlen von A, B, C und 
vom Hauptgebiete find. 

Beweis. Ist q + r "^ » «od A = [aia^ • '-aq], B = 
[b^ba ' • • bj, wo ai • • • a,, Ä% • r - ihr Grössen errter Stofo find, 
fo ist [AB] als progresaves Produkt zu betrachten, alfo 

C = [AB] = [(aiaj • • • a^) • (bib, • • • b,)] 

= [8182 • • • aq bibj . • • b J [79], 

alfo (nach 77) die Stufenzahl des Produktes = q -f- r. Wenn 
q -f r = n ist, fo wird, da (nach 94) diuä Produltö der n Ein- 
heiten. = 1 gefetzt ist, und alfö auch das Pk'odukt von n 
Grössen erster Stufe eine Zahl wird, die Zahlen aber (nach 
77) als Grössen nuUter Stufe aufzufiissen find, die Stufenzahl 
des Produktes gleich 0, alfo =q4-r — n. Wenn endlich 
q + r grösser als n ist, fo ist (nach 94), wenn A und B 
Einheiten beliebiger Stufen find, 

|C = [|A|B]. 
Aber (nach 96) find die Stufenzahlen von |A, |B, |C gleicli 
Ä — ^q, n — r, n — s; nunistn — q-fn — r=n— (q + r^ — n), 
alfo kleiner als n , fomit ist (nach dem ersten Theile des Be- 
weifes) die Stufenzahl des Produktes [|A[B] gleich der Summe 
der Stufenzahlen feiner. Faktoren, alfo 

n — s = n — q + n — r, d.h. s = q + r — n. 
Somit gilt das zu erweifende Gefetz für den FaH, dass 
A, B, C Einheiten beliebiger Stufen find. Da nun aber jede 
aus den Einheiten numerisch abgeleitete Grösse mit den Ein- 
heiten von gleicher Stufe ist, fo gilt der Satz auch für be- 
liebige Grössen. 

96. Wenn n die Stufenzahl des Hauptgebietes ist, fo 
ist die Stufenzahl eines beliebigen auf dies Gebiet bezüglichen 



«) 63 

PPodiiktes dei»« Swmie der Slufeszalilen reiner Faktoren kon- 
gruent, in Bezug a«F denliodtä. n, dder die Slufenzabl des 
Produktes ist ^eich dem Divirionsireste, welcher bleibt, wenn 
man die Summe der .£!tufiln2aMen aifer Faktoren durch die 
Stufenzahl des Hauptgebildtes dividirt; allb wenn 
R=s2[ABC---] ist, fo ist 
g =r a + /S + y 4- • • (Mod. n), 
wenn q, «,/?,/,••• die Stufenzahlen Von R, A, B, C, •'•• 
find und n die des Hauptgebietes ist. 

Beweis. In 95 ist göi^eigt, dass die Stufenzahl des 
Produktes zweier Grössen der Summe der 'Sluttiiiahlen dferf^ 
Grössen [kongruent! isl, in Ktaug auf den Modul, h. Tifllt nun 
m dem Produkte noch ein Faktor hinzu, fo bleibt aus gleichem 
Grunde das Gefetz noch bestehen u. f. f., ttlfo gilt es für be- 
liebig viele Faktoren. . Dli nun cHe' Stufenfiahl immer kleiner 
als n und nie -negativ ist, fo ^ilt der Satz auch in der zweiten 
Pttsung-. 

Anm. So z. 6. ist die Stafeu^ahl eines Produktes von 7 Fak- 
toren 3-ter Stufe, in Bezug auf ein fiauptgebiet 4-ter Stufe, gleich 1 
(f. Grelle Journal B. 49, p. 64). 

97. Das Produkt der Ergänzungen zweier Grössen ist 
die Ergänzung des Produktes diefer Grössen, d. h. 
[|A|B] = |[AB]. 
Beweis 1. Wenn die Stufenzahlen anndß der Grössen 
A und B zufammen kleiner find als die Stufenzabl n des Haupt- 
gebieles, d. h. a + ß <:n. 

Dann fei A = XöÄ7B=X^iPi7wo E,, F3 Einheiten 

und, fo ist (nach 90) 

lA^ZcOETund |B = i;p7 

Alfo 

[|A|B] = LS :^Z^ 3 = Zc^ErlFsl [42] 
= Z«A|[ErFJ [94] 

= |Zör^E,F32 [90] 

= |[Z«^rZ/^3F",] [42J 

= i[AB]. 
2. Wenn a + /J = n ist, dann gilt der Satz zunächst 
für die Einheiten. 



64 «•» 

Es Teien E und F BialieHen, d» h. konbimtoriflolie Pro«» 
dttkte der ursprünglichen Einheiten ef^'e^. Enthalt zuerst 
E eine ursprüngliche Einheit, die auch in P varkommt, (o 
können in E und F, da fie zufammen nur n einfaehe FaktcHren 
enthalten, nicht alle ursprünglichen Einheiten vorkommen; es 
muss alfo mindestens eine diefer Sinheitea« etwa ei, in beiden 
Grössen E und F fehlen; nun enthllt |E alle ursprünglichen 
Einheiten die in E fehlen, alfo auch ei, und |F alle die in 
F fehlen, alfo auch Oi, fomit enthalten |E und |F beide die 
ursprüngliche Einheit. Ci, es ist alfo (nach 60) [|B|F]=0, 
aber auch [EE] = 0, da E und F nach der Annah«i6 beide 
ein und diefelbe ursprüngliche Eirtheit entiialten^ fomit . 

[|E|F] = [EF]. 
Wenn zweitens E keine ursprünglithe Einheit enthält, die 
auch in F vorkommt, fo muss, daE und F im Ganzen n Fak- 
toren enthalten, deren jeder eine der ursprtngMcben Einheiten 
ist, [EF] ein Produkt ßimmtlicher n Einheiten fein. Dan« 
aber ist (nach 90) 

|E = [EF]F und |F==[FE]E, 
wo [EF] und [FE] nur entweder + 1 oder - 1 find. Dann ist 

[|EjF] = [EF][FE][FE], 
Aber [FE] [FE] ist entweder 1 • 1 oder (~ JJ:(- 1), alfo 
beidemale 1. Somit ist 

[|E|F] = [EF], 
wie im vorigen Falle. Da nun [EF] eine Zahl ist, fo ist 
(nach 90) [EF] = |[EF]. Somit in beiden Fällen 

[|E|F] = |[EF]. 
Da nun das Gefetz für Einheiten gilt, fo folgt ganz wie 
in Beweis 1, dass es auch für beliebige Grössen gilt, voraus- 
gefetzt, dass die Summe der Stufenzahlen n fei. 

3. Wenn a -f /S :> n, dann fei A = (A' und B = |B'. 
Ist nun zuerst n ungerade, fo ist (nach 93) 

|A = ||A' = A' und ebenfo |B = ||B' = B'. 
Alfo 

[|A|B] = [A'B'] = ||[A'ß'] (nach 93). 

Aber da die Slufenzahl von A' und B' beziehlich = n — a, 

n - /? find (90 Znf.), fo find die Stufenzahlen von A' und B^ 



Zttfainm^iigfenbiiiinen =» Jlrt -r- a — /J *» » «^ {0.4r ß-^r^: Nun 
ist a + ß^n pofitiv-, da a 4- j^^ naoh d^)^ AnR«hme grösMr 
als n ist, fomit ist n - (a + /J — n) <iij alfo die Suliim« 
der Stufenzahlen von A/ und B^ kleiner als n. Alfo ist nach 
Beweis 1 |[AU'] =^ [i A' B'] =±i: [Afi]. Alfo ui ..;.. . 

||[A'B'] =|[AB] , aiM» msA^M&i]f^\ik\^, 
wie ^n gez^igft, alfo i»" ' - 

[IA|B] = [[AB]. • 

Zufatz. Wenn das Produkt z»^ieri^tirdäJ6n ^A pro- 
gressives iil^ fo ist jdas 'ihrer Er|[änzanf en lein regressives, 
vofausgefetzt, dass man das Produkt nullter Stufe zugleich 
als ein progressives und als ein regressives' betrachtet. 

Beweis. Denn ist [AB] ein progressives! Produkt, fo 
ist a -f /* = ^ n> wenn a und ß die Stttfenzahlen von A und 
B find. Dann find die dör Ergänzungen n — - a und n — ß, 
aber n — a — /? = :> (T, alfo auch n — a + n — /?==>• n, 
d.h. das Produkt der ErgSi^zuh|fan ein l^dgressifri^. : 

98. Das Produkt der Ergänzungen mehrerer Grössen 
ist die Ergänzung des Prodi^ktes diefer Grö$3en , ' d. b. 

[|A|B|C'....] = 1[ABC...]. 
Beweis. Es.^^elte der Satz für in Faktoren, d. h^ es fei 
[|Ai|Ä'a....|AJ = |[AiA,...AJ,. 
fo gilt er auch für m -f 1 Faktoren Denn es komme noch ein 
Faktor jAg^^-i auf beiden Seiten obiger Gleichung (|inzu, fo ist 
[| Ax|A, . . . I A^l A„4,i] = [|(AiA, . .,. . A^)|^^+J 

= |[AiA2....A^A^^,] [97]. 

.Gilt der Satz alfo für. irgend eine Faktorenzahl, fo gilt 

er auch (ür die nächst, tiöhere., airo auch für jede höhere 

Faktorenzah}^ Da er nun (nach 97) für zwei Faktoren gilt, 

fo gilt er auch für beliebig viele, 

99. Ins Befondere ist 

[|a|b...] = l[ab...], 
wenn a, b, •• Grössen erster Stufe find. 

Zufatz. Es folgt hieraus, dass das regressive Produkt 
als ein kon^)inatorisches betrachtet werden kann, dessen ein- 
faoitö Faktoren von (n— l)-ter Stufe find. 

5 



66 

l^ttk Die Brgftiiziiiig eines Polynoms erb|llt man^ indem 
man, ohne die Vorzeichen der Glieder zu Indern, von jedem 
die Ergänzung nimmt, d. h. 

Beweis. Es fei ^—^afiry ^ = 2ißßry • • • fo ist 

|(A + BqF..O_ • 

= Z(«r + ßr +yjJ\K __ [90] 

= |A + |B+..... . 

101. Eine Gleichung, in welcher keine andem Ver- 
knüpfungen als die in Kap. 1 und 3 behandelten vorkommen, 
bleibt auch bestehf^, wenn man statt der darin vorkommenden 
Grössen ihre Ergänzungen fetzt, d. h. wenn 

f(A, B,...) = y(AS B',;..) 
ist, wo f und g> Zeichen von Verknüpfungen ßnd, die den 
genannten Kapiteln angehören ^ fo ist 

fQA, |B,...) = y(|A', IB',...). 
Beweis. Da gleiche Grössen, derfelben Verknüpfung 
unterworfen, Gleiches liefern, fo mii^s, wenn 

1(A, B,...) = yCA', B',...) 
i9t, auch 

^f.A, B, .)=:y(A', B',.-.) 

fein. Nun können keine andern Verknüpfungen vorkommen 
als Addition, Subtraktion und die bezügliche Multiplikation, 
zu welcher auch die Multiplikation mit Zahlen gerechnet wer- 
den darf. Für Addition und Subtraktion ist in Satz 100 be- 
wiefen, dass man, statt von der Verknüpfung, von dan Ver- 
knüpfungsgliedcrn die Ergänzungen nehmen kann, und dasfelbc 
gilt (nach 99) von der bezüglichen Multiplikation, aMq für 
alle auf beiden Seiten vorkommenden Verknüpfungen. 

Aum. Es tritt hierdurch die Yolle Reciprocität zwischen belie- 
bigen Grösseu und ihren Ergänzangen, alfo überhaupt zwischen Grössen 
m-ter und (n - m)-ter Stufe hervor, wenn das Hauptgebiet von n-ter 
Stufe ist, namentlich Ut die Reciprocität zwischen Grössen erster und 
(u — l)-ter Stufe von Interesse. Noch anschaulicher wird fich diefe 
Reciprocität weiter unten entfalten. 



*M) 67 

t09^. Wenn E, F, G Einheiten rind, deren Stufenzahlen 
zufainmen n (Slufenzahl des Hauptgebietes) betragen, fo ist 
[EF.EG] = [EFG].E. 

Beweis. Wir^önnüi zwei Fälle unterscheiden, ent- 
weder [EPCQ eittWt gleicbe Faktoren oder nicht. EntbMt eu 
gleiche, fo muss, da die Anzahl feiner einfachen Faktoren^ 
nach der VorausPifzung, gleich. Jt^ gleich -der Anzahl der ur- 
äiprtinglicli^n Eiilheiten ist, ein^ diefer Einheiten, etwa ei, 
ttüter den Faktoren von [EF6] fehlen. 
• • Um m [EF] = (0, fo Muss (nach 80) diefen auch in 
[EF] fehlenden Factor e^ enthalten; ebenro fei[EG]e=|R, fo 
miifiis R diefen Faktor gleichfalls entfaaltefi. Alfb isl dannr 
(nach 60) [QR] gleioh null. Nun ist 

[BF^EG] = [|OiR].= |[ORJ [94], 

alfo gtoich der Bfgftnzüng von [QR] = 0, alfo (nach 89^ felbst 
liull. Aber es ist auch [EFG], da es nach der Ami^ime 
gleiche Faktoren enthftlt, null, fomit beide Seiten der zu er- 
weifenden Gleichung ntil. 

Wenn dagegen [EFG] keine gleichen Faktoren entfilllt, 
fo muss es, da es n Faktoren enthalten foll und zwar keine 
andern als ursprüngliche Einheiten, ein Produkt der n ur- 
sprünglichen Einheiten fein. Dann ist (nach 89) 
|G = [GEF][EF}, |F = [FEG][EG]. 

Da hier [GEF] und [FEG] als Produkte fftmmtlicher Ein- 
heiten Ol, V • On gleich + [eiCa» • -ej, alfo (nach 94) = + 1 
find, und die Multiplikation 4I 1 gleiches RefuHat mit der 
Divifion durch + 1 liefert, fo können wir die obigen Glei- 
chungen auch fo schreiben : 

[EF] = [GBF]|G, [EG] = [FEG]tF. 

Dann wird, da man überdies Zahlfaktoren beliebig ordnen 
darf, 

[EF.'EG] = [GEF][FEG][|G|F]=.[6EF]iFEG]|[6F] [97] 
=[GEF][FEG][GFE]E ' [89]. 

Nun ist [EF] = + [FE] (nach -58). Vertauscht man alfo 
in dem gewonnenen Ausdrucke zweimal E mit F, fo bleibt 
fein Werth ungefindert, und fo wird er 

= [GEF][EFG][GEF]E. • 



68 

Ab«r da [GEF] = + 1 ist, fo wird [GEF3[6«F] =* 1 and 
romit erhält mau 

[EF.EG]=[EFG]E. 
103. Wenn A , B , G einfiai^lie Grössen ßntl und die 
Summe iluer Stufenzahlen gleich der StufenzaU n des Haupt- 
gebietes ist, fo ist 

[AB.A€]==[ABqA. 
B^eweis. Ahgenommerf, die Formel 103 gelte (br den 
Fall, dass A, B, C keine andern Faktoren enthalte als die^ 
welch« einer gegebenen Reihe «von n Grössen erster Stufe 
^19 &3 9 &3 9 "' angehören, fo zeige ich, dass iie auch noch 
gelte, wenn man statt einer diefer n Grössen, etwa statt %, 
eine aus ihnen numerisch abgeleitete fetzt, etwa ii' ===: aia^ 4- 

a2a2 H = ^«rör- ^s kann %i etitweder in A oder B oder 

& Enthalten fein. Ist ai in B enthalteil, fo Tei B = aiD, und 
verv^andle fich B durch die obige Substitution in B' = a'D. 

Dann' wird ' - 

[AB''AC] = [A^a,a,D-Aq=2-a,[Aa,D*AC] 

= ^fl^[Aa^DC]A, 
da nach der Annahme 'Formel 103 für den Fall, dass die 
betrachteten Grössen nur ai, a2)**** als einfache Faktoren 
enthalten, gelten foll. Alfo ist 

[AB'; AC] = 2^a,[AarDC] • A == [A^öÄDClA 
== [Aa'DCJA = [AB'CJA. 
Genau diefelben Schlüsse gelten, wenn a^ in C enthalten 
ist. Es bleibt alfo nur der Fall zii behandeln, wo äi in A 
enthalten ist. In diefem Falle verwandle fich zunächst a^ in 
a' == Oiai -f- a2a2 , und fei A = [aiD], alfo 
A' = [a'D] = ai[aiD] + a,[^^D] 
= aiA + OjCajD] * 
Sollte a2 ni)ch in D enthalten fein, fo wäre der letzte 
Summand (nach G())'null; es verwandelte fich alfo A' nur in 
fein Vielfaches, alfo würde dann 

[A'fe . A'(^] = a2[AB . AC] = a2[ABC] A 
==[aABC]aA = [A'BC]A'. 
Alfo bleibt nur noch der Fall zu betrachten, wo a^ in 
B oder in C, z. B. in B, vorkommt. In diefem Falle fei 



«•»I 69 

R=[ajE]. Es war, wie oben (*) gezeigt, A'=aiA + rt2[a2D], 
Md da a^ In B als Faktor enthalten ist, und alfo [aaDB] null 
wird, fo ist [A'B]=ai[AB]; ferner ist [A'C]=[(aiA+a2[a2D])C] 
= ai[AC] + OjCa-jDC], alfo 

[A'B A'C] = aJ[AB AC] -|- Oia^lM ajDC] 
= aJ[ABC] . A + OiC^CAB • aaDC]. 
Aber [AB-ajDC] = [aiDaaE-ajöC] = -- [aaDaiEa^PC] (55) 
=== — [ajDaiEClCaaD]. Letzteres nämlich ist der Fall, da die 
drei 6h*össen [ajD], [aiE] und C keine andern Faktoren ent-* 

halten, als Iblche, die der Grössenreihe ai, a2, b^ ange« 

hüFiein, und die Summe def Stufenzahlen n ist, alfo die Bedin- 
gungen aiie erMHi find, unter denen die Geltung der Formel 
[AB • AC] = [ABC]A angenommen war. Somit wird 

[A'B- A'C] = aJ[ABC]A — Oiaa [a2DaiEC][a2D] 

= a;[ABC]A -f-ai«2[aiDa2EC][a2D] [55] 
= a;[ABC]A -f aia2[ABC][a2D] 
= ai[ABC](aA+«2[a2D]) 
= [aiABC].A' [*] 

= [A'BC]A'. 
Dasfelbe gilt, wenn a, in C statt in B enthalten war. 
Alfo ist gezeigt, dass die Formel immer bestehen bleibt, wenn 
man einen Faktor a^ in o^Si -}- ^»2 verwandelt, alfo aueh, 
wenn man diefen wieder in o^Bi -\- 02^2 + ^^^a verwandelt u. f. f. 
Es ist alfo jetzt vollständig erwiefen, dass, wenn die 
Formel 103 für irgend eine Reihe von n Grössen erster Stufe 

%9 ^3 ^11 Sril^ welche die einfachen Faktoren der Grössen 

A, B, C bilden, fie auch noch bestehen bleibt, wenn man 
statt irgend eines diefer Faktoren eine aus jenen Grössen 
81* ••*a,^ numerisch abgeleitete fetzt. Da fleh dasfelbe wieder 
auf die fo hervorgehende Reihe von Grössen anwenden lässt, 
fo foJigt, dass die Formel aijch noch bestehen bleibt, wenn 
man stgtt der einfachen Faktoren der Grössen A, B, C be- 
liebige aus Jenen Grössen ai* • a^ numerisch abgeleitete Grössen 

fetzt.. In der That, es feien z. B. bi b^ folche aus ai a^ 

numerisch abgeleitete Grössen. Wie diefe auch beschaffen 
feien, immer wird fleh (nach 17) unter ihnen ein Verein von 
m Grössen angeben lassen, welche In keiner ^ahlbeziehung 



70 

zu einander stehen, und uns denen (ich, w^im lii kleiner ate 
n ist, die übrigen numerisch ableiten lassen. Es feien nim 
bi—bn^ diefe Grössen,, aus denen bg^^x"**i>]i numerisch ab- 
leitbar find; dann kann man <nach 20) statt m der Grössen 
Si* * * 'Sn, die Grössen bf - -h^ in der Art einführt, dass das 
Gebiet der To erhaltenen Grössen dem Gebiete der Grössen 
af - a^ identisch wird. Es Jeien ai ' -a^ die Grössen, statt 
deren man in diefer Weife bi*- bi^ dnfttbren kann, fo wird 
niHh das (Gebiet der Grössen 'ai •• a^ identisch dem Gebiete 
der Grössen bi • • bmaa^+j • • Hn, odör, , indem man dieC^e 
ScUussfolge Schritt fjjir Schritt anwendet: Es. wir>d iifiß Geluet 
aia2* -ati identisch djem^iG^Met Ms'^ ' ^'fi' - 
dies wieder identisch bib^^-^a^, - 

und endlich identisch bi^- • 'b^an+i* * -a^* 
Gilt nun Formel 103 flir ai* • -a^, fo giR de auch, wenn 
man statt des Faldors ai die aus^ ai • •'• a^ abgeleitete Grösse 
bi fetzt, alfo für bj, a,« • «an. ^ Da nun das Gebiet Bi- • 'B^ mit 
dem Gefbiete b^, aj • • -a,^ identisch ist, und bj nach der Annahme 
aus ai* • »a,^ ableitbar ist, fo ist es Buch aus bi, aa • • -a^ ableite 
bar, folglich bleibt Formel 103 noeh bostehen, wenn man b^ 
statt a2 fetzt, d. h. für die Reihe hi, bj, as*'* an u. f. f., endlich 
noch ftor die Reihe bj, bj • • b^, a^+i • • • a^. Pferner, da ariBich der 
Annahme b^^^ • • b^ aus b^ , bj , • • • b^^ numerisch ableitbrnr 
nnd, fo bleibt nun 103 auch noch bestehen, wenn man nach 
und nach in der Reihe bi- 'bm, a^i-fi- • a^, statt -am-fi* * -a« die 

Gröissen h^^^ b„ fetzt, alfo auch für die Reihe bj- • b^, 

d. h. für jede beliebige aus ai • • • a^ numerisch abgeleitete 
Grössenreihe. Tfun gilt 9ker 103 f&r die ursprünglichen Ein- 
heiten ei-'-e^ (nach 102), alfo für eine b^ebige Reihe von 
Grössen erster Stufe, welche die einfachen Faktoren ven A, 
B, C bilden, d. h. für beliebige einfache Grössen A, B, G. 

lOft. Auch wenn B und C zufammengefetzte Grössen 
fittd, A aber eine einfache Grösse und* die Summe der Stufen- 
zahlen von A, B, C gleich der Stufeszahl des Hauptgebietes 
ist, fo ibt ' • 

[AB.AC] = [ABC]A. 



Beweis. Es Tei 

B=Z^rE„ c = ZyJ.. 

wo Er und Fg Einheitsprodukte Tind, To ist 

[AB . AC] = 2; /g,y,[AE,>A FJ [45] 

= Zftya[AE,F.]A [i03] 

= [AZ^AZy.F.lA [45] 

= [ABC]A. 
A n m. Diefer Sat^ gilt im Allgemeinen nicht mehr, wenn A eine zu- 
fammeugefetzte Grösse ist. Ist z. B. A = ab + cd, wo a, b, c, d in keiner 
Zahlbeziehang zu einander stehen foUen, and idt B = c, C = d, fo wird 
in Bezog aaf ein Gebiet 4t«r Stufe [AB* AC] ----^ [(ab + cd)c* (ab 4- cd)d] 
= [abc • abd] , da [cdc] und [cdd] Verschwinden *, aber [abc • abd] = 
[abcd]-[ab]. Alfo ist 

[AB.AC] =r[abcd].ab. 
Dagegen ist 

[ABC]. A = [(ab + cd)cd] • [(ab) + (cd)] = [abcdj [(ab) + (cd)] 
= [abcd] . [ab]. + [abcd] • [cd]. 
Alfo find beide Aasdrticke am [abcd] »[cd] von einander verBchieden. 

1 OS— 107. Wenn A, B, C einfache Grössen find^ und 
ihr Produkt von aullter $4ufe ist, To ist 
109, [AB AC] = [ABC]A 

106. [ABBC]=[ABC]B 

107. [AC-BC] =[ABC]C, 

d. b. wenn zwei Produkte (P und Q) etnEacher Gipsen, welche 
einen gemeinschaftlichen Faktor haben, zu iuultjpliciren (ind, 
und di^fer gemeinschaftliche Faktor entyireder in dem zweiten 
Produkte (Q) als erster Faktor (Mler*in dem ersten (P) als 
zweiter Faktor vo:rfcomint) fo kann maa.diefen^FaJfitor mit dem 
Produkte der übrigen Faktoren multipiiciren, vprausgefetzt, 
dass dies letztere Produkt von nullter Stufe ist. In beiden 
Fällen isl das Gefammtprodukt Yon gleichem Werthe. 

Beweis 1. Sind a, ßy y dje Stufenzahien von A, B, C 
und n die des Hauptgebietes , fo muss, da [ABC] von nuUter 
StvC» fehl foll, (naoh 96} a + ß + y <iurch n theilbar fein, 
alfo, da a, /S, / kleiner als n find, entweder gleich n oder 
gleich 2n fein. Ist a + ß -^^ y = ^j fo ist die Geltung der 
Formel 105 schcm in 103 bewiefen. Ist dagegen a + ß -{-y 
7=2n, To fei 



72 

A = |A', B = |B', C==|C' 
und feien a' + ß' + f die Stufenzahlen von A', B', C, fo ist 
a' = n--a, ß' = n- ß, y' = n-y [90], 

alfo a' + jS' + y' = 3n -^(a + i9 + y) = 3n- 2n = n. 

Somit [AB-AC] =([|A1B'].[|A'JC']) = |[A'B'.A'C'] [99] 

= |[A'B'C'.A'] [103], 

da nämlich a' + /?' + y' = n ist. Dies ist aber (nach 99) 
= [|A'|B'|C'].|Ä' = [ABC]A. 

2. Es fei [AB] = [BD], fo ist D von gleicher Stufe mit 

A, alfo 

[ABBC] = [BDBC] = [BDC]B [i05] 

= [ABC]», 
da [BD] = [AB] ist. 

3. Es fei [BC] = [CD], fo ist D von gleicher Stufe mit 

B, alfo 

[AC . BC] = [AC . CD] = [ACD] • C [106] 

= [ABC]C^ 
da [CD] = [BC] ist. 

Anm. Es lassen fich die ia 105 — 107 aufgiestellten Gefetze fo 
erweitern, dass fie auch für den Fall gelten, wo [ABC] nicht von 
nullter Stufe ist, wenn man fie nämlich in den folgenden Formen 
darstellt : 

[AB.AC] = [A.ABC] 
[AB.BCq= [B.ABC] 
[AC.BC] = [C.ABC]. 
Den Beweis diefer Formeln, die ich in diefer allgemeineren Be- 
deutung im Folgenden nieht anwenden werde, tiberlasse ich dem Lefer. 
108. Wenn A, B, € einfache Grössen find, und die 
Summe der Stufenzahlen von A und C gleich der des Haupt- 
gebietes, und B dem A untergeordnet ist, fo ist 
[A.BC] = [AC]B 
[CB.A] = [CA]B. 
Beweis. Denn dann ist (nach 79 Zufatz) A in der Form 
BD darstellbar, und alfo 

[A BC] = [BD . BC] = [BDC] B [105] 

= [AC]B 
und 

[CB-A] = [CBBD] = [CBD]B [106] 

= [CA]B. 



MW) 73 

109. Ein bezäglich<3$ Sr^dutt zw^iet fiiii&eher Grössen, 
di^ Hiebt null flnd, is^ dann', und nur danh von null ver« 
schieden, wenn die Stufenzafal 4hreis gemeinsefa altlichen Ge- 
bietBS den Wernsten, oder, was dasfelbe ist, 4h Slufenzahl 
ibre^ verbincleftdeii ""G^etes den grö^steit Wertli liat, den fier 
bei gegebenen Stufenzahlen der beidffls^ Faktoren und des 
Haupl^ebiöleif haban^ kann, d. h. wenn a^uM ß die Stufen- 
zahlen der P^tor«n A und B, n die dBS Hauptgebietes ist, 
/ die des gemeiifschaftlichen, i die des Vefbindehden Gebietes, 
fo ist, wenn a 4-/9 ==•< n, d. h. das Produkt ein progressives ist, 
" [AB]^0, diann und nur dahn, wenn ' 

ys=0, oder, was dasfelbe ist, * 

a 4-/9 = *, und ' 

wenn a + /? > n, d. h. das Produkt ein regresi^ves ist, fo ist 

[A6]^0, dann und nur dann, weim 

y = a4-iJ — n, öder, was dasfelbe, 

cJ = n 
ist. 

Beweis^!; Wenn a + /J =ä <: n ist , fo iit das dProdukt 
(flach 94) progi^eksiv, alfo (nach 61, 66) dann' üiW ntrr dann null, 
wenn feine einfachen Faktoren in einer Zahlbeziehüng zu ein- 
ander stehen. Ist alfo [AB] = 0, fo Äs&t ßoh vqu den ein- 
fachen Faktoren 4esSProduktes [AR] einer aus den a + /»— 1 
übrigen numerisch ableiten (nach 2). AKo werden dann nmint- 
riebe einfache Faktoren jenes Produktes ton einem Gebiete von 
niederer als (a + jS)-ter Stufe umfasst, d. h. 5 <: a + ß. Ist 
hingegen [AB] ^ 0, f(^ stehen die einfachen Faktoren diefes Pro- 
duktes (nach 61) in keiner Zahlbeziehung zu einander, ihr ver- 
bindendes Gebiet ist alfo von (a + iS)-ter Stule, d. h. a + j9 
= 3, Somit ist, wenn a + /9 = <n*ist, [AB] dann und nur 
dann von null verschieden , wenn a + ß=:§ ist. 

2. Es fei a -f /? > n und a + i? — n = y. Dann haben 
die Gebiete A und B, da fie beziehlich von a-ter und ßAer 
Stufe find, (nach 26) mindestens ein Gebiet (a-f ^ — n)-ter 
d. b. /-ter Stufe gemein« Es fei eine Grösse von y-ter 
Stufe in diefem Gebiete, fo find (nach 79 Zuf.) A und B in 
den Formen A = [CAi], B = [CBJ darstellbar. Somit wird 

[AB] = [CAi . CB J = [CAiBJ • C [103], 

5* 



74 ißim 

weil die Summe der Stafe^zaUen von G, Ai und Bi, =&}" + 
(a — y) + (iJ — y) = a H- ^ - y = n find. Es ist aber [CAiBJC, 
da [CAiBi] von nullter Stufig, alfo eine Zahl ist, dann und 
nur dann null, wenn [CAiBJ, d. h. [ABJ null ist. Aber nach 
Beweis 1 ist [ABi] dann und nur danq^nuli, wenn. A und B^ 
von einem Gebiet von niederer als n-ter Stufe ivnfasst wer- 
den, aber da C in A = CAi U^gt, fo werden dann aufh A 
und GBl, d. h. A und B von einem Gebiete, niederer als. n-ter 
Stufe,, umfasst, d. h. d < n. Somit ist, wenn « -f /^ ^ n ist, 
[AB] daiui und nur dann von null verschieden, wenn d = n jsl. 
3. Nach 25 ist die Summe der Stofenzahlen zweier Ge- 
biete gleich der Summe der Stufenzahlen ihres gemeinschaft- 
lichen und ihres verbindenden Gebietes,. d. h. 

Die Bedingung in Beweis 1, dass a -[-/}=: d fei, ist alfp 
identisch mit der, dass ys=0 fei, und die Bedingung in Be- 
weis 2, dass d = n fei, ist identisch mit der, dass 

a + i? — n = y 
fei. Somit ist der zweite Wortausdriick unferes Satzes be- 
wiefen. Nun ist aber klar, dass, wenn a und /?c=<:n ist, 
die kleinste Stufenzahl, die das den Grössen A und B ge- 
meinschaftliche Gebiet haben kann, null, und die grösste, dip 
das verbindende Gebiet haben kann, a +^ ist. Auf der 
andern Seite, wenn a-i- ß>n ist, fo ist die grösste Stufen- 
zahl, die das verbindende Gebiet haben kann, n, alfo (naeht263 
die kleinste, die das verbindende Gebiet haben, a + ß — n. 
Somit stimmt der erste Wortausdruck m{| dem zweiten über- 
ein-, und der Satz ist erwiefen.^ 

110. AUa Gefetze der auf ein Hauptgebiet bezüglichen 
IfuRiplikation gelten auch noch, wenn man überall statt der 
ursprünglichen £y)heiten eine beliebige Reihe von n Grössen 
fetzt, die dus jenen numerisch abgeleitet find, und deren kom- 
binatorisches Produkt 1 isk 

Beweis. Es ftuen «i c^ die ursprünglichen Ein- 
heiten, und ai'-'*an aus ihnen numerisch abgeleitet, und 
zwar fo, dass. 

[ai, a,.-aj = l 
ist. 



tt#) 76 

Kach 89 wurde unter der Ergtezung |E einesi Eiitheits- 
prodttktes E diejenige Grösse verstanden, welche dem komlM- 
natorischen Produkte E^ aller in B nicht vorkoramender Ein- 
heiten gleich oder entgegengeretzt ist, je nachdem [EE^] der 
abfolttlen Einheit gleich oder entgegengefetzt ist, d.h. für die 

1E = [EE']E' * - 

war. Bezeichnen wsr nun diejenige Grösse , Welche aus einem 
Produkte A, in welchem nur die Grössen a^« • • «a^ vorkommen, 
auf entsprechende W^fe gebildet ist, für den Augenblick mit 
lA, d.h. bezeichnet lA diejenige Grösse, welche dem kom- 
binatorisehen Produkte A^ aller derjenigen Grtoen jener Reihe 
[di'"8j, welche ki A nieht vorkommen, gleich oder ent- 
gegengefetzt ist, je nachdem [AA^] der abfoluten Einh^ gleich 
oder entgegeagefetzt ist, d. h. fo dass 

^«[AAIA' 
ist, fo haben wir zunächst zu beweifen,*dass die als Defi- 
nition des bezüglichen Produktes in 94 airfjgestellte Bestim- 
mung, auch bei diefer Einfetzung der -Grössen a^ • • • a^ an 
die Stelle der ursprünglichen Einheiten noch ihre Geltung 
behalte, d. h. dass * -* 

I[AB] = [lAIB] 
fei, wenn A und B nur Grössen aus der Reihe ai-**an als 
einfache Faktoren enthalten, und die Smnme (a + ß) d6r 
Stufenzahlen von A und B kleiner ist «Is die Stufenzahl n 
des Hauptgebietes. 

Es fei zuerst [AB] = 0, fo müssen (nadi 109) die Ge- 
biete A und B *ein Gebiet von höherer als nuUter .Stufe ge- 
mein haben; fle mögen ein Gebiet j'-ter Stufe gemein haben, 
airo Y einfache Faktoren, dann werden diefe Faktoren, da 
lA nur diejenigen Faktoren enthält, welche in A nicht vor- 
komftien, in lA fehlen, und aus gleichem Grunde auch in 
IB, alfo werden lA und IB von einem Gebiete von niederer 
als n-ter Stufe umfasst, fomit (nach 109) 

[IAIB] = 0, . 
alfo, da auch [AB] null war und die Ergänzung einer Zahl 
(nach 89) diefer gleich, alfo die von null felfost null ist, fo ist 

I[AB] = [IAIB]. 



76 <»** 

Es fei j^wettans [4B] va^inuH vergobiaden, fe ^ithätt 
dasfelbe a + ß rerschiedene einfache Fsi^dfen der Reihe 
ai---an, es .fei C d«s Produkt der übrigeQ, ajfo [ABC] (i^iich 

57) dem Produkte [ai aj entweder gleich. oder entgseg^n- 

gefetzt, .airo da das letztere gleich i iMi^ fo ist [ABC] =^4: 1. 
Da nun [BC] dafi Produkt der in A nicht vorkommenden Fak- 
toren isty To i&l nach der hier «afigenomipenen JBü^i^hnuag 
. . lA = [ABC] .'[BC] , ehenfo 

IB = [BAC].[AC] »pd I[AB] = [ABC]C *. 
Alfo, da [ABC], [BAC] Zahlen C=+J>'find, 

[IA|B] = [ABC][BAC][BC. AC] 

= [ABC][BAC]{B AC] • G [107]. 

Da nun [BAC] = + i ist, fa ist ,[BAe][BAC] — 1. Alfo 

[IAIB] = [ABC].C = I[AB] [*]. 

Es gilt airo die Bestimmung, durch welche der Begriff 
der bezügljphen Multiplikation festgestellt wurde, auch we^in 
ipan statt der ursprünglichen Einheiten die Gr^on iii**-*aii 
einführt, alle früheren Gefetze gelterr aber, wenn man istatt 
der n ursprüngMchen Einheiten i)eliehig6 n Grössen, die in 
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, d. h. deren kom- 
binatorisches Produkt nicht null ist, alfo auch, wenn man 

statt derfelben die Grössen a^ a, fetzt. Aus diefen früheren 

Sätzen und der in der Definition fesigestellten Bestimmung 
find aber alle folgenden Gefetze abgeleitet, folglich gelten 
auch diefe noch bei der angegebenen Substitution. 

Anm. Durch das Fortbcstehen der Multipllkatlons-Gefetze , auch 
wenn man eine Reihe lineal ableitbarer Einheiten den ursprünglichen 
fubstituirt, ist die Multiplikation als lineal e bedingt, und erst im 
folgenden Kapitel wferden wir zu einer Produktbildung übergehen, 
bei welcher das Fortbestehen der für die ursprünglichen Einheiten 
geltenden Gefetze, nur in einem viel beschränkteren Umfange, statt- 
findet. Zu bemerken ist noch, dass die oben mit lA bezeichnete 
Grösse im Allgemeinen nicht mit der Ergänzung von A, die wir 
mit |A bezeichneten, zufammenfällt , z. B. ist in einem Gebiete dritter 
Stufe, wenn ei, ej, ej die ursprünglichen Einheiten find und [e^eaea] 
= 1 ist, die Ergänzung von ei+e^, da |ei == [ejeaJ, le^ = [cae^] ist, 
gleich fe^ej] -^ {esej^ denn (nach dO> ist 

|(ei + ea) = \ßt + le^ = [cac,] + [e^e,]. 
Dagegen, wenn 

ai = Cj + Ca, aa = ea, a, = €3 



ttf) 77 

ist, fo ist zwar [aia^at] = [©16468] =1? oher^ bei Anwendung der Be- 
zeichnung in obigem Satze, 

la* = [ataaa»][»aa»] = [^^] = [636»] , 
alfo von |ai um [6361] verschieden. Im folgenden Kapitel wird fich 
ergeben, welche Beziehimgen zwischen e^ • • »en und a^ • • -an stattfinden 
mtissen, wenn |A=rIA fein Toll. 

111. Wenn 

1 = [ar • • • aj = [PP'l = [AA'] = [BB'] = [CC] .... 
ist 9 undP, P', A, A^ B, B^ C, C'.-- keine andern einfachen 
Faktoren enthalten, als die der Reihe a^* * • a^ angehören und 

P = [ABC....] 
ist, fo ist auch 

P = [A'B'C'....]. 
Beweis. Es fei unter lA dasfelbe verstanden, wie im 
vorigen Beweife, fo ist 

IP = [PP']F = P', lA = [AAqA' = A' u. f. w. 
Kon ist, da niich dem vorigen Satze alle früheren SlAze, alfo 
namentlich auch Satz 98 noch gilt, wenn man überall das 
Zeichen I statt | fetzt, 

I[ABC...] = [IAIBIC...], 
alfo 

IP=[IAIBIC...]. 
Alfo, da IP = P', IA = A', IB=:?B', IC = C'.... ist, 

P' = [A'B'C'-..]. 

112. Wenn man aus n Grössen erster Stufe, deren 
kombinatorisches Produkt! liefert, die multiplikaUven Kom- 
binationen zur n — 1-ten Klasse bildet, und die Elemente 
jeder Kombination alphabelisch , die Kombinationen felbst lexi- 
kographisch unter der Annahme ordnet, däss die Reihe jener 
n Grössen als ein Alphabet betrachtet wird, fo ist das Produkt 
aus den n — m ers.ten diefer Kombinationen gleich dem Pro- 
dukt aus den m ersten jener n Grossen , d. h. 

[Att- : . -A^+i] = [aj. . . -aj, . • ■ 
wei^ 

• Ar = [ai- . . • ar-iSr-i-i • • • an] 
und [81 • 801 = 1 ist. 

Beweis 1. Ich be weife zuerst, dass 
[ar^--a,AJ = [ai.'ay_j] 



78 €««• 

Tei. Es ist nach der gewählten Beichnung 

A, = [ai- • -aj-ia^i aj. 

Airol 





[ai- • . 


a.AJ 


= [ai-- 


•a,(ai-- 


•»1-18,+! 


• ••a 


n)] 










= [«r- 
= [ai-- 


•8raH-i 
•8,-1], 


••a„l[ai- 


•8, 


-1] 


[105] 


da [ai- 


••a,] = l 


ist. 














2. 


Sosdt ist 


















[A.A.. 


-i] = 


= [ar--a. 


i-lAn-l 


1 = [•!•• 


•a„_ 


2] 






[A„A„. 


-iA„_«] = [ai 


••••a„. 


-»An— 2] == 


[«1 


••8, 


-3] 


u. f. f. 


Alfo 


















[A„A„. 


-!••• 


An-x] = 


[ai-.. 


•a„_r_i]. 









Alfa, wenn n — r — 1 = m ist, 

113. Wenn Ci, Cs,** die multiplikaliven Kombinat 
tianen aus den einfachen Faktoren (erster Stufe) einer von 
nttll verschiedenen Grösse B lind, und D, jedesmal aus den- 
jenigen Faktoren von B besteht, welche in C, fehlen, und 
zwar die Faktoren fo geordnet, dass jedesmal 

[CA] = B 
ist, fo ist für jede Grösse A, deren Stufenzahl die Stufen- 
zahl von D zu der des Hauptgebietes ergänzt, 

[AB] = Z[ÄDJCr= [ADJCi + [AD,]C, + • • • . 

Beweis. Es möge m die Anzahl der einfachen Faktoren 
von B fein und n die Stufe des Hauptgebietes, a die Stufen- 
zahl von A, und fei B = [bj, ba • • -bn^]. 

Da nun nach der Annahme B von null versc^hieden ist, 
fo stehen (nach 61) bi-^-b},^ in keiner Zahlbeziehung zu ein- 
ander , folglidh lassen fieh (nach 20) zu ihnen noch n — m 
Grössen erster Stufe bnj+i««-bn von der Art hiAztifügen, dass 
dch alle Grössen erster Stufe, welche dem betrachteten Haupt- 
gebiete angehören, aus ihnen numerisch ableiten lassen. Dann 
lässt (ich A als Grösse a-ter Stufe aus den multiplikaliven 
Kombinationen der n Grössen b^* • -bj^ zur a-ten Klasse nume- 
risch ableiten, alfo fich in der Form 

A = OjAi + Oj A2 +••••= ^OrA, 

darstellbar, wenn A^, A2,- • • die multiplikativen Kombinationen 



*4« 79 

aus bi'-bn zur a-ten Klasse lind. Es Teien diefe Kombina- 
tionen Ax, Ai,"' To gewählt, dass jedesmal A, aus denjenigen 
jener n Grössen besteht, welche in D, fehlen. Dies ist alle- 
mal md(j^icfa, da D, nach der Annahme n — a jener Grössen 
enthält. Dann ist 

[AB] = ZKÄJ|B"= Z ^^^CAJBf [41] 

= Zar[A,-C,DJ, 
da nach der Annahme B = [CrDr] ist. Da nun C, nur folche 
jener n Grössen bi**bi^ enthält, die dem D, fehlen, und A, 
AnnttUiche in D, fehlenden Grössen bi**-bn enthält, fo ist C, 
dem A, untergeordnet, fomit (nach 108) [A^-C^DJ = [AyDJC„ 
alfo 

[AB] = Z«r[AA]C.. 

Nun ist aber [A.DJssO, wenn s von r verschieden ist, 

weä dann A3 mindestens einen Faktor enthält, der auch in D^ 

vorkommt , alfo kann man statt €^[ArD J sohreibeR ^«^[AaDJ, 

wo fleh die Summe nur auf den Index s bezieht, d. h. es ist 

«rtArDJ = Z«a[AA] = [Z^ aDr] = [ADJ, fomit 

[ab]=Z[äd;ic; 

§. 6. TertauschüBg der Faktoren und Anflöanng der Klammem 
in einem reinen und gemiflcliten Produkte. 

114. Erklärung. Wenn mehr als zwei Grössen A, 
B, C, • • • fo zu einem Produkte verknüpft find, dass fie keiner 
anderen als der progressiven Multiplikation unterliegen, fo 
nenneich das Produkt ein rein progressives Produkt jener 
Grössen , wenn fie dagegen keiner andern als der regressiven 
Multiplikation unterliegen, oder, falls das Gefammtprodukt von 
nullter Stufe ist, nur die letzte das Gefammtprodukt bildende 
Multiplikation eine progressive ist, fo nenne ich das Produkt 
ein rein regressives, in beiden Fällen ein reines, in 
jedem andern Falle ein gemischtes, d. h. wenn in dem 
Produkte [ABCD« • • -JK], das Produkt [AB] ein progressives, 
das Produkt der zwei Grössen [AB] und C wieder ein pro- 
gressives, ebenfo das Produkt der zwei Grössen [ABC] und D, 
u. f. f., endlich auch das Produkt der zwei Grössen [ABCD- • • J] 



80 (4** 

und K ein progressives ist, fo ist [ABCD- • JK] ein rein pro- 
gressives Produkt der Grössen A, B, C, D,*--J, K. Wenn 
hingegen alle jene Produkte regressive find, oder wenigstens 
nur das letzte, nämlich das der zwei Grössen [ABCD--J] 
und K ein progressives Produkt, und zwar von nullter Stufe 
ist, fo ist [ABCD--JKT ein rein regressives Produkt der 
Grössen A, B, C, D,..J, K. 

A n m. Dass tias Produkt auch in dem Falle als edn rein regressives 
betrachtet wird, wenn die letzte Multiplikation, die das ganze Pro- 
dukt nullter Stufe bildet, eine progressive ist, beruht darauf, dass 
die progressive Multiplikation, welche ein Produkt nullter Stufe bildet, 
auch infofem zugleich als regressive Multiplikation betrachtet werden 
kann, als alle speciellen Gefetze regressiver Multiplikation ebenfo für 
dasfelbe gelten , wie die speciellen Gefetze progressiver Multiplikation. 
Als Beispiel einer folchen rein regressiven Multiplikation diene das 
Produkt [ab'ac'bc], wenn das Hauptgebiet von dritter Stufe ist. 

115. Wenn ein Produkt mehrerer Grössen [ABC • ] 
ein rein progressives ist, f« ist das Produkt der Ergänzungen 
[|A|B|C«-*] ein rein regressives und umgekehrt. 

Beweis. Denn (nach 97 Zuf.) gilt dies für zwei Fak- 
toren, alfo da [AB] ein progressives ist, fo ist [|A|B] ein 
regressives, und da [(AB)C] ein progressives ist, fo ist 
[|(AB)|C] ein regressives, jlfo [jA[B|C] ein rein regressives 
u. f. w. 

116. Ein Produkt von ra Grössen A, B, C, ••• J, K 
ist ein rein progressives, wenn die Summe der Slufenzahlen 
diefer Grössen ebenCo gross oder kleiner als die Stufenzahl (n) 
des Hauptgebietes ist, hingegen ein rein regressive's, wenn 
jene Summe ebenfo gross oder grösser als n(m — i) ist, ein 
gemischtes, wenn jene Summe grösser als n und kleiner als 
n(m — 1) ist. 

Beweis 1. Es feien a/ß, y, ••• die Stufenzahlen der 
Grössen A, B, €,•••. Wenn a + /? + y+*-*t + x = <:n 
ist, fo ist auch a + /? < n,, alfo das Produkt [AB] (nach 94) 
ein progressives; aber auch a + i^ + y *=^ n, alfo das Produkt 
der zwei Grössen [AB] und C ein progressives, u. f. f. Erifl- 
ÜQh auch a + j9 + y+««t + x = <:n, alfo auch das Produkt 
der zwei Grössen [ABC- • • J] und K, da die Stufe von [ABC- • - J] 
(nach 95) gleich a -f j9 -f y -(-••• t ist, ein progressives. 



#«9) 81 

^bai(p fplgt dn$ Ui^g^ehrte, daB^ nümlich, wenn [ABC* • • JK] 
ein rein progressives Produkt ist, a + i? + y +•••.+ ^ »+ af 
=t<4.n fein muss. 

2. Weny a i-ß +y^ }-^ + ä== > nCm — 1) ist, 

fo können wir dm ^^(\ fo schreiben: (n — a) -f (n — ß) -f 
(n — f) + • • • • + (n — + (n — x) = <: n, weil nämlich m 
die Anzahl der Grössen A, B, C, • • • J, K ist. Da nun n -r <k 
die Stufenzahl der Ergänzung von A, /J. h. die Stufenzahl von 
|A ist u. f. w. , fo }s\ das Prqdukt 

[|A1B|C."..|J,K] 
nach Beweis 4 ein rein progressives, folglich (nach H5) 
[ABC- • -JK] ein r.ein regressives. ^ 

.. ll*?. Die Stufenzahl cine^ afein prpgr.^s^ive^^P^Cirtuktes 
ij^t.O, wenn die Summe der Stij^fenzaUeja feiner Faktoren gleich 
der StufenjSfibl n des Hauptgebietes vist, Jn jede^i andern Falle 
ist die Stufenzahi jene«^ Produktes gleich der Summe der Stufen- 
zablen feiner Faktoren. Die StufenzaU eines rein regressiven 
Produktes ist = g — (m -^ l)n, wenn g die Summe der Stufen- 
zahlen feiner Faktoren und m die Anzahl diefer Faktoren ist. 
Bewei^s. F^r zwei Faktoren i«t der Satz in 95 be- 
wiefen. ,Ist nun d^s^ Produkt [ABC* • • JK] ^n rein progressives, 
und find a, ß^ y,- " v, x die Stufenzahlen von A, B, C« • • J., K, 
fo ist die von [AB] = a + ß, die alfo von [(AB)C] = a + ß 
4- y u. f. ,w.; alfo die von [ABC •••J] = a-j-^-j-y-|-"-«r. 
Ist nun cL + ß -{- Y -\ — •t+^'^n, foist nach demfelben 
Satze (95) die Stufenzahi von [(ABC • • • J)K] — a + ß + y 
+ • . • 6 4- *5 wen« aber a + ß +y-i — •t + x = n ist, fo 
ist fie nach demfelben ^atze null. Ist zweitens das Produkt 
[ABC- • -JK] ein rein regressives, fo ist nach dem angeführten 
Satze die Stufenzahi von [AB] gleich a + ß — n, alfo die von 
[(AB)C] gleich a -}- /? -J- / — 2n ü. f. w. , alfo wenn m die 
Anzahl der Faktoren von [ABC* • • JK] ist, die Stufenzahl diefes 

Produktes =a4-/3 + yH [-(. + x — (m— l)n. 

' 118. Das Gebiet eines rein progressiven Produktes ist 
gleich dem feine fömmtlichen Faktoren verbindenden Gebiete, 
und das Gebiet eines rein regressiven Produktes gleich dem 
feinen fämmtlichen Faktoren gemeinschaftlichen Gebiete, vor- 
ausgefetzt, tlass in beiden FnUen das Produkt nicht null ist. 

6 



8i fit* 

Beweis i. Es Tei [AB-*-*] ein rein progressives Prcn 
dukt und A = [si* • • -aq], B = [bi« • »bj, u. f. w., wo »i,« • -Sq, 
bi9 • • * by, u. r. w. Grössen ^sier Stufe find, To erhält man 
[AB...]==[Crfi...aqXbx--..br)....]. 

Da nun das progressive Produkt stets zugleich ein äusseres 
ist, fo kann man (nach 80) die Klammern wegtassen tmd es 
wird der letzte Ausdruck 

— [ar-'aqbi-'b, ]. 

Das Gebiet des Produktes isl alCo (nach 77) das aus feitten 
einfachen Faktoren aj, •••aq, bj, • • -b,,- • • • numerisch ableil^ 
bare Gebiet. Ebenfo ist das Gebiet von A das aus ai,--*a4 
ableitbare Gebiet u. f. w. und (nach 15) ist das aus den Grössen 
zweier 'oder mehrerer Gebiete A, B, ••• ableitbare Gebiet, 
das diere letzteren verbindende Gebiet, alfo das Gebiet des 
progressiven Produktes [AB • • •] das die Faktoren A, B, • • • 
verbindende Gebiet. 

2. Ss fei [AB] ein von null verschiedenes regressives 
Produkt, alfo die Stufenzahlen a und ß der Paktoren^ A und 
B zufammen grösser als n, fo haben A und B ein Gebi^ 
a-f /? — n-ter Stufe gemein; aber auch kein Gd)iet höherer 
Stufe, weil fönst (nach 109) das Produkt null fein würde. 
Alfo lassen fich A und B auf einen gemeinschafllichen Faktor 
D von a -j- /9 — n-ter Stufe von der Art bringen, dass A =5 DB, 
B=DF und D, E, F einfache Grössen find; dann ist (nach i05) 

[AB] = [DEDF] = [DEF].D = D, 
da [DEF] eine von null verschiedene Zahl ist, d. h. das Ge- 
biet von [AB] ist gleich dem den Faktoren A und B gemein- 
schaftlichen Gebiete. Tritt nun noeh ein Faktor C hinzu, 
fo wird 

[ABC] = [DC] = E, 
wenn E das dem D und C gemeinschaftliche Gebiet ist, alfo 
das dem A, B, C gemeinscbaftliche u. f. w. 

119. . In einem reinen Produkte kann man Klsimmern 
beliebig fetzen und weglassen , d. h. 

[A(BC)] = [ABCJ, 
wenn [ABC] ein reines Produkt ist. 

Beweis 1« Wenn das Produkt ein rein progressives ist. 



#t#) 83 

fo ist es Cmxk 94) auch ein ftnsderes, alfo (naoh 80) die 
Klimiraerfetoang gleichgQltig für's Reruttat. 

2. Wenn das Produkt [ABC] ein rein regressives ist, To 
ist (nach 114) das Produkt [!A|B|C] ein rein progressives, alfo 
nach Beweis 1 

[|A(lB|C)] = [iA|B|C], 
d. h. (nach 101) 

[A(BC)] = [ABC]. 
119K Ein reines Produkt behält feinen Werth, wenn 
man feiae Fditoren in lauter Faktoren erster oder (n — ; l)-ter 
Stufe auflöst, je nachdem das gegebene Produkt ein progressives 
•der regressives war. Auch behauptet das Produkt in Bezug 
auf diefe uesen Faktoren feinen Charakter, als rein progressives 
oder rcfressives, d. h. wenn 

P=:[AB-.E] 
ein reines Produkt der Faktoren A, B, • • • E ist, und 

A = [aj- • -aq], B== fBq+i aju. f. w., E = [at+i- • • a«] 

und ai-**aa Grössen erster oder (n — l)-ter Stufe flnd, je 
nachdem das Produkt [AB* • -E] ein progressives oder regres- 
sives ist, fo ist auch 

und zwar auch dies Produkt ein rein progressives oder regres- 
sives, je iMiehdem de» gegebene Produkt [AB* «.«E] es war. 

Beweis. Wenn das Produkt [AB- • •£] ein rein progres^ 
sives ist, fo ist die Sumane der Stufensahlen von A, B, • • -E, 
d. h. u, kleiner als n, lomit bleibt es auch (nach 116) ein 
rein progressives in Bezug auf die Faktoren Ui*«**aa, wenn 
mw statt A fetzt [ai* • «aq] u. f. w., folglich kann man (nach 
118) die Klammern weglassen und erhalt P = [aia^ • • * a«]. 
Ist aber [AB • • • E] ein rein regressives Produkt, fo wird 
[|A|B*-«|E] (nach 115) ein rein progressives; und wenn A 

= [ai- • -aq] ist u. f. w., und ai, an Grössen (n — l)-ter 

Stufe ßnd, fo ist |A=[|ai* • -(aq] u. f. w., wo |ai,- • •\ün Grössen 
erster Stufe lind, fomit nach Beweis 1 

[|A|B...|E] = [|ai M. 

Alfo auch (nach 101) 

[AB E] = [ai an], 

und' dies ein rein regressives 'Produkt (nach 115). 



84 €*•• 

120. Ein reines >Pi*ödükt bleibt (ich feMt kong^nt^ 
wenn man *re Ordnung der Faktoren beliebig ättdert, d. h. 

PA,B = Prf,A. i - . 

Beweis 1/ Sind q und r die Stufensahlen von A und 
B, und ist zuerst das Produkt [AB] ein progressives, fo M 
(nach 58) 

[AB] = (— 1)^^[BA] , alfo [AB] s [BA]. 
Ist das Produkt [AB] ein regressives, die Stufe des Haupt- 
gebietes n*, fo ist' [|A|B] (nach H5) ein progressives Produkt, 
und da n — q und n — r die Stufen von |A uii# |B find 

[|A|B] = (--13t--«P(^-')[|B|A], 
alfo (nach 101) 

[AB] =± (— 1)('^^«)(''-^3^[BA], alfo auch [AB] = [BÄ]. 

2. Ist ferner das Produkt [PAB] ein reines, fo ist 

[PAB] = [P.AB] [H9] 

= [P.BA] 
nach Beweis 1 und nach 2, 40; diters wr^der 

= [PBA] [H9], 

alfo 

[PAB]s[PBA], 
d. h. das Produkt bleibt fleh kongruent, wenn man zwei auf 
einander folgende Fakt#en vertauscht. 

3. I)uroh Vertauschung zweier auf einandef folgender 
Paktoren kann man nun nach urtd nach jeden Faktor auf jede 
beliebige Stelle bringen, alfo den Faktoi^en jede foliebige 
Ordnung geben, während dabei nach Beweiis 2 das Produkt 
fich kongruent bleibt. 

121. Wenn ein reines Produkt zwei einander incidente 
Faktoren, deren Stufenzahl nicht null ist, enthält, fo ist das 
Produkt null, d. h. Pa,b = 0, wenn P reines Produkt und A 
und B incidente Faktoren find. 

Bewejs 1. Sind A und B die einander incidenten Fak- 
toren, alfo der eine dem andern untergeordnet, etwa B dem 
A, fo ist B das gemeinschaftliche Gebiet und A das verbin- 
dende, alfo das Produkt [AB], da die Stufe von B :> 0, und 
die von A <: n ist, (nach 109) null. 

2. Enthält alfo ein Produkt P zwei einander incidente 



Faktoren A uRd B, To kann man (nach 120) die Faktoren To 
ordnen, dass A und B auf einander folgen, wobei das Pro- 
dukt ficfa felbst kongruent bleibt, alfo anch (nach 2) in dem 
einen Falle null bleibt, wenn es in dem andern null ist. Dann 
kann man (nach 119) didfe beiden Fsdkloren in eine Klammer 
scUressen. Ihr Produkt ist null nach Beweis 1 , alfo ein Faklor 
von P nall, $Xo weh P felbst null. 

l'9ft. Bio gemischtes Produkt dreier Grössen [ABC] ist 
dann und nur dann null, wenn entweder [ABJasO ist, oder 
alle dr^i Grössen A, B, C von einem Gebiete von niederer 
als n-ter Stufe umfasst werden, oder ein Gebiet von höhere 
als 0-ter Stufe gemein haben. 

Beweis. Bs feien a, /?, / die Stufenzahien von A, B, C, 
alfo a + /» + y> n und <: 2n (nach 116). Es fei [AB] ^0, 
und fei »erst a + ß:>n etwa = n + '? fo lassen fich (nach^ 
87) A und B auf einen gemeinschaftlichen Faktor (f-ter Stufe 
D bringen, fo dass As=DB, B = DF fmd, fo ist 

[AB] = [DEF3D [105], 

alfo da [AB] moh der Annahme ^0 ist, fo wms aunh [D£F] 
^ fein. Sann ist 

[ABC]=s[DEF][DC], 
alfo, da [DSF] eine von null versdiiedene Zahl ist, fo irt 
[ABC] dann und nur dann null, wenn [DC] es ist. Die Stufe 
von [DC] ist =s<f + y = a + ß — u +Yj «ito "^»1 da a + 
ß + Y<^^ ist. Alfo* ist das Produkt [DC] dann und nur dann 
null (nach 109), wenn D und C ein System^von höherer als 
nullter Stufe gemein haben , d. h. (da D das gemeinfpne System 
von A und B ist) wenn A, B und C ein Gebiet von höherer 
als nullter Stufe gemein haben. Es fei zweitens a + ß=s<:nf 
fo ist [AB]. ein progressives Produkt, alfo, da [AB] nach der 
Annahme ^ ist, das Produkt [(AB)C] (nach 109) dann und 
nur dann nulH wenn [AB] und C, d. h. A, B und C, von 
einem Gebiete niederer als n-tef Stufe umfasst werden. So- 
mit bewiefen. 

120. Die Ordnung, in welcher man mit zwei einander 
incidenten einfaeben* Grössen fortschreitend multiplicirt, ist 
gleichgültig für das Refultat, d. h. 

[ABC] = [ACB], wenn B incidenf C. 



86 (ttS 

Beweis 1. Wenn B oder C von nolltor Sinfe, d. h. 
ZMm find, fo findet die Gleichheit beider S^ten statt (mich 
18> Wenn die Pfodukto reine Tind, To find beide Setten 
(nach 121) null, folglieh ist der Satz nur noch zn wweifea 
ftr den Fall des gemieohten Produktes, in weMiem B und C 
¥on höherer «Is nulUier Stufie find; d. h. (wenn a, j9, / die 
Stufemzthlen von A, B, G Hnd, Bttd n die desBaupIgebietes) 
ftr den Fall, dtsj$ a + ß +x^^ ^ftd <: te und ß imd y von 
RttU verschieden find. Wir ktonra, da die zu erweifende 
Formel fieh nicht findert, wenn man B und C mit einnndor ver- 
wecMett, «nnehmen, dass ^ = <C]r fei, lAiik, da B^tmd & ein- 
ander incident Imd, dass B dem C untergöerdnet Tei. Ausser- 
dem nehmen wir auftehst an, audi A fei eine einfade Grösse. 
Da die Summe a + ß ebenfo gross oder kleiner als tie Snmme 
a + i" ist, fo find nmr drei FftUe mögficb: enlsre^to beide 
Summen find kleiner als n, oder beide grösser als n, oder 
es ist «-fjr==>n und a + jJ = <: n. 

2. Sind beide Summen kleiner als n, alfo auch a + / <^ n» 
fo werden die drei Grössen A, B, C, vKm denen B der Grösse 
C untergeordnet ist, von einem Gebiete a + ^t&r Stat£ef, alfo 
von einem Gebiete von niederer als n-ter Stufe umfasst, fo- 
mit find (naeh 12i) fowohl [ABC] als [ACB] null, alfo 

[ABC] = [ACB]. 

3. Sind a + /J und a + y > n, fo find (n — a) + (n ~ ß) 
nnd (n~ a) + (n — /)<»» alfo imn, da n — a, n — ft 
n^Y die Stafei»ihlen der BrgftncungeR vonA, B, C find, 

[|A|B;G] = [|A|eiB] (nach Beweis 2), 

tffo (nach 101) 

[ABC] — [ACB]. 

4. Ist a + y = > n und a + j! = <: n, ersteres etwa 
= n-f d, wo ^ auch null fein kann, fo müssen (nach 87) Aund 
C fich auf einön gemeinschaftlichen Faktor D von d-ter Stufe 
bringen lassen in der Art, dass C = [D£] fei, wo D und E 
einfache Grössen find und D dem A untergeordnet ist. Dann 
ist E von (y — d)-ter Stufe, alfo die Summe der Stufenzahlen 
von A und E gleich a + y — d = n, fomit iit (nach 108) 

[AC] = [A.DE]a=[AE3D, alfo 
[ACF] = [AE][DB]. 



IM) 87 

Hier ist das Produkt [DB] ein progressives, ^n i + ß:= 
a + ß + Y — ^^^ is^9 indem das^ Produkt ein gemischtes 
Teia folllei Wenn nun [DU] nult ist, To haben (nach 109) D 
und B ein Gebiet von höherer als nuUter Stufe gemein, dann 
haben aber auch, da D dem A untergeordnet ist, A und B 
dies Gebiet gemein, das Produkt [AB] ist aber, da a + j} 
= <n ist, ein progressives, folglich dies (nach i09) null. 
Alfe dau auch [ABG]=0, ebenfo wie [AGB], und forait 
beide eiaand^ gleich. I^ aber [DB] ^0, fo ist, da D und 
B beide dem G untergeordnet flnd, auch ihr verbindendes 
Gebiet [DB] dem Gebiete von C untergeordnet, alfo C (nach 
7%) in der Form [DBF] darstelftar, wo F wieder eine ein- 
fache Grösse ist. Dann wird, da wir oben C = DE fetzten, 
B=sBF gefetzt werden können, und man erh&It: 

[ACB] = [AE][DB] = [ABF][DB]. 
Ferner: 

[ABC] = [AB-DBF] = [ABF][DB] (nach 108), 
weil nftiiilifh D dem A untergeordnet ist, alfo [DB] dem [AB], 
und weil [ABF] = [AE], wie oben gezeigt, von nullter Stufe 
ist Alfo erhfilt man [AC^ == [ABC]. 

5. BiamA Ind, da /} = <^ X aagMummen war, alle 
Ftile erschöpft, fofern A eine einfache Grösse ist. Ist nun 
A eine zufemmeagefetzte Grösse, fo ist Oe imaet (nach 77) 
aus ein&chen Grössen numerisch ableitbar. Es fei A =^a^„ 
wo alle Ar einfache Grössen find, fo ist 

[ABC] = Xa,[A,BC] [44] 

= Xa,[ArCB] [nach Beweis 1—4] 

= [ACB] [44]. 

124. Wenn q, r, s die Slufenzahlen dreier einfacher 

Grössen A, B, C find und n die des Hauptgebietes, fo find 

die Produkte [ABC] und [ACB] nur in folgenden Fällen kon* 

gruent 

[ABC] = [ACE], 

a) wenn a + jJ + y = <n ist, dann ist 

[ABC] = (-.1)"[ACB], 

b) wenn a-{-jJ-f-y = >2n ist, dann ist 

[ABC] = (— iy«-')<'*-»)[ACB], 



86 <*•* 

c) wenn [AB] und [AC] ntil find, dann ist 

[ABC] = [AGB] = 0, 

d) wenn [ABC] ein gemischtes Produkt i«t und A» B 
und C entweder ein Gebiet von höherer als nuttter 9iu£i gfS* 
mein haben oder von einem Gebiete vDn irieAerer als nAet 
Stufe umfasst werden; dann ist . ^, .. . 

[ABC] = [AGB] =0, 

e) wenn q+r + s = n+tist und B und C entweder 
ein Gebiet von t-ter Stufe gemmm haben oder von «inom Ge- 
biete t-ter Stufe umfasst werden; dann ist 

[ABC] = (- iy'-*)Ca-t)|-ACB] , 

f) wenn B und C einander inoident lind; dann ist 

[ABC] == [ACB]. 

Beweis. Formel a) ist in 58 bewiafen. Ist q +r + $ 
= > 2n, fo ist (n — q) -J- (n — r) + (n — s) = <: n, alfo da 
n — q, n — r, n — s die Stufenzahlen der ErgSrnHittgen von 
A, B, C flnd, fo ist in diefem Falle 

[|A|B1C] == (- l)C»-')(n-8>[|A|C|B] (Fwnel a). 

AKo^(nach 101) 

[ABC] = (~ iy"-^>Cn-5)[ACB]. 

Somit ist Formol b hewiefon. l>% in diefan tieid^n Fftllen 
q 4- r + s entweder = <: n oder = >? 2n wap, Ib Jbluftt nur 
der Fall übrig, wo q + r-f s«^« und <i,&i isL« alfo der 
Fall des gemischten Produktes. Angenommen zuerst, [ABC] 
fei null. Ein gemischtes Produkt [ABC] ist (nach 122) dann 
und nur dann null, wenn entweder [AB] =0 ist, oder alle 
drei Grössen A, B, C von einem Gebiete niederer als n-ter 
Stufe umfasst werden, oder ein Gebiet von höherer als nulltcr 
Stufe gemein haben. Tritt einer der beiden letzten Fälle ein, 
fo ist fowohl [ABC] als [ACB] null, und alfo [ABC] = [ACB] 
= 0, fomit Formel (d) bewiefen. Tritt aber Y<>n diefen beiden 
Fällen keiner ein» fo kann [ABC] nicht anders null werden, 
als wenn [AB] null ist; ist dies der Fall und foll dann [ABC] 
kongruent [ACB] fein, fo muss anch [ACB] null fein, dies 
kann aber, da die beiden genannten Fälle ausgeschlossen Tind, 
nicht anders geschehen als wenn auch [AC] null ist, und es 
tritt alfo dann *der Fall (c) ein. Es bleiben alfo nur noch 



«M) 89 

die FiUe des rm null varscbiede^en genissckttm Produktes 
übrig. l>a q + r + s < 2n und >'n iat^ fo köon^■ wir q + r 
-j-s = ii + t retzeii, wo t^O und <:n'tet. Nim feien hier 
(genau wie in 123) drei Fälle uptersoihieden. Erstens der, 
wo die Sttoimen q + s und q + r beide kleii^er als n find. 
Dann ist, da [AB] und [AC] dann von nnU v^s^biedene pro- 
gressive Produkte find, q + r die Stufe voni [AB] und q -f s 
die von [AC]. Dann halben [AB] und ^ (nach /26) einen 
Fifktor von qH-r-fs-— n-ter, d. h. t-terStuXe gemein. Diefer 
fei 9 , und fei C = [D£] , fo ist die ßumme der Stufenzriilen 
von A, B, E gleich n; and" D ist dem. [AB] untergeordnet. 
Folglich ist dann (naeh 108) • . . 

[ABC]==[AB.DE] = [ABE>-0. - « 
- Alfo da [ABE] eine «lahl ist, fo ist [ABC]sD, *fomit 
«fcuirs^, w^enn [ABC] s [AGB] Ci^infdi, auch [A!C6]sD fetfi, 
4. h. [AC] und B müssen {tob auf einen mit kongruenten 
gemeinscbafllichen Faktor brfngen lassen, alfo auch auf. dea 
Faktor J) felbst; folglich muss D dem B untergeordnet fein, 
es war aber auch dem C untergeordnet, d. h. B und C lassen 
nch auf den gemeinschaftlichen Faktor. t-ter Stufe D bringen, 
d. h. haben ein Systeih t-ter Stufe gemein , was die erste Be- 
dingung für Formel (e) ist. Es fei B = [DF], fo ist 

[ABC] = [AB . DE] = [ABE]D [108] 

= [A(DF}E]D = [ADFE]D [119] 

[ACB]=i=[AC.DF]'=[ACF]D [108] 

= [A(DS)F]D = [ADfiFlD [119}. 

Da min C5?=[DE] war, fp ist E von (sr-tHar Stufe, 

TUid da B:Ä'[DiF] war, fo ist F von (r — • l>terjStufe, fwnit 

f [ADFE]D'= (- 1)('-*)C--*) [ADEF]D £58], 

elTo 

[ABC] = (-» l]|('-06B-t)[ACB], 
w«s di& Formel (e) ist. 

Sind hingegen die beiden Summen q+r und q-f s grösser 
als n, fö find die Summen (n ^ q) -4- (n — r),und (n — q) 
-f-(n — s) kleiner als n, und (n — q) + (n — r) + (n — s) 
= n -{- (n — t). Folglich find in diefem Falle (nach Fall e) 
die Produkte [|A|B|C] und [|A|C;B] nur dann einander kon- 



90 i»* 

gTHent, wqpn lieh |B und |C auf eines yomeinschaMichen 
Faktor von (n — t)-ter Stufe bringen lassen. Dierer fei |D 
und fei |B=:[|D1F], |C=:[|D|E], fo ist (nach e) 
[|AtBlC] = (-iy*-)(*-)[|A|C|B]. 
Aber (naah 98) ist dann 
B = [DF], C = [DE] 
[ABC] =(-« iy-'^^'-'^lACB] = G^- 1)<'~*)(-*)[AGB], 
d. h. es tritt die zweite Bedingui^g der Formel (e) und diefe 
reibst ein, indem nSmlich das Produkt B = [DF], da B von 
geringer Stufe als D ist, ats regressives erscheint, und eben- 
fo [DE], und alfo B und C beide dem D untergeordnet find, 
airo von dem Gebiete D umfasst werden, 

Es bleibt fomit nur noch der Fall übrig, wo Yon den 
Summen q + r und q + s die eine, etwa die erstere, ebenfo 
gross oder kleiner, die andere ebenfu gross oder grösser als 
n ist. Dann lassen Hch (nach 26) [AB] und C auf einmi ge- 
meinschaftlichen Faktor q + r H-Ä-^n-ter, d. h. t-»ter Stufe 
bringen. Diefer fei D, und fei C = [DE]*), fo wird 

[ABG] = [AB -DE] = [ABE]D [108]. 

Ferner fei q + s = n -f v, fo haben A und C efnen Faktnr 

von v-ter Stufe gemein, diefer fei F, und fei C = [FG], fo ist 

[AC] = [A . FG] = [AG]F .[i08]. 

Alfo 

[ACB] = [A6][FB]. 
Soli alfo [ABC] = [AGB] fein, fo muss, da [ABE] und 
[AG] von null verschiedene Zahlen^ ßnd, D^[FB] fein, d. h. 
B ist dem D untergeordnet, ^^er auch D dem C, aMb B den 
C mitergeordnet, d. h. B und C flnd einander incident. Dies 
ist die Bedingung def Formel (f) und (nach 123) ist dann 
[ABC] = [ACB]. 
Somit der Satz vollständig bewiefen. . 
12S. In denfelben und in keinen andern Fällen (wie 
in 124) ist 

[BAC] = [B.AC]. 

*) .Sollte q-j-r = n fein, fo. würde £ von nuUter Stufe fein, was 
in dem obigen Beweife mit eingescliloBsen ist, dasfelbe gilt im Fol- 
genden von F. 



«««) 91 

Beweis. Es ist in den in 124 angmiommeften Fällen 
[BAC] s [ABC] [58] 

= [ACB] [123] 

= [B.AC] [58]. 

und umgekehrt folgfl aus der letzten Kongruenz wieder die erste. 
Anm. Es crgiebt fleh ins Befondere für Fall (c) nnd (d) 
[ABC]=[B.AC]=0, 
für Fall (a) und (b) 

[BAC] = [B.AC]. 
Dagegen spaltet fich der Fall (e) in zwei Fälle-, nämlich wenn 
die Summen q + ^ und q + s kleiner als n fwad , fo ist 

[BAC] = (-l)qt[B.AC], 
und wenn jene Summen grösser als n find, 

[BAC] = (— l)(n-qXn-t)(B.AC]. 
Der Fall (f) spaltet ßch in zwei Fälle , nämlich wenn q + r kleiner, 
nnd q -{'S grösser als n ist, fo wird 

[BAC] = ( - l)Kn~«)[B. AC] , 
wenn umgekehrt q + r grösser und q + s kleiner als n ist, 
[BAC] = (- l)(n-r)i(B. AC]. 
Wenn eine der Summen gleich n ist, fo gilt fowohl diejenige 
Formel, bei welcher die Summe grösser, als diejenige, wo fie kleiner 
als n vorausgefetzt war, indem dann beide Formeln identisch werden. 
Auch ist zu bemerken, dass wenn in f, d. h. in dem Falle der Incidenz 
von B und C, die Bedingung eintritt, das^, beide Summen grösser als 
n oder beide kleiner als n find, fowohl [BA], als [B-AC] null werden, 
und alfo zugleich der Fall c oder d statt hat. 

136. Ein Produkt niiUter Stufe bleibt Hch felbst kon- 
gruent, wenn man die Ordnung aller feiner Faktoren umkehrt, 
oder di6 letzten Faktoren in beliebiger Anzahl mit umgekehrter 
Ordnung in Klammern schliesst, d. h. 

[A1A2 • • • • Aj^iA^] = [A^Aa^i A2A1] 

= [Ai-AnAn_i A3]. 

Beweis. Es fei zuerst 

[AiAa....A,.2] = P, 
fo ist 

[AiA2.-.-A,^iAj==[PA„^iAJ. 
Da das Produkt von nuUter Stufe fein foll, fo muss die 
Summe der S.tufenzahlen von P, A^^i, A^ (nach 96) durch 
n theilbar/dfo, da die einzelnen Stufenzahlen >0 und < n 
find, entweder gleich n oder gleich 3n fein; im ersteren Falle 
ist das Produkt der drei Grössen P, A,^_i, A^ ein rein pro- 



9« €<•« 

gressivfe, hn letzUren efti rein regressives, in beiden alfo 
ein reines > fomit (nach 125) 

[PAn^iAnl = [P-A,A„.J, : 
oder 

■ • [A1A2 • • • * An:_i A'J ae [ Ai • • • A^^i • A^An^i]. ^ 
Betrachten wit drefen Ausdruck^ als ein Produkt der drei 
Grössen [Aj- • -An.a], A^.a und fÄnAnl^i]', fö erhallen wir auf 
gleiche Weife den zuletzt gewonnenen Ausdruck 

^ [Ai' • • An_^ • A,|An_iA„_23« 

Wendet man dies Verfahren r-mal an, fo eAält man 

[Ai AJ = [Ai« • • •An«,«.!- AnAn_i- • • A^J, 

d. h. das Produkt bleibt fich felbst kongriient^^ wenn man diö 
letzten Faktoren in , beliebiger Arizah( (r) mit umgekehrter 
Ordnung in Klammern schliesst.' Hiernach wird nun auch 

[A1A2 A J ^ [ Ai • An Aa_i AJ', 

fomit (nach 58) 

= [AnAnl-r--A2Ai], 
alfo auo]^ der erste Theil des Satzes bewiefen. 

§. 7. Zorückleitung und Ersetzung. 

127. Erklärung. Wenn n die Stufenzahl des Haupt- 
gebietes, Ai***Ay die multipiikativen Kombinationen aus den 
n in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Grössen 
erster oder (n — l)-ter Stufe, ai- • 3» zu irgend einer Kltsse 
und Ax**-*Aa die multipiikativen Kombinationen aus m der- 
felben, etwa aus ai,*-*-ain zur gleichen Klasse find, und 

C = OjAi 4- • ' • ' «v Av, 

Cj = cfi Ai 4* • • • • ^u Au 
ist, fo nenne ich C^ die Zurückleitung von C auf das Ge- 
biet [ai aj, unter Ausschluss des Gebietes [«a-i-i- • -aj, 

und zwar nenne ich die Zurückleitung eine pro^gressive, 
wenn ai- • • -8^ Grössen erster Stufe, eine regressive, wenn 
ai* * • -8^ Grössen (n — l)-ter Stufe Tmd. Die Zurückleitmigen 
mehreres Grössen heissen in dem feigen Sinne genommen, 
wenn ße auf dasfelbe Gebiet und unter Ausschluss desfelben 
Gebietes zorückgeleitet find (vergl. .33). 

Anm. Ist z. B. das Hauptgebiet von yierter Stufe (wie^z. B. der 
Raum), und find a, b, c, d vier in keiner Zahlbeziebung zu einander 



1 



stehende Grössen erster Stufe (z. B. vier nicht in ein und derfelben 
Ebene liegende Punkte) , fo ist Ci = [bcj -f- [c*] 4- [ab] (im Räume 
eine Linie) die (progressive) Zurückleitung von C = [bc] + [ca] + [ab] 
+ [ad] f [bd] + [cd] auf das Gebiet fabcj (alfo auf die Ebene abc), unter 
Ausschluss des Gebietes d. Bezeichnen wir ferner [bcd] mit a', [cad-J 
mit b', [abd] mit c' nnd [acb] mit d', fo lind a', b', c', d' Grössen 
(n — l)-ter Stufe, da n— 4 ist und fetzen wir noch [abcd]=l, fo ist 
[b'c']=r[ad], [c'a'] = [bd], [a'b'] = [cdj, [a'd'J =5 [bc] , [b'd'] = [ca], 
[c'd'] = ab , und es wird 

C = [a'd'] + [b'd'] + [Cd'] + [b'C] + [c'a'l + la'b']. 

Dann wird, wenn 

C' = [b'c'j + [c'a'l + [a'b'] 
ist, C die (regressive) Zuriickleitung von C auf das Gebiet [a'b'c'], 
unter Ausschluss des Gebietes d', fein, d. h., da [a'b'c'] = fcd*abd] 
^d, und d'^[abc] ist, C ist die Zuruckleitung von C auf das Ge- 
biet d, unter Ausschluss des Gebietes [abc]. So erscheint alfo in der 
Geometde die ^äai>ackleitung einer Linie auf eine Ebene als progre^ive 
Zorflekleitung^ und die einer Linie auf einen Punkt als regressive 
Zurückleitung. Die ZurackJeUung felbst ist in der Geometrie gleich- 
bedeutend mit der Projektion im weitesten und prägnantesten Sinne 
des Wortes (f. u.). ' 

Wir haben oben (33) die in der Definition bestimmte Grösse Cj 
die Zurttcl^eitung der Grösse auf das Gebiet der Grössen Ai, Aa,* •• 
A« genannt. Diefer Benennungsweife haben wir hier die für die An« 
Wendung bequemere zur Seite gefetzt. 

1^. sl^e nachdem die Stufenzahi dßs Gehjetes, auf 
weliches zurüekgelßitet wird 9 grösser oder ktei^er als die 
Stufenzahi der zurückgeleiteten Grösse isl, erscheint die Zu- 
ruckleitung als progressive oder regressive. Wenn die Stufen- 
zahl jenes Gebietes gleich der Stufenzahi der zurückgeleiteten 
Grösse ist/ fo kann die ZurückleHung fowohl eine progressive 
als eine regressive fein. 

Beweis. Es feien ai a^ Grössen erster Stufe ^ die 

in keiner Zahlbezieihung zu einander stehen^ und feien A^ 
• • • Ay die multiplikativen Kombinationen aus ^x' "^n ^^^ p-ten 
Klasse, und Ai**-Aa die multiplikativen^ Kombinationen aus 
ai*--aiii zur p-teh iLhsse und 

C = (tiA-i -[-••• Ov Ay 

Ci = aiAi + • • 'CuAii, 
alfo (nach 127) C^ die progressive Zuruckleitung der Grösse 
C auf das Gebjet [af-am], unter Ausschluss des Gebietes 



94 (tW 

[am+i* • '«nlj fo würde es, wenn m < p wäre, gar keine Kom- 
binationen aus ai**an zur p-ten Klasse geben, alfo auch 
keine progressive Zurückleitung. Es muss aUo für die pro" 
gressive Zurückleilung m > = p fein , da aber m die Stufen- 
zahl des Gebietes [ai* • -a^] und p die der multiplikativen Kom- 
bitiatiohcn Äi,*--- A^, alfo stuch die von C ist, To muss die 
Stufenzahl des Gebietes, auf welches zurückgeleitet wird, 
ebenfo gross oder grösser fein als die der zurückgeleUeten 
Grösse. Macht man im Uebrigen diefelhen Annahmen wie 
vorher, mit dem einzigen Unteri$chiede, dass ai,- • »8^ Grössen 
(n — l)-ler Stufe find (in dem Hauptgebiete n-ter Stufe), fo 
ist die Zurückleitung eine i:egressive; und a]ich hier muss, 
aus gleichem Grande wie vorher, m^ = p fein. Aber dann 
ist (nach 90) die Stufenzahl von [ai* * 8^] gleißb n -^m und 
die von C gleich n -r- p, fomit, dan — m-<==Ji — p ist, Hb 
ist die Stufenzahl des Gebietes, auf welches zurückgeteitet 
wird, ebenfo gross oder kleiner als die d^ zurückgeleiteten 
Grösse, kt alfo die Stufenzahl jenes Gebietes grösser oder 
kleiner als die Stufenzahl der zupückgeleiteten Grösse^ fo wird 
die Zurüekleitung im ersteren Falle eine progressive-, im 
letzterea eine regressive fein. Sind hingegen die genannten 
Stufenzahlen einander gleich, fo wird die Zurtckleitting fo- 
wohl eine progressive als auch eine regressive fein können. 

129. Die Zurückleitung A^ einer Grösse A auf ein Ge- 
biet B, unter Ausschluss des Gebietes C,.ist 

A'= S-^, alfo A'= [B- ACJ, wenn [BC] = 1 ist. 

Beweis. Es feien ai-^^a^ n in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehende Grössen erster oder (n — l)-ter Stufe, und 
Ai***Av die multiplikativen Kombinatfoneri aus ai-**aa, und 
Ai • • • Au die aus ai • • • a,n "»d A = OiAi -f • . . . Oy Ay, alfo 

A' = OjAi H OuAu, und fei [ai- • -aj = B, [ü^^i aj 

= C, To ist 

[AC]=[(aiAi -i OuAu + au+iA^+i -| avAv)C]; 

aber da Ai,-«-,Au dio Kombinationen aus ai • • • a^ find und 
Aa-^i***Av diejenigen Kombinationen aus ai-**a,^, welche 
nicht zugleich Kombinationen aus ax***ani find, fo muss 



jede der Grössen Aa^-i, • • -Ay inindesitens einen der Faktoren 
8iii+i**'>^B enthalten, alfo mindestens einen Faktor mit C = 
[»m-fi* * »ji] gemein haben. Die Produkte [Au+iC], • • • [AyC] 
find aber in Bezug auf die Faktoreaai* • »as reine (nach 114), 
fomit, da fle gleiche Faktoren enthalten, null, alfo wird 

[AC] = [(«lAi + . . -Ou Au)C] = ai[A^C3 + • • .aa[A,»C]. 
Fo^Iich ist 

, [B.AC] =«i[B.AiC] +. . .aa[B.AuC]. 
Da nun jede der Grössen Ais**** Au aus Faktoren be- 
steht, die in B enthalten find, To ist j<^ derfelben ipit B inr 
cident, Tomit, da auch die Stufenzahlen von B und C zufammen 
n betragen, fo ist (nach 108) 

[B.AiC] = [BC]Ai, . . . ., [B-A^C] = [BCJAu, 
alfo 

[B . AC] = [BC](aiAi + • - • «u Au) = [BC] A'* 
Alfo, da [BC] eine Zahl ist 

^ ~ [BC] • 

' 1^0. Jede Gleichung, deren Glieder Vielfache je einest 
Grösse m-ter 9tufe find, bleibt bestehen , wenn man statt aller 
diefer Grössen ihre in demfelben Sinne genooimenen Zurttok- 
leitungen fetzt; oder wenn 

P = aA+i9B+... 
ist und B^, A^, B V * * die in gleichem Sinne genommenen 
Zurückleitungen von P, A, B,«*- und a, jS, ••• Zahlen find^ 
fo ist audi 

P' = aA' + iJB'4---. 
Beweis. Es fei Q das Gebiet, auf welches zurüekge« 
leitet wird, und R das ausgeschlossene Gebiet und [QK] = 1^ 
fo erhUt man aus der Gleichung 

P = aA + /JB -I , 

durch Multiplikation 

[pR] = a[AR]+i?[BR] +.•• 

und 

. [0-PR] = 40-AR]^iJ[0BR]+..-, 
d. h. (nach 129) 

P = aA' + i3B'+---. 



9« Ci»i 

131. Die progressive Znrückleitung eines rein pro- 
gressiven und die regressive eines rein regressiven Produktes 
ist gleich dem Produkte der in demfelbcn Sinne genommenen 
Zurückleitungen der Faktoren jenes Produktes, d. h. wenn 
das reine Produkt P 

P = [AB...E] 
ist, und P^ A', BV'E' die in gleichem Sinne genommenen 
Zurückleitungen von P, A, B,*-E Tind (und zwar progressive 
oder regressive, je nachdem das Produkt progressiv oder 
regressiv ist), fo ist auch 

P=[A'B'-..E']. 
Beweis. Es fei A = [ai" • -aq], B = [aq+i« • • -aj, • • • 

E = [at+i av] , wo ai* • • • «v Grössen erster oder (n — l>ter 

Stufe Tind, je nachdem das Produkt [AB* • -E] ein progressives 
oder regressives war. Dann ist 

P = [ai av] 

ein reines Produkt von Grössen erster oder (n — l)-ter Stufe. 
Ferner fei = [«!••• «ml <las Gebiet, auf welches zurück- 
geieitet wird, R = [Um-{i* * 'Uj das ausgeschlossene GebJet und 
[OR] = i , wobei Uj • • • • u^ Grössen erster oder (n — .l)-ter 
Stufe ßnd, je nachdem ai**aTes find. Nun ist (nach 129) 

P' = [OPR] 

= [ui Ua(ai- • • ay • Ujj+i uj]. 

Wenn nun das ursprängliche Produkt [AB- «-E] ein pro- 
gressives ist, fo foll auch die Zurückleitmig eine progressive, 
d. h. (nach 127) die Stufenzahl von Q eben fo gross oder 
grösser als die von P fein, d. h. m = > v, folglich v -f n — 
4n <^ n, d. h. das Produkt [ai- • -8^ • Uni4i» • • »uJ ein rein pro- 
gressives, alfo auch =3= [ai avU^^i* • «^«uj, pnd da alle 

Faktoren von erster Stufe ßnd, ein kombinatorisches -(nach 
94, 78). Nun fei 

a, = afr>Ui+....aWu„, 
fo können wir (nach 67) in dem Produkte [aj- • ayUa+i* • • -Ub] 
statt a, = a^^\ • • • • a^^Uj^ fetzen : aJ'^Ui + • • • a^^Uj^, weil 
UiB+i****Q]i als Faktoren in jenem Produkte vorkommen; aber 
a^')U| + o^^V 15^ i^^ Zurückleitung von a, auf das Gebiet 



«•«> 97 

0= [Uf •]]„]> init Ausschluss des Gebietes R3=[Uai4.i* • •uj. 
Somit wird ^ wenn wir diefe Zurückleitung niit a^^ beteicfanen 

P' = [Ui...u„ a',--a'vUa4.i-- uj. 
Hier ist a'f • • «a^ dem Uj- • «u^. untergeordnet, alfo (nach 108) 
P' = [öi- • «nl-K- • .a'v] = [a'x. . . .a'.]. 
Aus gleichem Grunde ist 

A' = [a^. . . .a'^], B^ = [a',41. • • .a'J, • • • 
E' = [aW....a'v]. 
Somit 

P=[A'B'....Ea 

2. Wenn das ursprüngliche Produkt [AB- • •£] ein regres- 
sives ist, und alfo auch die Zurüekleitung von P auf 0, unter 
Ausschluss von R, eine regressive, d. h. die Stufensahl von 
P kleiner <ider abenfo gross als die von Q ist, fo kehrt jRch 
das regressive Produkt und ebenA) die regressive Projektion 
(nach 115 und 90 Zufatz) in das progressive Produkt und in 
die progressive Projektion um. Sind daher Pj, Qi, Ri, Ai, 
Bi,*--Ei die Ergänzungen von P, Q, R, A, B,**-E, und 
P'i, A'i, B'i--.E'i die Zurückleitungen von Pj, A'i, Bi,-..Ei 
auf Ol) unter Ausschluss von R^, fo ist (nach 101) 

Pi = [AA. -EJ, 
und nach Beweis 1 

(*)P'i = [A'iB\...EU 
Ferner ist (nach 129) 

P' = [O.PR], P', = [Oi.PiRJ = |[OPR] (nach 98), 
alfo P'i = |P und ebenfo A^ = |A', B'i = |B^. . •, alfo (nach ♦) 
|P'=[|A1B'.'..tE'] 
P' = [A'B'-.-E'] (nach 101). 

3. Sind nun endlich A, B,- • •£ zufammengefetzte Grössen, 

A = ^«rAr j B = ^ßßa , • • E = ^^vEy, 

wo Ar, Bg,* • • Ey einfache Grössen find und find A',, B^., • • • 
E'v die Zurückleitungen von A,, B,,*** Ey, fo ist 

p= [z^r'Zß ßs'-z ^] =Zc^^r--^v[A,B,...Ev] 

= Xör^a---«vPr,.,..v, wenn P,^.,..t = [A^. • -Ev] ist. 
Alfü (nach 130) 

P' = ZaA ''^^P'T;TTr: Za.iS,...fv[ATBV~E'v] 

7 



98 (»»« 

nach Beweis 1 und 2; und dies 

= [^^KZßJ's • • • -X^^] ' ' [nach 45] 

= [A'B'....E'] [i30]. 

132. Das reine Produkt von Grössen erster Stufe oder 
von Grössen (n — l)-ter Stufe in einem Hauptgebiete n-ter 
Stufe ist ein kombinatorisches Produkt diefer Grössen. 

Beweis. Das reine Produkt von Einheiten erster Slufe 
ist (nach H4, 94) ein progressives, alfo (nach 94) ein äusseres, 
alfo (nach 78) ein kombinatorisches Produkt der Einheiten, alfo 
auch (nach 52) das reine Produkt von beliebigen Grössen erster 
Stufe ein kombinatorisches Produkt diefer Grössen. Das reine 
Produkt von Grössen (n — l>ter Slufe ist aber (nach 101) 
genau deJifelben Gefetzen unterworfen wie das von Grössen 
erster Stufe, alfo auch den Gefetzen der kombinatorischen 
Multiplikation, d. h. jenes Produkt ist ein kombinatorisches 
Produkt jener Grössen (n — l)-ter Stufe. 

133. Eine Gleichung, deren Glieder Grössen m-ter 
Stufe find, wird, wenn n die Slufe des Hauptgebietes ist, 
durch fo viel Zahigleichungon erfetzt, als es Kombinationen 
ohne Wiederholung aus n Elementen zur m-ten Klasse glebt, 
und zwar erhält man einen erfetzenden Verein von Gleichungen, 
indem man die gegebene Gleichung nach und nach mit den 
multiplikativen Kombinationen zur (n — m)-ten Klasse aus einer 
beliebigen Schaar von n Grössen erster Stufe, deren Produkt 
1 ist, multlplicirt. 

Beweis. Es fei 

(a) p = A + B+... 
die gegebene Gleichung, in welcher P, A, B,«« Grössen 
m-ter Stufe find, es feien ferner Ci, • • • e^ Grössen erster Slufe, 
deren Produkt [oi- • ^ -ej = 1 fst, und feien Ej, Ej, • • • Ey die 
multiplikativen Kombinationen zur m-ten Klasse aus ei,*-*e,^, 
und Fl, F2,--*Fv die ergänzenden Kombinationen, d. h. die 
Kombinationen aus denfelben Elementen zur (n — m)-ten Klasse 
und zwar fo geordnet, dass [EiFi]=[E2F2] = - • =[EyFy] = l 
fei, fo ist zu zeigen, dass die obige Gleichung erfetzt wird 
durch den Verein von Gleichungen, der aus 

CO [PFj = [AFJ + [BFJ+.v 



t»«) 99 

dadurch hervorgeht, da«s man statt r nach und nach Tetzt 1, 
2, • • • V. Es find (nach 77a) P, A, B, • • • numerisch ableit- 
bar aus Ei*-*Ev. Nun Tei 

P = TTiEi -{ TTvEv, A = OjEi -) OvEv, 

B = ^lEi + • • '/^vEy, • • • 
To ist 

[PF J = [Z^ÄFJ = 2.^.[B«FJ. 
Aber da E« und F,, wenn s ^ r ist, noth wendig gleiche 
Elemente (ei, «ej als Faktoren enthalten, (o ist für diefen 
Fall [E,FJ = 0, alfo 

[PFJ=7r,[E,FJ = ^,. 
Aus gleichem Grunde ist 

[AFJ=a„ [BF,] = /J„.... 
Gilt nun die Gleichung (a), fo gilt auch die aus ihr durch 
Multiplikation hervorgegangene Gleichungsgruppe (b). Gilt um- 
gekehrt die letztere ,^ fo hat man für jedes r von 1* • -v, in- 
dem man für [FFJ, [AFJ, [BFJ, • - die gefundenen Werthe 
fetzt, 

^T = ^ + ßT + -, alfo auch nß^ = aß^ + ßß^i- • • • 
für jedes r von 1 bis v. Addirt man diefe Tämmtlichen Glei- 
chungen, fo erhält man 

d. h. 

P = A + B+... 
Somit erfctzen fich die Gleichung (a) und der Gleichungs- 
verein (b) gegenfeitig. 

Zufatz. Ist ins Befondere 

A = nßi 4" O2E2 -{-•••, 
fo ist 

[AFj = a„ 
d.h. [AFi]=ai, [AF3]=a2,--. 

§. 8. Elimination der Unbekannten 

aus algebraischen Gleichungen durch kombinatorische 

Multiplikation. 

134. Aufgabe. Aus n Gleichungen ersten Grades mit 
n Unbekannten dicfe zu finden. 



100 



et»« 



Auflöfung 1. Die n Gleichungen feien 

(a) j«?>ifi + <^X2 +...• + <%„ = !?<»> 

Man multiplicire dlefe Gleichungen beziehlich mit n exten- 
fiven Grössen e^*^, e^^\" - e^^\ deren kombinatorisches Pro- 
dukt Eins ist, und addire He, fo erhält man, indem man 



(b) 



'a(i)eC') + af)eW+. 
aCi)e^i)4-<^eW-[.. 



a<">e(">=s:ai 



a^eO) + af)e(») + • • • alJ^Je^"») = a« 



fetzt, die Gleichung 

(c) Xiai + Xjaj -i + x^a^ = b, 

eine Gleichung, welche die gegebenen Gleichungen (a) erfetzt. 
Um aus ihr Xi zu finden, fügt man beiden Seiten der Glei- 



[«1102 «3 



chung die Faktoren a^ , as , 
[a^ajas • • • aj, [agaaag • • • aj 
find, 

(d) Xi[aia2 • • • • a J = [ba^ag • • • • a J. 
Und ebenfo 

XaCaiaj • • . aj = [aibaj • • • aj u. f. w, 
Angenommen nun zuerst, das Produkt [aida 
gleich null, fo erhält man 

^ _ [baaas aJ 



a^ hinzu, fo erhält man, da 
a J (nach 76) null 



•aJ fei un- 



(e) 



[aia2a3---aj' 
und ebenfo 

[aM aJ 



X2 = 



^ _ [aiaa-'an-ib] 

' [»10203 ^uY ' ° [aiaj a^_ia J' 

Es ist für dieren Fall noch zu zeigen , dass dieFe Werlhc 
der Unbekannten in der That der Gleichung (c) genügen. Da 
das Produkt (aia2*-**aj nach der für dieren Fall gemachten 
Annahme ungleich null ist, fo stehen ai,* • a,^ in keiner Zahl- 
beziehung zu einander. Da nun ai,* • -a^ aus ei,* • • «Cn nume- 
risch abgeleitet find und in keiner Zahlbeziebung zu einander 
stehen, To muss (nach 21) jede ans ei • • • e^ numerisch ab«^ 



«M) 101 

leitbare Grösse, aKo namentlich b, auch aus a^* • *b^ numerisch 
ableitbar fein; es fei b = yiai + yjaj +• • • Yna^. Substituirt 

man diefen Werth in (e), fo wird Xj = yi, Xj = yj, 

Xn = Yn, alfo xiai + X2B2 H + x^a. = yiai + y^a^H 

y^an, d. h. = b. Alfo wird der Gleichung (c) durch die Werthe 
(e) genfigt, fomit auch den ursprünglichen Gleichungen. 

Angenommen zweitens, das kombinatorische Produkt 
[aia2'*'aj fei gleich null, fo stehen ai****an in einer Zahl- 
beziehung zu einander, dann muss es unter ihnen (nach .17) 
folche geben, die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, 
und aus denen die übrigen numerisch ableitbar find; es feien 
dies ai,**-ar und feien ar4.i,***an aus ihnen numerisch ab- 
leitbar. Dann muss alfo vermöge der Gleichung c auch b aus 
diefen Grössen a^ • • • • a, numerisch ableitbar fein. Tritt alfo 
der Fall ein, dass, vermöge der Natur der gegebenen Glei- 
chungen, b nicht aus ai a^ numerisch ableitbar ist, wäh- 
rend es doch a^fi, * * «an find, fo enthalten jene Gleichungen 
einen Widerspruch. Wird hingegen diefe Bedingung erfüllt, 
fo fei die Gleichung (c) in der Form geschrieben: 

xiai + X2B2 -I x,a, = c, wo 

c = b — x^ia^i — x^^^j^ x^a^ 

ist, und man erhält 
. (^H X — t^M3""«r 3 ^ _ [axca3»>>aj ^ ^ ^ 
^ [aia^ag • . • a J' ^ [»18283- --aj 
_ [aiaa'--a^iC] 

'"[Ma a,r 

während x^fi bis x^ ganz willkürlich flnd. 

An m. Setzt man für die Grössen a^ • • • 'an und b in der Gleichung 
(e) ihre Werthe aus (b) ein, fo erhält man, vermöge 79, die bekannten 
Ausdrücke 

_ Z + ^i^ß^^'^^B^'" <°^ 

- Ich füge hier noch ^einc zweite Auflöfungsmethode bei, welche 
zwar auf den ersten Anblick nicht fo einfach erscheint, aber dennoch 
ihre grossen Vorzüge hat, und deren eigentliches Wefen späterhin 
in ein noch helleres Licht treten wird : 

Auflöfung 2. Man bringe die fömmtlichen Gleichungen 
auf die Form, dass ihre rechte Seite null ist. Die Gleichungen 
feien 



102 



CiS« 



(«) 



oW + <»>xj + af)x,+. 



+ oWx„ = 



DO» 



«W + a(«)x, + «Wx, +••••+ cWx„ = 0. 
Die Gleichungen find alfo diefelbcn wie in der vorigen 
Auflöfung, nur dass a§^ = — ß^^ ist. Der Symmetrie wegen 
fügen wir nocli dem ersten Gliede jeder Gleichung die Un- 
bekannte Xo als Faktor bei , die wir dann schliesslich gleich 1 
Fetzen. Nun nehme man ein' System von (n -{- 1) Einheiten 
an, deren Produkt Eins ist. Dann ist (nach 91) 
[eo|eo] = [Cilci] = [eale^] =....= [ejej 
= [eoe,e2--.eJ=l, 
(j}) i Ferner ist, da je, (nach 96) alle übrigen Ein- 
heiten ausser e, als Faktoren enthält, 
[e,|ej = 0, wenn r^s ist [nach 60]. 

Wenn nun 

f Xo|oo + Xi|ei + • • • • x„|e, = X 
«w eo + oW Ol -j- . . • aw e.= a(» 
(y) { oWeo +afJe, + • • • 0^6.= a^ 

• • • 

«S'^'^o + <^ei + • • • • a^»>ea= a^»») 
gefetzt wird 9 fo ergiebt Tich leicht, dass die gegebenen Glei- 
chungen (a) identisch flnd mit den Gleichungen 
r[aa)X] = 

^_ l[a(^)X]=0 
(ö) ^ 

[aC»)X] = 0. 
In der That, fetzt man z. B. in der ersten diefer Glei- 
chungen statt df^^ und X ihre Werthe aus (/), fo wird die- 
felbe vermöge des Gleichungssystems (ß) identisch mit der 
ersten der Gleichungen in (a) und fo bei den übrigen. An- 
genommen nun zuerst, a^^>****a(°> stehen in keiner Zahlbe- 
ziehung zu einander. Da X eine Grösse n-ter Stufe ist und 
fie mit jeder der n Grössen erster Stufe a^*^, a^^« • • •a^*^ die 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, zu einem kom- 
binatorischen Produkte verbunden, null giebt, fo muss X (nach 
84) mit dem kombinatorischen Produkte jener Grössen in 



flt4) 103 

einer Zahlbeziehung stehen, alfo ist, wenn X eine noch un- 
bestimmte Zahl ist, 

(0 X = ;iA , wo A = [aO)a^*) • • - • a^-^^] 
ist; und da aus diefer Gleichung wieder umgekehrt die Glei- 
chungen (<r) folgen, fa ersetzt fie die Gleichungen ((^), alfo 
auch die ursprünglichen (a). Fügt man nun zu der gewon- 
nenen Gleichung den Faktor eo hinzu, fo erhält man, da 

[eoX] = [eo(Xe|eo + Xi|eo H )] = XoKleo] + Xylo^e^] + • • •, 

d. h., vermöge (ß), = XQ ist, die Gleichung 

(f) J und ebenfo 

[ Xi=A[3iA], X2=A[e2A], 
d. h. 

(7]) Xo : Xj ; Xj :. . . . = [cqA] : [e^ A] : [CjA], 
. und da Xq gleich 1 ist, fo hat man l=A[eoA] 

. (^) ^^-[eoÄ]'^^-!^]' • 

Die Auflöfung ist alfo nur dann möglich, wenn [OqA] von 
null verschieden ist; wenn hingegen [eoA]=0 ist, obwohl A 
von null verschieden ist, fo lehrt die Gleichung l=:i[eoA], 
dass dann die gegebenen Gleichungen einen Widerspruch ent- 
halten. Ferner lässt fich zeigen, dass in dem angenommenen 
Falle (A ^ und [OoA] ^ 0) die Werthe (5*) die gegebenen 

1 
Gleichungen (a) erfüllen. Denn wird A= — r^ gefetzt, fo 

werden die Gleichungen (C) erfüllt^ die wir auch fo schreiben 
können : 

[eoX] = A[eoA], [e,X] = A[eiA]. • • • 
oder 

= [co(X - AA)] = [e^CX — XA)] u. f. w. 
Alfo giebt die Grösse n-ter Stufe X — X\. mit dem System 
der n -f- 1 Einheiten Cq , - • • * e^ einzeln kombinatorisch muUi- 
plicirt null; alfo ist (nach 85) jene Grösse felbst null, d. h. 

X- AA = 
oder 

X = AA, 

welche Gleichung nach dem Obigen die gegebenen Gleichungen 
(a) erfelzt. 



104 (tS* 

Angenommen fei zweitens, a^^V ^^\' ' •»^'*^ stehen in einer 
Zahlbcziehung zu einander, ohne jedoch alle null zu Tein, To 
giebt es (nach 17) unter ihnen eine Schaar von Grössen, 
welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen und aus 
denen die übrigen numerisch ableitbar find; es mögen a^>) 
^w...,^ir) QiQQ folche Schaar bilden, und die übrigen a('+^>, 
• • • »ifi"^ aus ihnen numerisch ableitbar fein; und fei z. B. a(''> 
= aia^*^ + «aÄ^*^ +• • '^^% ^^^^ ergiebt fich auch für jedes 

[a('»)X] = ai[a(i)X] + a^Ca^X] + • • • a,[a«X] 
ist, d. h. es wird die n-te der gegebenen Gleichungen aus den 
r ersten gewonnen, indem man diefe beziehlich mit ai, »2' " 
a, multiplicirt; d. h. die n-te Gleichung ist aus den r ersten 
Gleichungen numerisch ableitbar, jeder Werlh X, der diefe 
erfüllt, erfüllt auch die letzten. Es bleiben alfo nur r Glei- 
chungen zu erfüllen übrig, und können fomit die (n - r) letzten 
Unbekannten willkürlich angenommen, und dann die übrigen 
nach dem obigen Verfahren bestimmt werden. 

Anm. Die zweite Auflörangsmethode hat den Vorzug, dass Sie 
den fämmtlichen n Unbekannten Eine einzige Unbekannte n-ter Stufe 
fabstituirt und diefe aufs Einfachste finden lehrt. 

135. Aufgabe. Aus n -f 1 Gleichungen, welche in 
Bezug auf n Unbekannte vom ersten Grade find, diefe Un- 
bekannten zu eliminiren. 

Auflöfung. Die Gleichungen feien 

' a(ö> + a^xi + aWx2 +->- .a(J»x„ = 

(a) j <^ + <^^* + <^^^ +• • • -«S^^^n^ 

a^^ + aC-)x, + a(»)x2 + • • • .<»>x^ = 0. 
Multiplicirt man fie beziehlich mit n -f 1 Grössen e^^^ e(^\ 
e(2). . •e^'^), welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, 
addirt die (o gewonnenen Gleichungen und fetzt 

' ag»e(0) + a<i)c(») + «S'^e^'^ + • • • <>e^"^ = a« 

(b) ^i^^^""^ + «?^®^^^ + ^i'^*^^*^ + • • • «i°^^^"^ = «1 

afe^o^ 4- a^i)>) + a^^Je^^) -f- • • .a^)e^°> = a^ 
fo erhält man 

(c) ao + Xiai + Xjaa + • • • x^a^ = 0. 



4M) 



105 



Fftgt man die kombinatorischen Faktoren ai , aa ^ • • • a^ 
hinzu, ro erhält man, da [aiai^3-*aj u. T. w. null find, 

(d) [aoaia2----aJ = 0, 
was die verlangte Eliminationsgleichung ist. 

136. Aufgabe. Aus zwei Gleichungen, welche in 
Bezug auf eine der Unbekannten algebraisch und von beliebi- 
gem Grade Tind, dlefe Unbekannte zu eliminiren. 

Auflöfung. Es fei, in Bezug auf die Unbekannte y, 
die eine Gleichung vom m-ten, die andere vom n-ten Grade, 
und feien die beiden Gleichungen 

, . /ao+aiy+ ...+ a^r = 
^"•^ ibo+b,y+-- + b„y» = 0, 

wo ao , ai , a^ und b© , bj , • • • • b^ beliebige Funktionen 

der andern Unbekannten find. Hultiplicirt man die erstere 
nach und nach mit 1, y, y^, y"""^, die letztere nach und 



nach mit 



1, y, y'>----y°^ 

ao +aiy +. 
aoy + • 



(b) 



fo erhdit man die Gleichungen 

••+a^y"^ 



+ a«y- 



bo + biy + • 
+ boy+. 



aoY' 






+ a„y*+»^ 



boy°»-^ + b„y«^^»-^ 

Multiplicirt man diefe nach der Reihe mit n -f- ni Einheiten, 
die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, nämlich Oi, 
ß2> • • ' <^in4n> addirt die fo gewonnenen Gleichungen und fetzt 
aoCi + boe^-i-i = Ui , 
ajCi -[- aoCa + bje^^i + boC^^a = u^, 

(c) a2el+ale2 + aoe3-hb2e^4-l+ble„+2 + boen^-s=U3, 

am^n + bnCn-j-a = U^-fn , 

fo erhält man die Gleichung 

(d) ui + U2y + Uay^ + - . . . u^+^y^f-^ = 0; 

und fügt man ihr die kombinatorischen Faktoren Uj , U3 , • • • 
u^^n hinzu, fo erhält man: 

(e) [uiU2U3..-.u^fJ=0, 

was die verlangte Eliminatiousgleichung ist. 

7* 



106 



(•»• 



1> 



Aufl{drung 2. Es Teien die gegebenen Gleichungen die- 
felben wie in Auriöfung 1 (a), und Tei aus ihnen das System 
(b) abgeleitet. Man nehme n -{- m Einheiten e^ , ei , • • • • en-f., 
deren Produkt = 1 ist. 

Wenn nun 

i Äo^O "T" Äiej "T- • * • • ' ®m®m ^^^ ^0 



Cd) 



boCo + biCi +.. 



^m^mH-n— 1 — ^n—t 



hn^n = do 



[ boem-1 +. bie„ -I • b„e„_^a_i = d^^t , 

fo werden die Gleichungen (b) gleichbedeutend mit den Glei- 
chungen 

,., rcoY = c,Y=...= c,_,Y = 
^^ \ doY = diY =. . .= d^_iY=0. 
Da nun Y eine Grösse n -}- m — 1-ler Stufe ist, die nicht 
null ist, fo müssen die n -{- ni Grössen Cq, Cj, ••••, Cn_i, 
^0 9 ^ij " * * 9 ^m-i in ®iner Zahlbeziehung zu einander stehen 
(nach 85). Airo hat man 

[CoCi c„_idodi dm_i] = 0, 

was die verlangte Eliminationsgleichung ist. 

Anm. 1. Es lässt fich bei dlefer letzten Methode noch die Unbe- 
kannte y auf eine fehr einfache Weife ausdrücken, wenn nämlich 
vorausgefetzt wird, dass es unter den n + m Grössen Cq, c^, •••cn-i 
do) dl,* • -dm— 1, folchc n -j* m — - 1 Grössen giebt, welche nicht in einer 

Zalilbeziehung zu einander stehen ', es feien dies etwa c^ cn~i, d«, 

di--**diu— 1 und fei ihr kombinatorisches Produkt der Kürze wegen 
mit A bezeichnet j dann folgt (nach 84) aus den Gleichungen 

CiY = CjY =. . = cn-iY = doY= diY = . • . dm-iY, 
dass 

Y = pA 
ist , wo p eine unbekannte Zahl darstellt. Aber nun ist Y = E« -f" 

yE, -I , alfo [CflY] = [coEoJ = 1 und [ejY] = y, alfo hat man 

l=::eoY=xp[eoA] 
y = eiY==p[eiA], 
alfo, indem man die zweite durch die erste dividirt, 
[e,A] 
^ ~ [e.A] ' 



«•t> 107 

wodurch y gefanden ist, wfthiend ^ie Eliminationsgleichang in der 
Form 

[coA]=0 
erscheint 

Anm. !^ Diefe Aaflöfangsmethoden.On der ersten der hier mitge- 
theilten Formen) habe ich bereits in der ersten Aasgabe der Aus- 
dehnnngslehre (1844) mitgetheilt, und von ihr in Grunert's Archiv 
(1845) einen Auszug gegeben. Späterhin hat Cauchy in einer Reihe 
von Auffätzen , welche in den Comptes rendus von 1854 veröffentlicht 
ßnd, diefelbe Methode mitgetheilt, ohne jedoch meiner oder meines 
Werkes, welches ich ihm bereits 1845 zugeschickt hatte, Erwähnung 
zu thun. In Folge einer Priori täts-Reclamation, welche ich in diefer 
Beziehung an die Pariler Academie der Wissenschaften richtete, ist 
eine Commission zur Prüfung derfelben ernannt worden-, ohne dass 
jedoch darüber bisher Bericht erstattet wäre; was freilich auch kaum 
nöthig erscheint, da die Sache felbst keinem Zweifel Raum lässt. Zu 
erwähnen habe ich noch, dass ich durch die Cauch/schen Auffätze 
veranlasst bin, die Klammer zur Bezeichnung der kombinatorischen 
und überhaupt der auf ein Hauptgebiet bezüglichen Multiplikation 
anzuwenden. 

^ttp. 4. JJnneree ^robukt. 
§. 1. Omndgesetze der ixmereii HultiplikatioB. 

137. Erklärung. Unter dem inneren Produkte 
zweier Einheiten von beliebigen Stufen verstehe ich das be- 
zügliche Produkt der ersten in die Ergänzung der zweiten; 
d.h. wenn E und F Einheiten beliebiger Stufen nnd,'fo ist 

[E|P] das innere Produkt der Einheiten E und F. 

138. Das innere Produkt zweier beliebiger Grössen ist 
gleich dem bezüglichen Produkt der ersten in die Ergänzung 
der zweiten, d. h. es ist 

[A|B] das innere Produkt der Grössen A und B. 
Beweis. Es feien A|,--An die Einheiten, aus denen 
Ay und Bi,***-Bni die Einheiten, aus denen B numerisch 
abgeleitet ist, und fei 

A = aiAi+.-.a^A„; B = ftBi +• • ^J^B«; 
ferner fei für den Augenblick das Zeichen X als das der 
inneren Multiplikation gewählt, fo ist 

[A X B] = [(a iAi+»>«^AJX (ß,B, + • • • • >.B J] 

= 2-«^.[A,XBJ, [42] 



im et»» 

wenn nttmüch die Summe fidi auf die Wertiie 1, • • n fär r 
und 1, • • • m für s bezieht. Da nun A, und B, Einheiten find, 
fo ist (nach 137) [A,XB,] gleich [AJfi,], alfo [A X B] 

= Z«r^.[A,|B.] = [X^rZßK\ [42] 

= [AZ^.|B.] = [A&.BJ [100] 

= [A|B]. 

Anm, Eine befondere Bezeichnung für das innere Produkt er- 
scheint alfo jetzt als überflüssig, indem das Ergänzungszeichen die 
Stelle des Zeichens für die innere Multiplikation vollständig vertritt. 
Und es ist nur zu beachten, dass dies Zeichen auch wie ein Multi- 
plikationszeichen behandelt werden darf. 

In meinen früheren Arbeiten (Geometrische Analyfe, gekrönte 
Preisschrift, Leipzig 1847) habe ich das Zeichen X ^üi* <^^ innere 
Produkt eingeführt, eine Bezeichnung, die nun entbehrlich ist. 

139. Die Stufenzahl des inneren Produktes, dessen b«ide 
Faktoren nach der Reihe die Stufenzahlen a und ß haben, 
während die des Hauptgebietes n beträgt, ist entweder gleich 
n + a — ßy oder gleich a — /9, je nachdem ß grösser als a 
ist, oder nicht. 

Beweis. Es feien A und B die beiden Faktoren, deren 
Stufenzahlen beziehlich a und ß find, fo ist die Stufeni^ahi 
von |B gleich n — ß. Ist nun zuerst ß grösser als a, fo ist 
auch n grösser als a + n — ßi d. h. die Summe der Stufen- 
zahlen von A und jB ist kleiner als die des Hauptgebietes, 
alfo (nach 95) die Stufenzahl des Produktes [A|B] gleich jener 
Summe, d. h. gleich a + n — ß. Ist aber ß eben fo gross 
oder kleiner als a, fo ist auch n eben fo gross oder kleiner 
als a + n — ß^ d. h. die Summe der Stufenzahlen von A 
und |B ist eben fo gross oder grösser als n, alfo (nach 95) 
die Stufenzahl des Produktes [A|B] um n kleiner als jene 
Summe, d. h. gleich a — ß» ' 

140. Die Anzahl der Einheiten, aus denen fich ein 
inneres Produkt numerisch ableiten lässt, ist gleich der An*- 
zahl der Kombinationen aus fo viel Elementen, als die Stufen- 
zahl des Hauptgebietes, und zur fo vielten Klasse, als die 
pofitive Differenz der Stufenzahlen beider Faktoren beträgt. 

Beweis. Nach 139 ist die Stufenzahl des Produktes 
entweder gleich n + a — ß, oder gleich a — /9, je nachdem 



ß grösser als a ist, oder nicht. Die Einheiten von gleicher 
Stafe find im ersten Falle die multiplikativen Kombinationen 
aus den n ursprünglichen Einheiten zur (n -f a — /})-ten , im 
zweiten zur (a - /})-ten Klasse. Aber die Anzahl der Kom- 
binationen aus n Elementen zur (n -f ^ -- j9)-ten Klasse ist, 
nach einem bekannten Satze der Kombinationslehre gleich der 
Anzahl der Kombinationen aus n Elementen zur {ß — a)-ten 
Klasse. Die Klassenzahl ist dann alfo /? -— a, im zweiten Falle 
a — /}, in beiden Fällen alfo der poßtiven DiiTerenz von a und 
ß gleich. 

141. * Das innere Produkt zweier Grössen gleicher Stufe 
ist eine Zahl. 

Beweis. Denn die Differenz der Sturenzahlen ist dann 
null, alfo das Produkt von nulltor Stufe, d. h. eine Zahl. 

142. Das innere Produkt zweier gleicher Einheiten ist 
eins, das zweier verschiedener Einheiten gleicher Stufe null, 
d.h. [EJEJ = 1, [E,|EJ=0. 

Beweis. [E,|EJ = 1 (nach 91). Femer ist |E. (nach 
89) dem kombinatorischen Produkte aller in dem Produkte £, 
nicht vorkommenden Einheiten erster Stufe gleich; da nun E, 
von Eg verschieden, beide aber Produkte von einer gleichen 
Anzahl ursprünglicher Einheiten find, fo enthält E^ noth wendig 
folche Einheiten als Faktoren, die in E^ fehlen, aKo in jE^ 
vorkommen; alfo Ist [E,|EJ (nach 60) gleich null. 

143. Wenn Ei,**Eo^ Einheiten von beliebiger, aber 
alle von gleicher Stufe find, fo ist 

[(«lEi + • • «„BJKftEi + . . . ßJ.J\ =aiÄ + • • ■ «W«. 

Beweis. Es fei OiEi >j aJS,^ mit ^OrE,, und ßfi^ 

+ ''ßttßm Jöit iZ^ßßg bezeichnet, fo ist 

iZ^ßJZßß.] = Za^.[E,!EJ, [423. 

Nun ist (nach 142) das Produkt [E^IEg] gleich null, wenn 
E, und B^ verschiedene Einheiten find und gleich eins, wenn 
r gleich s ist, fomit wird der gewonnene Ausdruck 

= 2^a^ßr = Oift •] ajJm- 

144. Die beiden Faktoren eines inneren Produktes find 
vertauschbar, wenn fie von gleicher Stufe find, d. h. 

[A|B] = [B|A], wenn A und B von gleicher Stufe find. 



HO Ct4ft 

Beweis. Wenn Ei* • «E^ die Einheiten darstellen , welche 
mit A und B von gleicher Stufe find und A^=^aßr9 B = 
^ßß^ ist, fo ist (nach 143) 

[A|B] = Za.iJr = Z^Ä = [B| A]. 

145. ErkUrung. Wir schreiben der Kürze wegen 
[A|A] = A^ 

und nennen es das innere Quadrat von A. 

146. Es ist 

Beweis. (aiEi+ • • • aJE^y 

= [(«iEi+ . . .o^E J|taiEi+ . .cCeJJ [145] 

= «l«i H Oattai [144]. 

147. Das innere Produkt zweier Einheiten E und F ist 
dann und nur dann von Null verschieden, wenn die eine der 
andern incident ist, d. h. 

[E{P] = 0, wenn E und F nicht einander incident find, 
[EJF] ^ 0, wenn E und F einander incident find. 

Beweis. Für Einheiten gleicher Stufe ist der Satz in 
142 bewiefen. Nun feien E und F zwei Einheiten ungleicher 
Stufe, und zwar E von höherer Stufe als F. Es fei F = [EiG], 
wo Ex dem E untergeordnet ist, aber das Gebiet 6 keine 
Grösse erster Stufe mit E gemein hat. Dann ist F dem E 
incident oder nicht, je nachdem G von nullter Stufe (eine 
Zahl) ist oder nicht. Es fei ferner E = [EiEa] und fei [E1GE2H] 
das Produkt aller n ursprünglichen Einheiten und gleich der 
abfoluten Einheit. Dann ist (nach 89) [E^H] die Ergänzung 
von [EiG], d. h. |[EiG] = [E^H], alfo 

[E|F] = [E1E2IE1G] = [E1E2 • E^Hj. 

Ist G von nullter Stufe, d. h. E mit F incident, fo ist 
[EiEjH] von nullter Stufe, alfo (nach 106) der. Ausdruck 
[EiE2E2H] = [EiE2H]Ea, alfo von null verschieden, da E^ 
und [E1E2H] von null verschieden find. Ist aber G von höherer 
als nullter Stufe, fo ist die Summe der Stufenzahlen von Ei, 
E2 und H geringer als die Summe der Stufenzahlen von Ei, 
G, E3, H, d.h. kleiner als n, alfo (nach 109) [EiEj-EiH] 
= 0, d. h. wenn E und F nicht einander incident find, fo 
ist [E1F] = 0. 



«••) in 

148. Es ist 

[EF|E] = F und [F|EF] = ;E, 
wenn E und F Einheiten find, und [EF] nicht null ist. 

Beweis. Es Tei [EFG] das Produkt aller ursprünglichen 
Einheiten und gleich 1, To ist |E = [FG], Tomit 

[EF|E] = [EF . FG] = [EFG]F [106] 

= F. 
Ferner ist dann |[EF] = G, alfo [F|EF] = [FG] = |E. 

149. Wenn E, F, G Einheiten find, und weder [EF] 
noch [EG] null ist, To ist entweder 

[EF|EG] = [F|G], oder [FEjGE] = [FjG],. 
ersteres, wenn F von höherer Stufe ist als G, letzteres, wenn 
G von höherer Stufe ist als F. Sind beide von gleicher Stufe, 
fo find beide Formeln gültig. 

Beweis 1. Wenn F und G nicht einander incident find, 
fo ßnd auch [EF] und [EG] nicht einander incident, alfo find 
dann (nach 147) beide Seiten der zu erweifenden Gleichung null. 

2. Wenn G dem F untergeordnet ist, fo fei F = [GH]. 
Dann ist 

[EF|EG] = [EGH|EG] = H [148] 

= [GH|G] [148] 

= [F|G]. 

3. Wenn F dem G untergeordnet ist, fo fei 6 = [HF]. 
Dann ist 

[FEIGE] = [FE|HFE] = |H [148] 

= [F|HF] [148] 

= [F|G]. 

4. Wenn F und G von gleicher Stufe find, alfo, bei 
Ausschluss des Falles in Beweis 1, zufammenfailen, fo ist 
(nach 70) fowohl G dem F, als F dem G untergeordnet, und 
es gelten alfo nach Beweis 2 und 3 beide Formeln. 

150. Wenn q und r die Stufenzahlen von A und B find 
und q<:r ist, fo ist 

[A!B] = (-l)<i(-^)|[B|A], 
d. h. [AjB] ist der Ergänzung von [6|A] entgegengefetzt, wenn 
die Stufenzahl von A ungerade und zugleich die von B ge^ 
rade ist; in jedem andern Falle ist [A|B] der Ergänzung von 
[BIA] gleich. 



Beweis. Es ist 

|[B|A] = [|B||A] [97] 

= (— 1)'«»-«[|BA] [92] 

= (_ l)<l(n-q)(;_ l)4(«-r)[A|B] [58] 

= (_ l)<l(»»-q-r)[A|B]. 

Nun ist in Bezug auf den Modul. 2 die Grösse q(2n — q — r) 
kongruent q(r — q) oder kongruent q(r^i), da q* mit q gleich- 
zeitig gerade oder ungerade ist, fomit 

|[B|A] = (— I)«fr-»>[A1B], oder auch 

[A|B] = (-l)<'C'-«j[B|A]. 
A n m. Vermittelst des fo eben erwiefenen Satzes kann man den 
Fall , wo der zweite Faktor eines inneren Produktes von höherer Stufe 
ist als der erste, immer auf den andern Fall zurückfahren, wo der 
erste Faktor von höherer Stufe ist als der zweite. Diefen letzteren 
Fall, welcher fich in den oben entwickelten Formeln als der einfachere 
herausstellte, werde ich jetzt vorzugsweife berUckfichtigen. 

§. 2. Begriff des Normalen und seine Correlaten. 

ISl. Erklärung. Numerischer Werth einer Grösse 
A heisst die poGtive Quadratwurzel aus dem innern Quadrat 
diefer Grösse. Numerisch gleich beissen zwei Grössen 
von gleichem numerischen Werth, d.h. zwei Grösiäen, deren 
innere Quadrate gleich find. 

Anm. Für Zahlen, reelle oder imaginäre, ist die Benennung in 
derfelben Weife auch fönst in Gebrauch, indem zuerst numerischer 
Werth einer pofitiven Zahl diefe felbst , der einer negativen — a die 
entsprechende pofitive Zahl a, d. h. in beiden Fällen die pofitive 
Quadratwurzel ihres Quadrates ist. Hat man eine imaginäre Zahl 
«^ + h/ — 1, fo find ihre Einheiten 1 und }^— lT Eine der beiden 
Wurzeln von V—1 fei mit i bezeichnet, und 1 und i als Einheiten 
genommen, alfo ii=:l, fo ist der numerische Werth von a-|~hinach 
der Definition gleich ya* + b*, was auch fönst als numerischer Werth 
der imaginären Grösse a-fbi aufgefasst wird. In der Geometrie ist 
numerischer Werth einer Linie ihre Länge gemessen durch die Längen- 
einheit u. f. w. 

192. Erklftrung. Normal zu einander heissen zwei 
von null verschiedene Grössen, deren innres Produkt null 
ist. Zwei Gebiete heissen normal zu einander , wenn ihre 
Theile es find. Zwei Gebiete heissen allTeitig zu einander 



*M) HS 

normal, wenn jede Grösse erster Stufe, die dem einen Ge- 
biete angehört, zu jeder, die dem andern angehört, normal 
ist; und zwei Grössen heissen alifeitig normal zu einander, 
wenn ihre Gebiete es find. 

A n m. Der Grund der Benenniing ruht in der Gcometiie. Nimmt 
man dort die ursprünglichen Einheiten als gleich lange zu einander 
fenkrcchte Strecken an, wie dies stets geschehen muss, Co zeigt fleh 
leicht, dass das innere Produkt zweier Strecken dann und nur dann 
null ist, wenn diefe Strecken fenkreclit zu einander find. Statt des 
Ausdrucks „fenkrecht" habe ich den „normal" gewählt, als den ab- 
strakteren, der auch eine Anwendung auf nicht räumliche Verhält- 
nisse gestattet. 

133. Erklärung. Normalsystem n-ter Stufe heisst 
ein Verein von n numerisch gleichen (von null verschiedenen) 
Grössen erster Stufe, von denen jede zu jeder normal ist; 
und wenn n zugleich die Stufenzahi des Hauptgebietes ist, fo 
heisst es ein vollständiges Normalsystem. Der numerische 
Werth jener n Grössen heisse zugleich der numerische Werth 
des Normalsystems. Einfaches Normalsystem heisst jedes 
Normalsystem, dessen numerischer Werth 1 ist. 

Anm. Im Räume bilden z. B. drei gleichlange und gegen ein- 
ander fenkrechte Strecken ein Kormalsystem. 

1541. Erklärung. Circuläre Aenderung nenne icli 
jede Transformation eines Vereins , durch weiche 2 Grössen a 
und b des Vereins fich beziehlich in xa + yb und in +(xb — ya) 
verwandeln, vörausgofetzt, dass x^ + y^ = l fei. Ich nenne 
die circuläre Aenderung eine pofitive oder negative, je nach- 
dem a und b fich in xa -{- yb und -}- (xb — ya), oder in xa 
-}- yb und — (xb — ya) verwandeln. Wenn hierbei x=:cos.a 
und y = nn.a ist, und a und b numerisch gleich und zu ein- 
ander normal find, fo fage ich, der Verein habe fich von a 
nach b hin um den Winkel a jgeändert. 

Anm. Stellt man fich unter a und b zwei gleichlange und zu 
einander fenkrechte Strecken vor, fo fieht man leicht, dass durch 
die circuläre Aenderung, durch welche a in ai '==acos.a-{'bfin. a, 
b in bi =bco9.a — afin.a übergeht, a^ und bi von derfelben Länge 
find wie a und b und gegen einander fenkrecht bleiben. Es bleiben 
alfo a und b bei jener Aenderung conjugirte Halbmesser eines festen 
Kreifes, wodurch der Name circularer Aenderung gerechtfertigt ist. 
Auch fio.ht man, dass dann der Winkel von a bis aj gleich a ist. 

8 



Sind übrigens a und b beliebige Strecken, fo werden a^ und b^ con- 
jugirte Halbmesser einer konstanten EUipse , in welcher auch a und b 
conjugirte Halbmesser find. Von diefer Betrachtungsweife aus würde 
ßch der Käme der elliptischen Aenderung empfehlen. Da jedoch die 
Ellipse immer auf den Kreis redudrbar und der Kreis die einfachere 
Kurve ist, fo habe ich jenen Namen als den einfacheren vorgezogen. 
Siehe auch Grelle Journal, Band 49 pag. 134. 

155. Durch circuläre Aenderung geht aus jedem Normal- 
system ein numerisch gleiches Normalsystem hervor. 

Beweis. £s feien a, b, c,- • • die Grössen eines Normal- 
systems, d. h. a- = b* = c^ =• • • und = [a|b] = [a|c] = 
[b c] =' • •, und ändere fich a in ai == xa -f yb und b in bi 
= xb — ya, wo x^ + y^=l ist, fo ist zu zeigen, dass ai, 
bi, c, •*• ein Normal&ystem bilden, in welchem ai^=a^.ist. 
Es ist, da [a|b]=0 ist, 

ai»= (xa + yb)* = x^a* + y ^b* 

= (x^ + y>*- (da b* = a*) 
= a* (da x2 + y2=l). 
Aus gleichem Grunde ist bi*==a*. Ferner ist 

[aijb,] = [(xa + yb)|(xbr~ ya)] = xy(b* - a*) 
(da [a|b] = 0) 
= (weil b* = a*). 
Endlich ist 

[ai|c] = [(xa + yb)|c] = x[a|c] + y[b;c] = 0, 
weil [a|c] und [b|c] = find. Aus gleichem Grunde ist [b^jc] 
= u. f. w. Folglich ist das System ai, bj, c,- • • ein Normal- 
system, dessen numerischer Werth gleich dem des gege- 
benen ist. 

156. Das kombinatorische Produkt der Grössen eines 
Normalsystems bleibt bei poHtiver circulärer Aenderung diefes 
Systems unverändert, und geht bei negativer in feinen ent- 
gegengefetzten Werth über. 

Beweis. Es gehe a in ai = xa -{- yb, b inbi = xb — ya 
über, wo x^ -j- y*= i ist; fo wird 
[aibi] = [(xa + yb)(xb-ya)] 

= x2[ab] — y2[ba] (da [aa], [bb] nach 60 null find) 
= (x^ -f y2)[ab]- (da [ba] = — [ab] ist nach 55) 
= [ab] (da x^ + y2 = l). 



***> 115 

Alfo [aibj = [ab]. Kommen nun zu den gleicHen Pro- 
dukten [ab] tmd [aib^] noch an den entsprechenden Stellen 
gleiche kombinatorische Faktoren hinzu, To bleiben die Pro- 
dukte gleich. Alfo bewiefen. 

157. Die Grössen eines Normalsystems stehen in keiner 
Zahlbeziehung X zu einanderj und jede Grösse erster Stufe lässt 
fleh aus einem beliebigen vollständigen Normalsystem numor 
rrsch ableiten. 

Beweis 1. Es feien a, b, c,*** Grössen eines Normal- 
systems. Gefetzt nun, es ständen dfefelben in einer Zahlbe- 
ziehung zu einander, etwa fo, dass 

a = /9b + yc -f • • • 
fei, fo multiplicire man beide Seiten innerlich mit a, To wird 

a* = i9[b;a]+y[c|a] +-..=0, 
da [b|a], [c[a],-- null find (nach 153). Alfo wäre a* = 0, 
im Widerspruch mit 153. Es lässt fich alfo keine der Grössen 
a, b, c,* • • aus den übrigen numerisch ableiten, d. h. fie stehen 
(nach 2) in keiner Zahlbeziehung zu einander. 

2. Ein vollständiges Normalsystem in einem Hauptgebiete 
n-ter Stufe besteht aus n Grössen, und da diefe nach Bew. 1 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, fo kann (nach 
24) aus ihnen jede Grösse erster Stufe, da fie immer dem 
Hauptgebiete angehören muss, numerisch abgeleitet werden. 

138. Wenn eine Grösse A zu mehreren Grössen B, 
C, • • • von gleicher Stufe normal ist, fo ist fie auch zu jeder 
Grösse normal, die aus ihnen numerisch ableitbar ist. 

Beweis. Wenn A zu B, C,-* normal ist, fo ist 
(nach 152) ^ 

= [A|B] = [A|C]=.... 
Somit auch 

[A|(/?B + yC + . .)] = /?[A|B] + y[A|C] + • . • [41] 
= 0, 
da [A|B], [A|C],... null find. 

139. Die fämmtlichen Grössen erster Stufe, welche zu 
m Grössen eines vollständigen Normalsystoms n-ter Stufe nor- 
mal find, gehören dem Gebiete der n — m übrigen Grössen 
des Systems an. 



116 (*•• 

Beweis. Es fei das System »i, a^ ein vollstän- 
diges Normalsystem, und feien m feiner Grössen, ^Iwa ai- • -»ni 
zu irgend einer Grösse erster Stufe a normal, fo ist zu zeigen, 
dass a dem Gebiete e^m-W'^n angehört. Nach 157 lässt Tich 
a aus dem vollständigen Normalsystem ai-'^a^ numerisch ab- 
leiten. Es fei der Ausdruck diefer Ableitung 
a = Ojai H a^a^. 

Da nun a zu ai, a2,*"&m normal ist, fo erhält man, in- 
dem man zuerst mit ai innerlich multiplicirt, 

= [ai|a] = Oiai* + OaLailaa] + • • • a„[ai|aj 

da [ai|a2] bis [ai|aj als innere Produkte der Grössen eines 
Normalsystems null find. Da nun ai^ (nach 153) nicht null 
ist, fo folgt aus der Gleichung aiai* = 0, dass ai = ist. Auf 
gleiche Weife folgt, indem man nach und nach mit 82, • * * «an 
multiplicirt, dass auch Os, a,n ^^^^ f^^^- Folglich ist 

a = ßm+ianx+i -h O^Ön^ 

d. h. a gehört dem Gebiete 8^41 K ^• 

160. Jedes Normalsystem lässt fich durch fortgefetzte 
circuläre Aenderung fo umwandeln, dass eine feiner Grössen 
mtt einer beliebig gegebenen Grösse erster Stufe, deren 
numerischer Werth dem des Normalsystems gleich ist und 
welche dem Gebiete desfelben angehört, identisch wird. 

Beweis. Es feien ai, a^ die Grössen des gegebenen 

Normalsystems, und k die gegebene Grösse welche numerisch 
gleich ai ist, und fei 

k = «lai -I a^a^. 

Nun wandle man ai und 82 circulär fo um, dass dabei ai in 

übergeht, was (nach 154) möglich ist. Dann ist o^ai -|- <^82 
= Vai + o| C2 , alfo 

k = F«! + «I Ca + agag -1 a^a«. 

Darauf wandle man C2 und 83 circulär fo um^ dass da- 
bei C2 in 

_ Vax + gjCa + gg ag 
^' fai+ai + aS 



übergeht. Dann ist 

k = J/ai +ai + a| Cg + 0484 + • • • a^a^. 
In diefer Weife fahre man fori, bis 

k = faf+äl ~4-~^Mxiri c^_i + a„a„ 
wird, und wandle schliesslich Cn_i und a^ circulär fo um, dass 
dabei Cn_i in 

^ _ F^i -1 On'-l Cn^t + Ona ^ 

übergeht, fo ist dann 

Nun ist nach der Hypothefis 

ai*=k^=(aiai H anaJ*=aJai^H aXS 

weil [Silaj] etc. null find. Und da auch ai*=aa*=:- • =an* ist, 
fo wird 

ai*=(af + ...aj)af, 
d. h. aj 4- • • • «n = !• Dies alfo in die obige Gleichung (*) 
eingeführt, giebt, wenn man den poßtiven Wurzel werth wählt, 

k = c„, 
d. h. in dem zuletzt hervorgehenden Normalsystem ist eine 
Grösse c^ mit der gegebenen k identisch, wie verlangt. 

161. Wenn zwei Normalsysleme gleichen numerischen 
Werth haben, und ihre Gebiete einander incident find, fo 
l&sst fich durch fortgelelzte circuläre Aenderung, wenn beide 
von gleicher Stufe find, jedes aus dem andern ableiten, wenn 
fie hingegen von ungleicher Stufe find, das höherer Stufe fo 
umwandeln, dass^ es die Grössen des andern enthält. 

Beweis. Es feien a, b, c,-- und ai, bj, Cj,»-« zwei 
Normalsysteme von gleichem numerischen Werthe, und feien 
die Gebiete beider einander incident, und zwar das des letzte- 
ren entweder von gleicher oder höherer Stufe als das des 
ersteren, fo müssen (nach 15) alle Grössen a, b, c,*** dem 
Gebiete a^, b|, Ci,*** angehören. Somit kann man (nach 160) 
das Normalsystem aj, b^, c^,- • circulär fo umwandeln, dass 
eine feiner Grössen = a wird. Das fo hervorgehende Normal- 
system bestehe aus den Grössen a, h^^ C2,' • •. Da nun b, c,- • •, 
als Grössen des Normalsystems a, b, c,* • •, zu a, alfo zu einer 



«8 <«•• 

Grösse des Normalsystems a, b^, 02,* • • normal find, to Inüssen 
fie (nach 159) dem Gebiele der übrigen Grössen diefes Systems, 
alfo dem Gebiete bs, Cj,**«** angehören. Demnach kann man 
wieder das System ba, Cj, • • • circulör fo umwandeln, dass 
eine feiner Grössen = b wird. Das fo hervorgehende Normal- 
system bestehe aus den Grössen b, Cg, dg, •••, fo müssen 
wieder aus demfelben Grunde, wie vorher, c, d, • • • dem Ge- 
biete C3, dg,' • • augehören. Das Normalsystem aj, bi, Ct, d^,- • • 
ist dann durch circuläre Aenderungen übergegangen in a, b, 
^39^39'''' So kann man, wenn das System ai, iw*' von 
höherer Stufe ist als a, b, ••*, fortfahren, bis das zuletzt 
hervorgehende System alle Grössen des gegebenen Systemes 
a, b, c, • • • enthält, oder wenn beide Systeme von gleicher 
Stufe find, fo lange bis es alle Grössen des Systems a, b, 
c, • • •, mit Ausnahme des letzten, enthält. Diefe letzte fef 
q, die vorletzte p, und fei das fo hervorgehende Normalsystem 
^9 b, • • • p, q^^, fo muss nach der angewandten Schlussfiolge qf 
dem Gebiete q^ angehören , d. h. beide müssen in einer Zahl- 
beziehung zu einander stehen. Ist nun qn = xq, wo x eine 
Zahl ist, fo ist, da beide einander numerisch gleich find, 
qn'^ = qS alfo x^=l, fomit q^rrr + q. Ist qn= - q, fö^ 
hat man nur statt der letzten circulären Aenderung die ent- 
gegengefetzte zu nehmen , fo fällt dann auch die letzte Grösse 
des fo hervorgehenden Normalsystems mit q zufammen, alfo 
is( dann das eine der gegebenen Normalsysteme aus dem andern 
circulär abgeleitet^ wie verlangt. 

162. Das System der ursprünglichen Einheiten ist ein 
(vollständiges) Normalsystem, dessen numerischer Werth 1 ist. 

Beweis. Es feien e^ • • • Cn die ursprünglichen Einheiten, 
fo ist (nach 142) 

1 =ei*=- • • =en* 
= [ei|e2] =..-.. 

163. In jedem Gebiete m-ter Stufe lässt Tich ein Normal- 
system gleicher Stufe von beliebigem numerischen Werth an- 
nehmen, und zwar fo, dass dies System Theil eines vollstän- 
digen Normalsystems fei. 



IM) 119 

Beweis. Es fei ai eine Grösse erster Stufe in dem 
gegebenen Gebiete m-ter Stufe A, ihr numerischer Werth 
fei 1. Da nun (nach 162) das System der ursprünglichen 
Einheiten ei-'-e^ ein vollständiges Normalsystem ist, dessen 
numerischer Werth 1 ist, fo lässt fich (nach 160) dies Normal- 
system circulär fo umwandeln, dass ai eine der Grössen des 
refultirenden Normalsystems wird. Dann ist ai auf den n — 1 
tibrigen Grössen diefes Normalsystems, alfo auch (nach 158) 
zu jeder Grösse ihres Gebietes A^ normal. Dies Gebiet ist 
von (n — l)-ter Stufe und hat alfo mit dem Gebiet m-ter Stufe 
A (nach 26) ein Gebiet gemein, dessen Stufenisahl n — ' 1 + 
m — n = m — 1 ist. Es fei in diefem gemeinschaftlichen Ge- 
biete a2 eine Grösse erster Stufe, deren numerischer Werth 
1 ist. Da a^ alfo auch dem Gebiete Ai angehört, fo ist fie 
nach dem obigen zu a^ Normal, aber auch mit ai numerisch 
gleich , nämlich = 1 , alfo bilden ai und 82 ein Normalsystem 
mit dem numerischen Werth 1. Alfo lässt fich (nach 159) 
das vollständige Normalsystem ef • e» in ein anderes Normal- 
system umwandeln, welches ai und aj enthält. Das Gebiet 
A2 der übrigen n — 2 Grössen diefes Normalsystems ist von 
(n — 2)-ter Stufe, und alle Grössen erster Stufe, die diefem 
Gebiete angehören, Hnd normal zu ai und 82. Nun haben A 
und A2 ein Gebiet m — 2-ter Stufe geraein; in ihm fei a^ eine 
beliebige Grösse erster Stufe vom numerischen Werthe 1, fo 
hat man schon ein Normalsystem von drei Grössen ai, 82, 83 
in A, und fo kann man fortfahren. Hat man fo in A ein 
Normalsystem von (m — 1) Grössen ai • • • a^-i erhalten, fo 
enthält das vollständige Normalsystem, zu dem es gehört, 
ausserdem noch n — m + 1 Grössen; ihr Gebiet, was A,._i 
heisse, ist von (n — m + l)-tcr Stufe, hat alfo mit dem Ge- 
biete m-ler Stufe A noch ein Gebiet gemein, dessen Stufen- 
zahl n — m + l-f-'"--n = l ist. Es fei a^ eine Grösse 
diefes Gebietes, deren numerischer Werth 1 ist, fo ist a„, 

da es in A^.i liegt, zu ai anj_i normal und a^ • • • • a^ 

bilden alfo ein Normalsystem m-ter Stufe in dem Gebiete m-ter 
Stufe A. Diefem Normalsystem kann man dadurch, dass man 
alle feine Grössen mit einer und derfelben beliebigen Zahl 
mulliplicirt, jeden beliebigen numerischen Werth geben. 



126 C4«A 

§. 3. Gesetze des inneren Produktes, an den Begpriff des 
Normalen geknüpft. 

164. Erklärung. Normale Zurücklcitung A' einer 
Grösse A auf ein Gebiet B nenne ich die Zurückleitung der 
Grösse A auf das Gebiet B, unter Ausschluss des zu B er- 
gänzenden Gebietes (vergl. 127 und 33). 

Anm. Ist z. B. a, b, c ein vollständiges Normalsystem und p 
= qa + rb + sc eine beliebige Grösse des Hauptgebietes , fo ist die 
normale Zurückleitung der Grösse p auf das Gebiet bc gleich rb -\- sc. 
Für die Geometrie ist fie identisch mit der fenkrechten Projektion. 

165. Die normale Zurückleitung A' einer Grösse A auf 
ein Gebiet B ist 

A' = [llM oder = [B.(A|Bj], 

letzteres, wenn der numerische Werth von B gleich 1 ist. 

Beweis. Nach 164 ist A' die Zurückleitung von A auf 
B, unter Ausschluss des zu B ergänzenden Gebietes, d. h. des 
Gebietes |B. Wird |B «nit C bezeichnet, fo ist (nach 129) 
[jr^AC] ,. _[B>(A|B)]_[B.(A|B)] 
^ ~ [BC] ' ^"^~ '[B|B] ~ B* • 

166. Zufatz. Sind ins Befondere A und B von gleicher 
Stufe, fo ist die Zurückleitung 

, A' = '^-[^^, oder = [A;B]B, wenn B* = 1. 
r>- 

Beweis. Dann ist nämlich (nach 117) [AjB] eine Zahl 

und kann alfo statt [B-(A|B)] geschrieben werden [A|B]B. 

167. Die Ergänzung des kombinatorischen Produktes A 
von m Grössen eines vollständigen Normalsystems, welches 
den numerischen Werth Eins hat, ist dem kombinatorischen 
Produkte der (n — m) übrigen Grössen des Systems gleich 
oder entgegengefetzt, je nachdem [AB] = + l oder =—1 
ist, d. h. 

♦ |A = [AB]B, 
wenn die n einfachen Faktoren von [AB] die n Grössen des 
Norraalsystems find. 

Beweis 1. Für das System der ursprünglichen Einheiten 
ist diefe Beziehung in 89 als Definition festgcfctzt. 



*•*) 121 

2. Ich zeige nun, dass, wenn diere (durch Gleichung ^ 
dargostelite) Beziehung für irgend ein > Normalsystom a, b, 
c,* • • gilt, de auch Tür jedes aus ihm durch circuläre Aenderung 
hervorgehende Normalsystem gelte. Es gehe durch circuläre 
Aenderung a in ai = xa + yb, b in b^ = xb — ya über. Durch 
diefe verwandle fich A in Ai, B in Bi; To ist zu zeigen, dass 
auch |Ai =:[AiBi]Bi fei. Da nun A und B zufammen alle Grössen 
a, b, • • • des Normalsysteins und zwar fowohl A als B jede diefer 
Grössen nur einmal enthalten follen, fo kommen a und b ent- 
weder beide in A, oder beide in B, oder eine in A und die 
andere in B vor. Wir haben schon in 156 bewiefen, dass 
das Produkt [»ibi] bei diefer Aenderung gleich [ab] bleibt; 
fomit bleibt in den beiden ersten Fällen fowohl A als B un- 
verändert, alfo bleibt dann auch die obige Gleichung, die nur 
A und B enthält, bestehen. Im dritten Falle fei a in A ent- 
halten, b in B, und fei A' die Grösse, die aus A hervorgeht, 
wenn man darin b statt a fetzt, und B^ die Grösse, welche 
aus B hervorgeht, wenn man darin a statt b fetzt. Dann 
unterscheiden (Ich die kombinatorischen Produkte [A'B^] und 
[AB] nur durch gegenfeitige Vertauschung der beiden ein- 
fachen Faktoren a und b, folglich ist dann (nach 55) [A'B^] 
= — [AB]. Ferner ist dann 

Ai = xA + yA', Bi = xB — yB', 
folglich 

|A,=x|A + y|V [101], 

Da nun A und A' nur Grössen des Normalsystems a, b,« • • 
als einfache Faktoren enthalten, und B und B^ die jedesmal 
übrigen, fo gilt (nach der Annahme) für fie die obige Glei- 
chung *, d. h. es ist 

|A = [AB]B, !A' = [A'B']B' = — [AB]B', 
letzteres, weil [A'B'] = — • [AB] war; fomit ist 

|Ai = x[AB]B - y[AB]B' = [AB](xB - yBO = [AB]Bi. 
Endlich ist (nach 156) [AiBj] = [AB], indem die einfachen 
Faktoren von [AjB^] aus denen von [AB] durch pofitive cir- 
culäre Aenderung hervorgehen. Alfo ist 

|Ai = [A,B,]B,, 
d. h. wenn die Gleichung * für irgend ein Normalsystem gilt, 
fo gilt Tie auch für jedes daraus durch pofitive circuidre 

8* 



122 <*•« 

Aenderung hervorgehende, ebenfo aber auch für jedes daraus 
durch negative Aenderung hervorgehende. Denn die pofltive 
circuläre Aenderung, wie wir fle oben annahmen, wird (nach 
154) in eine negative verwandelt, wenn man das Vorzeichen 
von b| ändert, dann ändert fleh auch das Vorzeichen von Bi, 
wobei die gefundene Gleichung bestehen bleibt. Alfo bleibt 
die Gleichung * Oberhaupt bei jeder circulfiren Aenderung des 
Normalsystems bestehen, wenn fie für irgend ein Normalsystem 
gilt. Nach Beweis 1 gilt fle aber für das Normalsystem der 
ursprünglichen Einheiten , alfo nun auch für jedes daraus cir- 
culftr abgeleitete. Nun lässt fleh aber (nach 161) jedes Normal- 
system, dessen numerischer Werth 1 ist, aus jenem ableiten, 
alfo gilt die Gleichung für jedes Normalsystem, dessen nume« 
rischer Werth 1 ist. 

168. Alle bisher aufgestellten Sätze gelten noch , wenn 
man statt des Systems der ursprünglichen Einheiten ein be- 
liebiges vollständiges Normalsystem fetzt, dessen numerischer 
Werth Eins ist. 

Beweis. Alle in den ersten drei Kapiteln entwickelten 
Rechnungsgefetze gelten (nach 110) auch dann noch, lyenn 
man statt der n ursprünglichen Einheiten beliebige n in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen erster Stufe fetzt, 
alfo auch, wenn man die Grössen eines vollständigen Normal- 
systems einfetzt. Ferner gilt (nach 167) der Begriff der Er- 
gänzung wie er in 91 in Bezug auf das System der ursprüng- 
lichen Einheiten aufgestellt ist, auch in Bezug auf jedes Normal- 
system, dessen numerischer Werth Eins ist. Aber auf diefem 
Begriff der Ergänzung und den in, den ersten drei Kapiteln 
entwickelten Rechnungsgefetzen beruhen alle Sätze des inne- 
ren Produktes, wie fie bisher entwickelt wurden. Alfo gelten 
diefe Sätze noch, wenn man statt des Systems der ursprüng- 
lichen Einheiten ein Normalsystem fetzt, dessen numerischer 
Werth Eins ist. 

Anm. Vermöge des fo eben bcwiefenen Satzes ist alfo der Be- 
griff des inneren Produktes in fofern nicht mehr an das System der 
ursprünglichen Einheiten geknüpft, als man statt diefes Systems ein 
beliebiges Normalsystem fetzen kann, dessen numerischer Werth Eins 
ist, ohne dass irgend einer der bisher aufgestellten Sätze eine Aenderung 



1 



tt#) 123 

erleidet. Es erscheint alfo der Begri£f des inneren Prodoktes nnr noeii 
^an den Begriff des Normalsystems geknüpft, nnd dies tritt daher in 
den folgenden Entwickelungen statt des Systems der ursprünglichen 
Einheiten hervor. 

169. Das innere Produkt zweier Grössen ändert Teinen 
Werth nicht, wenn man statt des einen Faktors feine nor- 
male Zurückleitung auf das Gebiet des andern fetzt, d. h. 

[A|B] = [AIBT und 

[B|A] = [B'|A], 
wenn B' die normale Zurückleitung von B auf das Gebiet A 
ist (alfo A von gleicher oder höherer Stufe als B ist). 

Es fei A von m-ter Stufe, B von p-ter, das Hauptgebiet 
von n-ter, fo kann man (nach 163) ein vollständiges Normal- 
system ai a^ fo annehmen, dass m feiner Grössen, etwa 

»1 ^mf ^^ ^ liegen, und fein numerischer Werth 1 fei. Die 

p Faktoren von B find dann (nach 157) aus ai'-^a,^ nume- 
risch ableitbar, alfo B aus den multiplikativen Kombinationen 
von ai • • • a^ zur p-ten Klasse numerisch ableitbar. Diefe Kom- 
binationen feien Bj , Bj ,• • -Bq, Bq_^.i,- • • «By, wo Bj • • «Bq die 
Kombinationen aus a|«*-*ani find; und fei 

B = /JiBi -| 1- ^qBq + ^q4.iBq+i- • • '^rB,, 

fo find (nach 147 u. 168) [A|Bq-f-i],. • -[AjBJ alle gleich null, 
da jede der Grössen Bq^-i bis B, folche Faktoren enthält, die 
in A nicht vorkommen, und diefe Grössen alfo der Grösse A 
nicht incident find, alfo wird 

[A|B] = ft[A|BJ+.../?q[ABq] 

= [A|OJ,B, +..../?qBq)]. 

Aber (nach 127) ist ^iBj + . • . /JqBq die Zurückleitung 
von B auf das Gebiet [af^am], mit Aussehluss des Gebietes 
[a^+i -an]» letzteres Gebiet ist aber (nach 167) Ergänzung 
. des ersteren; alfo ist /}|B] +*-*-/?qBq die normale Zurück- 
leitung von B auf das Gebiet ,[ai a^], d. h. auf das Gebiet 

von A, alfo gleich B^ und fomit 
[A|B] = [A|B']. 
Aus gleichem Grunde ist [B|A] = [B'jA]. 

170. Wenn man in einem inneren Produkte zweier 
gleichstufiger Grössen die eine auf das Gebiet der andern 
normal zurückleitet, und diefe Zurückleitung fo wie die Grösse, 



124 Ct*i 

auf deren Gebiet zurückgeleitet ist, durch ein und dasfelbe 
Maass misst, desisen numerischer Werth Eins ist, fo i^t das^ 
Produkt der beiden Hessungs-Quotienten gleich dem gegebenen 
inneren Produkt, d. h. 

[A|B] = a/S', wenn A = aE, 
und die normale Zurückleitung B' von A auf B gleich ß'E, 
und der numerische Werth von E gleich Eins ist. 
Beweis. Nach 145 ist 

[AIB] = [A|B1. 
Es fei £ ein Gebietstheil von A, dessen nt^merischer 
Werth Eins ist, und fei A = aE, B' = /J'E, fo ist [A|B'] 
= aß'[E\E] = aß'E^ = aß\ da E*=:l ist. 

111. Wenn die Gebiete von A und B zu einander all- 
feitig normal find, und C eine beliebige Grösse vdh niederer 
oder gleicher Stufe wie B ist, fo ist 
[AB|AC] = A*[B|C] und 
[CA|BA] = A*[C|B]. 
Beweis. Es fei ein Normalsystem angenommen, dessen 
Grössen fich auf die Gebiete A und B vertheilen, und dessen 
numerischer Werth 1 ist, und fei dasfelbe zu einem vollstän- 
digen Normalsysteme ergänzt; fo ist C aus den multiplikativen 
Kombinationen der Grössen jenes Normalsystems (69, 77 b) 

numerisch ableitbar. Es fei C == YiCt + Y2^% H > ferner 

fei A = aAi , B = /JB^ , wo Ai , B| kombinatorische Produkte 
der Grössen des Normalsystems find, fo ist 

[ABjAC] = aV[AiB,|Ai(nC, +y,C, + • •)] 

Aber [A^BilAiCJ ist, wenn A^, Bi, C^ Einheiten höherer 
Stufe, d. h. kombinatorische Produkte der ursprünglichen Ein- 
heiten find, (nach 149) gleich [BijCJ. Dasfelbe findet aber 
(nach 168) noch statt, wenn jene Grössen kombinatorische 
Produkte der Grössen eines einfachen Normalsystems find, 
alfo in unferm Falle. Somit wird 

[AB|AC] = aV)'i[B,|CJ + ct'iJyaCBtIC,] +• • • 
= a'/J[Bi|(yiC,+y,Ca +..•)] 

Da nun Ai^ gleich 1 ist, weil A^ ein kombinatorisches 



i»«) 125 

Produkt von Grössen eines einfachen Normalsystems ist, fo 
ist der gefundene Ausdruck 

= a^MinBi|C] = (aA,)H/»BilCJ 
= A*[BtC]. 
Auf gleiche Weife orgiebt fich die zweite Formel des 
Satzes. 

172. Wenn A mit A von gleicher Stufe, B aber von 
gleicher oder höherer Stufe wie B ist, und [AB] nicht ver- 
schwindet, fo ist 

(a) [ABI^B] = [A'4[B|Ä] + [kM]WB\ -\ und 

(b) [BÄ\^k] = [BMM] + [^|Bi]MA,] +••••, 
wo A, A|, die multiplikativen Kombinationen aus den ein- 
fachen Faktoren (erster Stufe) von [AB], und B, Bi,--- die 
zu A, Ai,*-' ergänzenden Kombinationen find (fo dass alfo 
[AB] = [A^Bj] = u. f. w.). 

Anm. Wenn nfimlich A eine der multiplikativen Kom- 
binationen aus ai, 829 '-a,. ist, fo nenne ich diejenige multi- 
plikative Kombination B, welche die fämmtlichen in A nicht 
enthaltenen Elemente enthält, und mit einem folchen Vor- 
zeichen (+) verfehen ist, dass [AB] = [aia2* »aj ist, die zu 
A ergänzende Kombination. 

Beweis 1. Es feien die einfachen Faktoren von [AB] 
alle zu einander normal. Da A von gleicher Stufe mit A ist, 
fo ist es aus den multiplikativen Kombinationen A, Ai,-- 
numerisch ableitbar. Es fei 

^ = aA + a^Ai -j , 

fo ist 

[\^'AB] = [AB|(aA + a,\, +'-)B] 

= a[AB|Aß] + aj [ABjA^ß] + • • • . 
Da nun (nach der Annahme) [AB] = [AiBj] =• • • ist, fo 
erhalten wir den gefundenen Ausdruck 

= a[AB|AB] + a,[A,B,\A,B] +• • .. 
Da nun die einfachen Faktoren von [AB] alle zu ein- 
ander normal find, und identisch find mit denen von + [A|Bi] 
u. f. w. (nach der Annahme), fo ist A zu B allfcitig normal, 
und ebenfo Ai zu Bj u. f. w. Folglich ist (nach 171)' der zu- 
letzt gewonnene Ausdruck 

= aA^[B|B] + ai Ai'[B, |B] + . . • . 



12« U»» 

Nun ist aber [A,M] = [AJ(aA + aiA, +..)] = ct^A,», 
weil A, mit den zu ihm normalen Grössen A, Ai, , aus- 
genommen Ar, innerlich multiplicirt, null giebt (nach 147, 168). 
AKo kann man in dem vorher gefundenen Ausdruck A,|J statt 
o^r' fetzen und jener Ausdruck wird 

= [A!4[B|Ä] + [A.!4[B,|B]4---, 
d. h. die Formel (a) gilt für unfere Vorausfetzung. 

2. Nun zeige ich, dass, wenn die Formel (a) für irgend 
eine Reihe von einfachen Faktoren gilt, aus denen [AB] be- 
steht, fle auch noch bestehen bleiben, wenn man diefe Faktoren- 
reihe lineal ändert (flehe 71), d. h. statt irgend eines Faktors 
a fetzt H + ßby wo b einer der andern Faktoren und ß eine 
Zahl ist. Hierbei behält (nach 72) das Produkt [AB], alfo 
auch die linke Seite unferer Formel, denfelben Werth. Be- 
trachtet man nun irgend ein Glied der rechten Seite, z. B. 
[AJ-4][B,B], fo können a und b entweder beide in A, vor- 
kommen, oder beide in B^, oder eins in A,, das andere in 
By In den beiden ersten Fällen bleibt fowohl der Werth von 
Ar als der von B, unverändert, alfo auch das betrachtete Glied. 
Im letzten Falle kommt noch ein anderes Glied [AJ^][Bg|B] 
vor von der Art, dass A, und A,, im üebrigen diefelben Fak- 
toren enthalten, nur dass, wo das eine diefer Produkte den 
Faktor a enthält, das andere den Faktor b enthalte. Dann 
stehen B, und B^, da fie die jedesmal dem A, und A^ fehlen- 
den Faktoren enthalten, in derfelben gegenfeitigen Beziehung 
zu einander. Es kommt alfo a in einer der Grössen A^ und 
Ag vor; es mag a in A, vorkomtnen. Nun fei A^ die Grösse, 
welche aus A, hervorgeht, indem man darin b statt a fetzt, 
und B^ die Grösse, welche aus B, hervorgeht, indem man 
darin a statt b fetzt. Dann enthält alfo A^ diefelben Faktoren 
wie Ag und B' wie B^; es find alfo dann A' und B' (nach 57) 
den Grössen A^ und B^ entweder gleich oder entgegengefetzt. 
Da [A'B'] aus [A,BJ durch Verlauschung der beiden einfachen 
Faktoren a und b hervorgeht, fo ist (nach 55) [A'B'] = — 
[A,BJ , und dies = — [A^B^] (nach der Annahme). Wenn alfo 
A' = + Aaist, fo ist B' = + Ba. Wenn man nun die lineale 
Substitution von ^ -{- ßb für a einführt, fo verwandelt fich 



««•) 127 

[AJJ][BJB] + [A.M][B.]B] = [A,!J][B,!B] - [\'\A][B'\B] in 

[(A, + M')M][B;B] - [A'|^][(B' + ßB,-)\B] , 
weil nämlich B^ und A' kein a enthalten und alfo unverändert 
bleiben, während A^ in A^ + ßk* und B' in B' + ß^^ fich ver- 
wandelt. Alfo verwandelt fich jene Summe in 

[A,U][B,|B]-[A'M][B'|Ä]+/?[A'|J][B,|B]-/J[A'|J][B,|B], 
d.h., da die letzten Glieder fich aufheben, der Werth jener 
Summe bleibt ungeändert. Es bleibt fomit die ganze rechte 
Seite unferer Formel bei jener linealen Substitution unge- 
ändert, indem die Glieder entweder einzeln ungeändert bleiben 
oder, wenn ße geändert werden, ßch zu Gliederpaaren grup- 
piren , deren Summe ungeändert bleibt. Da fomit beide Seiten 
der Formel bei linealer Substitution ungeändert bleiben, fo 
bleibt die Formel, wenn fie für irgend eine Faktorreihe gilt, 
auch bei deren linealer Aenderung bestehen. 

3. Es fei endlich die Faktorreihe a, b, • • • • eine ganz 
beliebige, doch ihr kombinatorisches Produkt [AB] nicht null, 
fo lässt fich (nach 163) stets eine Reihe zu einander normaler 
Grössen erster Stufe aj, aj,'- angeben, von der Art, dass 
[ab • • •] = [aia^- • •]. Dann lässt fich aber (nach 76) die 
Grössenreihe a,-b,*** aus ai, 82,* •* durch lineale Aenderung 
ableiten. Nun gilt nach Beweis 1 unfere Formel für die Reihe 
der zu einander normalen Faktoren ai, aa,-*-, alfo nach Be- 
weis 2 auch für die durch fortgefetzte lineale Aenderung daraus 
hervorgehende Faktorreihe, alfo auch für a, b,-« d.h. all- 
gemein. 

173. Wenn A und Ä von gleicher Stufe flnd, ebenfo 
B und B u. f. w., endlich L und A^ M aber von gleicher oder 
höherer Stufe ist wie M und [AB- • -LM] ein nicht verschwin- 
dendes kombinatorisches Produkt von Grössen erster Stufe ist, 
fo ist 

= 2'[Aa l^j [Bb |B] . . . . [U\A] [M^IMf, 

wo [AaBb LiMm] diefelben einfachen Faktoren enthält wie 

[AB--LM], nur in anderer Folge, doch in der Art, dass 
beide Produkte einander gleich find, wo ferner A» eben fo 
viel Faktoren enthält wie A, Bb wie B u. f. w., und wo endlich 



128 : !*«• 

die Summe fleh auf alle mdglichon verschiedenen Ausdrücke 

diefer Art bezieht, To dass nämlich AaBb LiHm und Aa'Bb« 

LvVLm' als verschiedene Ausdrücke gelten, wenn wenigstens 

eins der Grössenpaare A» und A»«, Bb und Bb',***- aus zwei 
Grössen besteht, die in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehen. 

Beweis 1. Für zwei Faktoren ist der Satz in 148 be- 
wicren, wir können nämlich die Formel 172 auch in folgender 
Weife schreiben 

♦ [ABMB] = Z[A.M][Bb|fi]7 
WO AaBb die im Satze dargestellte Bedeutung haben, welche 
mit der Bedeutung der Grössenpaare AB, AiB|,-*- in 172 
zufammenfällt. 

2. Durch wiederholte Anwendung des Satzes für zwei 
Faktoren gelangt man zu dem Satze für beliebig viele Fak- 
toren. In der That kann man das Produkt [AB LH] zu- 
nächst als aus den zwei Faktoren A und [BC* • LM] bestehend 
anfehen. Dann wird 
. [AB. . . 'LM\AB* • -AM] == [A(BC. • .LM):^(Br. . -AM)] 

= X[AaM][(BC. . .LM)b|Är. • . 'AMI 
wo der Index b unter der Klammer andeuten foll, dass der 
in der Klammer stehende Ausdruck als Eine Grösse, gemäss 
der Formel *, behandelt werden (oll. Der gefundene Aus- 
druck ist aus demfelben Grunde wieder 

= Z[AaM][Bb'fi][(CD. . .LM)ctr^. . AM], 
und fetzt man dies fort, fo erhält man ihn zuletzt 

= Z[AaM][Bb|B] • • • • [UAY[iQM]: 

Anm. Die gefammte Schaar der Grössenreihe Aa, Bb * > • Mm kann 
man auf folgende Weife kombinatorisch entwickeln: Man betrachtet 
die einfachen Faktoren des Produktes [AB- •• •] als kombinatorische 
Elemente, entwickelt aus ihnen die multiplikativcn Kombinationen 
zur fo vielten Klasse, als die Stufe von A beträgt, fo erhält man die 
Grössen Aa^ zu jeder derfelben entwickelt man die mnltiplikativen Kom- 
binationen aus den in ihr nicht vorkommenden Elementen zur fo vielten 
Klasse, als die Stufe von B beträgt, fo erhält man zu jedem Aa die 
fämmtlichen zugehörigen Grössen Bb und fo fort; endlich die letzten 
diefer mnltiplikativen Kombinationen, die zu der Grösse M gehören, 
fetzt man gleich 4^ Mm, wobei man das Vorzeichen fo bestimmt , dass 
[AaBb • • • • Mm] = [AB. . »MJ wird. Zum Beispiel , wenn A==ab, B = cd, 



tf4) 



iW 



GsMsse ist, fo erldüt man folgende ScliAar toä je drer0röMe% 
von dcDcn jedesmal die erste eiae Grösse Aa, die zweite eine zuge- 
hörige Grösse Bb, die dritte die zu beiden gehörige Grösse Cc darstellt: 
ab, cd, e ad, bc, e bc, ad, e be, ac, d ce, ab, — d 
ab, ce, — d ad, be, — c bc, ae, ■— d be, ad, — c ce, ad, b 

ab, de, c ad, ce, b bc, de, a bc, cd, a ce, bd, — a 

ac, bd, — e ae, be, — d bd, ac, — e cd, ab, e 
ac, be, d ae, bd, c bd, ae, c cd, ae, — b 
ac, de, — b ae, cd, — b bd, ce, — a cd, be, a 

174. Zufatz. Wenn in dem inneren Produkte [AB- • • 
lAB» • •] die Grössen A und A von gleicher Stufe find, ebenfo 
B und B und To fort, fo ist 

[A'B'...] 



de, ab, c 
de, ac, — b 
de, bc, a. 



[AB. 



ÜB- 



•] = ' 



[Aß— -r 

wo A' = ^[AJiA]K, B' = 2^[B~,|BJB„ u. f. w., und wo die 

A, die multiplikativen Kombinationen aus den einfachen Fak- 
toren des äusseren Produktes [AB*-*] zur fo vielten Klasse 
find, als die Stufenzahl von A beträgt und entsprechend die 

B, u. f. w. ^ 

Beweis. Nach 173 ist 

[AB....M5...]=Z[AaW[Bb|Ä]----, wo 
[AaBb--.] = [Aß---] 
ist, mit den näheren in 173 angegebenen Bestimmungen. 

Da nun A mit A von gleicher Stufe i«t, alfo auch A» mit 
A^ fo ist (nach 141) [Aa|^] eine Zahl und aus gleichem Grunde 
[Bb|B], u. f. w. Folglich können wir statt ^[Aa|-4][Bb|B]-- • 
schreiben 



Alfo, da [AaBb 



_ V [AaM][Bb!g]' 
~Z. . [AaBb 

.] gleich [Aß. •] ist, 

= Z[Aa!^][Bb|B]- 



■[AaBb--] 



•] 



.[AaBb--].-[AB..]. 
Oder, da (nach 46) die Zahlfaktoren beliebigen Faktoren eines 
Produktes 2tfgeordnct werden können, 

= Z([Ä:WAa.[Bb|B]ßb •••)•• [AB- .]. 

Hier enthält (nach 173) jedes Produkt [AaBb- * *] diefelben 

Faktoren erster Stufe wie[AÖ"-]^ Mo enthält in jedem der- 

felben Aa andere als Bb, u. f. w. Da nan aber die Frodrictes 

in denen Aa, Bb,*-- gleiche Faktoren erster Stufe enthalteit, 

9 



4se 



(tf» 



nvH find, fo kdaneii wir diefe Produkte zu den obigea Aas- 
drucke hinzufttgen, und erhalten dann denfelben (nach 45) 

= [Z\MWr- Z[b,:ä]b,. .].[ab. •], 

179. Das innere Produkt zweier Grössen m-ter Stufe 
A und B, deren jede aus m einfachen Faktoren besteht, ist 
gleich der Determinante aus m Reihen von je m Gliedern, 
die man erhält, indem man nach der Ordnung jeden einfachen 
Faktor von A mit jedem von B zu einem inneren Produkte 
verknüpft, d. h. es ist 



[abc- • «la'bV- • •] = Detern». 



fEalal, [a|b'], [ac'], • • 
[b.a'], [b|b'], [b;c'],-- 
[cla'], [e\b% [c|c'],.. 



wo a = [aja'], Oi — [alb*], o» = [alcl, • • • 
/J = [b|aa, ft = [b|b'],ft = [b|c'],••• 
y=[c|a'], y, = [c|b'], y, = [clc'],... 

«. f. w. 

Beweis. Nach 174 ist 



•), 



[•>«•••>'•>'«'• -3 = ^^ 



V ^ 

= oa + /Jb -f- yc + • 
=«ia + Al> + yiC + - 



0(a,8+ftb-f-y,c+:). 



wo ai=[a>la + tb|a']b + [c|a']c + • 
bi=[a|bq«-l-[blb']b + [clb']c+- 
ci=[«|c']« + [b|c']b + [c|c']c+ . 

ist. Aber nach 63 ist 
[(oa+/Jb+yc f • 0(«ia+Äb-j-yxC+ • 
= Z^+(««/?iy»"-)[abc. 
AUb _ 

178-179. Zuf&tze. Ins Befondere ist 
17«. •[abla'b'] =* [alalCblb'] — [alb'][a'|b], 
177.. (ab]* =a»b' -[#]», 



iM> 131 

178- .[abcp = a*b^c'— a'[b|c}«— b^[c|«]2- €'[»|b3* 

+ 2[«|b}[b|c][ola], 
119-.[abcd]» = Deteriii. f a^ [a|b], [a|c], [a.d] 

[b[a], b^ [b|c], [btd] 
[c|a], [c|b], c', [o|d] 
[d|a], [d|b], [d|c], d^ 
180--[ab|c] = [a|c]b — [b;c]a, 
181 . [abc(d] = [a;d][bc] + [b|d][ca] + [c|d][ab], 
18ä..[abcd|e]=[aie][bcd]+[bje][cad]+[cie][abd3+[dle][^^^^ 
Denn in 180 bis 182 kann man den zweiten Faktor des 
inneren Produktes (c, d oder e) als Produkt betrachten, dessen 
zweiter Faktor 1 ist (alfo c^l, d*l oder e-l), und kann dann 
No. 173 anwenden; wobei man zu beachten bat, dass nach 
den Gefetzen kombinatorif^cher Multiplikation 

[ab] = — [ba] , [a • bc] = [b • ca] = [c • ab] und 

[a • bcd] = [b • cad] = [c • abd] = [d • cba] ist. 
183. Wenn man aus einer Reihe yon (n) Grössen erster 
Stufe die muUiplikativen Kombinationen zu irgend einer Klasse 
bildet^ und jede derrelben mit d^ ergänzenden Konbuuition 
zu einem inneren Produkte verknüpft, fa ist die Summe diefer 
Produkte null, d. h. 

[A(B] + [A,IB,] +....= 0, 
wenn A , Aj , • • • die muUiplikativen Kombinationen aus den n 
Grössen erster Stufe «i, 9^2r"K ^^ irgend einer (m-ten) 
Klasse, und B, Bi,-**«die ergänzenden Kombinationen find. 
Beweis 1. Es fei zuersi migenammen m^^ssD — m. 
Da nun A eine der mulliplikaliven Kombinationen von ai,- « • «n 
ist» fo wird ea die Form haben 

A=[aA a.], 

wo r^ s,* ^ «z beliebige m verschiedene unter den Zahlen 1 • • «n 
find. Da ferner B die ergänzende Kombination zu A ist, fo 
muss es als Faktoren diejenigen n -^ m unter den. Grössen 
ai • • -a,^ enthalten, welche unter den Grössen a,, a«,*^ • -a« nicht 

vorkommen. Es feien dies a,', a« , au', fo di»s alfo B 

= (— l)p[ar'aB*"«Äa0^sl. Ferner muss das durch (— 1)1^ an- 
gedeutete Vorzeidien (nach 172 Amn«) fo bestimmt werden» 
da«s [AB] =» [at * V a J wird^ d. h. dass 



ist c««» 

* (— l)P[a,8g . • . anöv* • -828,'«.' • • • Su'] = Kaj aj 

ist. Von gleicher Form Tind die rämmtlichen übrigen Produkte 
[Ai|Bi] u. f. w. Sollen die Kombinationen A, B, A,, B, j'- 
wohlgeordnete fein^ fo hat man noch die Bedingungen hinzu- 
zufügen, dass T <: ü <r* • -^u <: v <:• • •<: » und r' <: s' <r 
• ••<:u' Tei. ' Fügen wir diefe Bedingung hinzu, fo wird 

[A(B] + [A,l B,]+»>>> ■ 

= X(~ <?[Mfi- * auav • • -«ilar'a.*. • -au'}. 
Fassen wir hier av*-«*az zu einem Faktor zufammen und 
ttigen dem zweiten' Faktor des inneren Produktes atif letzter 
Stelle UQph den Faktpr 1 hinzu, fo wird die Bedingun^g' von 
No. 173 erfüllt, alfo wird der obige Alisdruck 
^^ [A|B]-f [Ai|B,]+>.. 

wobei noch die Gleichung (*) l)estehen bleibt, und auch die 
Bedingungen r' < s' <: • • • <: n' und v < w < •'• • <: z geltend 
bleiben, hingegen die Bedingung, dass r <: s -< • • • <: u fei, 
wegfällt, und die Summe fich auf alle unter jenen Bedingun- 
gen mügtichen Glieder bezieht. !ch zeige nun, dass in diefer 
Summe alle Glieder paar weife einander entgegengefeizi find, 
und fich alfo beben. Es fei irgend eins diefer Glieder betrach- 
tet, etwa 

C— l)P[a,far'][8s|as'] • • • • [»u WEara^ a,] 

wo di^ Indices bestimmte (von einand^ vcrschiedeiie) Werthe 
haben, die den obigen Bedingungen genügen, und wo nach 
dem Obigen p einen folchen Werth hat, dass die Gleichung 
(*) erfüllt wird. Da dio Indices r, r% s, s',*»»u, ä' allo 
von einander verschieden flnd^ fo wli^d irgend einer der kleinste 
unter ihnen fein müssen, und unter den Produkten [a,{a,'], 
[äfllas'])* '••[aa|8a'] wird irgend eins diefen kleinsten Index 
enthalten; es fei dies l)eispielsweife das Pirodukt [a^la,']. Dies 
angenommen, vertausche man r und r^ und ändere das Zeichen, 
fo erhält man einen Ausdruck 

*** (- l? + ^Wa,][a,!a,.]. • • -[aulauOEa^aw- • •».], 
von welchem ieh zeigen werde, dass er gleichüalis als Glied 
in der obigen Summe {**) vorkommt. Sdllte der Index r 
grösser fein als s', fo gebe man dem Faktor [ar^K] unter den 



!••> 133 

ftbrigen Fal^toreti Kla»']- •• -[aujau'] eine Tolche Stellung, dass 
die Bedingung erfüllt wird, vermöge welcher der zweite Index 
in jedem dieser Faktoren kleiner Tein Toll als der zweite Index 
desv nächst folgenden Faktors. Ich will annehmen, dass diefe 
Bedingung erfüllt Tei, wenn man den Faktor [ar'jaj um q 
Stellen nach rechts rückt, was gestattet ist, da alle diere Fak- 
toren Zahlen Tind. Es ist nun noch zu zeigen , dass auch die 
durch Gleichung (,*) ausgedrückte Bedingung für das fo her- 
Yorgehfti;^de Glied gilt, d. h. dass fio noch bestehen bleibt, 
wenn man in ihr p + 4 s.tatt p Tetzt, auf der linken Seite 
ar' mH a, Y^JTt^uschl und diefe beiden Faktoren um q Stellen 
nach rechts rückt.. Da^ Produkt, welches auf diefe Weife aus 
( — l)^[apa^- • «auay • • -azar'ag'- • -au'] hervorgeht, heisset P; fo ist 

F = ( — iy ^ K^T'Bg • • • auav • • • aa a^a.' • • • au'] 
Denn man kann in diefem Produkte P die Faktoren a, und 
ar' gleichzeitig wieder um 9 Stellen zurückrücken, ohne dass 
fich(nach 58) der Werth des Produktes ändert. Ferner ist 
der letzte Ausdruck (nach 55), indem man a^ und a,' vertauscht, 
= — ( — l)P+^[ara, • auav • • • az ar^a«' • • • a«] 

= (— iy[^j% auav • • • a^ ap^ag' • • • au*] 

= [8182 • • • a J [nach *]. 

Alfo P = [aiaj aj. Alfo ist jener Ausdruck (***) 

allen Bedingungen unterworfen , denen die Glieder der Summe 
C**) unterworfen find, ist alfo, da jene Summe alle Glieder 
enthält die jenen Bedingungen genügen, felbst ein Glied jener 
Summe. Dies Glied hebt Tich nun mit dem zuerst betrachteten 
Gliede auf; denn 

(— 1? War'][aJasJ • • • [aulau'][av aw • • • a^] 

+ (— i)P+'[ar'(aJ[a>3.] • • .[aulau'][av»w- • -a»] 
ist null, da [ar'|aj = [a^r] ist (nach 144) und (— 1)^+^ 
:= — (— 1)P ist. Aber auf diefelbe Weife, wie aus dem ersteren 
diefer beiden Glieder das letztere hervorgeht, geht aus diefem 
jenes hervor. Und auf gleiche Weife findet fleh zu jedem 
Gliede jener Summe ein ihm zugepaartes, welches Heb mit 
ihm aufhebt; alfo ist jene Summe null, alfo auch das diefer 
Summe gleiche 

[A|B] + [All Bil +....= 0. 



134 €«»« 

3. Wenn m < n — in ist, To ist (nach 150), wenn noch 
in(n — m — 1) = c gefetzt wird, 
[A|B] + [Ax'B,] + . . . =(- l)«i[B|A] + (- l)»|[Ba|AJ. + • • • 
=(- 1)«|([B;A] + [B,|AJ +....) [98]. 
Hier ist (nach Beweis 1) die in Klammer geschlossene 
Summe 0, alfo 

[A|^] f [A,|B,] +...=(- 1)1(0) = [89]. 

184. Zujatz. . Wenn man aus einer Reihe von 4m 
Grössen erster Stufe ai • • • 94^ «iie ßimmth'chen multiplikativen 
Kombinationen A, B;, C**- zur 2m46n Klasse, welche eine 
diefer Grössen, a^. 3. h enthalten, bildet, und jede derfelben 
mit der erg&nzendoi^ Kombination zu einem inneren Produkte 
verknöpft, fo ist die Summe diefer Produkte null, d. h. 

[A|A'] + [B|B']+..., = 0, 
wo A, B,*** die multiplikativen Kombinationen aus ai,*--* 
84^ zur 2m-ten Klasse, welche a| enthalten / und A', B%--- 
deren ergänzende Kombinationen find. 

Bewe.is. Da A, B,-*« die fämmllichen ai enthaltenden 
multiplikativen Kombinationen aus 4m Elementen zur 2m-ten 
Klasse find, fo find ihre ergänzenden Kombinationen A', BV * * 
die rämmtlichen Kombinationen aus denfelben Elementen zu 
derfelbca Klasse,, welche ai nicht enthalten. Ferner, da die 
Stufenzahlen von A, B,-*A% B%*- gerade find, fo ist (nach 
58) [AA'] = [A'A], und alfo (nach 172 Anm.), wenn A' die 
ergänzende Kombination von A ist, auch A die ergänzende 
Kombination von A', und ebenfo B die von B', fomit (nach 183) 
[A|A'] + [B|B'] +....+ [A'|A] + [B1B] + • • •= 0. 

Aber (nach 144) [A|A'] = [A'|A], [ß|B'] = [B'|B] • .. 

Alfo 

2[A|A'] + 2[B|B'] +. . . =0, d. h. 
[A|A'] + [B|B'] + =0. 

185—187. Zufätze. Ins Befondere ist 

185, [ab|cd] + [ac|db] + [adlbc] = 0, 

186. [ab|c] + [bcia] + [calb] = 0, 

l»1. [abc|d] - [bcdia] -f [cda.b] — [dab|c] =0. 



§. 4. Besondere Sätze tber die innere Multiplikation zweier 
Grössen erster Stufe. 

188. / Die Bedingungfsgleichungen für die innere Multi- 
plikation zweier Grössen erster Stufe find 
(ä) [er'ej=0, wenn r ^ s, 
. (b)[ejej = [^e3lej=..., , 

und zwar gelten diefelben auch, wenn man statt der Einheiten 
ei, e2,-**eo ein beliebiges vollständiges Normaisystdm fetzt. 
Beweis. Die Geltung der beiden Gleichungsgruppen für 
die Einheiten ist in No. 142 bewiefen. Alfo gelten fie (nach 
168) auch für jedes einfache vollständige Normalsystem. Sie 
gelten aber auch für ji^des beliebige vollständige Normalsystem. 
Denn find a, b, zwei Grössen desselben und ist X der nume- 
rische Werth des Normalsystems, fo dass a:^=Aa% b = ilb^ 
gefetzt werden kanh, wo a^ und b^'den numerischen Werth 1 
haben, fo ist [a'|b'] = 0, alfo auch [^a'I^'] = 0, d. h. [a|b] 
= und [a'|a'] = l, alfo [a|a] = [Aa'|Aa'] = AVI«'] = ^^ 
Ebenfo [b|b] =P, alfo [a|a] = [b|b]. tu zeigen ist noch, dass 
die beiden obigen Gruppen' die vollständigen Bestrmmungsglei- 
chungen enthalten, d. h. (nach 4%} dass zwischen den Pro- 
dukten [Crjeg] keine andere Zahibeziehung herrscht, als eine 
aus jenen beiden Gruppen ableitbare. Es lassen ficii vermöge 
der beiden Gruppen alle Produkte [e,|eg] , fofern r gleich s ist, 
gleich [ei|e|] fetzen, während fle verschwinden, fobald r von s 
verschieden ist. Hat man alfo irgend eine Bedingungsgleichung 

X«r. 8^631 = 0, 
fö verwandelt fie fleh in 

alfo, da [ei|e|] gleich 1 ist, in 

Ist aber letzteres der Fall, fo geht die Gleichung 

schon aus den obigen beiden Gruppen hervor, fomit enthalten 
jene beiden Gruppen das vollständige System der Bestimmungs- 
gleichungen. 

Anm. Für die iiwiere Multiplikation zweier beliebiger Grössen 



436 (••• 

von den Stufen p und q (q >- ^== p) ist das System der Bestimmunp- 
gleichungen in den beiden Qleicbungsgrappen enthalten: 

(a) [E|F]=0, wenn £ nicht mit F incident ist, 

(b) [E|EG] = [E'IE'G], woE, F, G, E' kombinc^torische Pro- 
dukte der urspr anglichen Einheiten find, E, £' von p-tcr, F, [EG] 
und [E'G] Yon q-ter Stufe und die letzteren beiden nicht null find. 

189. [a;b] = [b|a] (spccieller Fall von No. 144). 

190. Es ist 

[(Ml + a,aa + • • OKM + ß^a^ +• .)] 
=5 Oij^iai^ + (hß^^%^ • • • • j 
wenn ai, aj)-**' ^^ einander normal find. 

Beweis. Denn wenn Ciai + «2^2 + • • * roit ^o^a^ und 
fta + ftöa + • • • mit ^ßt^r bezeichnet wird, fo ist 

[(«181 + 0282+- •)|(i»iai+^ + - •)] = LZ"Mr'XiM"r] 

= Za/a[ariasl [42] 

= X«A[ar|ar], 
weil a^ und a^, wenn r von s verschieden ist, nach der An- 
nahme zu einander normal Tind, alfo (nach 188) ihr inneres 
Produkt null ist. Der letzte Ausdruck ist aber 

191. Es ist 

K(ti^i+(h^2+-:\(ßi»i+ß2^%+''y\—(ttßi+(hß2+'', 

wenn ai, 829*** ein einfaches Normalsystem bilden. 
Beweis. Denn nach 190 ist 

[(«181 + «aaa + . . •) (ftaj + jjjaj + • •)] 
= a,ftai^ + a2/?2aa*+..., 
aber, wenn ai, 82,- •• ein einfaches Normalsystem bilden^ fo 
ist aj = aj =• • = 1, alfo der gefundene Ausdruck 

= (hßi + 02/^2 -i . 

192. Wenn ai, 82,* •• zu einander normal find, fö ist 
(8i + 82+-.)-* = 8;+a:+ ... 

Beweis aus 190. 

193. Es ist 

(a + b)^ = a* + 2[a[b] + b». 
BeweU. Es ist 

(a + b)*=[(a + b)|(a + b)] 

= [8|a] + [alb] + [b|al + tblbl [42], 



!••) 137 

alfo (naeh 189) 

« a' + 2[a|b] + b^ 

194. Es ist 

(a + b + c>* = a^ ^- b' + c^ + 2[b|c] + 2[c|a] + 2[a|b]. 

Bew^eis wie in 193. 

Anm. Die Sätze ld2— 194 stellen, geometrisch gedeutet, den 
Pytbagoräiechen Lehrfatz nebst feiner Erweiterung für die Ebene wie 
für den Raum dar. ?j, i 

§. 6. EinfÜhruns der Winkel. 

195. Unter ^AB (Winkel AB) verstehe ich, wenn A 
und B vQn gleicher Stufe aber nicht null, und a und ß ihre 
numerischen Wierthe find^.disnjenigen Winkel zwischen und 
n (diefe Gr-dnzen mit eingeschlossen), dessen Cofinus gleich 
dem durch die numerischen Werthe dividirten inneren Pro- 
dukte jener Grössen ist, d. h. ich fetze 

cos. ^AB = M\ Z.AB = 0. ^ 7F. 
dp 

Ferner verstehe ich, wenn a, b, c,-«- Grössen erster 

Stufe find, und a, ß, /,-•• ihre numerischen Werthe, unter 

- . Fabc' • 1 

fin. (abc- • •) den Ausdruck, welcher numerisch gleich - ^ " — - 

und nicht negativ ist, d. h. 

[abc...]^ 



fabc • • • 1 

fin. (abc • • • ) :>= und numerisch = --^ -, 

^ ■' ttßY' • • 



d. h fin. '(abc- • •) = 



19«. Wenn a, b Grössen erster Stufe flnd, fo ist 

fin.(ab) = rin. ^-ab. 

Beweis. Denn nach 195 ist 

r 2r.^ [«•>]' a'b'-[a|b]» 
f.n.'(ab) = LL = — ^J 

_ g'j?'- [ajb] » 
ra'bl» 



[177] 
[151J 



= '-[i] 



= 1 — cos. »-^ab [195] 

= fin. «^ab. 



138 (!•* 

Und da nach der Definition Hn. (ab) nie negativ und ^ab 
ein Winkel zwischen und n, alfo fin. -^ab auch nicht negativ 
ist, fo folgt aus fin. ^(ab) = fin. ^-^ab, dass fin. (ab) = fln. 
4 ab fei. 

lO*!. [A|B] =a/Scos.^AB, wenn A und B von gleicher 
Stufe und a und ß ihre numerischen Werthe find. 

Beweis aus 195. 

198. [ab]*= (a/9rin.^ab)^ wo a und ß die numerischen 
Werthe von a und b find. 

Beweis. Nach 177 ist [abp = a2^^—[a|b]« 

= a^ß^- (a^cos.-^ab)^ [197] 

= a2/?^(l — cos.^^ab) 

= a2j»»fin.2^ab. 

Anm. In diefen Formeln tritt der Gegenfätz' zwischen dem 

änsseren und inneren Produkte in einfachster Gestalt hervor. Während 

das innere Produkt zweier Grössen erster Stufe gleich dem Produkte 

der numerischen Werthe in den coflnus des Zwischenwinkels ist , fo ist 

das äussere Produkt derfolben , abgefehen vom ^ Zeichen , gleich dem 

Produkte der numerischen Werthe in den finus des Zwischen winkeis. 

199. Es ist 

[abjcd] = a/SyJfin. ^ab fin. ^cd cos. (^ab • cd), 
wenn a, /?, /, d die numerischen Werthe von a, b, c, d find. 
Beweis. Der numerische Werth von [ab] ist ([ab]^)* 
und der von [cd] ist ([cd]^)*, alfo ist (nach 197) 
[ab|cd] = ([ab]^[cd]^)*cos.(^ab.cd) 

= [(a/Jfin.-^ abyJfin./icd)2]W(-^ab.cd) [198]. 
Aber da das Produkt a/9fin.'^ab/dfin. ^cd pofitiv ist, fo 
hebt fich das fortschreitende Potenziren diefer Grösse durch 
2 und 1 auf, und es wird 

[ab|cd] = aßyi[\n. ^ ab fin. ^cd cos. (^ab • cd). 

200. Die normale Zurfickleitung von A auf eine Grösse 
gleicher Stufe B ist numerisch gleich Acos. ^AB. 

Beweis. Wenn A' die normale Zurückleitung von A 
auf B ist, fo ist (nach 166) 

1) 

= acos.^AB«-5-, alfo numerisch = A cos. ^ AB, 
P 



•••> 130 

901. Wenn a» b, c,« • • za einander normal lind» fo i^ 
fttr jede aus ihnen numerisch ableitbare Grosso k 

— = — COS. -^ak -(- -T-cos. ^bk + • • • , 

wo X, a, /?,••• die numerischen Werthe von k, a, b,- • • find. 

Beweis. Es fei k = xa + yb H , fo erhalten wir 

durch innere Multiplikation mit a, da [b|a] u. f. w. null find, 
[a|k]=x[a|a]=xa^ [151], 

alfo ,^[^]_«l£-±ik ^^,^ 

= — cos.<^ak. 
a 

Aus gleichem Grunde ist y ==:-^cos.^bk u. f. w. Diefe 

Werlhe von x, y,.- in die obige Formel eingefelzt, giebt 

X X 

k = — cos.^aka + -^rcos.^bk-b +• • •, d. h. 

— = —COS. ^ak + -^cos. ^bk -] . 

X a ß 

202. Wenn a, b zu einander normal und k und I aus 
ihnen numerisch ableitbar find, fo ist 

cos.^kl = cos.^akcos. ^al + cos.^bkcos.^bl-f-* •. 

Beweis. Nach 195 ist, wenn x, A, a, /?,*•• die nume- 
rischen Werlhe von k, 1, a, b,--« find, 

c«. ^kl = M = [il|-]=[0. -.k+Ac». .bk + . .) 

;Q cos. ^al + ycos. ^bl + . .N] [201] 

a' b- 

= — öcos. ^akcos.^al + -r^cos.^bkcos.^bl +• • •, 
a^ ß^ . 

weil [a|b] u. f. w. null find. Da nun a* = a^ V = ß\ u. t w, 
fo erhält man 

COS. ^kl = COS. "^ak cos. ^al + cos, ^bkcos. ^bl +••••. 
Zufatz. Man kann diefen Satz auch fo ausdrücken: 
Statt eine Grosso erster Stufe (k) auf eine andere 1 zurück- 
zuleiten, kann man jene zuerst auf die Grössen eines Normal- 
systems zurückletlen und dann die fo erhaltenen Zurück- 



140 («•• 

leitQugen auf 1 imräcktoüen, und diefe letzten Zurtickleitungen 
addiren, vorausgefetzt, dass hierbei alle Zurückleitungen nor- 
male find. 

203. Wenn a, b,-** zu einander nt)rmal find, To ist 
für jedes aus ihnen numerisch ableitbare k 
1 = cos. *^ka + COS. 2^kb + - • • . 

Beweis. Die Formel geht aus 202 hcrtor, wenn man 
1 = k felzt. 

201. Wenn a, b,** zu einander normal und k und 1 
aus ihnen numerisch ableitbar und gleichfalls zu einander nor- 
mal flnd, fo ist 

O:=cos.^akcos.^al -(- cos.^bkcos.^bl -(-• • •. 

Beweis. Die Formel geht aus 202 hervor, wenn man 
^lk = 90« felzt. 

205. Wenn a + b ^ =0 ist, und a, /S,-« die 

numerischen Werthe von a, b,*«- find, fo ist 

a) a:/?:« • • • =fin.a': finb^:- • •, 

wo a', bV * die zu a, b,*** ergänzenden Kombinationen aus 
a, b,* • • find, 

b) acos.^ax +• /JcoS.^bx -f • • • =0, 
wo X eine beliebige Grösse ist, 

c) fin.a'cos.^ax -(- fin.b'cos.-^bx -[-•... ==0. 
Beweis 1. Multiplicirt man die Gleichung 

a + b +•. = 
kombinatorisch mit cd * • • • , fo erhält man 

[acd. . .] + [bcd. -] = 0, alfo [acd- •]*= [bcd.,.]^, 
wo [acd« • •] das Produkt aller Grössen a, b, c,- • •, mit Aus- 
nahme von b, und [bcd* • •] das Produkt aller Grössen, mit Aus- 
nahme von a, ist. Somit ist (nach 195) 

(ay<J. . .)^fin.2[acd.] + (/9yrf. - •)'««. '[bcd- • •] = 0, 
oder a^fin.^[acd. • •] = /?^nn.2[bcd. • *]. 

Nun ist cad« • • die ergänzende Kombination zu b, alfo = b', und 
bcd' • • die ergänzende zu a, alfo == a', alfo fin.b' = fin. (cad- •) 
und nDi.a' = fin.(bcd- •), «Ifo, da a, /?, fin.a", fin.b' poßliv find, 

afin.b' = /?fin.a', d. h. a: /?= fin.a': fin.b', 
und fomit allgemein 

«;/?:•••= fin. a' : fin. b :••• . 



2. Multiplicirt man die Gleichung a -f b + • • = inner- 
lich mit einer beliebigen, von null verschiedenen, Grösse erster 
Stufe X, To erhält man 

[a|x]+[b|x]+...=0, 
alfo wenn J der numerische Werth von x ist, ist 

ajcos.-^ax -f jJgcos.^bx +• • • • =0, d.h. 
acos. ^ax + /S cos. ^bx -f • . • =0. 

3. Substituirt man in die fo erhaltene Gleichung die vor- 
her gewonnenen Werthe von a;/?:/;««*, To erhält man 

fin.a'cos.-^ax -f- fin.b'cos.^bx + =0. 

A n m. Die entwickelten Formeln haben nur dann eine Bedeutung, 
wenn zwischen den Grössen a, b, • • • keine andere Beziehung herrscht, 
als die durch die Gleichung a + b +• • =0 dargestellt ist, d. h. wenn 
die n Grössen a, b, •"•• in keinem Gebiete von niederer als (n— l)ter 
Stufe vereinigt find. Für drei Grössen enthält die erste den bekannten 
Satz, dass im Dreieck die Seitenlängen fich wie die finus der Gegen- 
winkel verhalten. 

206—213. Aus den Formeln 172, 175-178, 184, 
185 ergeben (ich mit Hülfe der angegebenen Winkelbezeich- 
nungen folgende Formeln: 
206. fin.^AB-fin.^^JBcos.(^AB.^B) 

= ^cos. ^AfA cos. '^BrB, 
wo Ar die Kombinationen aus den einfachen Faktoren von 
[AB], zur fo vielten Klasse , als die Stufe von A beträgt, und 
Br die ergänzenden Kombinationen find. 
. 20'!. fin.Cabc- Ofin.CaVc. Ocos.C^abc- • .a'bV- • •) 



= Determ. 



cos.^aa', COS. ^ ab',* 
cos,^ba', cos.^bb',- 



208. rin.abfin.cdcos,(4ab«cd) 

=i= COS. ac cos. bd — cos. bc cos. ad , 
und wenn hier a und c statt c und d gefetzt wird 

209. fin^ ab fin. ac cos. (^^ab • ac) = cos. bc — cos. ab cos. ac, 
eine bekannte Formel der sphärischen Trigonometrie, ferner 

210. fin. 2ab = 1 — COS. ^ab, 

was hier als die Transformation von 177 mit aufgeführt ist. 

211. fin. ^[abc] = 1 — cos. ^bc — cos. ^ca — cos. ^ab 

4- 2cos. bccos, ca cos. ab. 



143 (•" 

212. fin.Afin.Bcos.^AB + nn.Aifin.BiCos.^AiBi -| 

= 0, 
wenn A, Ai,* • die Kombinationen aus 2n Grössen erster Stufe 
zur n-ten Klasse, und B, Bi,**- deren Ergänzungen find. 

213. fin. ab fin. cd cos.(^ ab • cd) + fin. ac fin. bd cos.(^ ab • cd) 

-f fin. ad fin. bc cos. (^ ad • bc) = 0. 

Anm. Ebenfo würden fich die übrigen Formeln aus §. 3 haben 

[abcidj 
umgestalten lassen, wenn man noch ^ "y - = cos. /^abcd gesetzt 

hätte u. r. w. 

214-215. Ferner aus 193, 194 ergiebt fich. 

214. (a + b)* = a^ + 2a/? cos. ^ab + ß\ 

215. (a + b + c)*=ra* + /?2 + y* + 2/Jycos.^bc 

+ 2}^acos.ca -f- 2a/} cos. ab, 
wo a, /?, y die numerischen Werthe von a, b, c find. 

^ttp. 5. ^nnjcnbunjen auf btc Geometrie. 

§. 1. Addition, Subtraktion, Vervielfachung und Iheüung 
von Funkten und Strecken. 

216. Erklärung. Wenn ein Punkt E und drei gegen 
einander Tenkrechte und gleich lange Linien als ursprüngliche 
Einheiten angenommen find, und a, a^, 02, aa beliebige Zah- 
len find, fo verstehe ich 

a) unler 

E + «1^1 +(he2 4-0363 
den Punkt A, zu welchem man gelangt, indem man von E 
aus zuerst um eine Strecke EB fortschreitet, welche gleich 
aiCi ist, d. h. welche mit e^ gleich oder entgegengefetzt ge- 
richtet ist, je nachdem ai pofitiv oder negativ ist, und deren 
Lfinge fich zu der von e^ wie Oi zu 1 vorhftit, dann von B 
aus um eine Strecke BC, welche in demrelben Sinne gleich 
c^e^j und endlich von G aus um eine Strecke CA, welche in 
demfelben Sinne gleich 0363 ist, fortschreitet, 

b) zweitens verstehe ich dann unter 

«iCl + «2Ö2 + «3^3 

eine Strecke, d. h. eine gerade Linie von bestimmter Linge 
und Richtung, und zwar diejenige Strecke, welche gleiche 



Lflnge und Richtung hat mit der von E nach dem Punkte 
E + «161 + ctjCa + «303 gezogenen geraden Linie, 
c) drittens unter 

a(E4-aiei + «a©, + ütjes) 

= «E + ooiei + ocEjea + 00363 
das a-fache des Punktes E 4- 0]ei + ^^2 + ^63, und 
Tetze fest, dass für alle diefe Grössen und ihre Verknüpfungen 
die in Kap. I. gegebenen Bestimmungen, und alfo auch die 
daraus abgeleiteten Sätze gelten. 

Anm. Grössen erster Stufe find alfo hier die einfachei). nnd viel- 
fachen Punkte und die Strecken von bestimmter Länge und Richtung. 
Durch die Erklärungen in §. 1 ist dann die Addition, Subtraktion 
Vervielfachung und Theilung dief er Grössen bestimmt, und durch die 
Sätze in §. 1 die Geltung der algebraischen Verknüpfungsgefetze für 
Tie nachgewiefen und in den folgenden §§. die befonderen Eigenschaften, 
welche ihnen als extenfiven Grössen zukommen. Wir leiten hier zu- 
nächst aus diefen formellen Bestimmungen die Konstruktionen ab, 
durch welche die Refultate der verschiedenen Verknüpfungen erfolgen. 

217. Wenn A = E + a^e^ +«2^2 +«3^3 ist, fo find 
01^1, «261, «363 die fenkrechten Projektionen (normalen Zu- 
rfickleitungen) von EA auf die 3 von E ausgehenden mit Oi, 
^2 9 ^3 gleichgerichteten Axen. 

Beweis folgt unmittelbar aus der Definition. 

218. Lehrfatz ai;s der Geometrie. Gleichgerich- 
tete Strecken, auf diefelbe gerade Linie fenkrecht projicirt, 
liefern gleichgerichtete Projektionen , die fich ihrer Lftnge nach 
wie die projicirten Strecken verhalten; und umgekehrt, wenn 
die fenkrechten Projektionen zweier gerader Linien auf drei 
gegen einander fenkrechte Axen gleich lang und gleich ge- 
richtet find, fo find die projicirten Linien felbst einander gleich 
lang und gleich gerichtet. 

219. Lehrfatz ans der analytischen Geometrie. Wenn 
A, B, C drei beliebige Punkte^einer geraden Linie find, und 
AB, BC, AC durch ein Stuck DE diefer Linie gemessen, be- 
ziehlich die Quotienten a, /?, y geben, wobei jeder Quotient 
pofitiv oder negativ genommen ist, je nachdem die gemessene 
Linie mit der messenden (DE) gleich oder entgegengefetzt 
ist, fo ist allemal 



144 («•• 

was man auch, der Kürze wegen, sdireib^ kann 

AB + BC = AC. 
220. Mehrere Strecken (von gegebener Richtung und 
Länge) addirt man, indem man fle, ohne ihre Richtung und 
Länge zu ändern, stetig an einander legt, d. h. fie To legt, 
dass wo die eine aufhört, die nächst folgende anfängt, dann 
ist die gerade Linie vom Anfangspunkt der ersten zum End- 
punkte der letzten der gefuchten Summe gleich lang und gleich- 
gerichtet. 

Beweis. Erstens für 2 Strecken a und b. Es fei 

a = a^ei + «2^2 + «a^a , 

b = i5iei +^202 +ßB^3f 
alfo (nach 6) 

a + b =-(a| + /Ji)ei + («2 + ßi^^i + («3 + ft)e3. 
Ferner fei E + a = A, E + b = B, E + (a + b) == C, fo ist 
(nach 216) die gerade Linie EA mit a gleich lang und gleich- 
gerichtet, EB mit b, EC mit a + b. Endlich fei FG mit EA 
gleich lang und gleichgerichtet und GH mit EB, fo ist zu 
beweifen, dass FH mit EC gleich lang und gleichgerichtet 
fei. Da FG mit EA gleich lang und gleichgerichtet ist, fo 
gilt dies (nach 218) auch für ihre Projektionen; nach 217 find 
aber die Projektionen von EA gleich und gleichgerichtet mit 
a^ei, a^e2 9 0303, fomit gilt dies auch von den Projektionen 
von FG; aus gleichem Grunde find die Projektionen von GH 
gleich lang und gleichgerichtet mit /^lOi, /?2^2 9 ßs^z* Es teien 
nun Fl, Gl, Hi die Projektionen von F, G, H auf die von 
E ausgehende mit Oj gleichgerichtete Axe, fo ist alfo FiGi 
mit aiQi gleich lang und gleiphgerichtet, GiHi m'\i ßiOi, d. h. 
FiGi und GiHi liefern, durch Oi gemessen, die Quotienten ai 
undj^i, fomit liefert (nach 119), da Fi, Gi, Hi in Einer ge- 
raden Linie liegen, FiHi, durch ei gemessen, den Quotienten 
<*i + ßij <•. h. PiHi ist mit («1 + ßi)Gi gleich lang und gleich- 
gerichtet. FiHi ist aber die Projektion von FH auf die durch 
£ in der Richtung von Ci gelegte Axe. Wendet man diefelbe 
Schlussfolge auch auf die übrigen Axen an, fo ergiebt fleh,, 
dass die Projektionen von FH gleich lang und gleichgerichtet 
find mit (a^ +/?i)ei, («2 +ft)e2, («3 +ß3)^3y d. h. mit den 



••«) 145 

Projektionen von EC, fomit ist (nach 118) FH mit EC gleich 

lang und gleichgerichtet, d. h. mit a + b, was zu boweifen war« 

Zweitens. Hat man nun mehrere Strecken a, b, c u. 

r. w.y und ist a mit F6, b mit GH, c mit HI, u. T. w. 

gleich lang und gleichgerichtet, fo ist nach dem ersten Theil 
das Beweires a + b mit FH gleich lang und gleichgerichtet, 
alfo auch wieder, da a -f b mit FH, und c mit HI gleich lang 
und gleichgerichtet ist, a + b -j- c mit FI, u. f. w. 

221. Das Produkt einer Strecke a mit^ einer Zahl et ist 
wieder eine Strecke (b), welche mit der ersleren {a) gleich 
oder entgegengüfetzt gerichtet ist, je nachdem die Zahl a po- 
ntiv^oder negativ ist, und deren Läage üch zu der von a, wie 
a zu 1 verhält« 

Beweis. Es feien E, C|, e^ e^ als Einheiten genommen, 
und fei 

ar^o^et + <h^2 + «3©3> fo ist 
b = aa = a^a^ei + o^Oj + 0303) 
= aa^ei -f- aa^ei -f aOgCs. 
Der letzte Ausdruck bedeutet aber (nach 216) eine Strecke, 
welche gleiche Lfinge und Richtung hat mit der von E nach 
dem Punkte B = E -f ««lei +0020^ -{"Oa^c^ gezogenen gera- 
den Linie EB. Die Projektionen diefer Linie auf die 3 von E 
ausgehenden mit e^, 02, 03 parallelen Axcn find (nach 217) 
cuttCi , aa^Oi + aa^e^. Ebenfo ist a^e^ -j- o^e^ + ^^^3 eine 
Strecke, die gleiche Länge und Richtung mit der von E nach 
dem Punkte A = E -f «lOi + a^e-j + 0363 gezogenen Linie hat, 
und ttiOi, OsOa, 0363 flnd die Projektionen von EA auf die ge- 
nannten 3 Axen. Ist nun zuerst a pofitiv, fo find aa^ei, ac^e^, 
oOsOs beziehlich mitaiOi, 0,02, a^e^ gleichgerichtet, und ver- 
halten fich zu ihnen wie a : i , alfo gilt dasfelbe (nach 218) 
auch für die projicirten Linien, d. h. EB ist mit EA gleich- 
gerichtet, und feine Länge verhält fich zu der von EA, wie 
a: 1; da nun b mit EB und a mit EA gleiche Lange und Rich- 
tung hat, fo find auch a und b einander gleichgerichtet, und 
vorhalten fich ihrer Länge nach , wie 1 : a. 

Ist aber a negativ = — ßy fo find aaiCi, aojej, aa^e^^ 
d. h. — i^ÄiOi, -— ßft%^2y — ß^^^zt ^ie Projektionen von EB, 

10 



146 (tt« 

und find (nach 216) denen von EA, nftmlich aie^, o^es, 0363 
entgegengeretzt gerichtet, fonjit (ind die von 6E, nfimlich 
ßttiCiy ßo^Biy ß(t3^3, mit denen von EA gleichgerichtet, und 
ihre Längen verhalten Tich, wie ßiiy alfo find auch BE und 
EA gleichgerichtet, und verhalten fleh, wie ßii, alfo Tind 
EB und EA und ebenfo alfo auch b und a einander entgegen* 
gefetzt gerichtet, während ihre Längen fich noch wie i:ß 
verhalten. 

222. Die Sumnie aA -f /9B +• • •, in welcher A, B,- • • 
Punkte, a, ß,-*- Zahlen find, ist eine Strecke oder ein viel- 
facher Punkt, je nachdem ct-f /S+*" gleich oder ungleich 
Null ist, und zwar ist im ersten Falle 

aA + i?B -f . . . =ö(A - R) + i9(B — R) +• . ., 
im zweiten 

aA + j9B+...=(a + /J+..0S, 

a(A-~R) + /?(B-R) + >> > 

S-R- ^+^^77.-; ^ ^ 

und R ein 'beliebiger Punkt ist. 
Beweis. Es ist 

A = R + A~^R, B = R + B — R. 
Setzt man diefe Werthe in den Ausdruck aA -f- /9B -{-• • • 
ein, To erhält man 

aA + i»B + ... =(a + i9+..)R + «(A^R)+/?(B-R)-f-... 
Alfo erstens, wenn a + /S -f • • • =0 ist, 

= a(A--R) +/?(B— R)+.... 

Ist hingegen a -\- ß -\ von Null verschieden, etwa gleich 

tf, fo wird 

a\ + ßB-i = crR +a(A — R) -f /»(B R) ^ 

^^/-^^ j a(A~R) + ig(B~R)+-A 

wenn S = R + "^^-"^ + ^f -^^+-, 

,.h. s.R^«(A-R) + i?(B-R)+-- 

a 
gefelzt ist. 

Zufatz. Wenn A und B Punkte find, fo ist A — B die 



tt*> 147 

Strecke, welche mit der geraden Linie BA gleich lang und 
gleichgerichtet ist. 

Beweis. Nach 218 ist A -— E eine Strecke, welche 
gleich lang und gleichgerichtet ist mit der geraden Linie £A 
und B — E eine mit EB gleich lange und gleichgerichtete 
Strecke; nun ist 

A— B=(A— E) — (B— E), alfo 

=(A— E) + (E — B)=(E~B) + (A— E). 

Da nun E — B und A — E Strecken find, die mit BE 
und EA beziehlich gleich lang und gleichgerichtet flnd, fo ist 
ihre Summe (nach 220) mit BA gleich lang und gleichgerichtet, 
d. h. A — B mit BA. 

Anm. Hierdurch find alfo die Strecken auf Differenzen yon Punk- 
ten zurückgeführt, und ihre durch stetiges Aneinanderlegen gebildete 
8ummc stellt fich als eine Summe folcher Differenzen dar, in denen 
Hch der Endpunkt jeder Strecke mit dem Anfangspunkte der nächst 
folgenden aufhebt. 

223. Wenn man von einem beweglichen Punkte (R) 
nach, einer Reihe fesler Punkte (A, B,- • •) gerade Linien zieht, 
und diefe, nach konstanten Verhältnissen (1 : a, l;/9, •••) 
ändert (fo dass dadurch die Linien RA', RB', • • • hervorgehen, 
welche mit RA, RB, • • • beziehlich gleich oder entgegengefetzt 
gerichtet find, je nachdem a, /?,•• pofitiv oder negativ find, 
und fich ihrer Länge nach zu RA, RB,--« verhalten wie die 
Zahlen a, /},• • zur Einheit), ^und dann die fo erhaltenen Linien 
(RA', RB',- • •), ohne ihre Richtung und Länge zu ändern, stetig 
aneinander legt, fo hat die Linie (RP) vom Anfangspunkt (R) 
der ersten zum Endpunkt (P) der letzten folgende Eigenschaft, 

1) wenn die Summe der Verhältnisszahlen (a, j^,-) null 
ist, fo ist diefe Linie [RP] von konstanter Länge und Richtung, 

2) wenn die Summe der Verhältnisszahlen ungleich null 
ist, fo geht diefe Linie (RP) durch einen festen Punkt (S), 
welcher von diefer Linie (RP) den fo vielten Theil abschneidet, 
als jene Summe (« + /*+•••) beträgt. 

Beweis. Der Satz ist nur ein anderer Wortausdruck 
von 222. 

Anm. Der Punkt S ist bekanntlich der Schwerpunkt zwischen 
den Funkten A, B,« • •, wenn deren Gewichte fich wie ai ßi ver- 
halten-, hier wird er naturgemAas den Namen Sammenpunkt führen. 



148 (ttÄ 

224. Der Summenpunkt S der Summe aA + /'B +• • •> 
in welcher a + ß -] -^0 ist, hat die Eigenschaft, dass 

a(A — S) + i^CB — S ) + . . . = 
ist; und kein zweiter Punkt befitzt diefe Eigenschaft. 

Beweis. Dehn fetzt man in 222b. den Punkt R=sS, 
fo wird 

_ cc( A _ S) + ^(B - S ) + -- 

d. h. = a(A — S) + jf?(B-.S)+..-. 

Soll diele Gleichung noch filr einen zweiten Punkt R 
gelten, alfo ^ 

= a(A — R) + iS(B - R) + . . 

fein, fo erhält man durch Subtraktion 

= a(R~ S) + /?(R - S) +. . . 

alfo, da a -}- ß -\ — (nach Hyp.) ungleich null ist, 

= R-^S, 
alfo R = S , d.h. es giebt keinen zweiten von S verschiedenen 
Punkt, der jene Eigenschaft hat. 

225. Die Summe zweier einfachen Punkte ist gleich 
ihrer doppelten Mitte, und die Summe zweier vielfachen 
Punkte ist, wenn die Koefficienten gleich bezeichnet find, ein 
vielfacher Punkt, dessen Koefficient die Summe der Koeffi- 
cienten der Summanden ist, und dessen Ort zwischen den 
Orten der Summanden fo liegt, dass er von ihnen im umge- 
kehrten Verhältnisse ihrer Koefficienten absteht, hingegen 
wenn die Koefficienten entgegengefetzt bezeichnet und nume- 
risch nicht gleich find, ein vielfacher Punkt, dessen Koefficient 
die algebraische Summe der Koefficienten der Summanden ist, 
und dessen Ort in der Verlängerung der geraden Linie, welche 
die Orte der Sununanden verbindet, fo liegt, dass er von 
diefen Orten im umgekehrten Verhältnisse ihrer Koefficienten 
absteht. 

Beweis liegt unmittelbar in 222. 

226. Die Summe eines einfachen Punktes und einer 
Strecke ist der Endpunkt der geraden Linie, welche diefer 
Strecke glek^h lang und gleichgerichtet ist^ und deren An- 
fangspunkt der gegebene Punkt ist. 



t#t) 449 

Beweis. Es Tei die gerade Linie AB gleieh lang ond 
gleichgerichtet mit der Strecke p, To ist (nach 222 Zuf.) 

B - A = p. 
Alfo A + p = A+B — A = B. 

227. Die Summe eines a- fachen Punktes (aA) und 
einer Strecke (p) ist der a- fache Endpunkt einer geraden 
Linie (AB), deren a-faches mit diefer Strecke (p) gleich lang 
und gleichgerichtet und deren Anfangspunkt (A) der gegebene 
Punkt ist. 

Beweis. aA + p = ctf A + — \ alfo wenn das a-fache 

von AB mitp gleich lang und gleichgerichtet ist, aKo AB mit 
P 



fo ist 



a 



und alfo aA + P =^ «(A + B — A) = aB. 

Anm. Die Addition der Punkte ist zuerst (1827) von Moebius 
in feinen barycentrischen Kalkül gelehrt worden. Die Addition der 
Strecken scheint zuerst von Bellavitis in mehreren Auff&tzen (1835, 
1837) der Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto veröffent- 
licht zu fein. Ganz unabhängig davon ist die Bearbeitung meiner Aus- 
dehnungslehre von 1844 (§. 24, §. 101—102), in welcher auch zuerst 
der Zufammenhang zwischen beiden Additionen ans Licht gestellt ist. 
Es fehlt jedoch fowohl in jenen Werken als auch in diefem der Kach* 
weis, dass es keine andere Addition der Punkte und Strecken giebt, 
als die hier angegebene , und dennoch erscheint diefer Kachweis noth" 
wendig, wenn jene Addition als eine wirkliche Addition jener Grössen, 
und nicht blos als eine abgekürzte Schreibart aufgefasst werden foll, 
wie letzteres Hoebius will. Es ist daher zu zeigen, dass der allge- 
meine Begriff der Addition, wenn er ins Befondere auf Punkte (oder 
auch auf Strecken von gegebener Länge und Richtung) angewandt wer- 
den foll, keine andere als die oben dargestellte Addition liefern kann. 
Zu dem Ende ist zunächst die allgemeine Bestimmung festzuhalten , dass 
keine Verknüpfung geometrischer Gegenstände als folche an einen be- 
stimmten Ort im Räume gebunden fein darf; oder, um diefe ßestim* 
mang rein mathematisch auszudrücken: „Alle Verknüpfungen räum- 
licher Grössen müssen von der Art fein, dass jede Gleichung, welche 
fewiflcheii einem Verein von Punkten statt findet, aueh bestehen bleiben 
muss , wenn man statt diefer Punkte die entsprechenden Punkte eines 
kongruenten Vereines fetzt." Die Addition und Subtraktion ist nun 
dadttreh bestimmt, dasa erstens die 4 Grundformeln 



150 Ct»f 

i) a+b = b + a, 

2) a + (b + c) = a + b + c, 

3) a + b — b^a, 

4) a-b-f b = a 

gelten-, und dass ausserdem die durch die Verknüpfung entstehenden 
Grössen in möglichst weitem Umfang Von gleicher Gattung feiu müssen, 
wie die verknüpften. Diefe letztere Bestimmung muss noch indivi- 
dualifirt werden. Da nach der dritten Grundformel, auch wenn A 
und B Punkte lind, 

A + B-B = A, 
alfo ein Punkt, und nach der ersten und dritten 

A + B-A==B, 
alfo auch ein Punkt ist , fo liegt die Annahme nahe, dass auch A 4- B 
•*- C als Punkt zu fetzen ist. Doch genügt es , diefe Annahme nur für 
den Fall zu machen, dass C die Mitte zwischen A und B ist Wir 
machen alfo, um der angeführten Bestimmung zu genügen, die An- 
nahme, „dass wenn C die Mitte zwischen den Punkten A und B ist, 
allemal A + B — C wieder ein Punkt fei." Hiermit find die nothwen- 
digen Annahmen erschöpft. Zunächst folgt ans dem Gelten der 4 
Grund formein das Gelten aller allgemeinen Additions- und Subtrak- 
tionsgefetze. Demnächst beweife idi, dass^wenn der. Punkt C die Mitte 
zwischen den Punkten A und B ist, A-j-B — G==C fei, Es fei A 
+ B — C = X gefetzt, fo kann X nicht von C verschieden fein. Denn 
angenommen, X wäre voii C verschieden, fo verlängere man XC um 
fich felbst bis Y, fo dass XG~CY wird. Dreht man nun die Figur, 
welche die Punkte A, B, C, X enthält, innerhalb einer Ebene, in wel- 
cher diefe Figur lieget, um den Punkt herum, bis fic einen WinJ^el 
von 180'<^ beschneiden hat, fo föllt nun A dahin, wo vorher B, B da- 
hin, wo vorhier A'lag, und X föllt auf Y, d. h. der Verein A, B, C, 
X ist kongruent dem Vereine B, A, C, Y. Da nun nach der Annahme 

A+B^C=X 
war, fo muss nach der obigen Bedingung, welcher alle geometrischen 
Verknüpfungen unterliegen , diefe Gleichung auch noch bestehen blei- 
ben, wenn man statt A, B, C, X beziehlich B, A, C, Y fetzt, alfo 

B + A~C = Y. 
Alfo hat man 

Y = B + A — G=:A-f B-C (nach Grundformel 1) 
=:X (nach Annahme), 
alfo Y = X. Es entstand aber -Y aus X dadurch, dass man XG um 
fich felbst verlängerte bis Y-, foU alfo Y mit X zufammen fallen, fo 
muss X in C fallen, d. h. es ist X=:C, alfo A + B — C=C. 

Bringt man in dicfer Gleichung G auf die rechte Seite, fo erhält 
man 

A-f.B = 2C, 
d. h. „die Summe zweier Punkte ist das Doppelte des in der Mitte 



»»«) 151 

zwischen beiden liegenden Panktes.** Es feien nun AB nnd CD zwei 
beliebige gerade Linien von gleicher Länge und Richtung ^ £o ist d&s 
Viereck ABDC ein Parallelogramm. Die Diagonalen mögen fich in £ 
schneiden. Da nun die Diagonalen eines Parallelegramms fich hal- 
biren, fo ist £ fowohl die Mitte zwischen A und D, als auch zwischen 
B und C, d. h. es ist 

A + D = 2£ = B + C, alfo A + D = B + C. 
Bringt man in diefer letzten Gleichung D und B auf die andere Seite, 
fo erhält man 

A — B = C — D. 
Umgekehrt, wenn diefc letzte Gleichung gilt, fo gilt auch die vorher- 
gehende A + D = B -f C, d. h. die Mitte zwischen A und D muss zu- 
gleich Mitte zwischen B und G fein, d. h. das Viereck ABDC muss 
ein Parallelogramm, alfo AB mit CD gleich lang und gleichgerichtet 
fein. Daraus folgt der Satz: „Eine Differenz A — B zweier Punkte 
ist einer Differenz C — D zweier anderer Punkte dann und nur dann 
gleich , wenn AB und CD gleich lange und gleichgerichtete Linien find." 
Nennt man der Kürze wegen die Differenz A — B oder — B -|- A eii.e 
Strecke, B ihren Anfangspunkt, A ihren Endpunkt, fo folgt fogleich 
der Satz : „Strecken (von gegebener Richtung und Länge) addirt man 
indem man tie (ohne ihre Richtung und Länge zu verändern) stetig, 
d. h. fo aneinander legt, dass der Endpunkt einer jeden mit dem An- 
fangspunkte der nächstfolgenden zufammen fällt, dann ist die Strecke, 
welche den Anfangspunkt der ersten Strecke zu ihrem Anfangspunkt 
und den Endpunkt der letzten zu ihrem Endpunkte hat, die Summe, 
jener Strecken." Denn in der That, es fei z. B. die erste Strecke gleich 
~A + B, die zweite gleich —B + C, die dritte gleich — C + D, fo 
ist die Summe == — A + B — B + C — C + D = — A + D, waszubc- 
weifen war. 

Filr die Divifion einer Strecke durch eine ganze politive Zahl ist 
noch die Bestimmung zu machen, dass der Quotient wieder eine Strecke 
fei (wobei unter Strecke hier immer die Differenz zweier Punkte , alfo 
eine Strecke von gegebener Länge und Richtung verstanden ist). Dann 
folgt nach der bekannten Schlussweife , dass das Produkt einer Strecke 
in eine beliebige ganze oder gebrochene rationale oder irrationale Zahl 
Sswieder eine Strecke ist, welche der gegebenen gleichgerichtet oder 
entgegengefetzt gerichtet ist , je nachdem a poßtiv oder negativ ist 
und deren Längd fich zu der Länge der gegebenen Linie wie a zu 1 
verhält. Hierdurch löst fich dann die allgemeine Aufgabe , die Summe 
aA-|-bB -}-••• zu finden, wo a, b,*-* Zahlgrössen, A, 6,-*- Punkte 
find. Kämlich füir jaddn beliebigen Punkt R ist 

aA + bB4.... 

= (a + b+...)R + a(A-R) + b(B~R)+.... 
Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem a + b-j--«« null ist, oder 
nicht. Im erstcren Falle wird 



alfo gleich einer Strecke, weichte nachdem Obigen konstruirbar ist. 
Zweitens wenn a 4- b +• • • ^s.^ ist^ fo wird 

aA 4- bB +. . . =^8R + a{A — R) + b(B — R) +• • .. 

Hier ist a(A — R) + b(BR)H eine Strecke; der s-te Theil diefer 

Strecke fei fo gelegt, dass R fein Anfangspunkt ist*, dann fei fein End** 
punkt mit S bezeichnet, fo ist 

a(A-R) + b(B — R)+.-.=B(S-R). 
Diefer Werth in die obige Gleichung eingefetzt, giebt 

aA + bß +. . . = sR + s(S - R) 
= s(R + S-R) 

wodurch die Aufgabe vollständig gelöst, und der Begriff der Addition 
einfacher und vielfacher Punkte und Strecken vollkommen bestimmt 
ist, und zwar in Harmonie mit den im Haupttexte gegebenen Be* 
Stimmungen. 



§. 2. Bäumliche Gebiete. 

228. ErkUrung. Unter einem unendlich entfernten 
Funkte feien die Richtungen einer geraden Linie , unter einer 
unendlich entfernten geraden Linie die fäinmtlichen Richtungen 
einer Ebene, unter einer unendlich entfernten Ebene flie Himmt- 
lichen Richtungen dos Raumes verstanden, d. h. es fei von 
zwei parallelen geraden Linien' gefagt, dass fie einen unend- 
lich entfernten Punkt gemein habeo,^ von swei .parallelen Ebe- 
nen, dass ße eine unendlich entfernte gerade Linie gemein 
haben, und von allen unendlich entfernten Punkten und ge- 
raden Linien, dass. fie , in einer unendlich entfernten Ebene 
liegen. , , . . 

Um die rftumlicben. Grü^sen,, ,eri$tei^ Stn{^,<dth. die ein- 
fachen oder vielfachen Punkte und die Streqk^, (von gege- 
bener Lange und Richtung) auf gleiche Weife behandeln zu 
können, will ich fagen, der Ort einer Strecke fei der unend- 
lich entfernte Punkt, welchen die diefer Strecke parallelen 
Linien gemein haben, oder auch, es fei jene Strecke eine 
Grösse erster Stufe, wdche in diefen Limett in uaendlieher 
Entfernung liege. Auch will ich der Einfachfaeh wegen, um 
den Ausdruck räumliche Grössen erster Stufe durch einen ein- 
facheren zu erfetzen, fowohl die einfachen und vielfachen 



«»•> , 153 

Funkte als auch die Strecken kurzweg Punkte nennen, und 
zwar die letzteren unendlich entfernte. 

A n m. Zum Wefen der räumlichen Grössen , wie der Grössen über- 
haupt, gehört ein bestimmter metrischer Werth, Termöge dessen fie 
(in bestimmten Verhältnissen) vermehrt oder vermindert werden können. 
Diefer wird bei den einfachen und vielfachen Punkten dui^ch den Zahl- 
koefficienten dargestellt, bei den Strecken durch ihre Länge. Es würde 
an fleh noch möglich fein, unendlich entfernte Punkte anzunehmen, 
deren metrischer Werth nicht durch die Länge einer Strecke , fondem 
durch einen Zahlkoefficienten dargestellt wäre, d. h. welche aus dem 
vielfachen Punkte «A dadurch hervorginge, dass man, ohne a zu ändern, 
den Punkt A ins Unendliche verlegte. Allein was dadurch hervorginge, 
würde , wie man leicht ficht , ganz den Charakter des Unendlichen an 
fich tragen, infofern es durch Hinzufügung einer endlichen Grösse 
(eines endlich entfernten Punktes, oder auch einer Strecke) gar nicht 
verändert würde. Mit folchem Unendlichen darf aber überhaupt gar 
nicht gerechnet werden , weil kein algebraisches Gefetz für das Unend- 
liche gilt , und die Analylis des Unendlichen überhaupt nur dann zu 
richtigen Keful taten führen kann, wenn man das Falsche, was man' 
durch Annahme des Unendlichen hineingebracht hat, noch vor der 
Ableitung irgend eines Refultätes wieder herausschafft. Diö" Strecke 
dagegen, obgleich man fich der Bequömlichkeit wefeen dbn Ausdruck 
gestatten darf, dass ihr Ort unendlich Entfernt fei, ist doch eine end- 
liche Grösse, indem üo durch Hina^nfügung jeder von Null verschiede- 
nen Grösse fich ändert. 

229. Alle Strecken des Raumes lassen fich aus belie- 
bigen 3 Strecken, welche nicht Einer Ebene parallel find, nu- 
merisch ableiten. 

Beweis. Es feilen a, b, c dr;; /Strecken, Welche nicht 
einer Ebene parallel find, und e eine beliebige Strecke, von 
der gezeigt werden foU, dass fie aus a, b, c numerisch ableit- 
bar ist. Man ziehe von einem beliebigen Punkte D die mit a, 
b, c, e, gleich langen und gleichgerichteten Linien DA, DB, 
DC, DE, fo ist (nach 232 Zuf.) A-D = a, B — D = b, 
C — D=:c, E — D=:e. Ferner ziehe man durch E die 
Parallele mit DC, welche die Ebene ABD in F treffe, durch 
F die Parallele mit DB, welche DA in G treffe, fo ist DG||DA, 
GF||DB, FEIIDC. Es möge fich DG:DA = a:l, GF;DB 
= /J : i , FE : DC = y : 1 algebraisch (d. h. auch dem Vorzei- 
chen nach) verhalten, fo ist (nach 221) 

10* 



154 («SO 

G — D = a(A— D) = aa, 
¥ — G = ß(ß — D) = ßb, 
E — F = KC — D) = yc. 
Alfo addirt 

E — D = aa + /Jb + yc, d. h. e = aa + ^b + yc. 

2S0. Alle Strecken einer Ebene lassen fich aus belie- 
bigen 2 einander nicht parallelen Strecken der E^ene nume- 
risch ableiten. ' "' ' ' ' «^ :. ■'.' 

Beweis. Es feien a, b z'Wei nicht j]iatallele Strecken 
einer Ebene und d eine bbliebfge 'Strecke der Ebetfe, ton 
der gezeigt weKden' föll, däW'rie''^1iisU*^ttH* b num^ri^^ ab- 
leitbar Ist. Man"'zie1io''VÖii ieinöm' Velietigön Punkte C der 
Ebene die mit a, b, d gleich langen und gleichgerichieten 
Linien CA, CEi,Cfr, ziehe durch I> einte Parallele mit CB, 
welche CA in B treffe«, fö isti-CE||CA, EDfCB Es verhalle 
fleh algebraisch CEt CA ä±jtt; ♦, ED;CB = /J:1, fti ist nach 
E -^ C = eXA ^ C) = Ä»; 
D-E=±/JCB— C) = /Jb, 

D — C = aa +itt, d; h. d'äto«tfH-/Jb^. • 
231. Wenn zwischen 3 Strecken eine Zahlbeziehung 
herrscht, fo'fihdi fi« tinteri'lSbtuöl^aralleJ. m • 
Beweis. £s Teien a, b, c d^ie 3 Strecken und 

c == aa + /^b 
ihre Zahlbeziehung. '$4)lltena und.Mb parallel fein, To würde 
aucli c ihnen parallel fein, und es allb unendlich viele Ebenen 
geben, mit welchen a, b, c zugleich parallel find. Ist a 
nicht parallel b, To ziehe man von einem beliebigen Punkte 
D eine Linie DA, welche mit a parallel ist und fich zu a ver- 
hält wiß iz:l, und voii Ä eine Linie AB, welche mit b pa- 
rallel ist unÄ nch zu % 'MÜjfMV^i'e fi i, fo ist ' 
' "' r'i^'li''^äif *-i^''"" ^ • -^ -' ■■■■ ■ 
■ . B-iL^A-'i^iSftV*'^' *^ '"' • '• ^ •■• •' • 
Alfo addirt" '^ ' ' 

B~-D=äa + /!b = c. ' ' 
Folglich ist c eben fö Wid a'und b dc?r Ebene ABD paralleL 



232. Alle Punkte des Raumes hssm Reh numerisch ab- 
leiten aus beliebigen 4 Pij^ktefi/lweldije nicbt in Einer Ebene 
- liegen; ins Befondere i'^ M; l - 

a) aus einem endlich entfernten Punkte und drei nicht 
Einer Ebene parallelen StrcKdcen, : u i 

b) aus ^ i$ endiioh .eiktferntßa, aicht jEuCamroenfallenden 
Punkten und 2 Strecken *y welche ^icht. einer durch jene 2 
Punkte gelegten Ebene parallel find, 

c) aus 3 endlich entfernten Punkten, die nicht in Einer 
geraden Linie liegen und aus einer Strecke, die der durch 
die 3 Punkte gelegten Ebene nicht parallel ist, 

d) aus 4 endlich entfernten Punkten, die nicht in Einer 
Ebene liegen. 

Beweis a. Es feien a, b, c drei nicl(t Eiaer Ebene 

parallele Strecken ^ und < d^ =a: ilO eiu endlich entfernter Punkt, 

D fein Ort und e'trtßBieia beliebager endlich entfernter 

Punkt und E fein Ort; unä fei du zeigen, dass e^ aus a, b, 

c , d' numerisch ableitbar fei. Nach 2^9 i^t d|e Strecke E — D 

aus 8, b, c numerisch ableitbar; es fei 

B'. — D=c=aa +/^b rfgrp, 

(o ist ^ ,;.|^ ... , . ^ _^, . 

e' d' 
E=D4-wa4^/S)+yc,-d* hi — »s^-f aa + ^b + yc. 



alfo 



a. 






d. h^ e' i^^s a, b, 9, 4', nfimerisch ableitbar. Ist der abzulei- 
tejfide. Punkt e,^(i ^u^en^^^^^^^ h. eine Strecke, fo 

ist diefe. (Ä9ch .929^ ijichon aus a, b, c, alfo auch aus a, b^ c, 
d' numerisch, g^bleitb^, (= aa + jJb -f yc -f Od). 

b. Es feien a, b zwei Strecken, c' = yC, d' = rfD zwei 
endlich entfernte Punkte, C und D ihre Orte, und fei voraus- 
gefetzt, dass fich durch C und D keine mit a und b parallele 
Ebene legen lasse. Man fetze C- D = c, fo find a, b, c 3 
nicht Einer Ebene parallele Strecken, folglich jeder Punkt e' 
(nach Beweis a) aus a, b, c, d^ numerisch ableitbar. Setzt 
man in den Ausdruck diefer Ableitung statt c feinen Werth 



156 l«»» 

c' iV 

C — D, d. h. i-, fo erhält man einen Ausdruck, durch 

^ Y ö ^ 

'welchen e' aus a, b, c', d' numerisch abgeleitet ist. 

c) Es fei a eine Strecke, b'==/9B, c' = yC, d' = tfD 3 
endlich entfernte Punkte, B, C, D ihre Orte, und fei voraos- 
gefet^t, das$ a nicht mit der Ebene BCD parallel fei. Man 
fetae B — .D = b, fo ist (nach Beweis b) jeder Punkt e' aus 
a, bj c% d^ numerisch ablaitber.. Setzt man in dem Ausdrucke 

diefet Ableitung statt b feinen Werth B — D, d. h. -^ — -', 

p 

fo erhält man «einen Aufdruck, durch welchen e^ aus a, b', 

c% d^ numerisch abgeleitet ist. 

d) Es feien a' = aA, b' = /JB, c' = yC, d' = rfD vier 

endlich entfernte Punkte, A, B, C, D ihre Orte, und fei vor- 

ausgefeta&t, dass diefe I^unkte nicht in. einer Ebene liegen. 

Man fetzte A-r-D = a, fo isti (J^ach Beweis; c) jeder Funkt 

e' aus a, b", c', d' numerisch ableitbar. Setzt man in dem 

a' d' 
Ausdrucke diefer Ableitung statt a feinen Werth -^, 

fo erhält man einen Ausdru^ck, .d^rchiwelchen c' aus a', h\' 
c% d' numerisch abgeleitet ist. 

Anm. Das erste der 4 im Satze bezeichneten Ableitungssysteme 
ist, wenn die 3 Strecken gleich lang find, das gewöhnliche Parallel- 
koordinatensystem, das letzte ist, wenn die Punkte einfaclr find, das 
barycentrische von Möbias, wenn fio beliebig find, das allgemeinste 
lineale Koordinatensystem, wie es von Pläcker und anderen behan- 
delt ist. 

233. Alle Punkte der Ebene lassen (ich ' aus beliebigen 
3 nicht in gerader Linie liegenden Punkten derfelben nume- 
risch ableiten. 

B e weis wie inU32. 

234. Ail^ Fuiilite' der geraden Linie lassen Hch aus 
beliebigen zWei' räumllcli verschiedenen Punkten dei-felben nu- 
merisch ableiten. 

Beweis wie in 232. ' ' 

239. Wenn 3 Punkte in einer Zahlbeziehung zu ein- 
ander stehen, fo liegen fie in einer geraden Linie. 



«•«) 157 

Beweis. Es feien a, b, c die 3 Punkte, und 
a = j9b + yc 
ihre Zahlbeziehung. Sind b und c unendlich entrernl, To ist 
(in 231) gezeigt, dass dann a, b, c drei Einer Ebene paral- 
lele Strecken find, d. h. (nach 228) dass a, b, c unendlich 
entfernte Punkte find, die in Einer unendlich entfernten Ebene 
liegen. Sind hingegen b und c nicht beide zugleich unendlich 
entfernt, fo verbinde man fie durch die gerade Linie DE, 
und nehme D und £ als zwei einfache, endlich entfernte 
Punkte diefer geraden Linie an. Dann find (nach 234) b und 

c, da fie in der dui'ch I) und E gelegten geraden Linie liegen» 
aus D und E numerisch ableitbar, alfo auch a = j?b + yc. Es 
fei a*=^D + ^E« Ist nun 5 -f € = 0, alfo € = — J, fo ist 
a = a(D — E). Aber J(D — E) ist eine mit DE parallele 
Strecke, d. h. ein unendlich cntferritei* Punkt der Linie DE, 
alfo liegen dann a, b, c in DE, Ist aber ^ + 6 = er, von 
Null verschieden, fo ist 

a =» rfD + €E =c;D + €(E — D), 

d. h. a = cA , wo A = D + — (E — D) ist, d. h. D -~ A = 

— (E — D). Alfo ist D — A mit E — D parallel, d. h. A ein 

Punkt der Linie DE, alfo auch in diefem Falle b, c, d in einer 
geraden Linie. 

Anm. Der letzte Theil des Beweifcs thut nur dar, dass der 
Schwerpunkt zweier Punkte mit beliebigen Gewichten in der dlefe 
Punkte verbindenden geraden Linie liegt. 

286. Wenn 4 Punkte in einer Zahlbeziehung zu ein- 
ander stehen, fo liegen fie in Einer Ebene. 

Beweis. Es feien a, b, c, d 4 Punkte und 
a = /Sb + yc + <Jd 
die Zahlbeziehung. Sind zuerst b,i c, d aUe drei zugleich un- 
endlich entfecnt, fo ist zu zeigen,,. 4aäs< a in der unendlich 
entfernten Ebene liegt, d. h. auch unendlich entfernt, d. h. 
eine Strecke fei. Dies folgt aus 228, da dann b, c, d alfo 
auch ihre Vielfachen Strecken find , und fomit auch (nach 220) 
ihre Summe. Sind b, c, d nicht alle drei zugleich unendlich 
entfernt, fo fei DEF die durch fie gelegte Ebene und D, £, 



158 («»» 

F drei einfache, endlich entfernte Punkte diefer Ebene. Dann 
lassen Tith (nach 233) b, c, d aiis D, E, F numerisch ab^ 
leiten, allb auch ßb + yc +^d, d. h, a. Es fei 
a = (JD -f-^E + ?F. 
Ist zuerst (J + e -{- f = , fo ist 

a=ÄD+fE+?F — (d+6+nD=«(E -D)+?(F — D), 
alfo a aus E — D und P — D numerisch ableitbar, d. h. (nach 
231) die Strecken a, D — E und F-D find Einer Ebene 
parallel, folglich ist a der Ebene DEF parallel, d. h. ein un- 
endlich entfernter Punkt diefer Ebene. 

Ist (J -|- € + t = o' ungleich null, fo ist 

a = (jp +fE + CF = (rD -f. £(E — D) + f (F — D) 

= crA, wenn A = D -f- — (E - D) + ^(F — D) 

ist, alfp ist D-^A (nach 231) mit der Ebene DEF parallel, 
d. h. A ein Punkt d(^r* Ebene DEF, alfo auch a ein Punkt 
diefer Ebene. 

297. Das räumliche Gebiet erister Stufe ist ein Punkt 
<als Ort betrachtet), das zweiter Stufe eine unbegrenzte ge- 
rade Linie, das dritter Stufe eine unbegränzte Ebene, das 
vierter Stufe der unbegränzte Raum. 

Beweis. Ein Gebiet n-ter Stufe ist (nach 14) die Ge- 
fammtheit der Grössen, welche aus n Grössen numerisch ab- 
leitbar Tind, vorausgefetzt, dass jene Grössen fich nicht fämmt- 
lich aus weniger als n Grössen numeriscti ableiten lassen. Nun 
find (nach 232) alle Punkte des Raumes aus vier Grössen 
erster Stufe numerisch ableitbar; nach 236 bilden die aus drei 
folcher Grössen ableitbaren Punkte eine Ebene, folglich lassen 
fich die Punkte des Raumes nicht aus weniger als 4 Grössen 
erster Stufe ableiten. Alfo ist der Raum ein Gebiet 4-ter 
Stufe. Ebenfo folgt aus 233 und aus 235, dass das Gebiet 
3-ter Stufe eine Ebene, und aus 234 und daraus, dass aus 
einem Punkt nur örtlich identische Punkte ableitbar find, folgt, 
dass das Gebiet 2-ter Stufe eine gerade Linie, fo wie das Ge- 
biet erster Stufe ein Punkt fei. 

238. Aufgabe. Die Ableitzahlen (Koordinaten), durch 
welche ein Punkt (p) aus 4 nicht in einer Ebene liegenden 



eiici< 



«»•) 159 

Punkten (a, b, c, d) hervorgeht, auszudrücken durch dje Ab- 
leitzafalen, durch welche derrelbe Punkt (p) aus 4 neuen Punk- 
ten a^, b', c', d' ableitbar ist; vorausgeretzt, dass diefe 4 neuen 
Punkte durch die 4 alten ausgedrückt find. 
Auflöfung. Es fei 

1) a' = aa + i9b +yc + Jd, - 

2) b' = a'a + i3'b+y'c + J'd, ., ,. *. ,.. 

3) c' = a''a + ß''b + f'c +i"d, 

4) d'q^a'"3-f-^["b +a""c,+ rf/"d, . . . ., 

5) p = x'a + ^'j),.+.3J'a+ u'd, . . , . 

6) p = xa'.4- yb' tI- ^' + J^d'.. ., 
Man fetze in ß) für , ff, b', c', d', p diö,Wer.the aus 1) 

bis 5) fo erhält man, aach a, b, c, d geordnet, 
7) x'a + y'b + z'c + u'-d 

===(xa+yaV4Tza''+|ia.'''Ja+(^+yiJ'+z^''+«iS^''0b- • •. 
Da hier a, b, c,.d niqbit^ in (uner Ebene liegen, fo stehen 
fle (nach 236) in keiner Zahlbeziehung zu einander. Polglich 
find (nach 29) in der gefundenen Gleichung die entsprechen- 
den Koefficienten gleich, alfo 

x' = xa -f ya' -j- za" 47 ua'" 
Y = xßi-yß' + xß'' + nß'''^^ 
z' =zxY + yy' -f. zy" + uy"' 

u' = x(J 4; yS' ±2d'/, -{; U<J"'. 
Anm. Dies ist die AuflÖfiing des allgemeinsten Problems der 
Koordinatenverwändlüng. ' 

§. 3. Etfi^binatorisehe Iffültipfikation der Punkte. 

äätü. Erklärung. Da« ParalleJjQgramin , in welchem 
AB und BC zvvßi geijcui find, werd.e ijeh .der Kürze wegen 
das Pajf4)||^|ogramm,^Bp i)Q|inen, ur^l zvyar werde ich, wenn 
es auf di,(?Xe \Xj^ife bena^^l ist,,, AB feine erste Seife, BC feine 
zweite. Seite , nennen. ^ Fern,e,r .al|p Ppfalli^;lo^amm.e, deren 
erste Seite dpr Sti:ijcke a,i^ndi dcrei^ zjjv^eile ,S,eite der Strecke 
b gleich }^g und, glpi(clig^pr;chl;e,t nrid,,wer(Je ich die Paral- 
lelogramme ab nennen. Zwei Parallelo.gramme J^BC und DEF, 
welche in parallelen Ebenen liegen, werde ich dann und nur 
dann als gleichbezeichnet betrachten, wenn man fie durch 



160 (ß^B 

parallele Fortbewegung ihrer Ebenen und durch Bewegang 
der Parallelogramme innerhalb ihrer Ebenen in eine Tolche 
Lage bringen kann, da^is^ während AB und DE in derrelben 
geraden Linie nach derfelben .Richtung hin liegen, C und F 
auf ein und derfelben Seite diefer geraden Linie lieh befinden. 

240. Erklärung. Den Spat (das Parallelepipedum), 
in welchem AB, BC, CD drei nicht in einer Ebene liegende 
Kanten find, werde ich der Kürze wegen den Spat (das Pa- 
rallelepipedum) ABCD nennen, AB Teine erste, BC Teine zweite, 
CD reine dritte Kante. Und alle Spate ^Parallelepipcda), deren 
erste Kante der Strecke a, deren zweite der Strecke b, und 
deren dritte Kante der Strecke c gleich lang . qnd g^äßi^hge- 
richtet find, werde ich die Spate (Parallelepipeda^abc nennen. 
Zwei Spate ABCD und EFGH werde ich dann und nur dann 
als gleichbezeichnet betrachten, wenn man Tic in .eine, folche 
Lage bringen kann, dass, während ABC und £F6 gleichbe-^ 
zeichnete Parallelogramm derfelben Ebene werden., D imd H 
auf ein und derfelben Seite diefer Ebene liegen. 

Zufatz. Die Spate (Parallelepipeda) abc, bca, cab ßnd 
einander gleich (auch dem Zeichen nach). 

241. Lehrfatz. Zwei Parallelogramme, deren erste 
und deren zweite Seiten gleich lang und gleichgerichtet find, 
find einander gleich (auch dem Zeichen nach), und liegen in 
parallelen^) Ebenen. Zwei Spate (Parallelepipeda), deren ent- 
sprechende (erste, zweite, dritte) Kanten gleich lang und 
gleichgerichtet find, find einander gleich (auch dem Zeichen 
nach); d. h. alle durch dasfelbe Symbol ab bezeichneten Pa- 
rallelogramme und ebenfo alle durch dasfelbe Symbol abc be- 
zeichneten Spate find einander gleich (auch d^m Zeichen nach). 

242. Erklärung. Von zwei Parallelogrammen, die 
in parallelen Ebenen liegen und ebenfo von zwei beliebigen 
Spaten (Parallelepipeda) fage ich, dass fie fich wie 2 Zahlen 
a und ß verhalten, wenn fic einander gleich- oder entgegen- 
gefotzt bezeichnet find, je nachdem a und ß es find, und fie 
fich, abgefehen vom Zeichen, wie a zu /? verhalten (vgl. 221). 



*) Zu den Parallelen ist überall das Identische mit hinzugerechnet. 



34S. Lehnfatz. Zwei Paa^dlelogramme ABC und ABD 
(votl dorfelbeti Gtutidfeite AB) find dann und niir 'dann gleich 
(auch dem Zeichen näch)^ wenn CD mit AB puraHel i^. 

244. Lehnfatz. Zwei Spate (Parallelepipeda) ABCD 
und ABCE (von derreiben Grundfläche ABC) Find dann und 
nur dann gleich (auch dem Zefchen nach), wenn DE mit der 
Ebene ABC parallel ist. 

Anm. Nach dicfen TOrbereitenden Sätzen, welche am der Geo- 
metrie entlehnt find, können wir nun den Betriff des kombinatorischen 
Produktes von Punkten aus dem allgemeinen Begriffe des kombina- 
torischen Produktes direkt ableiten. 

245. Das kombinatorische Produkt zweier Punkte ist 
dann und nur dann null, wenn die beiden Punkte zurammen- 
fallen, das kombinatorische Produkt dreier Punkte, wenn Tie 
in gerader Linie liegen , das kombinatorische Produkt von vier 
Punkten y wenn fie in einer Ebene liegen, das kombinatorische 
Produkt von fünf Punkten ist immer null. 

Beweis. Nach 61 und 66 ist das kombinatorische Pro* 
dukt zweier oder mehrerer Grössen dann und nur dann null, 
weau fie in einer Zahlbeziehung zvl einander stehen; nach 
221 stehen zwei Punkte dann und nur dann in einer Zahlbe- 
ziehung, wenn fiezufammettfallen, drei Punkte (nach 234 und 
235), wenn fle in einer geraden Linie liegen, vier Punkte 
(nach 233, 236), wenn fie in einer Ebene liegen, und nach 
232 stehen fänf Punkte stets in einer Zahlbeziehung. Alfo 
bewiefen. 

246. Wenn A ein endlich entfernter Punkt, b, c, d un- 
endlich entfernte Punkte, d. h. Strecken find, fo folgt 

aus [Ab] = 0, die Gleichung b==:0, 
aus [Abc] = 0, die Gleichung [bc] = 0, 
aus [Abcd] = 0, die Gleichung [bcd]=0. 
Beweis. Es fei [Abcd] = 0. Angenommen n«n, [bcd] 
fei ungleich null, fo können (nach 61) b, c, d in keiner Zahl- 
bq^ähnng zu einander stehen. Da aber [Abcd] = ist, fo 
mvßs zwischen A, b, c, d eine Zahlbeziehnng herrsehen, und 
da b, 0, d in keiner Zahtbeziehung zu einander stehen, fo 
nttsste (nach 2) A aus b, c, d numerisch ableitbar bin. 

11 



Kfe fttt 

Aber ans den unendlich entfernlen Punkten oder Sacken b, 

c, d gehen durch nnmerische Ableilnng (nach tKlO) nur Strecken, 

d. h. Punkte der unendlich entfernten Ebene hervor, Mo nicht 
der endlich entfernte Punkt A. Somit ist die Annähme v- da^s 
[bcd] von null verschieden fei, mit der Vorausretzung^ Im Wider- 
spruch, d. h. [bcd] muss null fein. Gans ebenfo ergeben (ich 
die übrigen Theile des Satzes. 

247. Ein kombinatorisches Produkt [AB] zweier ein- 
fachen Punkte A und B ist einem kombinatorischen Produkte 
[CD] zweier einfachen Punkte G und D .dann und nur dann 
gleich, wenn die unendlichen geraden Linien AB und CD zu- 
fammenfallen, und AB mit CD gleich lang und gleichgerich- 
tet ist. 

Beweis 1. Es Teien die unendlichen geraden Linien AB 
und CD zufammenfallend, und AB mit CD gleich lang und 
gleichgerichtet, To ist zu beweifen, dass [Aß]=: [CD] fei. Da 
AB und CD gleich lang und gleichgerichtet Und, fo ist (nach 
222 Zuf.) , ^ 

♦ B — A = D-C. 
Ferner, da A, B, C in einer geraden Linie liegen (Hy- 
polhefis), fo find B — A und C — A Strecken einer und der- 
felben geraden Linie, stehen alfo (nach 221) in einer. Zahl- 
beziehung zu einander. Es fei 
♦♦ C — A = a(B — A). 
Nun ist 

[CD] = [C(D-C)] [67] 

= [C(B~A)] [♦] 

= [(A + C-AXB-A)] 

= [(A + a(B-A)XB-A)] [**] 

= [A(B-A)] [67] 

tt=[AB] [67]. 

2. Es fei vorausgefetzt 

[AB] = [CD], 

fo ist zu beweiien, dass.A, B, C, D in einer geraden Lii|te 

liegen und AB und CD gleich lang und gleichgerichtet (indL 

Wenn [AB] = [CD] ist, fo mOssen (nach 76) C und D ans 

A und B durch lineale Umwandlung ableitbar fein« Die ein<^ 



faeho UMile lliiiwaip41aiig %wekr Grisnen be$t#ht (mieh 71) 
darin, .das^jsu «p^ derfalben eki Yielfachds der aaderii addirl 
w4r49 9)|b 2^ B... A uiid B Tich varwaadeln in A und B 4- aA. 
Die To ,jpi»rvairgel)f^nd6 a^ne Grösse isl, alfo aus den beiden 
urspr(bHSli^^^ G^össep .numeriscb abgeleitet, liegt alle (nach 
29p) .i9 4er jea^ Grössen verbindenden geraden Linie, Tomit 
werden aus A und B durch fortgef^zte lineale Umwandlung 
nur Punkte der geraden Linie AB hervorgehen; fomit liegen 
C und b in der geraden Linie AB. Kun fei E ein Punkt der 
geriaden Linie Äß von der Art, dass CE mit AB gleich lang 
uiid gleichgerichtet Tel, To ist (nach Bew. 1) 

;\ [C^] = [AB], 
und ntfch der Yörausfetzung 

[AB] = [CDJ, 
alfo auch 

[CE] = [CD]; folglich 

= [CD] - [CE] = [C(D - E)]. 
Somit (nach 246) 

D^E = 0, d.h. D=E. 
Da nun nac^ der Annahme CE mit AB gleich lang und ' 
gleichgerichtet ist, fo ist auch di^ mit CE identische CD mit 
AB gleich lang und gleichgerichtet. 

348. Zufatz. Wenn A, B, C und D einfache Punkte 
Ond, fo folgt aus der Gleichung 

[AB] = [CD], 
die Gleichung 

A — B = C — D, 
aber nicht umgekehrt, aus diefer jene. 

349. Erklärung. Wir nennen das Produkt [AB] einen 
Linientheil, und fegen, derrdbe fei ein Theil der unbegrenzten 
geraden Linie AB, und er fei mit der begränzten geraden 
Linie AB gleich lang und gleichgerichtet. 

350. Zufatz. Zwei Linientheile werden alfo dann 
und pur dann gleichgefetzt, wenn He gleich lang, gleichge- 
richtet und Theiie derfelben unbegrftnzten geraden Linie find. 

391. Das hombiaalorische Produkt eines einfachen Punk* 
{$$ in eine Strecke ist ein Limaitlieil, wdk)her In dear durch 



164 (•»• 

d6n Pufikt ^lArällel der Slreclce geto^gemn gf^aden LM^ liegt, 
nnd dei* Strecke gleich lang und gleHßhgeriohlel ist. 

Beweiis Ei$* fet A eiiy eitifaehidr Punkl und p eInd'Sireeke. 
Man zieftdf dtirch A eine gerade Li Ate AB," well^hd mit p 
gleich läfi^g und gleibhg^ericHle« irt/ f6 Ist (nbch 2S2 Zuf.^ 

p rd: B ^' A , alfö [AW :^ [ACB'^ A}] =^ [AB] [©7] 
urid [AB]' iirt ein tAn\hriÜt^\\; Welohfei^ in dar gefadenr Linie 
kW, älfo in der durch A ihit p j^artdlel gözo^n^n geraden 
Linie liegt, nnd mit AB, airo auch mit p/ gleioh lang find 
gleichgerichtet ist. ^ - > i .s . 

232. Das Produkt «ihesf Lini^ntheiles [AB] ihit einer 
Zahl a ist ein Linientheil, welcher mit 'Jönefh in! derMbeii un- 
begrftnzten geratdch Linie liegt, üHd 'tith tti ihiift ilgebraisi^ 
wie a:i verhält: . ♦ ' . ' : > 

BeVreis. it[AB]=iVHA(B - A)], [67} 

•=[Aä(B-J-'A3]. ' - - [40] 

Das letzterä Produkt 'ist (nach 251) ein Linientheil, welcher 
in der durch A mit a(B — A) parallel gezogenen geraden 
Linie, d. h. in der geraden Linie AB Hegt, und Welcher mit 
«(B — A) gleich lang und gleichgerichtet ist, d. h. (nach 221) 
tiifi iu A6 wie a;! verHält. 

333. Wenn A und B einTache Punkte, et und ß Zahlen 
find, fo ist [aX'ßB] ein Linieiith^it, der in der unbegrinzten 
geraden Linie AB liegt und Ikh zu tier begfänzten geraden 
Linie AB algebraisch aß zu 1 verhält. 

Beweis. [aA • /9B] = aß[AB] (nach 46) , alfo (nach 252) 
ein Linientheil der unbegränzten geraden Linie AB, welcher 
rieh Zu der begränzten AB al^bi*afsch wie «^ : 1 verhält. 

254. Zwei von Null verschiedene kombinatorische Pro- 
dukte lab] und [cd] je ijweier S'trecken a und b, c und d, 
fmd dann und nur dann einander gleich, wenn die Parallelo- 
gramme ab und cd gleich an Inhalt und ^leichbezeichnet (Ind 
und in parallelen Ebenen liegen. 

Beweis. In 72 und 76 ist l)ewieren, dass zwei kom- 
binatorische Produkte [ab] und [cd] dann und nur dann ein- 
ander gleich find, wenn c und d aus a und b durdi Rneale 
Aenderung ableitbar find; Md swttr Imtand die eiafaobe lineatü 



Amti&nng zweier Geissen (a«oh.7i) dtrin, d$ss zu ^aer 
cterfelben dn Vielfaches der andern addirt wurde, während 
(fi«fe aaderd unverändert blieb , d. h. alfo, dass a undb, wena 
a nui ß beliebige Zahlen find, entwed^ in a und b + aa, 
od<»r'iA a ^-/Sb und b übcrgii^en. Nun fei AB mit a, BG 
mil b ijg^eich ihmg und gleicbgeriehtet, und ändere fleh b in 
h'as^h.^aai, ferner fei CD parallel mit AB gezogen und vor- 
hdte lieb zu AB algebraisch wie et: 1 , fo ist (nach 222) B — A 
=sB ay C — B *Ä b ,, D 'tr- C =5= aa. Alfo/ 

D -- B = D - C + C ^ B = aa + b = b ', 
d. *h. BD ist; mit b' gleich lang und gleichgerichtet. Ferner 
te. AB und CD parallel rifid» fo find (nach 243) die Parallelo- 
framme ABC und ABD einander gleich (auch dem Zeichen 
liacb), und liegen in einer Ebene. Alfo find auch die Paral« 
lelogramme ab und ab' gloichbezeichnet und in derfelben Ebene 
liegend. Dasfelbe gilt^ .w^nn fich a und b in a + /'b »nd b 
ändera. Alfo ei^ipb^ Tioh^ dass, wenn aus a und b durdi 
einfache lio^ale. A^nderung c und d hervorgehen, auch die 
Parallelogramme ab und cd gleich (auch dem Zeichen nach) 
find und in parallelen Ebenen liegen. Dasfelbe gilt alfo auch, 
wenn c und d aus a und b durch mehrmalige Aawefndung 
einer einfachen linearen Aenderung, d. h. durch eine beliebige 
liiMHile 'Aenderung hervorgehen. Somit ergiebt {ich: 

Erstens». Wenn [ab] ==: [cd] ist, fo müssen c und d aus 
a und b durch lineale Aenderung ableitbar fein (76); und 
wenn c und; d aus a und b durch lineale Aenderung ableitbar 
find, fo müssen die, Parallelogramme ab und cd gleich (auch 
dem Z^eiclien nach) fiein uqd in parallelen Ebenen liegen. 

Zw$it6QS. Wetfin umgekehrt vorausgefetzt wird, dass ab 
und ad gleiche (auph , gleichbezeichnetc) Parallelogramme in 
pprallelefi Ebenen Tind, fo müssen, da a, b, c, d dann einer 
und derfelben Ebene parallel find, c und d (nach 230) aus 
a und b numerisch^ ableitbar fein, folglich stehen (nach 63) 
die kombinatorischen Produkte [ab] und [cd] in einer Zahlbe- 
ziehuug zu einander. 

Es fei [cd] = (]|[ab] der Ausdrupk diefer Zahlbeziebung, 
Setzen yv^jr ab =^ b', (o wird [cd] = [a • ab] = [ab'j. Alfo find 



(nadi Beweis 1) die Parallelogramme cd und ab' gleich wnA 
gleichbezeichnet, alfo da auch cd und ab nach der Voraus« 
seliuqy I glei^kiQi und ^ gl^ichb^zeicbnp^, ^ParaUifl^^gramnie find, 
(e flnd auch ab und ab' gleiche undf.gjf^ichbezeiehnele Paral- 
Ie^9gramme. Nun Tei AB mit a, QC.qiti^.b, BD mit b' gleich 
lang und gleichgerichtet, To ist das Parallelogramm ABC eins der 
mit ab Jiezeichneten und.,^^P eins der mit ab' bezeichneteft 
Fari^lielogramme. Alfo ABC mit ABD .gleich und gletchbezeich- 
net, folglich da ABC^^d ABI^ auc)i |n einer Ebene liegen, 
fo liegen (nach 243) C und D in eineri^mit AB parallelen Linie. 
Nun find BC und BD . b^jde .utH,l^ paraljlel , ai^. auch unter«^ 
einattder, alfo da fle einen Punkt (B> gemein h^ben, fo liegea 
lie in eiifier |[efadeny Linie ^^ feinit. fallen C .un4 D,, fla jD.auoh 
in der dufch C mit, ^Bpfi|:anel gezogenen geri^d^^ 
zufräin€tii|. alfo,Q)iid.B,Q..qn4, plfo liiMl b. und b', 

Yon ^ene^ dps eri^ie m^ BC,.<d£v^ jEurj^^te,,«^!^ BD. gleich lang und 
g^eicl^gerichl^t, i(st, f^ch unter eiQip^or.gleicik,lang und gleich-« 
geriqhtet; folglich, da apch ctb.s^sli^ gefetzt war,, Co ist ass: 1« 
Vnn war ,• y\ , , . .- \ .....■<• 

[cd]=a[abl ,,: 

g^elzt, alfo, da a=i ist, ./ .i 

[cd] = [ab]. ; ;,.. ^ ,1, 

35S. ü^wei von huli yerschiedehe ko^binatoriiidhe Pro^ 
dukte [ABC] ^ünd:{DEF] je dreier einftichep Punkte A, B, C 
und D, £, P find dann >und nur dann einander' gleich, wenn 
die Parallelogramme A£C uAd DBF gleich und gleichbezeich- 
net find und in einer und derfelben Ebene liegen. 

Beweis 1. Es feien ABC und DEP gleiche und gteich- 
bezeichnete Parallelogramme einer und derfelben Ebene, fo 
ist zu beweifen, dass [ABC] = [DEF] fei. Es feien AB mit 
a, BC mit b, DE mit c, EF mit d gleich lang und gleich- 
gerichtet, d. h. B — A = a, C — B = b, E — D = c, F — E 
= d,* fo ist (nach 244) 
** [ab] = [cd]. 
Da femer D in der Ebene ABC liegt, und ebenfo B — A = a 
und C — B = b Strecken diefer Ebene flnd, fo muss (nach 
230) D — A aus a und b numerisch ableitbar fein. Es fei 



•»«I 167 

toiw ' ■'■' ■ '" •■' '■' '■ ' ■■■' • • '■•'■ 

' "!'|D«Pf i*i|DE(F — E)5 ^ [tHE '^ DXP — E)] [67] 

" " '=^tl>(fcd)}' ' ' ' • " ' [80] 

' " ' ^fDCafi)] •' . - . • [«»I 

'• •'• =fe[oi4.pfr4-'Ä)äib] '■'[»«♦ gO] 

■ •■■''• "• -• '-"biifÄ«)]' ■'■'■'■• •■'•' '•■ ••■•••• • [67] 

■'' - =[A(ii + AXl^-f^Ä)] [67] 

•■ • -UsfÄBC]"' -••■-' '■■■■' ■';'■' v; [*]. 

' 2. Es fer tun^ekteürt vofätostferelzl',' ^ass '• " "" 

•• • [ABÖ]'fc=;[l>EFy '■■■■'■■-' •"■• •■' "' 

ist;' Duhn Inflssen (nabli'76)' D/ B, F äirs'A,'B; C durch lineale 
Aönderiricg'', aho' aubh' nnYiiefisIch ' äbbUI/ar ' fein; Dann tiber 
vMsieW (nac& 236) D, EV T ih'drei-"Ebe'i^e' ABC liefen. Nun 
Ui itiier geiMik LIftie 'BC^Bin Punkt 'G' VdÄ deir Art ange- 
nommen, AisM A66* und I>EF" gliche" Und ^Teich'bezeicfi'neto 
Paralidogr«(flftme finif , fo ist (nach fiew. V), da ABG und'DEF 
in ein und derfelben Ebene (ABC) liefjen, '' " 

[ABG] = [DEF]. 
Aber auch nach der Vorausfetzung 

[ABC] = [DEF]. 
Alfo [ABG] = [ABC]-, fiadua G ein Punkt in BG isl; Ib ist 
6 — B aus C ~- B numerisch ableitbar, es'M G^^B='(i(C — B), 
alfo 6=B+o(C-B), fo ist [ABC]=t[AB6]=s[AB(B+o(C— B))] 
= [ABa(C — B)] = «[AB.C] [67, 40]. Alfo « = 1. Somit, da 
6 — B=«(C-rB) war, G — B=öC— B, d.h. G=C; oder 
die Punkte G und C fallen zufamtoien; alfofalleit auch die Pa- 
rallelogramme ABG und ABG zufammen; Folglich^ da ABG 
und DEF gleiche : und gletchbezeicbnöte Parallelogramme der- 
felben Ebene 0ad, fo gilt dies auch von ABC und DEF. 

356. Zufatz. Wenn A, ß, C, D, E, F einfach« Pnnkte 
(ind, fo folgt ans der Gleichung 

[ABC] = [DEF] 
aoch die Gleichung 

[(B - AXC - B)] = [(E - DXP - B J]; 
hingegen umgekehrt, vas letzterer die entere nur dann, w«aR 



168 €•*« 

noch die Bedingung hinzutritt, dass die Ei)enen ABC und DEF 
nicht bloss parallel, fondern auch identisch Tind. 

237. Erklärung. Wir nennen das Produkt [ABC] 
einen Flächentheil und den Flächeninhalt des Parallelogramms 
ABC feinen Inhalt, und fagen, der Fiächentheil ABC liege in 
der Ebene ABC. 

Anm. Die genauere Bonennang für das Prodakt [ABC] würde 
Ebeneniheil statt Flächentheil fein. Allein der ersterc Ausdruck ist 
wegen des Gleichklangs feines Plurals „die Ebenentheile" mit dem 
Ausdrucke „die ebenen Theile** zu verwerfen. 

258. Zufatz. Zwei Flächentheile find dann und nur 
dann einander gleich, wenn fie in derfelben Ebene liegen, 
und ihre Inhalte gleich und gleichbezeichnet find. 

Anm. Man hätte als Inhalt des Flächentheiles [ABC] auch den 
Flächeninhalt des Dreiecks ABC fetzen können. Aber es wird fleh in 
der Folge zeigen, dass dann der Inhalt des inneren Quadrates einer 
Strecke nur die H^fte Yon dem Inhalte des Quadrates diefer Strecke 
fein würde, während beides bei unferer Benennung in Uebcreinstim- 
mung ist. 

239. Das kombinatorische Produkt zweier einfacher 
Punkte A, B und einer Strecke c ist ein Flächentheil, wel- 
cher in der durch AB mit c parallel gelegten Ebene liegt, 
und dessen Inhalt gleich dem eine)s Parallelogrammes ABC 
ist, in welchem BC mit c gleich lang und gleichgerichtet ist, 
d. h. [ABc] = [ABC], wenn c = C — B. 

Beweis. [ABc] = [AB(C - B)] = [ABC] ' [67]. 

260. Das kombinatorische Produkt eines einfachen Punk- 
tes A mit 2 Strecken b und c ist ein Flächentheil, welcher 
in der durch A mit b und c parallel gelegten Ebene liegt, 
und zum Inhalt den Flächeninhalt eines Parallelogrammes (ABC) 
hat, dessen erste Seite (AB) mit b, und dessen zweite Seite 
(BC) mit c gleich lang und gleichgerichtet ist, d. h. 

^ [Abc] = [ABC], wenn b = B — A, c = C — B ist. 

Beweis. 

[Abc] = [A(B - AXC — B)] =« [AB(C — B)] [«T) 
= [ABC] [67]. 

361 a. Das Produkt a[ABC] eines Flächentheils [ABC] 
mit einer Zahl a ist ein Flächentheil derfelben Ebene, dessen 
Inhalt Och zu dem ?on ABC wie a:l verhult. 



Beweis. a[ABC] = a[AB{C — B)] [«7] 

= [AB.a(C-B)] [46] 

c=tAB(I> — B)], 
wenn BD mUBG parallel ist, und fleh zu ihm, wie a:l ver- 
hfiU. Dies ist wieder (nach 67) 
= [ABD], 
d. h. gleich einem Flftchentheii derrelben Ebene (ABC), dessen 
Inhalt dem Flächeninhalte des Parallelogramms ABD gleich ist. 
Da aber BD und BC parallel Tind und fleh algebraisch wie 
a : 1 verhalten , fo verhalten fich auch die Parallelogramme 
ABD und ABC wie a : 1 , d. h. die Inhalte von a[ABC] und 
[ABC] wie a.i. ' 

361b. Wenn A, B, C einfache Punkte, und a, /?, y 
Zahlen find, fo ist [aA*j?B*/C] ein Flächehtheil der Ebene 
ABC, dessen Inhalt zu dem des Parallelogramms ABC fich 
algebraisch wie a/?y: 1 verhält. 

Beweis. [öA • /?B • yC] == aj?y[ABC] (No. 4i8) , alfo nach 
261 bewiefe«. 

262. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro- 
dukte [abc] und [def] je dreier Strecken a, b, c und d, e, 
f find dann und hur dann einander gleich, wenn die Spate 
(Parallelepipeda) abc und def gleich und gleichbei^eichnet flnd. 

Beweis 1. Es fei vorausgefetzt, dass 
[abc] =s [def] 
fei, fo ist zu zeigen, dass die Spate abc und def gleich und 
gleichbißzeichnet find. Da [abc] =ä [def] ist, fo müssen (nach 
76) d, e, faus a, b, c durch lineale Aenderung hervorgehen. 
Nun können wir zeigen, dass durch einfache lineale Aende- 
rung der 3 Seiten a, b, c eines Spates abc stets ein gleicher 
und gleichbezeichneter Spat hervorgehe. Die einfache lineale 
Aenderung der 3 Grössen a, b, c besteht (nach 71) darin, 
dass zu einer derfelben ein Vielfaches von einer der beiden 
andern binzuaddirt wird, während diefe beiden andern unge- 
Sadert bleiben. Es möge zuerst zu der dritten c ein Viel- 
faches von irgend einer der beiden andern, z. B. von a hin- 
zutreten, alfo a, b, c fleh ändern in a, b, c', wo c' = c -f cea 

11* 



iro 

ist. Dann feien AB, BC, CD, DE beziehKch gleich lang und 
gleichgerichtet mit a, b, c, aa,' d. h. 

B--A = a, C — B = b,D — C==c,E — D=aa, 
(o ist 

E — C = E — D+D — C = aa + c = c', 
airo CE mit c' gleich lang und gleichgerichtet. Ferner da DE 
mit a, alfo auch mit AB parallel, und folglich auch mit der 
Ebene ABC ist, fo find (nach 244) di^ Spate ABCD und 
ABCE gleich und gleichbezeichnet, d. h, die Spate abc und 
abc', d. h. der Spat abc bleibt gleich und gleichbezeichnet, 
wenn zu der dritten Seite ein Vielfaches^ von einer der beiden 
andern hinzuaddirt wird. Nun ist ferner (nach 240 Zuf.> abc 
= bca = cab, und ebenfo abc' = bc'a = c'ab. Alfo auch da 
abc = abc' war, bca = bc'a und cab = c'ab, d. h. ein Spat 
bleibt gleich und gleichbezeichnet, wenn die zweite Kante, 
und ebenfo wenn die erste Kante fich dadurch dndert, dass 
zu ihr ein Vielfaches von einer der beiden andern Kanten 
hinzuaddirt wird. Somit bleibt überhaupt ein Spat bei fortge- 
fetzt wiederholter einfacher linealer Aenderung feiner Kanten, 
d. h. bei beliebiger linealer Aenderung gleich und gleichbe- 
zeichnet. Alfo dar nach dem Obigen d, e, f aus a, b, c 
durch lineale Aenderung ableitbar lind, fo muss nun auch der 
Spat def mit abc gleich und gleichbezeichnet fein. 

Beweis 2. Es fei jetzt umgekehrt vorausgefetzt^ dass 
die Spate def und abc gleich und gleichbezeichnet feien, fo 
ist zu beweifen, dass [def] = [abc] ist. Da angenommen ist, 
dass die konjbinatorischen Produkte von null verschieden find, 
fo Find namentlich a, b, c nicht Einer Ebene parallel, alfo (nach 
229) d, e, f aus ihnen numerisch ableitbar, alfo auch (nach 
63) das Produkt [def] aus [abc] numerisch ableitbar. Es fei 
[def] = a[abc] , alfo wenn ac = c' gefetzt wird, [def] = [abc'], 
folglich (nach Beweis 1) die Spate def und abc' gleich; nun 
waren die Spate def und abc nach der Vorausfetzung gleich. 
Alfo die Spate abc und abc' gleich. Es feien AB, BC, CD, 
CD^ beziehlich gleich lang und gleichgerichtet mit a, b^ c, c'. 
Alfo die Spate 

ABCD = abc, ABCD' = abc', und fomit 

ABCD = ABCD'. 



•••> 171 

Folglich liegen (nach 244) D und D' in einer mit der Ebenof 
ABC parallelen Ebene, D und D' liegen aber auch in der ge- 
raden Linie CD, da CD mit c*^ d. h. mit oc, alfo auch mit c, 
d. h. mit CD parallel ist. Folglich liegen D und D^ in dem 
Durchsohnittspunkte jener Ebene und diefer Geraden , d. b. 
Tallen zurammen. Airo Tind CD und CD' identisch, aKo c = c\ 
alfo, vermöge der Gleichung c' = ac, a = l; fomit verwan- 
delt fich die Gleichung [def] = <2[abc] in 
[def] = [abc]. 
263. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro- 
dukte [ABCD] und [EFGH] von je vier einfachen Punkten A, 
B, C, D und E, F, G, H find dann und nur dann einander 
gleich, wenn die Spate (Parallelepipeda) ABCD und EFGH 
gleich (und gleichbezeichnet) find. 

Beweis 1. Es feien ABCD und EFGH gleiche und 
gleichbezeichnete Spate, und feien AB, BC, CD, EF, FG, GH 
beziehlich mit b, c, d, f,^g, h gleichlang und gleichgerichtet, 
d. h. B — A = b u. f. w., fo ist (nach 262) 
* [bcd] = [fgh]. 
Da ferner aus b, c, d (nach 229) alle Strecken des Rau- 
meis numerisch ableitbar find, fo muss auch die Strecke E — A 
es fein; es fei *' 

E- A=j9b + yc + <rd, d.h. E =:Ä +i9b -f yc + W. 
Dann erhält man 

[EFGH] = [EFG(H - G)] = [EF(G — F)(H - G)] 

= [E(F — E)(G — F)(H - G)] [67]. 
Alfo, daF — E = f, G— F = g, H— G = hist, fo erhält 
man den zuletzt gefundenen Ausdruck 

= [Efgh] = [E(fgh)] [79] 

= [E(bcd)] [*] 

Ferner ist der gefundene Ausdruck 

= [Ebcd] [79] 

= [(A+/?b+yc+W)bcd] = [Abod] [67] 

=[A(B-A)CC-B)CD-C), 
wenn wir statt b, c, d ihre Werthe fetzen, und hieraus er- 
hält man^mtt Anwendung von 67 

= [AB(C — B)(D-- C)]=[ABC(D - C)]=[ABCD]. 



172 

Airo 

[EEGH] = [ABCD]. 
Beweis 2. Es Tel umgekehrt vorausgefeizt, dass 

[ABCD] = [EFGH] 
ist, und fei in der geraden Linie CD ein Punkt D' angenommen 
von der Art, dass der Spat ABCD' mit EFGH gleick (und 
gieickbezeiehnet) fei, fo ist (nach Beweis 1) 

[ABCD'] = [EFGH]* 
Alfo auch, da [EFGH] = [ABCD] vorausgefetzt ist, 

[ABCD'] = [ABCD]. 
Da nun D — C und D' — C parallel find, fo ist D' — G 
aus D — C numerisch ableitbar. Es fei 

D' — C=3a(D--C), 
fo ist 

[ABCD] ^ [ABCDT =5 [ABC(D'--C)] = [ABCa(D— C)] 

= [ABCaD] [67] 

= a[ABCD] . [40]. 

Alfo, da [ABCD] nicht null ist, a=^l, alfo geht aus der 
Gleichung (D' — C) = a(D — C) die Gleichjung 

b'-C = D-C 
hervor, alfo D' = D, d. h. D und D' fallen zufammen, folg- 
lich auch die Spate ABCD und ABCD', 4ind da das Spat ABCD' 
gleich und gleichbezeichnet mit EFGH war, fo find auch die 
Spate ABCD und EFGH gleich und gleichbezeichnet. 

264. Zufatz. bie Gleichungen 

[ABCD] = [EFGH] 
und 

[(B-AXC-BXD-^C)] == '[(F~EX6--FXH-G)], 
oder auch] 

[(B-AXC~AXD— A)] = [(F-EXG- EXH— E)] 
find einander erfetzend, d. h. aus jeder von ihnen folgen die 
beiden andern. 

Beweis. Die Gleichung 

[ABCD] = [EFGH] 
gilt (nach 263) dann und nur dann, wenn die Spate ABCD 
und EFGH einander gleich und gleichbezeicknet find. Ebenfo 
gilt (nach 262) die Gleichung 



473 

[(B_AXC-B)(P-C)] = [(F-EX6-FXH-6)] 
dann und nur dann, wenn das Spat, dessen drei Kanten mit 
AB, BC, CD gleich lang und gleichgerichtet find, dem Spate, 
dessen Kanten mit £F, F6, GH gleich lang und gleichgerichtet 
nnd, d. h. der Spat ABGD mit EF6H inhaltsgleich und gleich- 
beseicbnet ist; Folglich Und beide Gleichungen stets in dcn- 
Telben Fallen geltend. Endlich, die dritte Gleichung ist nur 
eine Transformation der zweiten, denn 
[(B-AXC-BXD-C)] 

=[(B— AXC-BXD— C-fC-B+B-A) [67] 

=[(B— AXC— BXD— A)]=[(B— AXC-B+B-AXD-A)] 

[67] 
=[(B-AXC-AXD-A)], 
und aus gleichem Grunde isl 

[(F— BXG— FXH-G)] = [(F--EXG-EXH— E)]. 
A4fo flnd die zweite und dritte Gleichung gleichbedeutend. 

363. Erklärung. Wir nennen das Produkt [ABCD] 
von vier einfachen Punkten einen Körpertheil und den Kubik- 
inhalt des Spates A6CD (mit Beobachtung des Vorzeichens (+)) 
feinen Inhalt. 

366. Pas kombinatorische Produkt dreier einfacher 
Punkte A, B, G und einer Strecke d ist ein Körpertheil, 
dessen Inhalt gleich dem eines Spates ABCD ist, in welchem 
CD mit d gleich lang und gleichgerichtet ist, d. h. 

[ABCd] = [ABCD], wenn d = D — 6. 
Beweis. [ABCd] = [ABC(D-C)] = [ABCD] [67]. 

367. Das kombinatorische Produkt zweier einfacher 
Punkte A, B und zweier Strecken c und d ist dem Spate (Pa- 
rallelepipedum) ABCD, in welchem BC mit c, CD mit d gleich 
lang und gleichgerichtet find, inhaltsgleich, d. h, 

[ABcd] = [ABCD], wenn c = C — B, d = D - C. 
Beweis. [ABcd] 

= [AB(C— BXD - C)] = [ ABC(D- C)] = [ABCD] ' [67]. 

368. Das kombinatorische Produkt eines einfachen Punk- 
tes A und dreier Strecken b, c, d ist dem Spate bcd inhalts- 
glwch, oder 



174 



^ 1 



[Abcd3 = [ABCD], 
yrem b = B — A, c^C — B, d = D — C, 

Beweis. 
' [Abcd] = [A(B— AXC— BXD— CB)] =[AB(C - B)(D ~ C)] 
=[ABC(D— C)] == [ABCD] [67]. 

269. Das Produkt a[ABCD] eines Körpertheils [ABCD] 
und einer Zahl ist ein Körpertheil, dessen Inhalt fleh zu dem 
von [ABCD] wie a : i verhält. 

Beweis. a[ABCD] = a[ABC(D — C)] [67] 

= [ABC.a(D — C)] [40] 

= [ABC(E-C)3, 
wenn CE mit CD parallel ist und fich zu ihm wie a : 1 ver- 
hält. Dies ist wieder (nach 67) 

= [ABCE]. 

Da aber CE und CD parallel find und fich wie a : 1 ver- 
halten, fo verhalten fich auch die Spate ABCE und ABCD 
algebraisch wie a : 1 , d. h. die Inhalte von a[ABCD] und 
[ABCD] wie a ; 1. 

2*70. Wenn A, B, C, D einfache Punkte, und a, jJ, y, 
S Zahlen find, fo ist [aX-ßB-yC-i^] ein Körpertheil, der 
fich zu ABCD wie aßyS zu 1 verhält. 

Beweis. [aA • jSB • yC • <JD] = aßyS\_ABCD] (nach 46) , alfo 
(nach 269) bewiefen. 

An m. Blicken wir zurück auf die verschiedenen kombinatorischen 
Produkte, deren Begriff wir näher bestimmt haben, fo ergab fleh ffir 
2, 3, 4 einfache Punkte das 'einfache, zweifache, fechfifache des da- 
zwischen liegenden Linien-, Flächen-, KörperrTheiles, und die zuge- 
hörigen Gebiete waren die unbegränzte gerade Linie, Ebene, der un- 
begränzte Raum. Ferner ebenfo wie der unendlich entfernte Punkt 
als Strecke von bestimmter Länge und Richtung erschien, fo der 
unendlich entfernte Linientheil als begränzte Ebene von bestimmtem 
Flächeninhalt und bestimmten Richtungen , fo der unendlich entfernte 
Flächentheil als Körperraum von bestimmtem Inhalte. Wenn zu einer 
Strecke oder zu einem Produkt zweier oder dreier Strecken ein Punkt 
als erster Faktor hinzutrat, fo lieferte dies Produkt denfelben Inhalt 
und diefolben Richtungen , als wenn der Punkt nicht hinzutrat. Durch 
das Hinzutreten des Punktes trat zu den bisherigen Bestimmungen 
(Inhalt und Richtungen) noch im ersten Falle die durch den Punkt 
mit der Strecke parallel gelegte Linie, im zweiten die durch den 
Punkt mit den beiden Strecken parallel gelegte Ebene hinzu, .welche 



W»> 175 

^eOdl)iete jener Grössen bilden, nnd fo verwandelte Tich diei Streeke 
in einen Linlentheil, die Fläche von bestimmtem Inhalt und bestimm- 
ten Richtungen in das, was wir einen Flächentheil genannt haben. 
Das Produkt dreier Strecken wird durch das Hinzutreten des Punktes 
nur formell geändert. 

211. Wenn A, B, C, D, E, F Punkte, und a, b, c, 
d Strecken find, fo bedeutet 

l)A^B, 
dass A mit B zufammenfällt, 

2) [AB] = [CD], 

dass die unbegränzten geraden Linien AB und CD, 

3) [ABC] = [DEF], 

dass die unbegränzten Ebenen ABC und DEF zufammenfallen, 

4)a = b, 
dass a«mit b parallel, 

5) [abj = [cd], 
dass die Ebene, welche die Richtungen a und b enthält, der 
Ebene parallel ist, welche die' Richtungen c und d enthält. 

Beweis. Nach No. 2 bedeutet die Kongruenz zweier 
extenfiver Grössen p^q, dass p und q in einer Zahlbezie- 
hung zu einand'er stehen, und keine von beiden null ist. 
Wenn das nun 1) für A und B gilt, fo mu.<sen (nach 221) 
ihre Orte zufammenfaHen, wenn es 2) für [AB] und [CD] 
gilt, To müssen (nach 247) die unbegränzten geraden Linien 
AB und CD zurammenfallen, wenn es für [ABC] und [DEF] 
gilt, ib müssen (nach 255) die Ebenen ABC und DEF zufam- 
menfalien. Endlich 4) und 5) folgen aus 1) und 2), wenn 
man die Funkte in unendliche Entfernung rückt. 

§. 4. Addition von Linien nnd Fläehai. 

272. Zwei Linientheile derfelben Ebene geben zur 
Summe wieder einen Linientheil derrdben Ebene, und zwei 
Flächentheile geben zur Summe wieder einen Flächentheil. 

Beweis. Da der Linientheil (nach 249) ein kombinato- 
risches Produkt zweier Punkte, und (nach 251) der Flächen- 
theil ein kombinatorisches Produkt dreier Punkte, und die 
Punkte (nach 228) Grössen erster Stufe find, fo find (nach 



176 (•«• 

77 b) der Linientheil und der Flfichentheil beziehlich einfache 
Grössen zweiter und dritter Stufe. Da ferner alle Punkte 
der Ebene fich aus dreien, aber nicht aus weniger Punkten der- 
felben numerisch ableiten lassen (233), fo ist (nach 14) die Ebene 
ein Gebiet dritter Stufe, und ebexito (nach 232 und 14) der 
Raum ein Gebiet vierter Stufe. Nach 88 geben die Grössen 
(n — l)-ter Stufe in einem Hauptgebiete n-ter Stufe zur Summe 
eine einfache (d. h. als kombinatorisches Produkt darstellbare) 
Grösse (n — l)-ter Stufe desselben Hauptgebietes, alfo die 
Linientheile einer und derfclbeh Ebene einen Linientheil der- 
reiben Ebene, die Flächentheile einen Flächentheil. 

Zufatz. Dasfelbe gilt alfo auch für mehr als zwei Linien- 
theile derrelben Ebene, und für mehr als zwei Flächentheile. 

273. Zwei endlich entfernte Linientheile, dere[^Linien 
fich schneiden, geben zur Summe einen endlich entfernten 
Linientheil, dessen Linie durch denfelben Durchschnittspunkt 
geht, und welcher der Diagonale eines Parallelogrammes gleich 
lang und gleichgerichtet ist, dessen von derfelben Ecke aus- 
gehende Seiten den fummirten Linientheilen gleich lang und 
gleichgerichtet find. 

Beweis. Es fei A der Durchschnittspunkt der beiden 
Linien, und feien [AB] und [AC] die beiden Linientheile ^ wo 
A, B, C einfache Punkte find, fo ist 

[AB] + [AC] = [A(B + C)] = 2[AE], 
wenn E die Mitte zwischen B und C ist. Aber AE ist die 
halbe Diagonale des Parallelogramms GAB, alfo 2AE die ganze. 

2*74. Zwei endlich entfernte, gleichgerichtete Linien- 
theile geben zur Summe wieder einen ebenfo gerichteten 
Linientheil, dessen Länge die Summe ist aus den Längen der 
Summanden, und dessen gerade Linie zwischen den geraden 
Linien der Summanden liegt und von diefen Linien im umge- 
kehrten Verhältnisse der Längen der Summanden absteht. 

Beweis. Es feien [Ap] und [Bq], wo A und B einfache 
Punkte, p und q gleichgerichtete Strecken Hnd, diefe Linien- 
theile, und fei l:a das Yerhältniss ihrer Längen, d. h. (nach 
251) das Yerhältniss von p zu q, alfo q = ap, fo ist 



»1«) 177 

[Ap] + [Bq] = [Ap] + [B . «p] = [Ap] + a[Bp] [40] ^ 
= [(A + aB)p] = [(1 + a)S.p] [225], 
wenn S der Summenpunkt von A und dB ist, 

= [S-(l+a)p] [40] 

= [S[p + ap)] = [S(p + q)], 
d. h. die Summe ist ein mit den Summanden gleichgerichteter 
Linientheil, dessen Länge (p + q) die Summe aus den Längen 
der Summanden ist, und dessen Linie durch S geht. S liegt 
aber (nach 225) in der geraden Linie AB, und steht von A 
und B in dem Verhältnisse von a : 1 , d. h. im umgekehrten 
Verhältnisse der Summanden (p und q) ab, alfo steht auch 
die gerade Linie S(p -f- q) von den geraden Linien Sp und 
Sq in diefem Verhältnisse ab. 

2V5, Zwei endlich entfernte, entgegengefetzt gerichtete, 
aber nicht gleich lange Linientheile geben zur Summe einen 
endlich entfernten Linientheil, welcher dem grösseren der 
Summanden gleichgerichtet ist, dessen Länge die Differenz 
der Längen der Summanden ist, und dessen Linie ausserhalb 
der Linien der Summanden (auf der Seite des grösseren Sum- 
manden) liegt, und von diefer Linie im umgekehrten Verhält- 
nisse der Längen der Summanden absteht. 

Beweis wie. in 274, nur dass man — a statt a fetzt. 
376. Die Summe zweier entgegengefetzt gerichteter 
und gleich langer Linientheile AB und CD ist ein Strecken- 
produkt, dessen Inhalt gleich und gleichbezeichnet dem eines 
Parallelogrammes ABCD ist, welches den einen Linientheil 
(gleich viel, welchen) zur Grundfeite, und den andern zur 
Deckfeite hat. 

Beweis. Wenn AB mit CD gleich lang und entgegen- 
gefetzt gerichtet ist, fo ist (nach 222 Zuf.) 

B-A = C — D. 
Alfo ist 

[AB] + [CD] = [A(B - A)] + [fC - D)D] [67] 

= [A(B-A)] + [(B^A)D] [Hyp.] 

= - [(B - A)A] + [(B - A)D] [55] 

= [(B-A)(D-A], 

d. h. gleich einem Streckenprodukt, dessen Inhalt gleich dem 



178 C«»* 

eines Parallelogrammes ist, ^dessen erste Seite mit AB, und 
dessen zweite Seite mit AD gleich lang und gleichgerichtet 
ist. Dies ist aber das Parallelogramm ABCD, alfo bewiefen. 

277. Die Summe eines endlich entfernten Linientheiles 
[AB] und eines kombinatorischen Produktes [ab] zweier Strecken 
a und b, welche einer durch den Linientheil [AB] gelegten 
Ebene parallel find, ist ein endlich entfernter Linientheil [CD] 
derfelben Ebene, welcher mit dem ersteren gleich lang und 
gleichgerichtet ist, und fo liegt, dass das Parallelogramm ABCD, 
welches den ersten Linientheil zur Grundfeite, den zweiten 
zur Deckfeite hat, dem kombinatorischen Produkte [ab] entge- 
gengefetzt (d. h. inhaltsgleich, aber entgegengefetzt bezeich- 
net) fei. 

Beweis. Bezeichnen wir das mit ABCD gleiche Strecken- 
produkt mit P, fo ist nach dem vorigen Satze 

[AB] + [DC] = P, ^ 
alfo [CD] = [AB]— P 

= [AB] + [ab], 
da nach Hypothefis 

— P = [ab] ist. 

278. Die Summe zweier kombinatorischer Produkte [ab] 
und [cd] von je zwei Strecken ist wieder ein konibinatorisches 
Produkt zweier Strecken, und zwar in der Art, dass, wenn 
jene in Form zweier Parallelogramme über derfelben (oder 
gleich langer und gleichgerichteter) Grundfeite dargestellt find, 
die Summe fleh als Parallelogramm über derfelben (oder gleich 
langer und gleichgerichteter) Grundfeite darstellen lässt, in 
welchem die zweite Seite die Streckenfumme der zweiten 
Seiten jener Parallelogramme ist. 

Beweis. Man lege eine Ebene mit a und b parallel, 
eine andere mit c und d parallel; es fei e eine Strecke, welche 
mit der Durchschnittslinie beider Ebenen (und wenn fle fleh 
nicht schneiden mit einer beliebigen Linie derfelben) parallel 
ist. Dann kann man (nach 254) [ab] auf die Form [ef] und 
[cd] auf die Form [eg] bringen, und es ist dann 

[ab] + [cd] = [ef] + [eg] = [e(f + g)], 
und dies war die verlangte Form der Summe. 



»••) 179 

279. Zwei endlich entfernte Elächentheile, deren Ebenen 
Tich schneiden, geben 2ur Summe einen Flächentheil, dessen 
Ebene durch die Durchschniitskante jener Ebenen geht, und 
zwar, wenn die Summanden als Parallelogramme von gemein- 
schartlicher Grundreite dargestellt find, fo lässt fich die Summe 
als Parallelogramm darstellen, welches diefelbe Grundfeite hat, 
und in welchem die zweite Seite die Streckenfumme aus den 
zweiten Seiten der Summanden ist, oder anders ausgedrückt: 
Die Summanden find gleich den Projektionen der Summe auf 
die beiden Ebenen der Summanden, wenn auf jede Ebene 
parallel der andern projicirt wird. 

Beweis. Es feien A und B zwei einfache Punkte in 
der Durchschnittskante jener Ebenen, und c und d zwei 
Strecken von der Art, dass die beiden zu addirenden Flächen- 
theile gleich [ABc] und [ABd] feien, fo ist 

[ABc] + [ABd] = [AB(c + d)] 
d. h. die Summe ist dargestellt durch ein Parallelogramm, in 
welchem AB Grundfeite, und c -f d die zweite Seite ist. 

280. Die Summe zweier paralleler und gleichbezeich- 
neter (endlich entfernter) Flächentheile (E^ und Ej) ist ein 
ihnen paralleler und gleichbezeichneter Flächentheil, dessen 
Inhalt die Summe ist aus den Inhalten der Summanden, und 
dessen Ebene zwischen denen der Summanden fo liegt, dass 
fie von ihnen im umgekehrten Verhältnisse der Inhalte der 
Summanden absteht. 

Beweis. Es fei Ei = [Abc], wo A ein Produkt, b und 
c Strecken find, und fei von A auf die Ebene von Ea ein 
Loth AD gefällt, fo ist [Dbc], da beide Ebenen parallel find, 
ein Flächentheil der Ebene von E2 , steht alfo zu E2 in einer 
Zahlbeziehung. Es fei E2 = a[Dbc] , fo ist 

El + E2 = [Abc] + a[Dbc] =[(A + aD)bc] 
= [(l+a)Sbc], 
, wo S (nach 225) in AD liegt, und von A und D im Verhält- 
nisse a : 1 absteht. Folglich ist die Ebene der Summe eine 
durch S mit b und c, alfo auch mit den Ebenen von E^ und 
E2 parallel gelegte Ebene, welche von diefen letzteren im 
Verhältnisse a : 1 absteht, d. h. im umgekehrten Verhältnisse 



180 lt§i 

der Inhalte (bc und abc)^ Der Inhalt der Summe fet (nach 
260) gleich dem Inhalte von (1 + «)bc, d. h. =:bc 4- c*c, 
d. h. gleich der Summe der Inhalte der Summanden. 

381. Die Summe zweier paralleler und entgegengefetzi 
bezeichneter aber nicht inhaltsgleicher (endlich entfernter) 
Flächentheile Ei und Es ist ein ihnen paralleler dem grösseren 
gleichbezeichneter Flächentheil, dessen Inhalt die Differenz 
der Inhalte der Summanden (Ei und E2) ist, und dessen Ebene 
ausserhalb der beiden Ebenen der Summanden fo liegt, dass 
fie von diefen Ebenen im umgekehrten Verhältnisse d<Mr Sum- 
manden absteht. 

Beweis wie in 277, nur dass statt a gefetzt wird — a. 

2S2. Die Summe zweier paralleler, entgegengefetzt be- 
zeichneter aber inhaltsgleicher (endlich entfernter) Flächen- 
theile El und E2 ist gleich einem kombinatorischen Produkte 
dreier Strecken, und zwar ist der Inlialt diefes Produktes 
gleich, aber entgegengefetzt bezeichnet dem eines Prisma's, 
welches Ei als Grundfläche hat und dessen Deckfläche in der 
Ebene von E2 liegt. 

Beweis. Es fei Ei=[Abc], E2 = — [Dbc], fo ist 
El + E2 = [Abc] — [Dbc] = [(A ^ D)bc] 
= -[(D -A)bc]. 

Aber [(D — A)bc] ist (nach 58) = [bc(D — A)], und dies 
letztere ist (nach 262) dem Inhalte eines Spates gleich, dessen 
erste Seite mit b, dessen zweite Seite mit c und dessen dritte 
Seite mit (D — A) gleich und gleichgerichtet ist, alfo dessen 
Grundfläche Abc ist und dessen Deckfläche durch D geht, alfo 
bewiefen. 

283. Die Summe eines endlich entfernten Flächentheils 
El und eines kombinatorischen Produktes P dreier Strecken, 
ist ein dem ersten parallel gelegener, inhaltsgleicher und gleich- 
bezeichneter Flächentheil E2, welcher fo liegt, dass der Spat 
(Parallelepipedum), welcher den ersteren Flächentheil zur Grund- 
fläche hat, dem gegebenen kombinatorischen Produkte P der drei 
Strecken inhaltsgleich und gleichbezeichn^t ist. 

Beweis. Nach 282 ist 

El — Ea = — P, alfo 
E2 = Ei + P. 



»»*) 184 

2SJK. Die Summe dreier FIftchentheile (Ex, Ej, E3), deren 
Ebenen fich in einem Eckpunkte (D) schneiden, ist ein FlSchen- 
theil (£4)9 dessen Ebene durch denrelben Eckpunkt (D) geht; 
und fo beschaffen ist, dass, wenn man diefen Flfichenlheil (E4) 
nach und nach auf jede der drei Ebenen parallel der Durch- 
schnittslinie der beiden andern projicirt, diefe Projektionen den 
Summanden (Ei, E2, E3) gleich find. 

Beweis. Es feien die Kanten, in welchen fich bezieh- 
lich die Ebenen E2 und E3, E3 und Ei, Ei und E2 schneiden, 
den drei Richtungen a, b, c parallel, fo ist zunächst zu be- 
werfen, dass El, E2, E3 die Projection von E4 auf die Ebenen 
El 9 ^2 9 £3 nsich den Richtungen a, b, c feien. Um dies zu- 
erst für El zu beweifen, fei E2 -j-E^^^^E^ gefetzt, fo ist a 
(nach der Annahme) mit der Durchschnittskante der beiden Ebe- 
nen Ea und E3 parallel; alfo auch (nach 279) mit E^ Projicirt 
man nun E4 auf die Ebene Ei nach der Richtung a, fo ist, da 
a mit E' parallel und E4 =E' -f Ei ist, diefe Projection =Ei 
(nach 279). Auf gleiche Weife folgt, dass die Projection von 
E4 auf die Ebene Ej nach der Richtung b, gleich E2, und 
die auf die Ebene E3 nach der Richtung c, gleich E3 ist. End- 
lich muss auch E4 durch D gehen; denn (nach 279) haben 
E', E2 und E3, vermöge der Gleichung E' = E2 + E3, diefelbe 
Kante gemein, alfo auch den Punkt D, der (nach der Hypo- 
thefis) in Ej und E3 liegt; ferner haben nach demfelben Satze 
E4, E', El, vermöge der Gleichung E4 = E' + Ei, diefelbe 
Kante gemein, alfo auch den Punkt D, der, wie wir bewiefen, 
in E^ und nach der Vorausfetzung auch in Ei liegt, d. b. E4 
geht auch durch D. 

285. Eine Summe S von Linientheilen lässt fich stets 
auf eine Summe zweier Linientheile zurückführen, und zwar 
kann man für den einen diefer beiden Linientheile einen Punkt 
(A), durch welchen die Linie desfelben gehen foll, und für 
den andern eine Ebene BCD, in welcher die Linie desfelben 
liegen foll, willkürlich annehmen, nur dass der Punkt A nicht 
innerhalb der Ebene BCD liegen darf. 

Beweis. DaA, B, C, D nicht in einer Ebene liegen, 
fo kann man aus ihnen (nach 232) alle Punkte des Raumes 



482 C«^ 

numerisch ableiten ^ und alfo auch die Funkle, durch deren 
Multiplikation zu je zweien die Linientheile entstanden find, 
deren Summe S ist. Löst man, nachdem man diefe Abieitungs- 
ausdrticke eingeführt hat, alle Klammern auf, und Tetzt (nach 
55) [BA] = — [AB], [CA] = -[AC], [DA] = - [AD], [CB] 
= — [BC], [DB] = — [BD] , [DC] = — [CD] , fo erhält man 
einen Ausdruck der Form 

S =a[AB] + jS[AC] + y[AD] + <J[BC] + f [BD] + f [CD], 
wo a, /9, y, <J, «, f Zahlen find. Dies ist aber 

= [A(aB +ßC+yD)]+ S[BC] + €[BD] + f [CD]. 
Ersteres giebt (nach 222 und 253) einen Linientheil, und 
J[BC] + f [BD] + f [CD] giebt (nrfch 272 Zuf.) einen (endlich 
oder unendlich entfernten) Linientheil der Ebene BCD, alio 
bewiefen. 

286. Eine Summe S von Linientheilen ist dann und 
nur dann wieder ein Linientheil, wenn 

[SS] = 
ist. 

Beweis 1. Wenn S ein Linientheil = [AB] ist, fo ist 
[SS] = [ABAB] = [60]. 

2. Wenn [SS]=0 ist, fo fei S (nach 285) zurückge- 
führt auf 2 Linientheile, und S = [AB] + [CD], fo wird 

= [SS] = [(AB+CD)(AB+CD)] = [ABCD]-|-[CDAB], 
da [ABAB] und [CDCD] (nach 60) null find. Es ist aber (nach 
58) [CDAB] = [ABCD], alfo 

= 2[ABCD] , oder = [ABCD] , 
d. h. A, B, C, D liegen in Einer Ebene (nach 236), alfo ist 
(nach 272) AB + CD ein Linientheil. 

Anm. Man fieht, wie fär die Statik der Schwerpunkt als J?amme 
Ten Punkten, dio statische Kraft als Linientheil, die Refultate der 
statischen Kräfte als Summe der Linientheile, das statische Moment 
als Flächentheil erscheint, und schon daraus wir(^ man entnehmen 
können, welche fruchtreiche Anwendung die hier fich entwickelnde 
Analyfe für die Statik und Mechanik gestatte, was ich in einem spä- 
teren Werke zu zeigen gedenke. 



•»»>' 183 

§. S. PlaniinetriBche und stereometrische Multiplikation. 

ÄST Wenn a, b, ••• die Slufenzahlen eines reinen 
Produktes P (114), n die des Hauplgebieles , v die Stufenzahl 
des verbindenden ,9 g die des gemeinschaftlichen Gebietes (15) 
und p die des Produktes ist, und n — a = a', n — b = b',- • •, 
n — g = g' gefetzt wird, fo ist, 

1) wenn das Produkt P ein progressives ist, P dann 
und nur dann von null verschieden, wenn 

r = a + b -f-. • . 
ist, und zwar ist dann p = v, 

2) wenn das Produkt P ein regressives ist, fo ist P dann 
und nur dann von null verschieden, wenn 

g/ = a' + b'+... 
ist, und zwar "ist dann p = g. 

Beweis 1. Wenn das Produkt P ein progressives ist, 
fo kann man die Faktoren (nach 119 b) in lauter Faktoren 
erster Stufe auflöfen; die Anzahl diefer Faktoren erster Stufe 

ist (nach 77) a -fb H , ihr Produkt ist (nach 61 und 66) 

dann und nur dann von null verschieden, wenn die Faktoren 
erster Stufe in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, d. h. 
(nach 23) wenn das verbindende Gebiet von (a + b +• • »yier 
Stufe, alfo i; = a + b +• • • ist. Dann ist die Stufe des Pro- 
duktes (nach 77) = a + b -j , d. h. = v. 

2. Wenn das Produkt P ein regressives ist, fo gilt der 
Satz zunächst für zwei Faktoren. Denn nach 109 ist P dann 
und nur dann von null verschieden, wenn g = a + b — n,d. h, 
n — g = n — a + n— b, alfo 

g' = a' + b' 
ist. Nach 95 ist ferner p = a4-b— -n, alfo =g. Somit 
gilt der Satz für zwei Faktoren. Aus ihm erhält man aber 
durch wiederholte Anwendung den Satz für beliebig viele Fak- 
toren. 

Anm. Diefer Satz hätte nach 119b folgen feilen, und ist dort 
nur durch ein Yerfehen ausgelassen. 

288. Erklärung. Unter der planimetrischen Multi- 
plikation verstehe ich die auf eine Ebene bezügliche, unter 



184 ۥȥ 

der stereometrischen die auf den Raum (als Gebiet vierter 
Stufe) bezügliche Multiplikation. 

389. Das planimetrische Produkt zweier Linientheile 
[AB] und [AC], deren Linien fich in endlicher Entfernung 
schneiden, ist ein Punkt , dessen Ort der , Durchschnittspunkt 
(A) jener Linien, und dessen KoeiBcient, wenn A, B, C ein- 
fache Punkte find, gleich dem Inhalte des Parallelogramms 
ABC ist, d. h. 

[AB.AC] = [ABC]A. 

Beweis nach 104. 

Anm. Da bei der planimetrischcn Maltipliksttion (gemäss 94) ein 
Flächentheil als Einheit angenommen werden muss, fo ist der Koef- 
ficient [ABC] eine Zahl, alfo [ABC]A in der That ein (einfacher oder 
vielfacher) Punkt. 

290. Das planimetrische Produkt zweier paralleler Li- 
nientheile [AB] und [CD] ist eine Strecke, welche den beiden 
Linien parallel ist, und welche fleh zur Strecke AB algebraisch 
wie das Parallelogramm BCD zur Einheit verhält. 

Beweis. Da AB mit CD parallel ist, fo stehen (nach 
221) die Strecken A — B und C — D in einer Zahlbeziehung. 
Es fei C — D = a(A — B), fo wird 

[AB. CD] = [(A - B)B.(C - DjD] [67] 

= a[( A — B)B . (A — B)D] [Annahme] 
== a[(A — B)BD](A — B) [104] 

= [(C — D)BD](A — B) [Annahme] 

= [CBD](A — B) [67] 

= [BCD](B — A) [55]^ 

d. h. [AB -CD] ist gleich einer Strecke, die mit AB parallel 
ist, und fich zu AB algebraisch verhält wie [BCD] zu 1. 

291. Das planimetrische Produkt eines Linientheiles 
[AB] und eines Punktes C ist, wenn A, B, C einfache Punkte 
find, gleich dem Inhalte des Parallalogramms ABC, alfo null 
nur dann, wenn A, B, C in gerader Linie liegen. 

Bßweis nach 255. 

292. Das planimetrische Produkt dreier Linientheile 
[AB], [AC], [BC], welche die Seiten eines Dreiecks bilden, 
ist, wenn A, B, C einfache Punkte find, 4mal fo gross als 



•^) 185 

dfts Quadrat diefes Dreiecks, oder gleich dem Quadrate des 
Parallelogramms ABC, d. h. 

[AB.AC.BC] = [ABC]l 
Beweis. Es fei [ABC] = a. Dann fetze man Aj = A : rt, 
fo ist [AiBC] = l, alfo (nach H2) 

[AiB.AiC.BC]==l, 
alfo 

" [AB . AC . 5C] = a^ = [ABC]l 
Anm. Wir hätten die Formel auch schreiben können: 
[AB.BC.CAl = [ABC]a. 

293. Das planimetrische Produkt zweier Grössen erster 
oder zweiter Stufe ist dann und nur dann null, wenn die 
Grössen inctdent find, d* h. zweier Punkte, wenn ihre Orte 
zufammenTallen, zweier Linientbeile, wenn ihre Linien zufam- 
menfallcn, eines Linientheiles und eines Punktes, wenn der 
Ort des Punktes in die Linie (jenes Linientheiles) fftilt. 

Beweis nach 287. 

294. Das planimetrische Produkt zweier nicht incidenler 
Linientheile ist dem Durchschnittspunkte ihrer Linien kon- 
gruent, d. h. 

[AB.AC] = A. 
Beweis. [AB • AC] = [ABC] A (f. o.), alfo da [ABC] 
eine Zahl ist, ^A (nach 2). 

299. Das planimetrische Produkt dreier Linientheile ist 
dann und nur dann null, wenn ihre Linien fich in einem (end- 
lich oder unendlich entfernten) Punkte. treffen. 

Beweis nach 287. 

296. Das stereometrischc Produkt zweier Flftehentheilo 
[ABC] und ABD, deren Ebenen fich in endlicher Enlferftuag 
schneiden, ist ein Theil diefer Durchschnitt^linie, und zwar 
verhält fich derfelbe, wenn A, B, C, D einfache Punkte find, 
zu AB algebraisch wie der Spat (das Parallelepipedum) ABCD 
zur Einheit. 

Beweis, [ABC-ABD] = [ABCD][AB] [104]. 

Anm. Da bei der stereometrischen Multiplikation (nach 94, 288) 
ein Körpertheil als Einheit genommen ist, fo ist [ABCD] eine Zahl, 
und aUo [ABCD] [AB] in der That ein Linientheil. 

12* 



186 («•« 

297. Das stereometrische Produkt zweier Flächentheile 
[ABC] und [DEF], deren Ebenen parallel ßnd, ist ein Produkt 
zweier Strecken, welche diefen Ebenen parallel find, und 
zwar verhält Tich der Inhalt diefes Produktes, wennA, B, C, 
D, E, F einfache Punkte find, zu dem des Parallelogramms 
ABC algebraisch wie der Spat (das Parallelepipedum) ADEF 
zur Einheit. 

Beweis. 

[ABC . DEF] = [A(B — A)(C— A) • D(E— DXF— D)J [67]. 
Da nun nach der Annahme die Ebenen ABC und DEF parallel 
find, fo find (nach 230) E — D und F — D aus B — A und 
C — A ableitbar, alfo auch das Produkt der ersteren aus dem 
der letzteren. Es Tei B — A mit p und C — A mit q bezeich« 
net, fo ist [(E — D)(F — D)] aus [pq] ableitbar, und fei 
=:a[pq], fo ist 

[ABC • DEF] == [Apq • aDpq] = a[Apq • Dpq] [40] 
= a[ADpq][pq] [107] 

= [AD(E — D)(F - D)] [pq] [Annahme] 
= [ADEF][pq] [67]. 

298. Das stereometrische Produkt zweier Linientheile 
[AB] und [CD], und ebenfo das eines Flächentheiles [ABC] 
und eines Punktes, ist, wenn A, B, C, D einfache Punkte 
find, gleich dem Spate ABCD. 

Beweis. [ABCD] = [ABC-D] = [ABCD] [80]. 

299. Das stereomelrische Produkt dreier Flächentheile 
[ABC], [ABD], [ACD], welche fich in einem endlich entfern- 
ten Punkte A schneiden, ist ein vielfacher Punkt, dessen 
Ort der Durchschnittspunkt A ist, und zwar, wenn A, B, C, 
D die einfachen Ecken eines Tetraeders find, fo ist der zu 
jenem Punkte gehörige Koefücient gleich dem Inhalte des 
Spates (Parallelepipedums) ABCD. 

Beweis. Es fei [ABCD]=a, und fei Bi=B:a, fo 
ist [ABiCD] = l, alfo (nach H2) 

[ABiC-ABiD.ACD] = A, alfo 

[ABC. ABD. ACD] = a^A = [ABCD]2A. 

300. Das stereometrische Produkt von vier Flächen- 
theilen [ABC], [ABD], [ACD], [BCD] ist, wenn A, B, C, 



••Ä) 187 

D die einfachen Ecken eines Tetraeders find, gleich der 
dritten Potenz des Spates (Parallelepipedums) ABCD. 

Beweis. Es fei [ABCD] = a, und fei Ai=A:a, fo 
ist [AiBCD] = l, alfo (nach UZ) 

[AiBC.AiBD.AiCD.BCD] = l, alfo 
[ABC. ABD.ACD.BCD] = a3= [ABCD]». 

301. Das stereometrische Produkt zweier Linienth^ile 
ist dann und nur dann null, wenn Ihre Linien in einer Ebene 
Hegen; das stereometrische Produkt zweier Grössen, welche 
von erster, zweiter oder dritter Stufe, aber nicht beide asu- 
gkfich von zweiter Stufe find, ist dann und nur dann null, 
wenn die* Grössen incident find, alfo zweier Punkte, wenn 
ihre Orte zufammen fallen, zweier Fiftcheritheile, wenn ihre 
Ebenen zufammenfallen,* eines Punktes und eines Linien- oder 
Flächentheiles , wenn der Punkt in der Linie oder Ebene des^ 
letzteren liegt, eines Linientheiles und eines Flächentheiles, 
wenn die Linie des ersteren in der Ebene des letzteren liegt. 

Beweis No. 287.. 

302. Das stereometrische Produkt zweier nicht inci- 
denter FIftchentheile ist der Durchschnittslinie ihrer Ebenen 
kongruent. 

Beweis. Es feien a, b, c, d vielfache Punkte , fo ist 
[abc-abd] = [abcd][ab] 
= [ab], 
da [abcd] eine Zahl ist. 

303. Das stereometrische Produkt eines Flächentheiles 
und eines Linientheiles, der nicht in der Ebene des ersteren 
liegt, ist dem Durchschnittspunkte der Ebene und der Linie 
kongruent. 

Beweis. [abc-ad] = [abcd] a 
= a, 
wo wieder a, b, c, d vielfache Punkte find. 

304. Ifch bezeichne bei der planimetrischen Multiplika- 
tion das Produkt [ab] zweier Strecken a und b, wenn das 
Parallelogramm ab gleich dem als Einheit angenommenen Flä- 
cheninhalte ist, mit U, und ebenfo bezeichne ich bei der ste- 
reometrischen Multiplikation das Produkt [abc] dreier Strecken 



188 (9#« 

a, b und c, wenn dar Spat (ParalleleiMpedain) abc gleich dem 
als Einheit angenomnienen Körperraume ist, mit U. Wenn 
beide uiHerschieden werden Tollen , fo werde ich jenes mit U2, 
dieres mit U3 bezeichnen. 

309. Wenn a ein vielfacher Punkt, AB ein Linientheil, 
ABC ein Flächentheil ist, und A, B, C, einfache Punkte find, 
fo ist 

[all] der Koefficient von a^ 

[ABU] gleich der mit AB gleich langen und gleichge- 
richteten Strecke =r(B — A), und 

[ABCU] gleich dem mit dem Parallelogramm ABC glei-^ 
chen und paralld gelegenen Streckenprodukte 
= [(B-AXC-A)]. 
Beweis. Es fei a = aA und üs=[bcd], wo b, 0, d 
/nach 304) Strecken flnd, und der Spat bcd gleich 1 ist, 
fo ist 

[aU] = [aAbcd] = a[Abcd] == a , 
da [Abcd] (nach 268) mit [bcd] inhaltsgleich und gleich be- 
zeichnet, fllfo gleich 1 ist. Ferner 

[ABU] = [AB .bcd] = [A(B — A) bcd] [67]. 

Da hier B- A als Strecke aus b, c, d numerisch ableitbar 
ist (nach 229), fo ist (nach 108) 

[A(B - A) .bcd] = [Abcd][B - A] = [B — A] , 
^ da [Abcd] = 1 ist. Ferner 

[ABCU]=[ABC.bcd]=[A(B— AXC— A).bcd] [67]. 
Da hier B — A und — A Strecken, alfo aus b, c, d nu- 
merisch ableitbar find (nach 229), fo ist [(B — A)(C — A)] 
dem [bcd] untergeordnet, alfo 

[A(B— A)(C- A) . bcd]=[Abcd][B - A)(C— A)] [i08j 
= [(B-A)(C-A)], 
da [Abcd] =3 1 ist. 

Anm. Diefe Giessen (aU), [ABU], [ABCU] fin^ es, welche ich 
in der ersten Bearbeitung der Ausdehnungslehre von 1844 (pa^. 159) 
die Ausdehnungen der Grössen a, [AB], [ABC] genannt, und dafür 
eine eigene Bezeichnung eingeführt habe , die nunmehr darch die An- 
wendung der unendlich entfernten Einheit (U) überflüssig gemacht 
worden ist. 



189 



§. 6. Besondere Oesetze fttr ein gleich Kuli gesetztes 
planimetrisches Produkt. Ebene Kurven. 

306. Die Gleichung eines Punktes x, der mit den 
Punkten a^ b in einer geraden Linie liegt , ist 

[xab] = 0. 
Beweis. Denn (nach 245) ist [xab] dann und nur dann 
null, wenn x mit a, b in einer geraden Linie liegt. 

Anm. Da es bei den gleich null gefetzten Produkten nie auf den 
metrischen Werth der Faktoren ankommt, fo brauchen einfache und 
vielfache und unendlich entfernte Punkte nicht mehr unterschieden 
zu werden, und ich ^riU deshalb fftr dielelben überall die gleiche Be- 
zeichnung durch kleine lateinische Buchstaben wählen, während ich 
zur Bezeichnung der Linientheile, oder, da es hier auf ihre Grösse 
nicht ankommt^ der geraden Linien, die grossen lateinischen Buch- 
staben wähle. 

307. Die Gleichung einer geraden Linie X, die mit 
den geraden Linien A und B durch den felben Punkt geht, ist 

[XAB1 = 0. 
Beweis nach 301. 

308. Die Stufenzahl eines planimetrischen Produktes 
aus beliebig vielen Faktoren, nögen diefelbe'n nun Grössen 
erster oder zweiter Stufe fein, ist der Summe der Stufen* 
zahlen aller Faktoren kongruent in Bezug auf den Modul« 3. 

Beweis nach 96. 

309. Wenn $n,x ein planimetrisches Produkt nuUter 
Slufe ist, welches den Punkt x n-mal, und ausserdem nur 
konstante Punkte und Linien als Faktoren enthalt, fo ist 

wenn ihr nicht jeder Punkt x genügt, die Punkt -Gleichung 
einer algdnraisohen Kurve n*ter Ordnung, d. h. es drüekt die 
Gleichung aus, dass der Punkt x in einer algebraischen Kurve 
n«^ter Ordnung liegt. 

Beweis. Es feien a, b, c drei beliebige, nicht in gerade 
Linie liegende Punkte, z. B. a ein einfacher Punkt, b und c 
zwei gegeneinander fenkreehte und gleich lange Sbreckeii 
(QUendlioh entfernte Ponkte), fo find alle Punkte i&t Ebene 



190 ۥǥ 

aus a, b, c numerisch ableitbar, alfo namentlich der Punkt x; 
es fei 

X = x^a + Xab + XjC. 
Fährt man diefen Ausdruck statt x in die Gleichung 

%,. = 
ein 9 und löst die fämmtlichen Klammem, welche nun in dem 
Produkte $n,rx den Ausdruck (xia + Xjb + XgC) einschliessen, 
auf, fo erhält man eine in Bezug auf x^ , x, , X3 iiomogene 
Gleichung n-ten Grades, deren Glieder alle die Form ?lx}x*x« 
haben, wo a + b + c = n ist, und wo 81 ein Produkt kon- 
stanter Linien und Punkte, und zwar ein Produkt nullter Stufe 
ist, da die Stufenzahlen der Faktoren nicht geändert find« Alfo 
ist ^ als Grösse nullter Stufe eine Zahl, und die Gleichung 
alfo eine gewöhnliche Zahlgleichung geworden, welche in Be- 
zug auf Xi, X2, X3 homogen vom n-ten Grade ist. Es find 
aber, wenn a ein einfacher Punkt und b und c zu einander 

fenkrechte gleich lange Linien flnd, — und — die gewöhn- 

liehen Koordinaten des Punktes x, alfo, wenn die Gleichung 
nicht identisch =0 ist, die durch fie dargestellte Kurve eine 
algebraische Kurve von n-ter Ordnung. 

310. Wenn $(n,X) ein planimetrisches Produkt nullter 
Stufe ist, welches die gerade Linie X n-mal und ausserdem 
nur konstante Punkte und Linien als Faktoren enthält, fo ist 

5>(n,X) = 
die Linien -Gleichung einer algebraischen Kurve n-ter Klasse, 
oder einfacher ausgedrückt, (0 ist der geometrische Ort für 
die Linie X, welche diefer Gleichung genügt, ein Ort n-ten 
Grades. 

Beweis genau wie in 309^ 

311. Wenn $n,z ein stereometrisehes Produkt nullter 
Stufe ist, welches den Punkt x n-mal, und ausserdem nur 
konstante Punkte, Linien und Ebenen als Faktoren enthält, 
fo ist 

die Puaktgleichung einer algebraischen OberMche a-ter Ord- 
nung, oider einfacher ausgedrückt, fo ist der geometrische Ort 



»t«) 191 

des Punktes x, welcher der obigen Gleichung genügt, ein Ort 
n-ten Grades; vorausgereizt jedoch, dass nicht jeder Punkt x 
der obigen Gleichung genügt. 

Beweis. Es feien a, b, c, d vier beliebige Punkte, die 
nicht in Einer Ebene liegen, z. B. a ein einfacher Punkt, b, 
c, d drei gegeneinander fenkrechte und gleich lange Strecken 
(unendlich entfernte Punkte),* fo lässt fich (nach 232) x aus 
a, b, c, d numerisch ableiten. Es fei 

X = Xia + X2b = X3C + X4d, 
wo Xi, X2, X39 X4 Zahlen find. Führt man diefen Ausdruck 
statt X in dem Produkt Pn,x überall ein, und lösst die Klam- 
mern auf, fo erhalt man lauter Glieder der Form Slx^x^xjx^ 
wo a+b + c + b = n, und S( ein Produkt nullter Stufe, alfo 
eine Zahl ist. Somit ist die entstehende Gleichung eine Zahl- 
gleichung, welche in Bezug auf x^, X2, X3, X4 homogen vom 
n-ten Grade ist; falls nicht etwa die fämmtlichen Koefficienten 
91 u. f. w. Null flnd, d. h. der Gleichung durch jeden Punkt x 

genügt wird, was oben ausgeschlossen war. Nun find — , 

X X 

— , — die gewöhnlichen Koordinaten des Punktes x, weil 

Xi Xi 

nämlich x = Xif a + ^b + ^c + -^d\ alfo x = a + ^b 
V Xj Xi Xi y Xj 

X " X 

-| — ^c ^ — ^d ist. Somit ist der geometrische Ort von x eine 

X]^ X| 

Oberfläche n-ler Ordnung. 

312. Wenn ^Cn,5) ein stereometrisches Produkt nullter 
Stufe ist, welche^ die Ebene $ n-mal als Faktor enthält, und 
ausserdem nur konstante Punkjte, Linien und Ebenen, fo ist 

^(",5) = 
die Ebenen - Gleichung einer algebraischen Oberfläche n-ter 
Klasse; vorausgefetzt, dass nicht jede Ebene $ der Gleichung 
genügt. 

Beweis wie in 3H. 

313. Ein planimetrisches und ebenfo ein stereometrisches 
Produkt bleibt fich felbst kongruent, wenn man statt eines 
beliebigen Faktors desfelben einen ihm kongruenten fetzt, oder 



192 (•«* 

ihn mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl (einer 
Grösse nnllter Stufe) multiplicirt oder dividirt. 

Beweis. Zwei Grössen ^ und B heissen (nach 2) 
kongruent, wenn zwischen ihnen eine Gleichung der Form 
A=inB besteht, in welcher n eine beliebige von Null ver- 
schiedene Zahl (pontive, ganze oder gebrochene, rationale 
oder irrationale) bedeutet. Setzt man nun in einem Produkte 
P(J), welches den Faktor A enth&lt, statt A eine ihr kon- 
gruente Grösse n^, fo wird P(n^) (nach 40) =nP(J), alfo 
mit P(^) kongruent. 

Anm. Ein Produkt nnllter Stufe ist nach dem angeführten Be- 
griffe dann und nur dann einem anderen kongruent , wenn fie entweder 
beide zugleich null, oder beide zugleich von Null verschieden find. 
Somit scliliesst der Satz dies ein, dass wenn man in einem Produkte 
nnllter Stufe statt eines beliebigen Faktors einen ihm' kongruenten 
fetzt, das Produkt null bleibt, wenn es null war, und von Null ver- 
schieden bleibt, wenn es von Null verschieden war. Da es in der 
ganzen folgenden Behandlung nur auf die Kongruenz ankommt, fo 
werde ich statt der Linientheile und der Flächentheile überall gerade 
Linie und £bene fetzen. 

314. Ein planimetrisches , und ebenro ein stereometri- 
sches Produkt bleibt fich felbst kongruent, wenn die beiden 
Faktoren, aus denen es besteht, vertauscht, d. h. [AB] ^ [BA]^ 
was auch A und B für Grössen feien. 

Beweis nach 120. 

315. Ein planimetrisches Produkt dreier. Punkte oder 
dreier Linien, ebenfo ein stereometrisches von vier Punkten 
oder Ebenen bleibt fich felbst kongruent, wenn man feine 
Faktoren beliebig ordnet und zufammenfasst. 

Beweis. Denn da das Produkt dann (nach 114) oin 
reines ist, fo gelten för dasfelbe die Sätze 120, 119 a. 

316. Ein planimetrisches, und ebenfo ein stereometri- 
sches Produkt bleibt fich felbst gleich, wenn man zwei un- 
mittelbar auf einander folgende, einander incidente Faktoren 
desfelbon (namentlich eine gerade Linie, oder eine Ebene und 
einen in ihr liegenden Punkt) vertauscht. 

Beweis nach 123. 

317. Ein planimetrisches, und ebenfo ein stereonielri- 
sclies Produkt nulltcr Stufe bleibt fich feibst kongruent, wenn 



stte) i93 

man die Ordnung der Faktoren umkehrt, oder die Reihe belie- 
big vieler letzter Faktoren in eine Klammer schliesst und 
umkehrt. 

Beweis nach 126. 

318. Ein stereometrisches Produkt von drei oder vier 
Punkten, oder von drei oder vier Ebenen, oder von zwei 
Punkten und einer Geraden ^ oder von zwei Ebenen und einer 
Geraden bleibt Tich felbst kongruent, wenn man feine Faktoren 
beliebig ordnet und zufammenfasst. 

Beweis. Denn da das Produkt dann (nach 114) jedes- 
mal ein reines ist, fo Tind hier die Sätze 119 a und 120 
anwendbar. 

319. Ein stereomclrisches Produkt [aBC] von einem 
Punkte a und zwei geraden Linien B und C, welche (Ich 
schneiden, bleibt fleh Telbst kongruent, wenn man diefe 
geraden Linien vertauscht, d. h. 

[aBC] ^ [aCB] , wenn B und C fich schneiden. 
Beweis nach 124 e. 
Anm. Hiermit find alle Fälle der Vertauschbarkeit für plaui- 
me Irische und stereometrisclie Produkte erschöpft. (Vergl. 124.) 

320. Wenn in einem planimetrischen Produkte der Form 
[xaBcD--] d. h. in welchem auf den Punkt x abwechselnd 
Punkte und gerade Linien folgen, oder in dem planimetrischen 
Produkte [XBcD* • •], in weichem auf die Linie X abwechrelnd 
Linien und Punkte folgen, kein Faktor dem nächstfolgenden 
incident ist, fo ist dasfelbe von Null verschieden. 

Beweis. Angenommen fei, dass von den Grössen x, a, 
B, c, D*** keine zwei aufeinander folgende incident feien, 
dann ßnd x und a zwei nicht incidente Punkte, ihr Produkt 
alfo eine von Null verschiedene, gerade Linie, diefe gerade 
Linie ist nicht mit B incident, da a nicht in B liegt, alfo ist 
ihr Produkt [xaB] ein von Null verschiedener Punkt der gera- 
den Linie ~B; diefer kann nicht mit c zufammenfallen , da c 
nicht in B liegt, alfo ist i^^r Produkt [xaBc] eine von Null 
verschiedene, durch c gehende gerade Linie, diefe kann nicht 
mit D zufammenfallen, da c nicht in D liegt, alfo ist ihr 
Produkt [xaBcD] ein von Null verschiedener Punkt der gera- 

13 



den Linie D u. T. w. Setzt man xa = Xy To geht der zweite 
Tbeil des Satzes hervor. 

321. Wenn in einem stereometrischen Produkte der 
Form 

[xBjSccJ....], 
d. h. in welchem auf den Punkt x abwechfelnd Punkte und 
Ebenen (die hier mit griechischen Buchslaben bezeichnet Tind) 
folgen 9 oder in dem stereometrischen Produkte 

[tßc6- • .], 
in welchem auf die Ebene § abwechfelnd Ebenen und Punkte 
folgen, kein Faktor dem nächstfolgenden incidcnl ist, fo ist 
dasfelbe von Null verschieden. 
Beweis wie in 320. 

322. Wenn in einem stereometrischen Produkte der 
Form 

[xABC.-.] oder [?BC.-.], 
d. h. in welchem auf den Punkt x oder die Ebene S lauter 
gerade Linien als Faktoren folgen, die beiden ersten Faktoren 
einander nicht incident find, und keine der Linien die nächst- 
folgende schneidet, fo ist dasfelbe von Null verschieden. 

Beweis. Da x nicht in der geraden Linie A liegt, fo 
ist [xA] von Null verschieden, und zwar der durch x und A 
gelegten Ebene kongruent; in diefer Ebene kann die gerade 
Linie B nicht liegen, da fie fönst die gerade Linie A dcrfelben 
Ebene (wenn auch in unendlicher Entfernung) schneiden 
müsste, gegen die Annahme, alfo ist das Produkt [xAB] der 
Ebene [xA] und der geraden Linie B von Null verschieden, 
und zwar (nach 303) kongruent dem Durchschnittspunklc 
beider; da diefer in B liegt, alfo nicht in C (da B und C fleh 
nicht schneiden), fo ist das Produkt [xABC] eine von Nult 
verschiedene durch C gehende Ebene li. f. w. Der zweite 
Theil des Satzes folgt, wenn man [xA] = J fetzt. 

Anm. Die angeführten Sätze reichen hin, nin die vorher aufge- 
stellten Formeln für Kurven und Oberflfichcn mit der grössten Leicli- 
tigkeit zu diskutii'en, v^ozu ich die folgenden zwei Beispiele wähle« 

323. Die Gleichung eines Kegelschnittes , der durch 
(|ie fünf Punkte a, b, c, d, e geht, von denen keine drei 
in einer geraden Linie liegen, ist 



••») 195 

• » 

[xaCcd)(ab«de)(bc)ex] =0, .oder 

[xaBc,Dex]==0, 
wo B = [cd], Ci = [ab. de], D = [bc] ist. 

Beweis. Das Produkt der linken Seite ist, da die Summe 
der Stufenzahlen 12 durch 3 theilbar ist, von nullter Stufe. 
Dass nicht jeder Punkt x der Gleichung genügt, davon über- 
zeugt man fich leicht. Zieht man z. B. eine Linie ap, die nicht 
durch e geht, und nimmt an^ x folle in diefer geraden Jjinie 
liegen, aber nicht in a, fo ist [xa]^[pa], fomit können wir 
(nach 313) statt xa in der obigen Gleichung pa einfetzen, und 
erhalten 

[paBcjDex] = 0, 
d. h. der Punkt x muss in der geraden Linie liegen, die 
durch den Punkt [paBc^D], welcher q heisset, und durch den 
Punkt e geht; zugleich foll er nach der Annahme in der 
geraden Linie ap liegen, alfo zugleich in qe und ap, diefe 
beiden geraden Linien Hnd noth wendig verschieden, da e nicht 
in ap liegt, alfo treffen fie Tich nur in einem Punkte , d. h. 
die gerade Linie ap enthält ausser dem Punkte p nur Einen 
Punkt, der der obigen Gleichung genügt. Alfo genügt ihr 
nicht jeder Punkt. Somit ist der geometrische Ort für x (nach 
309) eine Kurve zweiter Ordnung, alfo ein Kegelschnitt. Es 
ist nur noch zu* zeigen, dass er durch die fünf Punkte a,*** 
c geht, d. h. dass wenn x mit irgend einem der fünf Punkte 
a***e zufammen fällt, die Gleichung erfüllt wird. ^ Fällt x 
mit a zufammen, fo wird xa = 0, alfo auch das ganze Pro- 
dukt, dasfelbc gilt für x^e, wenn man die Gleichung (nach 
317) in der Form 

[xeDc,Bax] = [104] 

schreibt. Wird x^c, fo wird [ca(cd)] ^ [cad]c, und dies 
ist wieder ^c, da [cad] eine von Null verschiedene Zahl 
ist, alfo ist 

[ca(cd)(ab • de)(bc)ec] ^ [c(ab.de)(bc)ce] 

= [(ab.de)c(bc)ce] [314] 

s[(ab.de)(bc)cGe] [123] 

^ [(ab-debc][cce], da [(ab«de)bc] von 

nullter Stufe, d. h. eine Zahl ist. Hier ist [cce] Oiacb 60) 



= 0, airo auch das ganze Produkt null. Wird x^d, fo wird 
[da- cd] = [da. de] (No. 314) = [dac]d (No, 104) = d. Somit 
wird dann 
[da(cdXab.de)(bc)ed] = [d(ab • deXbc)ed] 

= [ab(de)dCbc)ed] [314] 

= [abd(de)(bc)ed] [123] 

= [abd][(de)(bc)(de)], [40] 

weil, [abd] eine Zahl ist. Aber [de-bc-de] ist null (nach 295), 
alfo das ganze Produkt =0, Wird x^b, fo ergiebt fich 
auf gleiche Weife aus der umgekehrten Gleichungsform, dass 
der Gleichying genügt wird. Somit find alle fünf Punkte a- • «e 
Punkte des Kegelschnittes. 

824. Wenn A, B, C drei gerade Linien im Räume 
find, von denen keine zwei fich schneiden, fo ist 

[xABCx]=0 
die Gleichung derjenigen Fläche zweiter Ordnung, auf wel- 
cher die drei geraden Linien A, B, C liegen. 

Beweis. Die Summe der Stufenzahlen ist 8, alfo durch 
4 theilbar, alfo das Produkt als stereomelrisches von nullter 
Stufe. Nicht jeder Punkt x genügt ihr. Denn legt man durch 
die gerade Linie A eine Ebene a, und nimmt an, der Punkt 
X liegt in diefer Ebene, aber ausserhalb A, fo ist [xA]^a, 
alfo [xABC] ^ [aBC], und zwar von Null verschieden (nach 
322). Es ist aber dB ein Punkt und [aBC] die durch diefen 
Punkt und die gerade Linie C gelegte Ebene. Die Gleichung 

[aBCx] = 
fagt aus, dass der Punkt x in diefer Ebene liegen muss, er 
liegt aber nach der Annahme auch in der Ebene a, alfo in 
beiden zugleich. Beide Ebenen fallen aber nicht zufammen, 
da fönst A und C in diefer Ebene liegen , alfo fich schneiden 
müssten gegen die Annahme. Alfo muss x dann in der Durch- 
schnittskante beider Ebenen liegen, um der Gleichung zu ge- 
nügen. Somit genügt Ihr nicht jeder Punkt. Da nun das 
obige Produkt von nullter Stufe ist, x zweimal als Faktor 
enthält, und nicht durch jeden Punkt x erfüllt wird, fo ist 
(nach 311) der Ort von x eine Oberfläche zweiter Ordnung, 
in ihr liegen A und C, denn wenn x in A liegt, fo wird 



»«» 197 

[xA] = 0, airo das Produkt null, ebenfo wenn x in C liegt. 
Liegt endlich x in B, To hat maJi 

[xABCx] = [AxBCx] [314] 

= [ABxCx] [123] 

= [AB][xCx], da [AB] von nullter Stufe 
ist; endlich xCx (nach 60) null, alfo das Produkt gleich null, 
d. h. jeder Punkt x, der in C liegt, genügt der Gleichung. 
Anm. Für den umgekehrten Satz, dass jede algebraische Kurve 
der Ebene ßch in Form eines gleich null ge£etzten planimetrischen 
Produktes darstellen lässt, kommt es darauf an, jede algebraische 
Funktion der Koordinaten eines Punktes in Form eines planimetrischen 
Produktes darzustellen. Diefe Aufgabe wird gelöst fein, wenn bei 
irgend einer Methode, die Zahlen räumlich darzustellen, fo wohl das 
Produkt als auch die Summe zweier räumlich dargestellter Zahlen 
durch ein planimetrisches Produkt dargestellt werden können. Das 
Entsprechende gilt für die algebraischen Oberflächen. Für den ersten 
Fall wollen wir die Entwickelung fo weit fahren, dass aus jeder 
gegebenen algebraischen Gleichung fogleich die entsprechende plani- 
metrische abgelefen werden kann. 

325. Es fei c ein einfacher Punkt, a und b feien zwei 
nicht parallele Sirecken, und x ein beliebiger einfacher Punkt 
der Ebene cab, und zwar fei x = Xia + Xab -f- c Es fei d 
= a + b + c (d. h. d fei in einem Parallelogramme , deisscn 
eine Ecke c ist, und dessen von diefer Ecke ausgehende Seiten 
mit a und b gleich lang und gleichgerichtet find, die der Ecke c 
gegenüberliegende Ecke). Wenn dann (x^) und (X2) diejenigen 
Punkte der Diagonale cd find, für welche die Gleichungen 

[c(xi)] : [cd] = Xi, [cCxj)} ; [cd] = x, 
gelten, To ist 

(xi) = [xbC], (x2) = [xaC] und [(xi)b]=[xb], [(x2)a]=xa, 
wo der Kürze wegen [cd] mit C bezeichnet ist. 

Beweis. Nach 221 isr, da die Punkte c, (xj),, d in 
gerader Linie liegen, und c(xi) ; cd = Xi : 1 fleh verhält, 

(xi) — c = Xi(d — c) = Xi(a + b), 
da (nach Hyp.) d = a + b + c war, alfo 

(xi) = Xirf -f Xjb + c, folglich 

[(xi)b] = [(xia+c)b] • [67] 

und [xb] = [(xia + x^b -f- c)b] [Hyp.] 

= [txia + c)b] [67]. 

Folglich [(xi)b] = [xb]. 



198 C»«« 

Hier ist [xb] eine gerade Linie, welche durch x mit b 
parallel gezogen ist; in diefer Linie liegt nach der letzten 
Gleichung der Punkt (xj) ; es liegt derfelbe aber nach der 
Vorausfetzung auch in der Geraden cd oder C, alfo im Durch- 
schm'tt beider, folglich ist 
(x,) = [xbC]. 

Aus gleichem Grunde ist [(x2)a] = xa und (xj) ^ [xaC]. 

326. Wenn a, b, c, d dierdbe Bedeutung wie im vorigen 
Satze haben, und p, q zwei beliebige Zahlen flnd und man, . 
ähnlich wie im vorigen Satze, unter (p), (q), (pq) diejenigen 
Punkte der geraden Linie cd versteht, für welche die Glei- 
chungen 

(a) [c(p)]:[cd]=p, [c(q)]:[cd] = q, [c(pq)]:[cd]=pq 
gelten, fo ist, wenn der Kürze wegen 

(b) [da]==A, [db] = B, [dc] = C 
gefetzt find, 

(pq) = [(p)aBc((q)b)aC] = [(p)bAc((q)a)bC] 

[(pq)a] = [(p)aBc((q)b)a] 

[(pq)b] = [(p)bAc((q)a)b]. 
Beweis. Setzt man in die dritte der Gleichungen (a) 
für p und q ihre Werlhe aus den beiden ersten ^ fo erhalt 
man die Proportion 

[c(pq)]:[c(p)] = [c(q)]:[cd]. 
Aus diefer Proportion und daraus, äass die fünf Punkte 
^7 ^9 (p)) (sOf (P4) ^^ gerader Linie liegen, folgt fogleich, 
wenn wir den Punkt (pq) der Kürze wegen mit r bezeichnen, 
dass c der Aehnlichkeitspunkt der beiden Punktvereine r, (q) 
und (p), d ist. Zieht man daher über den Grundfeiten r(q) 
und (p)d die parallelen Dreiecke r(q)e und (p)df, fo ist c 
auch Aehnlichkeitspunkt diefer Dreiecke, folglich liegen die 
entsprechenden Punkte e und f mit c in gerader Linie, wo- 
durch r gefunden werden kann. Nimmt man ins Befondere 
re und (p)f parallel mit a, und (q)e.und df parallel mit b, 
fo wird 

f=[(p)a.db] = [(p)aB], 
dd tdb] = B gefetzt war; ferner 

e = [fc-(q)b] , r = [ea-cd] = [eaC] , 



da [dc]^C gefetst war^ und endlich 

[ra] = [ea], 
was Heb alles unmittelbar ergiebig wenn man die betreffende 
Figur ^^eichnet. Setzt man in die leisten beiden Gleichungea 
die Wertke aus den beiden ersten ein, fo erhält man 

r = [(p)aBc((q)b)aC] 

[ra] = [(p)aBc((q)b)a], 
und fetzt man in der obigen Beweisführung überall b statt a 
und umgekehrt y und A statt B, fo erhält man 

r=[(p)bAc((q)a)bC] 

[rb] = [(p)bAc((q)a)b], 
und dies find, da r = (pq) ist, die zu erweifenden Glei- 
chungen. 

327. Wenn a, b, c, d, A, B, C die Bedeutung haben 
wie im vorigen Satze und p, q, ü, b beliebige Zahlen (ind, 
jedoch mit der Beschränkung, dass a + 6 von Null vorschieden 
fei, wenn forner 

'^'^ '^- a-f b 
ist, und wie vorher (p), (q), (r) diejenigen Punkte der ge- 
raden Linie [cd]^C find, welche den Gleichungen 

(b) [c(p)] : C = p , [c(q)] : C = q, [c(r)] ; C = r 
genügen, fo ist 

(r) s [(p)a((q)b)(aa - bb)C]. 
Beweis. Subslituirt man in der Gleichung ap -f ^ = 
(a + b)r statt p, q, r ihre Werihe aus b, fo erhält man 

(a + b)[c(r)] = a[c(p)] + b[c(q)], 
oder, da alles in derfelben geraden Linie liegt, 

^ (a + b)((r)— c) = a((p) - c) + b((q)— c) [222], 
alfo 

* U + b)(r) = a(p) + b(q), 
d. h. (r) ist der Schwerpunkt zwischen den vielfachen Punkten 
a(f) und b(q). Zieht man nun von (q) die Parallele mit fi^ 
und von (p) die Parallele mit a, welche fich in e schneiden, 
und ebenfo von d und c die Parallelen mit b und a, welche 
Pich in f schneiden, fo Tind die Dreiecke dfc vnd (q}e(p} 
parallel^ und alfo ähnlich, und es ist dann d— f=b und 



200 (»«« 

f — c = a. Wenn alfo (q) — e = m(d — f) ist, wo m eine 
Zahl bedeutet, fo ist e — (p) = m(f— c), d. h. es ist dann 
(q) — e = mb, e— (p) = ma. Ferner, wenn man zu der 
obigen Gleichung (*) auf beiden Seiten — (a + h)e hinzufügt, 
fo erhält man 
(a + b)((r) — e) = a((p) — e) + K(q) - e) = - maa + mbb 
= — in(aa — bb). 
Multiplicirt man beide Seiten planimelrisch mit e, fo er- 
hält man (nach 67) 

(a + b)[e(r)] = - m[e(aa — bb)] , alfo 

[e(r)] = [e(aa~bb)] [2], 

d. h. (r) liegt in der geraden Linie [e(aa — bb)] , aber (nach 
der Annahme) auch in der geraden Linie C, alfo im Durch- 
schnitt beider Linien, d. h. 

(r) = [e(aa-bb)C]. 
Nun ist aber nach der angegebenen Konstruktion e der 
Durchschnitt der geraden Linie [(p)a] und [(q}b], alfo e^ 
[(p)a.(q)b], folglich 

(r) = [(p)a((q)b)(aa -bb)C]. 
Anm. Wenn auf die angegebene Weife die Zahlen durch Punkte 
der geraden Linie cd dargestellt find, fo lässt fleh nach den beiden 
vorigen Sätzen fowohl die Summe als auch das Produkt zweier Zahlen, 
alfo auch jede beliebige ganze Funktion von Zahlen durch ein pla- 
nimctrischcs Produkt darstellen, welches aus den Pausten a, b, c, 
d und aus den die gegebenen Zahlen darstellenden Punkten zufammen- 
gefetat ist. Hiermit wäre schon der Satz bewiefen, dass jede algebrai- 
sche Kurve in der Ebene fich durch ein gleich Null gefetztes plani- 
metrisches Produkt darstellen lässt. Doch foll im Folgenden noch 
gezeigt werden , wie man unmittelbar aus der gegebenen algebraischen 
Gleichung der Kurve jenes planimetrische Produkt herleiten kann. 

328. Wenn a und b Strecken flnd, c ein efnfacher 
Punkt und d = a + b + c, A = [da], B = [db], C=[dc], 
x=:Xia + X2b -f c ist, fo ist die Gleichung 

f (xi, Xa) = ax»x; + bxPxJ + tx\x\ H -f fx^x7=0, 

in welcher die Summe der Koeffieienten von null verschieden 
ist, für alle endlich entfernten Punkte x, gleichbedeutend der 
Gleichung 

[Pc] = 0, 
wo 9 wenn die Glieder von f(X|y Xj) fo geordnet find, dass 



1 



die Summen a + B, a + ^ + (»*** <dl9 von Null Yerschie- 
den find| ' 

(a) P ^ [LLiaiCaL2a2CaL8a3Ca LkSk] 

(b) ai=aa — bb, a2=(a+b)tt— cb, ak=(a+b-f-** +i)a— Ib 

(c) L = [xbSR'^Cagfl^-i] 

(d) Li = [xaSJPCb»«-^], L, = [xaSR'.CbSl-^] ,. • • 

LkS[xa3llCb3l^~i] 
ist, und 9t die Reilie der fortschreitenden Faktoren A, c, xa, 
b und 9ti die Reibe der fortschreitenden Faktoren B, c, xb, a 
bezeichnet, fo dass alfo für jede Linie X, 

(e) [Xgi] = [XAc(xa)b], [XStJ = [XBc(xb>] ist. 
Beweis. Bezeichnen wir, wenn p eine beliebige Zahl 

ist, mit (p) denjenigen Punkt der Linie cd, flir welchen 

* [c(p)]:[cd]=:p 
ist, fo erbalten wir (nach 323) 

** [(xi)bl = [xb], [(x,)a] = [x«], 
und (nach 324), wenn p eine beliebige Zahl ist, 

[(pxöb] = [(p)bAc((xOa)b] = [(p)bAc(xa)b] [**] 

= [iv)m [e]. 

Tritt zu px2 noch ein Faktor x^ hinzu, fo tritt zu (p)b9l 
noch einmal die Faktorreihe 9t hinzu u. f» w., alfo ist 

*** [(px;)-b]^[(p)b3n; 
und ebenfo erhält man, indem man Xj und b mit Xi und a, 
alfo fft mit % vertauscht, 

**** [(px?)a] = [(p)a3l?], 
Alfo wenn p = Xi ist, alfo [(p)b] s [(xi)b] s [xb] (nach *), 
fo wird 

[(x,x!:)-b] = [xb9n. 
Indem wir diefen Ausdruck mit C multipliciren , erhalten 
wir den Funkt (xix;), d. h. 
[(xix;)] = [xb3l-C]. 
Fahrt man daher XiX^ statt p in die Formel ^^^ ein, in- 
dem man zugleich m — 1 statt n fetzt, fo erhält man 

[(xf x;) . a] = [xbSl'^CaSR^-i] = L f c]. 

Ebenfo findet man 

[(xPx«^).a] = [xbSfl<iCa3lP-*] , 
oder, indem man a mit b, alfo auch x^ mit Xj, p mit q, 9t 
mit 9ti umwechfelt, 

13* 



802 (»•• 

[(x?xO-b] s [xaSftPCb^l«-^] s L^, 
und ebenro 

[(x',xO-b] = L, 
[(xIx7).b] = Lk. 
Um nun den Ausdruck für (axf x; + tx^x^) : (a + B) zu 
finden, bat man nur in 325 x!^x; und x^x^ statt p und q und 
alfo L und L^ statt (p)a und (q}b zu fetzen, und erhält 
((axf xj + bxPx^) : (a + b)) = [LLi(aa - bb)C] 

= [LLi8iC] [b]. 

Um ferner den Ausdruck für (ax^xj + bx^xj + cx^x») 
: (a + ^ + c) zu finden, hat man nur in 325 den Ausdruck 
(ttix^^x; + bxfx?) ; (d + fc) statt p, und x^x» statt q, und alfo 
Li statt {q)b und zugleich a + h statt a, und c statt b zu 
fetzen, und erhält 

((öxf x; + bxfx; + cx'.x«) . (a + 6 + 0) = [LLACaL^ajC], 
da (a + V)9t — cb = a2 gefetzt war u. f. f.; endlich 
((axf x; + fepx? + cx'.x; + • • • + fxix7) : (a+b+c+ • • • +0 

^ [LLiaiCaLja^C L^akC] 

^[PC] [a]. 

Alfo 
(f(xi, x,):(a + fc + c + .-f)) = [PC]. 

Ist nun f(xi, X2)=0, fo hat man (0) = [PC]. Aber 
(nach *) ist [c(0)] ; [cd] = 0, alfo der Dividend [c(0)] gleich 
Null, d. h. der Punkt (0) fällt mit c zufammen, fomit erhalten 
wir dann c ^ [PC] , d. h. c ist der Durchschnittspunkt der ge- 
raden Linie P und C ; er liegt alfo auch in P, d. h. (nach 293) 
[Pc] = 0. 
Umgekehrt, wenn diefe letzte Gleichung erfüllt wird, fo 
liegt c in P, aber (nach Hypothefls) auch in C, aKo ist c^ 

[PC], d. h. der zu der Zahl f(xi, Xj) : (a + b -] ) gehörige 

Punkt liegt in c, d. h. jene Zahl ist null, alfo ihr Zähler 
flCxi, X2) = 0. 

329. Wenn alle übrigen Yorausfetzungen dos vorigen 
Satzes bestehen bleiben, aber jetzt angenommen wird, dass 

die Summe der Koefficienten (a + b H f- »»uIl fei, fo 

ist die Gleichung 

f(X|, x,) = 0, 



»»•) MS 

gleichbedeutend der Gleichung 

[LLiaiCaLsajCa Lk-iak-iLkC] = 0, 

wo die einzelnen Buchstaben dierelbe Bedeutung haben, wie 
im vorigen Satze, und die Glieder in f(xi, x^) auch hier fo 
geordnet find, dass die Summen a + 1^9 a + b + c,*-* alle, 
mit Ausnahme der letzten (a + b + c + • • -+ f), von Null 
verschieden find. 

Beweis. Man kann durch Divifion mit dem Koeßicienten 
des letzten Gliedes die Gleichung fCx^, X2) = auf die Form 
bringen, dass der Koefficient (f) des letzten Gliedes 1 wird; 
dann ist die Summe der übrigen Koefficienten — 1. Es fei 
das letzte Glied — h und die Summe der übrigen fei g, fo 
ist die Gleichung f(xx, X2) = gleichbedeutend der Gleichung 
g — hs=0, oder 

? = h. 
Dann ist nach der Entwickelung des vorigen Satzes 

(g)^ [LLiaiCaLjajCa- • • 'Lk-iak-iC] 

(h) = [LkC]. 
Da nun g = h ist, fo find auch die Punkte (g) und (h) 
kongruent, alfo ^ 

[LLiaiCaLaasCa- • • -Lk-iak^iC] ^ [LkC]. 
Diefe Kongruenz fagt aus , dass der durch die linke Seite 
dargestellte Punkt in dem Durchschnitte der Linien Lk und 
C liege, alfo namentlich auch in Lk liege, d. h. (nach 293) 

[LLiaiCaLsaaCa* • -Lk-iak-iCLk] = 
fei. Hier kann man (nach 315) auch die beiden letzten Fak- 
toren vertauschen, wodurch die zu erweifende Gleichung her- 
vorgeht; umgekehrt folgt aus diefer letzten Gleichung wieder 
g = h, alfo f(Xi, Xa)=0. 

A n m. Es ist leicht zu erfehen , dass man in den vorliergehenden 
Sätzen, statt a und b als Strecken und c als einfachen Punkt anzu- 
nehmen, auch allgemeiner a, b und c als drei beliebige, nicht in 
Einer geraden Linie liegende Punkte hätte annehmen können, wo- 
bei dann die Bedingung, dass x ein endlich entfernter Punkt fein 
foUte, erfetzt wird durch die andere, dass x nicht in der geraden 
Linie ab liege. Der Grund für die Zulässigkeit diefer Verallgemeine- 
rung liegt darin , dass (nach 110) die Gefetze der auf ein Hauptgebiet 
bezüglichen Multiplikation alle unverändert bestehen bleiben, wenn 
man statt der ursprünglichen Einheiten a, b, c drei andere aus ihnen 



204 C»^ 

numerisch ableitbare wählt, wobei die dort avIgeflihH» Bediagang, 
dass das kombinatorische Produkt jener fowohl als diefer Einheiten 
1 fei , hier, wo es nur auf die Kongruenz ankommt , wegfällt. Betrachtet 
man die Formen der Gleichungen in 328, fo zeigt fich leicht, dass 
die planimetrisehe Gleichung [Pc] = in Bezug auf x vom fo viclten 
Grade ist, als die Summe aller Exponenten in der algebraischen 
Gleichung f = beträgt; denn die Faktorenreihen 91 enthielten den 
Funkt X nur je einmal , und die Grössen L waren daher mit den Glie- 
dern der Funktion f nach der Reihe von gleichem Grade. Das Pro- 
dukt [Pc] , welches jede diefer Grössen L einmal als Faktor enthält, 
und ausserdem nur konstante Faktoren, ist daher in Bezug auf x 
vom fo vielten Grade, als die Summe der Gradzahlen aller Glieder 
von f beträgt, alfo, fobald f mehr als ein variables Glied enthält, 
von höherem Grade als £ Es fei n der Grad der Funktion f , und 
n +p der Grad des Produktes [Pc]. Da nun die Gleichungen [Pc] =0 
und f=0 (nach 328) für alle Punkte x, die nicht in der (unendlich 
entfernten) Geraden ab liegen, ganz* gleichbedeutend find, fo kann 
die Differenz des (jrades nur darin liegen, dass die Gleichung [Pc] =0 
noch p Linien darstellt, welche in ab lallen. Um diefe Verhältnisse 
genauer zu überschauen, führe ich statt x den Punkt y ein, und 
fetze y=5ua-f'''^b-{-wc, wo u, v, w Zahlen find, und fetze die ur- 

u V 

sprtlDgUchen Koordinaten von x beziehlich gleich — und — . Dann 

wird y = xw, alfo y^x, falls nicht w null ist. Diefer Fall, wo w 
= ist, ist aber derfelbe, wo y = ua-j-vb, d. h. y ein Punkt der 
Linie ab ist, alfo derfelbe, welcher in 328 ausgeschlossen war. In 
allen dort zugelassenen Fällen wird alfo das Produkt, welches aus 
[Pc] hervorgeht, indem man hierin y statt x fetzt, und welches ich 
mit Q bezeichnen will, mit [Pc] kongruent (nach 313). Multiplicirt 
man die Funktion n-ten Grades f mit w», fo geht aus f , da die darin 

enthaltenen Variabein — und — waren , eine homogene Funktion 

Tt W 

a-ten Grades hervor, welche ich mit F bezeichnen will, und welche 
für diefelben Fälle null wird, für welche f null wurde. Alfo ist für 
den Fall, dass y nicht in ab liegt, d. h. w nicht null ist, die Glei- 
chung Q = gleichbedeutend mit der Gleichung F = 0. Da aber die 
crstere vom n + p-ten, die letztere vom n-ten Grade ist, fo muss die 
Gleichung Q = in allen Fällen der Gleichung wP F = gleichbedeu- 
tend fein, alfo 

Q^wPF^[aby]PF, 
letzteres, weil aus y = ua -}- vb -f- wc folgt w ^ [aby]. Es muss alfo 
Q durch [aby]P theilbar fein. Es käme daher darauf an , das 
planimetrisehe Produkt Q in ein kongruentes Produkt zu ver- 
wandeln, welches von diefen Faktoren [aby] befreit fei. Allein 



••1) 205 

da diefe Redaktion, wenn fie überiiaupt ausführbar ist, in der 
Regel auf grosse Schwierigkeiten stösst, fo ist es zweckmässig, 
zuerst die algebraische Gleichung durch Veränderung des Koordinaten- 
fystemes fo umzugestalten, dass fie möglichst wenig variable Glieder 
enthält , ehe man zur Ableitung der planimetrischen Formel schreitet. 
So z. B. läast fich die Gleichung dritten Grades auf die Form pqr 
zsms' bringen, wo p, q, r, s lineare Funktionen der Koordinaten' 
find, und m eine konstante Zahl bezeichnet. Verlegt man dann durch 
Projektion die gerade Linie , deren Gleichung s = ist , ins Unendliche, 
fo wird die Gleichung 

pqr = m, 
welche nach den obigen Regeln umgewandelt, eine geometrische Glei- 
chung dritten Grades liefert von der Form 

[xaBc(xb)aCdEfx]=0, 
und welche bei jeder Projektion bestehen bleibt, alfo auch, wenn man 
der ins Unendliche verlegten Linie durch Projektion wieder die ur- 
sprüngliche Lage giebt. Es hat keine Schwierigkeit, die hier entwickel- 
ten Principien auch auf die Oberflächen im Ranme zu übertragen; 
doch muss ich, um hier nicht zu weitläuftig zu werden, auf meine 
Abhandlungen in Crelle's Journal, namentlich auf Band 49, pag. 1 
u. f. verweifen. 

§. 7. Innere Hnltiplikation in der Geometrie. 

330. Erklärung. Für die innere Multiplikation nehme 
ich als ursprüngliche Einheiten im Räume stets drei zu ein- 
ander renkrechte und gleich lange Strecken (e^, e2, e3), in 
der Ebene deren zwei (e^ und 02) an, und zwar nehme ich 
die Längen diefer Slrecken als Einheit der Längen an, und 
[^16263] und in der Ebene [eiCj] als Einheit der Körper* oder 
Flächenräume. 

Anm. Hierdurch find alfo alle von dem Begriffe der inneren 
Multiplikation abhängigen Erklärungen und Sätze (No. 137-215) auch 
auf die Geometrie übertragen. 

331. Für die Ebene fällt der Begriff der Länge mit 
dem des numerischen Werthes, der Begriff des Senkrechten 
mit dem des Normalen, und der Begriff der Drohung um den 
Winkel a mit dem der circulären Aonderung um den Winkel 
a zurammen, wobei der Winkel als polltiv anzunehmen ist, 
wenn Tein zweiter Schenkel vom ersten aus nach derfelben 
Seite liegt, wie die zweite Einheit (oj) von der ersten (ei) 
aus. 



206 1881 

Beweis 1. Alle im Satze genannten analytischen Begriffe 
(normal, numerischer Werth, circuläre Aenderung) find (in 
151 — 154) an den Begriff des inneren Produktes, und diefer 
wiederum (nach 137) an den der Ergänzung (89 und 90). 
Die Ergänzung von a war mit |a bezeichnet. Ich zeige daher 
zuerst, dass wenn a==Xiei -f XjCj eine beliebige Strecke der 
Ebene ist, dann |a gegen a fenkrecht und mit a gleich lang 
ist, und von a aus nach derrelben Seile liegt, wie 02 von e^. 
Es fei AB mit x^Ci gleich lang und gleichgerichtet, BC mit 
X2e3, AD mit Xi|ei, und DE mit Xslcj. Nach 89 ist |ei = e3, 
und |e2 == — Ci , alfo AD = Xie2 , DE = — XjCi. Da nun 
(nach 330) e^ und 02 gleich lang find', fo ist auch Xie2 mit 
x^Ci gleich lang, d. h. AD mit AB, und ebenfo — XjCi mit 
XaC] gleich lang, d. h. DE mit BC. Da ferner (nach 330) 
e2 zu Ol fenkrecht ist, fo ist auch X2e2 zu x^Ci fenkrecht und 
XjCi zu Xie2, d. h. BC zu AB und DE zu AD, folglich find 
die Dreiecke ABC und ADE kongruent (durch 2 Seiten und 
den eingeschlossenen Winkel), alfo AC gleich lang mit AE. 
Ferner liegt aber auch Cj von e^ aus nach derfelben Seite, 
wie — Ol von 02 aus, alfo auch BC von AB aus nach derfelben 
Seite, wie DE von AD aus, d. h. die Winkel BAC und DAE 
find auch dem Zeichen nach gleich. Nun ist ^CAE = ^CAD 
+ DAE = -^CAD + BAC (wie oben gezeigt) = ^BAD, d. h. 
AE steht fenkrecht auf AC, und zwar nach derfelben Seite 
hin, wie AD von AB aus, alfo auch wie Cj von Ci aus. Es 
ist aber (nach 220) AC mit XiCi + X2<^2 > <)• h. mit a gleich 
lang und gleichgerichtet, und AE mit Xijei + X2|e2, d. h. mit 
|a (nach 101). Alfo ist |a mit a gleich lang, und steht auf 
a fenkrecht nach derfelben Seite hin wie 62 auf ej. 

2. Numerischer Werth von a ist (nach 151) die pofitive 
Quadratwurzel aus [a|a], wobei (nach 89) das Produkt [eie2] 
als Einheit gefetzt ist. Nun ist [a|a] (nach 254) einem Paral- 
lelogramme gleich (auch dem Zeichen nach), dessen erste 
Seite mit a, und dessen zweite mit |a gleich lang und gleich- 
gerichtet ist; dies Parallelogramm ist (nach Beweis 1) eia 
Quadrat, welches dem (nach 330) als Einheit angenommenen 
Quadrate [eie2] gleicbbezeichnet ist, ist nun die Länge von 



»••> 207 

« (ei als LftDgenemlieit genommen) gleich a, fo ist der Inhalt 
des Quadrates über a gleich a^, und die paHtive Quadratwurzel 

daraus a, d. h. F[<^|a] =<<9 d« h- d^f numeriche Werth gleich 
der Lflnge. 

3. Nach 152 heissen zwei Strecken a und b normal zu 
einander, wenn [a|b]=0 ist, d. h. (nach 254) wenn a mit 
|b parallel ist; nun ist (nach Beweis 1) |b Tenkrecht auf b, 
alfo auch das mit |b parallele a fenkrecht auf b; ebenfo folgt 
umgekehrt, dass wenn a auf b fenkrecht ist, a mit |b parallel 
ist, alfo [a|b] gleich null, alfo a zu b normal ist. Der Begriff 
des Senkrechten fällt alfo (in der Ebene) mit dem des Nor- 
malen znfammen. 

4. Wenn a und b einander numerisch gleich und zu ein- 
ander normal (ind, und fich a in a' = acos.a4- bfin.a, und 
b in b'=:bcos.a— alin.a verwandelt bat, fo hiess das (nach 
154), der Verein der Strecken a und b habe fich von a nach 
b hin circulär um den Winkel a geändert. Es fei AF mit a 
und AG roitb gleich lang und gleichgerichtet, alfo, da a und 
b einander numerisch gleich und zu einander normal find, fo 
ist (nach Beweis 1) AG mit AF gleich lang und auf AF fenk- 
recht; man trage an AF und an AG nach derfelben Seite hin 
den Winkel a an, und mache die zweiten Schenkel AC und 
AE gleich lang mit AF; fftlle von C das Loth OB auf AF 
und von E das Loth ED auf AG, fo ist AB mit acos.a, BC 
mit bfin.a, AD mit bcos.a, DE mit — afin.a gleich lang 
und gleichgerichtet, alfo (nach 220) AC mit acos.a -f bfin.a, 
d. h. mit a', und AE mit bcos.a — afin.a, d. h. mit b' gleich 
lang und gleichgerichtet; a' und b' gehen aber nach der Kon- 
struktion aus a und b durch Drehung um den Winkel a her- 
vor; folglich fallt der Begriff der Drehung um den Winkel a 
mit dem der circulftren Aenderung um diefon Winkel zu- 
fammen, 

Anm. Diefelbe Schlussreihe ist alfo für jede Ebene anwendbar, 
in welcher zwei Strecken a und b enthalten find, für welche diefelben 
Voraasfetzungen gemacht find, wie für e^ und 62. 

332. Das Normalfystem im Räume ist identisch mit dem 
Verein von drei gegeneinander fenkrechten und gleich langen 



206 €••» 

Strecken, und zwar ist die Länge diefer Stredten gleich den^ 
numerischen Werthe des Normalfystems. 

Beweis 1. Das System der ursprünglichen Einheiten 
eij Bij es bildet (nach 162) ein einfaches NormaUystem, und 
eij Cs, es flnd (nach 330) auf einander fenkrecht und von 
der Länge der Einheit. Jedes andere einfache Normalfystem 
von drei Strecken lässt fleh (nach 161) aus jenem Noramlfy- 
stem durch circuläre Aenderung ableiten. Hat man nun ein 
einfaches Normalfystem a, b, c, in welchem a, b, c aufein- 
ander fenkrecht und von der Länge eins find, fo besteht die 
circuläre Aenderung darin, dass irgend zwei derfelben, z. B. 
a und b fleh um einen in der Ebene ab liegenden Winkel a 
ändern; nun haben wir in 331 (vergl. Anm.) gezeigt, dass 
die dadurch hervorgehenden Strecken a' und b' wieder auf 
einander fenkrecht stehen , und die Länge 1 haben ; aber auch 
c steht auf ihnen fenkrecht, denn da nach der Annahme c 
auf a und b fenkrecht steht, fo steht c auch auf allen Linien 
der Ebene ab, alfo auch auf a' und b' fenkrecht; d. h. aus 
einem Normalfystem, dessen drei Strecken auf einander fenk- 
recht stehen, und von der Länge der Einheit flnd, geht durch 
einfache circuläre Aenderung wieder ein Normalfystem von 
derfelben Art hervor, alfo auch durch wiederholte circuläre 
Aenderung. Alfo geht namentlich aus dem Normalfystem e^, 
0), Ca durch beliebig circuläre Aenderung stets ein Verein 
von drei Strecken hervor, welche auf einander fenkrecht, und 
von der Länge der Einheit flnd, d. h. jedes einfache Normal- 
fystem besteht aus folchen drei Strecken. 

2. Umgekehrt ist zu zeigen, dass wenn a, b, c irgend 
drei zu einander fenkrechte Strecken von der Länge 1 find, 
fie ein Normalfystem bilden. Nach 160 kann man stets ein 
einfaches Normalfystem von drei Strecken finden, dessen eine 
die Richtung von c hat, dann muss (nach Beweis 1) die Länge 
1 fein, und alfo die Strecke, welche die Richtung von c bat, 
auch mit c gleich lang, alfo überhaupt gleich fein, die beiden 
andern mögen a' und b' fein, fo ist (nach Beweis 1) c fenk- 
recht auf a' und b', aber auch (nach Annahme) auf a und b, 
alfo liegen a', b', a, b in Einer Ebene. Alfo kann man wiederum 



•M) S09 

(nach 160) ein einfoches Nof'malfyileoi au» zwei Strecken 

diefer Ebene Hnden, von d^en die eine Strecke gleich b ist, 

die andere fei a'', fo ist a"» da es in der Bbene ab liegt, 

fenkreckt auf c, aber (nach Beweis J) auch fenkrecht auf b 

und von der Lange 1 , alfo ist a'' fenkrecht auf der Ebene bo, . 

aber auch a fenkrecht darauf und von der Länge 1, alfo ist 

a" entweder = a, oder = — a, da nun a", b, c ein einfaches 

Normalfystem bilden, fo bilden in beiden Fällen auch ä, b, e 

ein folches. 

3. Hat man nun ein beliebiges Normairystem a, b, c von 

& b c 
dem numertechen W^th n, fo bilden — , — , — ein #infa- 

n n ' n 

chos Normairystem, find alfo (nach Beweis 1) zu einander 

fenkrecht und von der Länge J, alfo find a, b, c auch zu 

einander fenkrecht und von der Länge n; und ebenfo folgt 

umgekehrt, dass wenn a^ b, c zu einander fenkrecht und 

a b c 
von der Länge n find, daim — , — , — » ein einfaches Nor- 
® ' n ' n ' n 

malfystem, und a, b, c ein Normalfyslem von der Länge 

n bilden. 

333. Auch für den Raum fällt der BegriiT der Länge 
mit dem des numerischen Werthes, und der des Senkrechten 
mit dem des Normalen zufammen. 

Beweis in 332. 

334. Der numerische Werth eines Produktes P zweier 
Sirecken p und q ist gleich dem Flächeninhalte des Parallelo- 
gramms, in welchem zwei anernanderslossende Seiten jenen 
Strecken parallel Tind, vorausgefetzt, dass diefer Inhalt pofitiv, 
und das Quadrat der Längeneinheit als Flächeneinheit ange- 
nommen wird. 

Beweis. Es fei ein einfaches Normalfystem dreier 
Stredsen a, b, <; angenommen, von der Art, dass a und b 
derfelben Ebene parallel find, welcher p und q parallel find, 
und dass [abc] = + 1 ist, fo find (nach 230) p und q aus a 
und b numerisch ableitbar, alfo auch (nach 36) P = [pq] aus 
[ab], und fei P = a[ab]. Nun ist der numerische Werth von 

P (nach 151) = V^f\ = aFi^bp] ; aber (nach 137) ist |[ab] 

14 



210 €••» 



= c, alfo 'p[P|P] = a[Äbc] = a. Da aberP = a[ab] ist, uird 
[ab] Quadrat der Lfingeneinheit, alfo als PlSdieneinheit zu fetzen 
ist, fo ist der Inhalt von P, d. h. der Inhält des Parallelo- 
gramms, dessen erste Seite p, und dessen zweite q ist, gleich 
e, d. h. gleich dem numerischen Werth« von P. 

335. Die Ergänzung einer Strecke ist diejenige Fläche, 
deren Ebene auf jener Strecke fenkrecht, deren numerischer 
Werth gleich dem jener Strecke , und deren pcfitiver Sinn fo 
bestimmt ist, dass das äussere Produkt der Strecke und Fläche 
pofitiv ist. 

beweis. Es feiaa die Strecke, und fei der numerische 
Werth von a gleich i, alfo der von aa gleich a, und fei ein 
Normalfystem a, b, c angenommen, und zwar von der Art, 
dass [abc]=±-f 1 ist, fo ist (nach 167) Ia = [bc], alfo (nach 
90) |aa = a[bc], aber a[bc] ist eine Fläche von der im Satze 
angegebenen BeschaflTenheit. ^ 

336. Wenn A die Ergänzung voa einer Strecke a ist, 
fo ist auch a die Ergänzung von A, oder 

||a = a. ■-• • • 

Beweis. Nach 92 ist ||A = (— 1)mA, wo p die Slufen- 
zahl von A, und q die der Ergänzung ist. In unferm Falle 
find diefe Stufenzahlen 1 und 2, alfo 
||a = (-~l)2a = 'a. 
Anm. Der Satz gilt nicht in entsprechender Woife für die Pla- 
nimetrie, wo mcbt mehr %l8 zwei za einander X«nkrechte Sirecken an- 
genommen werden können. Vielmehr ist. in der Planimetrie j|a^ — o» 

337. Wenn a und b Strecken find, fo ist ^ab gleieli 
dem Winkel, dessen Schenkel ndit a un4 b glejchgericbtel 
Gnd, und wenn A und B Flächen (Streekenprodukte) Rn^ 
fo ist "^AB gleich dem Neigungs- Winkel, den zwei mit jenen 
Flächen parallele und gleichbezeichnete Ebenen mit einander 
bilden, vorausgefetzt, dass die Winkel. stet« pofitiv («wischeki 
und n liegend) angenommen werden. 

Anm. Wenn man im zweiten Falle A und B in Form von Becht: 
ecken darstellt, deren erste Seite dicfelbe ist, £o ist der Winkel, den 
die zweiten Seiten diefer Rechtecke .einschliessen, der Neigungswin- 
kel, den die mit A und B parallelen und* gleichbezeichneten Ebenen 
pkii einaader bilden. . ^ 



••fj 211 

Beweis 1. Der Winkel ist vto den numomchen Wer- 
then der den Winkel bildenden Grössen unabhängig, wir kön- 
nen daher die numerischen Werthe von a, b, A, B gleich 1 
Tetzen, in dierem Falle ist (nach 195) 

COS. ^ab = [a|b], cos. ^ AB == [A|B]. 
Ferner gebt dann^ wenn der Winkel von a nach b hin gleich 
a ist (nach 154, 331) b aus a durch circuldre Aenderung um 
den Winkel a hervor, d. h. es ist, wenn a' in der Ebene ab 
gegen a Tenkrecht ist, und nach der Seite von b hin liegt, 

b = acos.a -f a'fin.a, 
alfo 

[a|b]=[a|(a cos. a +a'fin. a)]=[a|a] cos. a+ [ajal fin. a, 
aber da a' gegen a normal ist, fo ist [a|a'] = 0, und da der 
numerische Werth von a gleich Eins ist, fo wird der zuletzt 
gefundene Ausdruck 

=:rCOS.IE. 

Allb eos /^ab;=:cos<a. Nun liegt (nach 195) ^ab zwischen 
lind n^ aber nacb Vorausfetzung auch a, al(b ^ab = a. 

.2. Es £»en A und B beziehlieii . die Ergänzungen rmk 
ti und b^ alfo A;=s|a, und B = |b, fo {lad (nach 335) a 
jind 1^. betiehlich atif A und B ftekrecht und nach derfelben 
Seite hin liegend, alfo ist der Neigungswinkel a zwischen A 
und B gleich dem Winkel zwischen a und b, d. h. (nach Be- 
weis 1) cos.a=9COS.^ab=[a|b]=3 |[ft|b] (nach 89), da [a|b] 
(nach 141) eine Zahl ist; Jiber |[a|b] = [|a||b] (nach 99), und 
dies wieder (nach der Annahme) =[A|B] :^cos.^AB; alfo 

co$!.a'=sco6.'^AB* 

Anm. Der Begriff des Nonaalen Ifkist fich zwar auf Grössen jeder 
Art, alfo auch auf Punkte anwenden. Namentlich muss man, um alle 
Grössen im Räume ableiten zu können, ausser den drei zu einander 
fenkrechten Strecken von der Länge 1, die wir als ursprüngliche Ein- 
heiten- fetzten, noch einen yierten endlich entfernten Punkt als yierte 
Einheit annehmen. So wtlrde man zu vier ursprünglichen Einheiten 
a, b, c, d gelangen, von ^^nen. etwa die drei letzten drei zu ein- 
lade? feakrechte Strecken ron der Länge 1 find, und die erste ein 
einliacher Punkt ist. Auf diefen Verein würde man den Begriff des 
Normalen' anwenden können. Nimmt man statt dessen einen andern 
Verein a', b, c, d, worin a' einen von a verffchiedenen einfachen 
BunkHi bisieidinet, als! das System der ursprtngliobe» Einh^ten an, 



212 

fo leuchtet ein , cIms e und a* didfelbe SrgtnsaDg [bcd] liaben, da 
(Bach 268) [abcd] ^ [a'bcd] ist, ^iid ebenXo, dass [a'b] imd [ab] die^ 
fei be Ergänzung c, und [a'bc] und [abc] diefelbe Ergänzung d haben, 
und überhaupt , dass die Ergänzung von Punkten , Linientheilen, Flä- 
chentheilen unabhängig ist von der Lage des als ursprüngliche Einheit 
angenommenen Punktes. Hingegen ist dies nickt mehr der Fall bei 
der Ergänzung von 3tr?fsken oder Btrecfcenprodukten* So z. B. virilrdc 
die Ergänzung von [bcd] bei der ersten Annahme gleich — a, bei der 
zweiten gleich — a' fein. Und fo würde alfo der Begriff der Ergän- 
zung von Strecken und Streckenprodükten keinen von der Lage der 
ursprünglichen Einheiten onabhängigen Sinn m.ehr haben. Da bei der 
normalen Zurückleitung (164) atif Punkte, Linien und Ebenen nur 
die erste Art der Ergänzung hervortritt , fo können wir diefe ZurlLciK- 
leitung unmittelbar auf die Geometrie übertragen. Sie liefert hier, 
wie oben (164) angedeutet wurde , die fenkrechte Projektion ^ was ich 
hier jedoch nicht weiter darlegen will, üeberhaupt werde ich den 
Begriff der Ergänzung nur in dem im Texte gegebenen Sinne anwenden. 

338. Die Formel 

(a + b)* = a* + 2[a|b]+ b'=«2-f 2a/? cos. ^ab + ß\ 
wo a und ß die Lftngen von a und b find, stellt die Enrei- 
terung des pythagareisehen Satzes dar, nUmtich: das Quiidrat 
der Gpondfeite eines Dteiecks ist gleich ier Suiinie de^ Qua- 
drate dar Scheiikelleiten und des doppelten Produktes der 
Schenkelfeiten in den cos. des Aussenwinkels an der Spitee. 

339. Die Formel 
(a + b + c)^ 

— a' + b' + c« + 2tb|c] + 2[c|a] + ^[ajb] 
= a^ + /J» + y» + 2i?y COS. ^bc 

4- 2yftcos.^ca + 2a/? cos. ^ab, 

wo a, /?, y die Längen der Strecken a, b, c^Hndv stellt die 

Erweiterung jenes Satzes für den Raum dar. 

340. Die Formel 
(A + B + C)^ 

=A^ +B^ + C-' -f 2[B|C] + 2[C|A] +2[AIB] 
=« a» + j8^ + y^ 4- 2/Jycos. ^BC 

+ 2yacos.-^CA -f 2a/?cos.-^AB, 
wo a, ß, Y die Flächeninhalte der Flächenräume A, B, C 
und ^BC u. r. w. die Neigungswinkel ihrer Ebenen Hnd» 
stellt den Satz dar: 

Das Quadrat der Grundfläche eines Tetraeders iei gleich 



»3 

der Summe der Qntitnie der Seitenflächen, vermindert um 
die doppelten Produkte je zweier diefer Seitcnflftchen in den 
cofinus des von ihnen eingeschlossenen Neigungswinkels. 

Beweis. Sind a, b, c die von der Spitze nach d« 
Ecken der Grnndreite führenden Kanten ihrer Lfinge und Rieh« 
lung nach, fo find a — b, b — c, c — a die Kanten der Grund- 

flÄche. Die Grundfläche ist aKo (nach 264) === ^^^^^^iZ^l, 

während die Seitenflächen = LJ, LJ^ i_ find. Bezeich«- 
nen wir die letzteren beziehlich mit A, B, C, und die Grundfläche 
[(a — bXb ->> c)] ^.^ jj^ ^^j bedenken, dass [(a — bXb - c)] 

= [*]— [ac] — [bb] + [bc] c= [ab] + [ca] + [bcj iai, f« ha- 
ben wir 

D«A + B + C, 
aifo 

« A* -f B^ + C^ + 2[BjC] + 2[C|A] + »[A|B3 
c=«* 4- ^* + y^ + 2/Jycos.^BC 

+ 2yaco». ^CA + 2a/? cos. ^AB. 
Aber ^BC ist der Winkel zwischen den Ebenen [ca] und 
[ab], d. h. zwischen — [ac] und [ab]. Der Winkel zwischen 
[ac] und [ab] ist aber der von den entsprechenden Seitenflä- 
chen des Tetraeders eingeschlossene, und alfo der WinM 
zwischen — [ac] und [ab], d. h. xiBC, dessen Nebenwinkel, 
und dasfelbe gilt für die Winkel ^CA und ^AB. 

Anni. Man üeht aioa diefer Daralelhmg, ^ie Aeh die Aoflöfang 
des Tetraeders vermöge der Beziehung^ dass eine Seitenfläche desfel- 
ben Hell als geometrische Summe der übrigen darstellen lässt^ aof 
eine einfache Weife aus unfrer Analyfe ergeben muss. und da wie- 
derum das sph&risehe Dreieck oder die dreikantige Ecke fleh atCf ein 
Tetraedflir suarttekfQhrea lisst, in wekbem drei Kanten Radien der 
Kugel find, fo zeigt fich, wie auch die iq^rische Trigopometiae {i«ifc 
eng daraa anschliesst. Ich bemerke hier noch> dass alle Formeln 
der sphärischen Trigonometrie fymmctrischer werden, wenn man, ^wi^ 
schon oben geschehen ist, statt der Neigungswinkel der Flächen ihre 
Aussenwinkel' fetzt. Die» «eigt fleh befondem darin, dass data di6 
Winkel der Polarecke gleich dea. BtiUn dec uraprttaglichen Ecke 



«4 €•« 

w9rd«D) and amgqkebrt) und daher dann alie F<Nnneln.der splMüi- 
^chen Trigonometrie unmittelbar ihre Geltung behalten, wenn man 
Winkel und Seiten vertauscht. Es ergiebt fich unmittelbar, dass wenn 
a, b, c Strecken find, die den Kanten einer Ecke gleichgerichtet find, 
idaiin die Ergfinsungen jener Strecken, d. h. die Fl&cheBränme |a, |b, 
\c den Ebenen der Polarecke parallel Tiad. Die weiteie Entwickelang 
dieter Ideen miißs ich jedoch, um nicht zu weit von dem Ziele abzu- 
schweifen, dem Lefer überlassen. 

341. Aufgabe. Die Yielfachenrumme der Quadrate 

der Abstftnde eines variablen Punktes x von mehreren festen 

Punkten a, b,--** in einfachster Form auszudrücken, wenn 

die Koefficienten a, /},? • -jener Vielfftchenfttnune gegeben find. 

AuflöTung. Es foll demnach ein Ausdruck 

S = a(x-a)* +^(x-by +.. . 
itt< einfaohstel* Form dargestellt werden. Da x, a, b,«*« 
Punkte find, und fär fie das innere Produkt keine «infacke 
Bedeutung mehr hat, fo nehmea wir leinen ' beli^igen einfa- 
chen Punkt s zu HQlfe, und fetzen 

X — a = x — s + i? — a, X — bÄ=x^s-fs~b, 
tt. t w., wo X — s, s — a, s«— b,- • • Strecken find, fo wird 

S = a(x — s-|-s-^a)' + i8(x— s + s— bPH . 

Da nun <x — s+s — ay =(x- s)* + 2[(x — s);(s - a)] 
+ <s — a]* ist (naek 338), fo erhalten wir 

S = (a + /»+•• OCx -- sy + 2[(x •- s);(a(s ^ a) 
+ ßO^- b) + • .)]+«(«- ap + ß(s ^ b)^ 
iMier wenn wir 

fetzen 

S = <r(x-^s)* +2[(x-s)|(<m — aa-^ ßb )] 

+ ais — a)* + ßis — b)* +• • •. 
Nun können wir zwei Fälle unterscheiden, je nachdem (f null 
ist oder nicht. Nehmen wir zuerst letzteres an, fo kennen 
wir s fo wählen, dass das zweite Glied null wird, was da* 
durch erreicht wird, dass wir 

<rs = aa + /?b H , d. h. s = aa + /?b + • • • 

feUen, d. h. (nach 222) s im Schwerpunkt des Punktfystems 
M, ^b, u. f. w. annehmen. . Dann wird 

S:p=tf(x— s)V+i», 



wenil wir der Kurse wegen die konsianta Grösse 

Tetzen, d. h..: • 

^Die Vielfachonrumme S dejr Quadrate der Abstände eines 
variabeln Punktes x von mehreren konstanten Punkten •, b,- •« 
erreicht, wenn a, ßr-" die Koerficienten jener Vielfachen- 
Aimme find, und die Summe (f diefer Koefficicnten pofitiv ist, 
ihren kleinsten Werih, wenn x in den Schwerpunkt s des Funkt* 
Vereines aa, /}b-«- liegt, Wenn fich dagegen x aus dierem 
Schwerpunkt s iim den Abstand.^ entfernt, fo wächst jene 
VielfacHenfumme um das <r-fache von dem Quadrat dieftlr 
Strecke, und. ist alfo für alle Punkte auf der Oberfläche einer 
Kugel, welche s zum Mittelpunkt hat, konstant. Wird <r ne^ 
gativ, To bleibt alles dasfelboy nur dass etatt des mtnimams 
ein maximum eintritt.^ 

342. Forlfetzung. Wenn zweitem^ a -f- /? -f . . . =0 
geretzt wird, fo verwandelt fich die Formel * der vorigen 
Nummer in 

S = -2[(x-s)|(aa + i9b +...)] +«(s-ay 

Hier ist (nach 222) die Summe aa -f ßb -f • . • . eine Strecke 
von bestimmter Länge und Richtung, welche wir mitr bezeich- 
nen wollen, fo ist , 

S = - 2t(x — sOIr]'+ a(s-a)' +^(s-.b)' + . . .; 
Es fei nun angenommen, dass r nicht null ist, lind feine 
Länge gleich q ki: Um nun den Ausdruck noch weiter zu 
reduciren, nehmen wir einen Punkt s^ in der von s mit r 
parallel gezogenen geraden Linie ah, und fetzen s^ — ^^s±=zr, 
wo z eine Zahl ist , da s' — s nach der Konstruktion mit r 
parallel Ist. Dann wird 

[(x-s)lr] = [(x~s' + s'~s)|r] ' ' 

= [(x^sO[rl + [(s*-s);r]. 
Aber [(s'~s)Ir] ist gleich [zr[r] == z[rlr] , da z eine. Zahl 
ijsit, alfo =zr^ = zp*, da g der numerische Werth von r ist. 
Alfo wird [(x — s)|r] =±= [(x — sOW + z?^ und 

S zÄ -^ 2[(x — sOlr] - 2z^ v+ «(s _ ap. 



Da s' ein beliebiiror Ponkt in der gorad«« Linie sr ist, fi> 
ist z noch unbestimmt, es fei 2 fo bestimmt, dass 
a(s-a)'+/g(s-b)'+... 

'= w 

ist, fo wird 

Fillt mtn nun von x das Loth xx' auf die gerade Linie sr 
oder s'r, fo ist x — x' noroaal zu r, d. h. [(x — xO|r]=0, 
aUb 

[(X ^ sO|r] = [(x ^ X' + x'-sO|r]=[(x'-aO|r], 
alfo S = ~ 2[(x' - sO|r] = ± 2spe, 

wenn 9 die Länge von x^ -^s' ist, und das untere oder obere 
Zeicken gewählt wird, je nachdem x' -* s' mit r gleich oder 
entgegengefetzt gerichtet ist, d. h.: 

„Die Vielfachenrumme S der Quadrate der Aiistände eines 
variabeln Punktes x von mehreren festen Punkten a, b,- • wird, 
wenn a, /?,*•• die Koefficienten jener Vielfachenfumme, und 
die Summe diefer Koefficienten null ist, null für alle Punkte 
einer gewissen Ebene, welche auf der Strecke r = aa -f /^b 
-f ••* fenkrecht steht. Wenn Hch der Punkt x dagegen um 
den Abstand 9 vondiefer Ebene entfernt , fo wird jene Summe 
= — 29^ oder + 2^^, je nachdem er fich in der Richtung 
der Strecke r oder in der ihr entgegengefetzten von jener 
Ebene entfernt hat, wobei q die Länge von r ausdrückt.^ 

d&3. Schluss. Ist endlich auch r null, fo wird 
S = a(s — ay +ß{s^hy +..., 
d. h. konstant, d. h. 

yDie Vielfachenfumme S der Quadrate der Abstände eines 
variabeln Punktes x von mehreren festen Punkten a, b,-** 
ist konstant, wenn die entsprechende Vielfachenfumme der 
Punkte a, b,»«- null ist, d. h. 

cix - a)^ + ^(x — b)' H = Const., 

wenn aa + /^b -f- • • • = ist." 

Nämlich die Gleichung aa + /?b + * * • = schliesst (nach 
222) schon die Gleichung a + j} -f • • • = ein. 

344. Aufgabe. Die Vielfachenftunme S der Abstände 
eines variablen Punktes x von mehreren festen Ebenen A, 



S44) 217 

B,* • • in ^nfacbster Forin auszudrücken, wenn die Koefficien- 
ten a, /?,••• jener Yieirachenfumme geg^eben Tind, und für 
jede Ebene die Seite, nach welcher die pofitiven Abstände 
liegen follen, bestimmt ist. 

Auflöfang; Man nehme in jeder der Ebenen einen 
Fl&chenraum an, dessen numerischer Werlh 1 ist, tind welcher 
(reiner Erzeugungsweire nach) fo beschaffen ist, dass das 
äussere Produkt diefes Flächenraums mit einer Strecke, die 
nach der als poßtiv angenommenen Seite der Ebene gerichtet 
ist, ein pontives Produkt bildet. Diere Fiächenräume, aufge« 
fasst als Theile der betreifenden Ebenen, 4. h. als Grössen 
dritter Stufe (255) feien bezichlioh mit 'A^ B^ • « • bezeichnet, 
fo ist das Produkt [A'x] (nach 263) gleich dem Inhalte eines 
Spates (Parallelepipedums), dessen Grundfläche A' ist, und 
dessen Deckiäciie (der Grundfläche gegenüberliegende Fläche) 
durch den Punkt x geht, airo gleich A' mal der Höhe, oder 
da A' numerisch gleich 1 ist, gleich der Höhe, d. h. gleich 
der Entfernung des Punktes x von der Ebene A, und zwar 
auch dem Zeichen nach, i^nd ebenfo für die andere Ebene. 
Alfo ist 

S = a[A'x]+/?(B'x]-f .... 
=[(aA'+i5B'+...)x] 
= ?[Rx], 
wenn ^R die entsprechende Yielfachenfumme der Flächentheile 
A', BV"» und R numerisch gleich 1, q aber pofltiv ist. 

„Die Yielfachenfumme S der Abständen eines variablen 
Punktes x von mehreren festen Ebenen A, B,-«-- mit den 
Koefficienten a, ß,-*' steht zu dem Abstände desfelben Punk- 
tes von einer festen Ebene R in einem konstanten Ycrhält- 
niss Qtif und zwar findet man R und ^, wenn man auf den 
Ebenen A, B,-* Flächentheile A', 6',- * - annimmt, welche 
numerisch gleich 1 flnd, und mit Punkten, die auf der als 
pontiv angenommenen Seite der betreffenden Ebenen liegen, 
äusserlich multiplicirt pofitives Produkt geben, dann ist R die 
Ebene des Ftächentheiles aK' -f ßB* -{ , und q der nume- 
rische Werth diefes Fläch entheiles. Sollte jedoch diefe Summe 
eine unendlich entfernte Ebene , d. h. einen Körperraum (262) 



218 Cä^» 

geben, aifo ^R ein KörperttreH Tein, fo ist (nach 268) [^Rx] 
konstant, alfo auch die Vielfachenrumrn^ S konstant. Sollte 
endlich ahf + /JB' + • • felbst gleich null fein , fo wli^d auch 
S null für jeden Punkt x.« 

Anm. Die in den vorigen Aufgaben gefandcnen 8Stze lassen 
fich in einen Satz zufammen fassen , wenn man statt derPunkto und 
Ebenen Kugelflächen fetzt, welche Heb, wenn die Radien null wer- 
den, in Punkte, wenn Tic unendlich werden, in Ebenen verwandeln, 
und zwar, wenn man statt des Quadrates des Abstandes von einem 
Punkte und statt des einfachen Abstandes von einer Ebene , das Pro- 
dukt des kleinsten und grössten Abstandes von der Kugelflftcbe fetzt, 
fo geht dies Produkt, wenn fich die KugelflUche in einen Punkt zu- 
fammenzieht, in das Quadrat des Abstandes über, und wenn fleh die 
Kugelfläche zu einer Ebene entfaltet, fo wird der eine Abstand un- 
endlich, und kann für alle Ebenen als gleich angefehen und daher 
mit ihm dividirt werden, wodurch die einfachen Abstände hervor- 
gehen. Diefe Verallgemeinerung foll in dem folgenden Satze ausge- 
führt werden. 

349. Wenn man unter dem Doppelabstand eines 
Punktes von einer Kugelfläche das Produkt des kleinsten und 
grössten Abstandes des Punktes von der Kugelfläche versteht 
(das Produkt pofitiv genommen, wenn die Abstände gleich- 
gerichtet, d. h. der Punkt ausserhalb der Kugelfläche liegt, 
ifl3gativ im entgegenge fetzten Falle), fo ist die Vieirachenfumme 
S der Doppelabstände a% J^V " ^^'^ mehreren festen Krcifen, 
deren Mittelpunkt a, b,- •, und deren Radien a', b',- *- Hnd, 
alfo die Vielfachenfumme 

wenn a, /},*•• ihre Koefficienten darstellen^ ein minimum 
oder roaximum, wenn x in dem Schwerpunkte s des Punkt- 
Vereins aa, /?b,-*- liegt, und zwar, wenn fleh der Punkt x 
von diefem Schwerpunkte s um den Abstand jp entfernt, fo 
wächst S um das Produkt diefes Abstandes in die Summe er 
der Koefficienten a, jj,- • •, alfM um q>a oder um (a + /J -}- • •)9. 
Wenn aber der Punktverein aa, /?b,-- keinen Schwerpunkt 
hat, d. h. a + /?+*** null ist, fo giebt es eine auf der 
Strecke r = aa Hh i^h -f * * * fenkrecht stehende Ebene E , für 
deren Punkte S null ist; entfernt fich dann x von diefer Ebene 
um den Abstand 9) , fo wird S = + 2sp^, wo q der numerische 
VVerth von r ist, und das untere oder obere Zeichen gewählt 



•Ol 219 

wirdy je nachdem x fleh naeb der Seite hin bewegt , nach 
welcher von E aus die Richtung von r liegt, oder nach der 
entgegengeretzten. Wird aber auch aa + /^h -f * * == 0, fo ist 
S konstant. 

Beweis. Zieht man von x die Linie durch den Mittel- 
fiuokt a der ersten Kugel, welche die Oberfläche dcrrelben 
in Xt und X3 schneide, fo ist der Doppelabstand a' = (x — Xj) 
(x — Xj) = (x — a — a'X^ — a + aOi wenn x — Xj die Linie 
von X| nach x bezeichnet u. f. w., und a' der Radius ist. 
Alfo a' = (x — a)^ — a", oder wenn wir jetzt unter x — a 
eine Strecke von bestimmter Lftnge und Richtung verstehen, 

a' = (x-a)' — a'^ 
Alfo S = aa' + ßß' +^" 

= a[(x - a)^ - a'T + ß[(x - b)^ - b'^ +• • -. 
Nehmen wir nun einen konstanten Punkt s zu Hülfe, der zur 
Vereinfachung des Ausdrucks dienen foll, fo wird 

(x - a)* = (x — s + s — a)' 

= (X - s)^ + 2[(x- s)l(s- a)] + (s - ay 
und entsprechend bei den ttbrlgen Quadraten. Setzen wir noch 
« + /*+•••= <^, fo wird 

S = tf(x— s)^ +2[(x — s)|(<rs— aa - jJb-. .)]+A*, 
wenn wir die konstante Grösse 

«(s — ay + /J(s-b)^H aa'^-iJb'^ '=fi 

fetzen. Ist nun <f von null verschieden, fo wird der Faktor 

crs — aa — /9b =0, wenn s der Schwerpunkt des Punkl- 

vereins aa, i^b,* • wird. Nehmen wir alfo s in diefem Schwer- 
punkte liegend an, fo wird 

wodurch der erste Theil bewiefen ist. Wenn aber <r = ist, 
fo ist aa + /9b+-.. eine Strecke, diefe fei r, und q ihr 
numerischer Werth, fo wird 

S = 2[(s-x)lr]+itt. 
Leicht kann man, da S in Bezug auf x vom ersten Grade 
ist, folche Punkte x finden, für welche S null wird. Es fei 
s' ein folcher Punkt*), d. h. 



ßr 

*) Setzt man den Pankt s-f ^^p, fo ist s' ein beliebiger 

Pankt , welcher in der durck p fenkrecht gegen r gelegten Ebene liegt. 



220 C^Äil 

2[(s-s0|r]+iie = 0, 
fo wird 

S = 2[(s-s' + s'-^x)|r] + ii* = 2[(s'-x)|r] 
vermöge der vorigen Gleichung, und dies ist 

= ±2<)PP, 
wenn q der numerische Werth der renkreehten Projektian voi 
s' — X auf r ist, und dbs tiutere odw obere Zeichen gewühlt 
wird, je nachdem x-*-s' und r auf derfelben Seile der in s' 
auf r errichteten fenkrechten Etene liegen oder nicht, wo- 
durch der zweite Theil des Satzes erwiefen ist. Wenn end- 
lich auch aa + /!b -f- • =0 'St, fo wir^l 

S=itt, 
alfo konstant. ^ 

346. Aufgabe. Die Summe S mehrerer Linientheile 
im Räume auf die Summe eines Linientheiles und eines da- 
gegen fenkrechten Flächenraumes zurückzuführen. 

AuflöTung. Man nehme ein System von vier Einheiten 
im Räume: a, ai, aj, ag an, von denen a ein einfacher Punkt 
und ai, a2, as Strecken find, fo lässt fich (nach 232) jeder 
Punkt im Räume aus ihnen numerisch ableiten, alfo ist jeder 
Linientheil als Produkt zweier Punkte (nach 65) aus den mul- 
tiplikativen Kombinationen aai, aaa, aas, aiaj, aia3, BiB^ nume- 
risch ableitbar, alfo auch S, als Summe folcher Linientheile^ 
es fei 

S =ai[aai] + ce2[aa2] + a3[aa3] -f /»iKa^] +/»2[aia3] + /J3[aaa3l 
oder 

= [a((Xiai + «282 + «383)] + Akaj] + 1^2^83] + ßzl^i^zl- 
Es fei 

<h^i + (h^2 + «3a3=b, 
alfo b eine Strecke, und ftlaiaa] +/?2[a.a3] +^[8283] ist als 
Summo von Produkten von je zwei Strecken, wieder ein 
folches, alfo als Ergänzung einer Strecke aufzufassen, etwa 
der Strecke c, d. h. es fei 

ft[aia2] + i^aCaias] + ßd^2^z] — |c,^ 
fo ist 

S = [ab]-|-|c. 
Bs fei a' irgend ein anderer, noch näher zu bestimmender 



MM) »1 

Punkt und fei a — a' = d, wo d eine Siredie ist, fo ist a' 
= a' + d, airo 

S ==r [(a' + d)b] + |c = [a'b] + [db] + |c. 
Es ist hier [db] + |c ein Flächenraum; und es foll d To be» 
stimmt werden, dass, wie die Aufgabe v^Iangt, diefer FUchen- 
ranm tfuf dem Llnienlheile [a'b] Tenlirecht stehen foll. Da a' 
ein Punkt und b eine Strecke ist, fo hat diefer Linientheil 
die Richtung von b, alfo Toll der Flächenraum auf b fenk- 
recht stehen, d. h. (nach 152, 333) [(db -f- |c)|b] = 0, oder 

[db|b] + ([cb]=:0 [99], 

d.h. |[cb] = [bd|b] [55]. 

Nehmen wir an, dass d fenkrecht auf b stehe, d. h. in 
der Ebene |b liege, fo ist (nach 108) der zuletzt gewonnene 
Ausdruck 

= [b|b]d = /JM, 
wenn ß der numerische Werth von b ist, alfo d gefunden 
d = |[cb]:^>. 

Umgekehrt, wenn d diefen Werth hat, fo folgt durch die 
umgekehrten Umgestaltungen, dass der Flächenraum [db] + \^ 
auf b fenkrecht stehe, alfo ist die Aufgabe gelöst. 

347. Wenn zwei Summen von Linientheilen beide auf 
die Form einer Summe gebracht nnd, deren eines Stück ein 
Linientheil und deren anderes StQck ein gegen die Linie des- 
felben fenkrechter Flächenraum ist, fo find jene Summen nur 
dann gleich, wenn fowohl diefe Linientheile als diefe Flächen- 
räume einander gleich find, d. h. wenn 

[ab]+y|b = [aibi]+y,|b, 
ist, wo a und ai einfache Punkte, b und b^ Strecken, y ^uid 
Yi Zahlen Tind, fo ist 

[ab] = [aibi], y|b = yi|bi. 

Beweis. Man multiplicire zuerst die gegebene Gleichung 
mit einem Produkte U dreier Strecken, fo ist |b ein Produkt 
zweier Strecken, alfo [jb-ü] = 0= [jbfU] (nach 301), da- 
gegen [abU] = b und [aib^U] = b^ (nach 305); alfo erhält 
man b = b|. Somit verwandelt fich die gegebene Gleichung in 
[ab]+y|b = [aib]+n|b. 

Multiplicirt man diefe Gleichung mit b, fo wird, da [abb] 



222 CM« 

==[aibb]aO ist (nach 60), r[b|b] =3/i[b|b], alfo, da [b|bl 
= b' eine von Null verschiedene Zahl ist, / = Xi. Somit 
verwandelt fich die ursprüngliche Gleichung in [ab] s= [aib], 
i. h. die Linienthoile [ab] und [a|b|] und die Flächenrftume 
y\b und Xi|b| find einander gleich. 

Anm. Es läset fich alfo jede Summe Ton Linientheilen , d. h. 
jede geometrische f^BA «w^t^cr^ Stufcf ai|f^^Ajg bestimmte, roUkom- 
men unzweideutige Art in Form einer Summe eines Linientheiles und 
eines gegen feine Linie fenkrechtcn Fläclienraums darstellen. Es ist 
Interessant, dass diefc allgemeine Grösse zweiter Stufe yollkommen 
repräfentirt wird durch die Bewio^ung ekpßs Körpers im Räume. Wenn 
jASmlich ein Körper aus einer Lage in eine beliebige andere verletzt 
wird) fo ist bekanntlich diefe Verletzung allemal dadurch möglich zu 
machen, dass man eine gewisse Linie des Körpers in ihrer eigenen 
Richtung um ein Gewisses fortschreiten lässi , während der Körper um 
diefe Linie als um leine Axe eine gewisse Drehung vollendet, und 
zwar fmd diefe beiden .?arti&|bew^«Dgei|..> durch die Anfangs- und 
End-Lag^ des Körpers v9llkpmmen bestimmt. Pie erstere Bew«^ung 
kann durch einen Linicntheil vollkommen repräfentirt werden, die 
letztere durch einen dagegen fcnkrechten Flächenraum, beide zufam- 
men alfo durch die allgemeine räumliche Grösse zweiter Stufe. Na- 
türlich wird man in der Statik auf gleiche Weife die Refnitante meh- 
rerer Kräfte im Räume darstellen können , während der blosse Linientheil 
die einzelne statische Kraft darstellt, und die Summe derfelben die 
statische Refultante der entsprechenden Kräfte (f. Ausdehnungslehre 
§. 12a ff.) 



•4»> 223 



Zweiter Abschnitt. 



/iittfcHimfn(H)rr. 

^op. 1. «fiinktlonen im ungemeinen. 

§. 1. B^riff der Fonktioueii, 

«Dd Bednktiön mehrerer FnnktioneiL mehrerer Vftriabeln 

auf eine Funktion einer Tariabeln. 

3 A8. Erklfirung. Wenn eine Grösse u von einer oder 
mehreren Grössen x, y,*** in der Art abhängt, dass, To oft 
X, y^ * " bestimmte Werlhe annehmen, auch u einen be- 
stimmten (eindeutigen) Wertb annimmt, fo nennen wir u eine 
Funktion Von x, y,*«*. " 

Anm. Hier ist zu bemerken, dass die obige Definition auch gel- 
ten foU, wenn n, z, y,-** beliebige eztenfiye Grössen flnd. Femer 
ist zu bemerken, dass die mehrdeutigen Funktionen, d. h. folche, wo 
für bestimmte Werthe der unabhängigen Variabeln x, y,* • * die Grösse 
n mehrere verschiedene Werthe annehmen kann, ohne dass diele Ver- 
schiedenheit durch eine neue Variable bedingt ist, — hier gänzlich 
ausgeschlossen find; wie denn überhaupt^ alle in diefem Sinne mehr- 
deutigen Grössen aus der Mathematik zu verbannen find, weil (ich 
auf fie keine mathematische Formel mit Sicherheit anwenden lässt. 
Sobald die Beziehut\g zwischen den unabhängigen und der abhängi- 
gen Variabein u vermittelst einer Gleichung gegeben ist, durch weiche 
für bestimmte Werthe der ersteren die letztere u mehrere verschiedene 
Werthe annehmen kann, fo kann man u anfehen als Funktion jener 
Variabein und einer neuen r, welche eine bestimmte Werthreihe, 
etwa die der ganzen Zahlen durchläuft, fo dass dann, wenn auch 
ausser den ursprünglichen Variabein noch der Werth von r bestimmt 
ist, auch u eindeutig bestimmt fei. Oder feilte eine folche neue 
Variable r nicht ausreichen, fo kann man mehrere folche su Hülfe 



tu €»«• 

nehmen. Hat man z. B. die Gleichung anr=x, fo kann hier für jeden 
Werth von x die Grösse u noch n verschiedene Werthe annehmen. 

Einer derfelbeh fei mit x^ bezeichnet, fo ist bekanntlich 

U=:(-l)nxn=:^COS.— + K ~ 1 fin. — jx» , 

wo r nach und nach jeden ganzen Zahlwerth annehmen kann. Es ist 
alfo u auf diefe Weife als Funktion von x und einer neuen Variablen 
r dargestellt, wodurch dann die Mehrdeutigkeit der Funktion ver- 
schwindet. 

349. Erklärung. Zahlfunklion nenne ich eine 
Funktion, welche für beliebige Werihe der Variabeln, von 
denen fie abhängt, stets einen Zahlwerlh (reellen öder ima- 
ginären, ganzen oder gebrochenen, rationalen oder irrationalen) 
annimmt. Exten five Funktion nenne ich eine Funktion, 
welche für alle (oder gewisse) Werthe der Variabein einer 
extenflven Grösse gleich ist. Ich werde die Zahlfunktionen 
stets mit kleinen Buchstaben f, SP, V^,* • *, die extenfiven Funk- 
tionen mit grossen Buchstaben F, <l>, ^,*-* bezeichnen. 

Anm. Die imaginäre Zahlgrössc p -(*.<1 )^^ ^ steht auf der 
Gränze der extenfiven Grössen; fie ist als extenfive Grösse aufsu- 
fassen, fobald man für den Ausdruck der Zahlbezielmng zwischen . 
mehreren Grössen, nur reelle Zahlkoefficienten zulä^st, indem dann 
1 und V— 1 als Einheiten erscheinch, die in keiner Zahlbeziehung 
zu einander stehen, hingegen ist fie als Zahlgrösse aufzufassen, fobald 
auch imaginäre Zahlkoefficienten für den Ausdruck der Zahlbeziehung 
gestattet find. Wenn daher die Funktion y tr^ fx für redlea x imagi- 
näre Werthe , etwa u + v / — 1 annimmt , fo kann Vvt in dem ersten 
Sinne als extenfive Funktion aufgefasst werden •, doch wollen wir in 
der Funktionslehre den letzteren Sinn stets festhalten, alfo auch im 
Falle y imaginär wird, dennoch y als Zahlfunktion auffassen, wie es 
in der Erklärung geschehen ist. 

SSO. Jede Zahlfunktion beliebig vieler Zahlgrössen lässt 
fich als Zahlfunktion einer einzigen extenfiven Grösse dar- 
stellen, und zwar, wenn 

yi = f(j»^i, X2,...xJ 
ist, fo ist diefer Ausdruck gleichbedeutend mit 

yi = f(Cx|ei), (x|ea)--, (x[cj) = 9(x), 
wo Ci, • • • Cj^ ein einfaches Nonnalfystem (nehe 153) bilden/und 

X = XtCi + XjOj + • • • XnCn 

isl. 



«»i) 225 

Beweis. Wenn x = x^ei + X1Ö2 +••• ^'^n 'st und 
61,* ••6^ ein einfaches Norinalfystem bilden, To ist 

[x|ei] = [(X|e, + XaCa H x„eJlei] = Xi, 

da [eile,], [ei|ej (nach 188) null Tind und [eijci] = 1 ist. 

Aus gleichem Grunde ist 

[x|e2] = X2,...., [xlej=x«, 
Alfo 

yi==f(xi, X2,--xJ = f((x|ej), (x|e,)---Cx|eJ), 
wo alfo Yi eine Funktion der extennven Grösse x ist. Es 
fei diefe Funktion mit ^(x) bezeichnet, fo hat man 

yi=9(x). 

351. Jedes System von Zahlfunktionen beliebig vieler 
Zahlgrössen lässt Tich als eine extenflve Funktion einer exten- 
fiyen Grösse darstellen, und zwar, wenn 

yi = fiCxi, Xa,--- xj 

y, = f2(Xi, Xa,... xj 

lym = fm(Xi, Xa,'«' Xj 

ist, fo ist dies System von Gleichungen gleichbedeutend der 
Gleichung 

y = F(x), 

wo 

x = Xiei +••• x^On 

FCx) = etSPiCx) + Ca^aCx) + • • • • e^g>Jx) 

9,00 = f,C[x|ei], Ixjej], • • • [x|ej) 
ist und Ci,- • • e,t und Ci,- • • e^ einfache Normairysteme bilden. 
Beweis. Nach 350 ist, wenn x = Xiei + Xje2 + ' • x^e^ 
gefetzt wird, 

yr = fr(Xi, X2,...Xj 

gleichbedeutend mit 

yr = fr([x|ei], [x|e,],... [x|ej). 
Diefe Funktion von x fei mit SPr(x) bezeichnet, alfo 

yr = yr(x) = frC[xK], [x|e,],... [x|ej). 

Ferner ist (nach 29) das System der Gleichungen 

yi = yi(x), y2 == yi(x) • • • • y« = 9m(x) 

gleichbedeutend der Gleichung 

• 15 



226 (»*• 

YlÖl + y2C2 H ymÖm 

= eiyi(x) + eaSPaCx) + • • • ©m^mCx), 
d. h. der Gleichung 

y = ei9i(x) + 6292 (x) + . . . e«9^(x). 
Diefe Funktion von x fei mit F(x) bezeichnet, airo 

F(x) = ei9i(x) 4- CjSPaCx) -i e„9„(x), 

fo rind die m gegebenen Gleichungen 

yi=fi(Xu X2,*--xJ u. f. w., 
gleichbedeutend mit der Gleichung 

y = F(x). 

382. Jedes System von Funktionen beliebig vieler Va- 
riabein lässt Tich erfetzen durch eine Funktion einer Variabein, 
Yorausgefetzt, dass fich die unabhängigen Variabein fömmtiich 
aus einem System von Einheiten numerisch ableiten lassen^ 
und ebenfo die abhängigen. 

Beweis 1. Für ein beliebiges System von Zahlfunktionen 
beliebig vieler Zahlgrössen ist der Satz in 351 bewieren. 

2. Nach 157 lassen fich alle aus einem System von n 
Einiiciten numerisch ableitbare Grössen aus einem cinrachen 
Normalfystem von n Grössen numerisch ableiten. Es bestehe 
das Normalfystem, aus welchem Heb die unabhängigen Varia- 
bein X, y,*«' ableiten lassen, aus den Grössen Cj, e2,---Cn, 
und diejenigen, aus welchen fich die abhängigen Variabein 
u, v,"- ableiten lassen, aus den Grössen e^^>, e^^V**c^™^- 
Ferner fei 

X = XiCi 4 x„en, u = uie^^> H u^e^"^) 

y = yiCj -I yn^n, v = vje^^) -i v^e^"»), 

• • • • 

wo alle Koefflcienten Zahlgrössen find, und feien 

u = F(x, y..), v = <I>(x, y, ••),••• 
die gegebenen Funktionen, fo erhält man, indem man hierin 
die obigen Werthe cinfetzt, 

Uie^^) -\ u«e("> 

f = F(xiei + . .x„o„, YiOi + . . . + y^e^,. . .)• 

Hier ist die rechte Seite eine extenfive Funktion der Zahl- 
grössen Xi,- • Xn, yi • • -ynj' • ' •• Diefe Punktloa fpll einer 
Grösse gleich fein, welche aUf^den Einheiten e^^V * • '^^^^ «u- 



•M> 227 

meri^eb ableitbar iat, alfo muss fie felbst aus ihnen numerisch 

ableitbar fein, d. h, fie muss in der Form e^^^^pi + • ' ^^^"^ ^m 
erscheinen, wo jpt,* • -9^ Zahlfunktionen von Xi,- • «x^, yi- • • • 
y^,"- find. Alfo erhält man 

^^^a) ^ u^e^"*^ = e^^5pi -f . . . eW y ^. 

Diefe Gleichung, welche mit u = F(x, y) gleichbedeutend ist, 
wird (nach 29) erfetzt durch das System der Zahlgleichungen 

Ui = yi, U2=y2r--Um = ym. 

Auf gleiche Weife wird die Gleichung 

v = (l>(x, y) 
crfelzt durch ein System von Zahlgleichungen von der Form 

wo t/^i, tp2y"- gleichfalls Zahlfunktionen der Zahigrössen X|, 
"Xn, yi,-ynj"* find. Folglich werden die gegebenen 
Gleichungen 

u = FCx, y..), v = (l>(x, y..) 
erfetzt durch das System der Zahlgloichungen 

• • • • ■ 

WO SPr • 'SPmj ^1 • • 'Vm?- • • Zahlfunklionen der Zahigrössen 
Xi---x„, yi-'-yu,--- find. Aber nach 351 kann ein folches 
System erfetzt werden durch Eine Funktion Einer Grösse, 
folglich kann auch das gegebene System durch Eine folche 
Funktion Einer Grösse erfetzt werden. 

Anm. Diefe Zurttckfübrung auf Eine Funktion Einer Variabcln 
ist auch für die Behandlung der Zahlfunklionen von Bedeutung, da 
die Sätze der Zahlfunktionen, der Diflferenzialrechnung, der Reihen, 
und auch mit gewissen Beschränkungen die der Integralrechnung Hch 
auf folche cxtenfiven Funktionen extenfiver Grössen, wie unten ge- 
zeigt werden foll, anwenden lassen. Namentlich ergeben fich daraus 
die Jakobischen Sätze über Funktionaldeterminanten, fo wie die von 
Jakobi in feiner berühmten Abhandlung angedeutete oder geahnte 
Ucbereinßtimmung diefer Sätze mit den Sätzen der Differenz! ation einer 
einfachen Funktion einer Vai-iabeln aufs leichteste and unmittelbarste. 



228 <»»• 

§. 2. Ganze Fnnktioneii und Darstellung derselben Termittelst 
lückenhaltiger Produkte. 

353. Erklärung. Wenn Pai, a2,-*an ein beliebiges 
Produkt ist, in welchem die Grössen erster Stufe Bi, 82,* •• 
a^ als Faktoren verkommen, To verstehe ich unter 

Fl, l,...l(XiXa^-..xJ, 
wo Xi'-^Xn beliebige Grössen erster Stufe find, das arithme- 
tische Mittel zwischen den nimmtlicheu Ausdrücken, welche 
aus 

hervorgehen, wenn man den Grössen x^, X2,-**Xn alle mög- 
lichen verschiedenen Folgen giebt. Ich nenne hier den Aus- 
druck Pi, i,...i ein Produkt mit n Lücken. 

So ist z. B. 
Pl, 1, l(xyz) 

= (Px,y, z + Px,y, z + Py,±, z + Py,z, x + Pz,x, y + Pz,y, x);6. 
A n m. unter dem arithmetischen Mittel mehrer Grössen ist hier, 
wie fönst, die durch die Anzahl der Grössen dividirte Summe derfel- 
ben verstanden. Es versteht lieh von felbst, dass wenn ein folcher 
Lückenausdruck noch mit andern Ausdrücken durch Multiplikation 
verbunden werden roll, er dann in Klammern zu schliessen ist. l^och 
ist zu bemerken, dass wir oben die in die Lücken eintretenden Grössen 
als Grössen erster Stufe gefetzt haben. Man fleht leicht, dass man 
diefen Begriff auch hätte erweitem und auch Lücken höherer Stufen 
hätte annehmen können, d. h« folche Lücken, in welche Grössen 
höherer Stufen eintreten f ollen. Doch kann man folche Fälle, in 
denen Lücken höherer Stufe vorkommen würden, fast überall ver- 
meiden. Namentlich, was der häufigste Fall ist, wenn das Haupt- 
gebiet von n-ter Stufe ist, und Grössen (n — l)-ter Stufe in die Lücken 
eintreten follen, fo kann man diefe Grössen als Ergänzungen von 
Grössen erster Stufe alfo in der Form |a u. f. w. darstellen , und statt 
der Lücke (n — l)-ter Stufe schreiben {1, wodurch dann die Lücke 
auf die erste Stufe reducirt ist, und der Definition in 353 unterliegt. 

384. Es ist 

Pl,l,..(XiX2-- *Xn) = ^Pxr, X«.... :(l-2 ü), 

wo der Ausdruck Pl, l,«- ein Produkt mit n Lücken ist, und 
x,, Xg,»** diefelben Grössen wie x^, ^9*"^n bezeichnen, 
nur in beliebig geänderter Folge, und wo die Summe iich auf 
alle verschiedenen Folgen bezieht. Ins Befondere ist 
Pl,l,...x'' = Px, X,.... 



•»•) 229 

Beweis. Nach 353 ist Pl, 1,-Xi, Xj,*- -x^ das arithme- 
tische Mittel der Ausdrücke Pzr^x«, — , welche aus Pzi, za,- • «zn 
durch beliebige Anordnung der Grössen Xi,- • • «Xq hervorgehen, 
d. h. gleich der Summe jener Ausdrücke, dividirt durch ihre 
Anzahl, alfo durch l-2«---n. Wenn ins Bcfondere Xi = Xa 
= .... =Xn=:x ist, fo werden alle jene Ausdrücke gleich 
Pz, X,.*, alfo ist ihr arithmetisches Mittel gleich einem der- 
felben, alfo damit auch die Specialformel erwiefen. 

355. Erklärung. Wenn P^^ ein Produkt mit m Lücken, 
und m>n ist, fo verstehe ich unter PmlXi-Xa- • • -xj den 
Ausdruck, welchen man erhält, wenn man den Ausdruck 
Pm(Xi'Xj- • -Xm) (nach 353) entwickelt, und dann statt jeder 
der Grössen Xn + i, Xn.|.3,* • «Xu^ eine Lücke fetzt; z. B. ist 

Pl, 1, IX = (Pz, 1, 1 + Pl, z, 1 + PI, 1, z) : 3; 
Pl,l, i(xy) 

= (Pz,y,l + Py,z,l + Pz,l,y + Py,l,z + Pl,z,y + Pj,y,z):6. 

356. Wenn Pl, !,•• ein Produkt mit m Lücken, und m 

grösser als n ist, fo ist 

S 
PI, 1,- • • -(»iX, . . •x.)= „(„_,)... (■™_„ 4. ly 

WO S die Summe aller Glieder ist, welche hervorgehen, wenn 
man x^, X2,**-Xa auf alle möglichen verschiedenen Arten in 
die m Lücken von Pi,i.. vertheilt, ins Befondere ist 
Pl,l...x = (Pz,l,... +Pl,z, ... + --Orm. 
Beweis. Es ist (nach 355) unter Pi,l,..Xi-X2- -'Xn der 
Ausdruck verstanden, den man erhält, wenn man in Pl,!,*** 
Xi-Xa-'-'X^j statt jeder der Grössen Xn + i,- • Xm eine Lücke 
fetzt. Nun ist (nach 354) 

Pl, 1. . (xix, . . . x^)=^?xr,xs, : (1 • 2. • • . m). 

Setzt man hierin statt Xn + i, Xn^_a,* -Xm Lücken, fo werden 
alle die Glieder gleich, welche fich nur durch die Reihen- 
folge der Grössen Xn + i, Xn+a,« • «Xq^ unterscheiden« Man 
kann alfo, statt diefe gleichen Glieder fo oft zu fetzen, als 
ihre Anzahl beträgt, eins derfelben mit diefer Anzahl, alfo 
mit l-2-3«-.(m — n) multipliciren; fomit erhält man jedes 
der von einander verschiedenen Glieder mit l-2**««(m — n) 



230 €•« 

:(i*2--*iii) maltiplicirt. Aber die Samme diefer von einan- 
der verschiedenen Glieder ist S, alfo 
Pl,l,...(xiX2-.--xJ 

_ S ' 1 « 2 (m — ii) S 

1.2- • • m m(m — !)• • (m — n + 1) 

Da die Anzahl der in S enthaltenen Glieder gleich ni(m — 1) 
. . .(^m _ n -f 1) isty fo ist der Ausdruck rechts zugleich das 
arithmetische Mittel diefer Glieder. 

SST Erklärung. Wenn A, ß,. • • • ^', ßV • • Pro- 
dukte mit je n Lücken, und a, jS,-- a', /S',--- Zahlen find, 
fo Tetze ich dann und nur dann 

oA+ßB -] =a'A' + ß'B' -f • • • , 

wenn für jede Reihe von n Grössen erster Stufe Xj, Xj,- • -x^ 

a^XiXa • -x^ + ßBxiX2 • • -x^ + • • 

= a'J'XiXj • • -x^ + ß'B%x^ . . .x^ + . . 
ist Wir nennen eine folche Vielfachenfumme von Lücken- 
produkten (mit je n Lücken) einen Lückenausdruck (mit n 
Lücken). 

398. Jede ganze Zahlfunktion n-ten Grades von belie- 
big vielen (veränderlichen) Zahlgrössen lässl fich in der Form 

^x" 
4^arstellen, wo A ein Ausdruck mit n Lücken ist, und zwar ist 

JSraa,»/-Xi%*---[a + b +'•• =<:n] = ^x% 
wo X = Co + XiCi 4- ^262 + • • • • 

und ^ = Zaa,^- ••[l|eo?[l|ex?[I|e2p--. 

[r + a + 6 + • • = n] 

ist, wo ferner Oo, 01,03, ein einfaches Normalfystem 

bilden, und die Summe fich auf alle möglichen ganzen Werihe 
X, a, i,*" bezieht, welche der in Klammern beigefügten 
Bedingung genügen, ohne negativ zu fein. 

Beweis. Nach der Annahme ist x ^XoCp + Xie^ -f ^a^a 
4- • • • , wo Xo = 1 ist. Ferner da Xq = 1 und a + b + • • 
= <n ist, fo ist 

Zaa,^,- -xi^x,* . • . '=^a^, tr- -Xo'Xi^Xa* 

mit der Bedingung, dass r + a + b + * * - = n fei. Der ge- 
wonnene Ausdruck ist aber (nach 330) 



= Z'tta, tr- [x|eoP [x;ei]« [xle^P .... 
= ^x» ,.^ [354], 

wo i4 den im Satze angegebenen Lückenausdruck darstellt. 

359. Jedes System von ganzen Funktionen n-ten Gra- 
des beliebig vieler Variabein lässt fich in der Form 

darstellen^ wo A ein konstanter Lückenausdruck mit n Lücken ist. 
Beweis folgt aus 358 vermittelst 352. 

360. Statt einen Lückenausdruck mit einer Faktoren- 
reihe (gemäss der Erklärung in 353) zu multipliciren, kann 
man ihn mit den Faktoren fortschreitend multipliciren, d. h. 

A(^XiX2 . . • X J = AXiX2 • • x^. 

Beweis 1. Es bestehet nur aus einem Produkt, und 

zwar enthalte dasfelbe m Lücken^ fo ist (nach 356) 

g 

* Aix.x, . . .xj = „,(m-l)...(m-n + iy 
wo S die Summe aller Glieder ist, welche hervorgehen, wenn 
man auf alle möglichen verschiedenen Arten Xj, X2,..*Xn in 
die m Lücken von A vertheiltr Ebenfo fei Si die Summe 
aller Glieder, welche hervorgehen, wenn man Xi nach und 
nach in jede einzelne Lücke des Produktes A einfetzt; ferner 
gehe S2 aus Si hervor, indem man in jedem Gliede von S^ 
die Grösse x nach und nach in jede der m — 1 Lücken ein- 
zeln einfetzt, und die fämmtlichen fo erhaltenen Glieder addirt, 
fomit ist S2 zugleich die Summe aller Glieder^welche hervor- 
gehen, wenn man XjXj auf alle möglichen \lrschiedenen Ar- 
ten in zwei der Lücken von A einfügt. Auf entsprechende 
Weife möge S3 aus S2 abgeleitet fein u. f. w. Dann ist 
(nach 356) 

AXi = -^, AX1X2 == —7 -TT,' • • • 

* mi m(m -^ iy 

endlich 

JXiX2'"Xn 



2. Es fei A ein beliebiger Lückenausdruck = ^PT, wa 
jedes ?a ein Produkt mit m Lücken ist, fo ist 



232 (»•* 

^(XA • • • X J = ^Pfl(XtX2"«Xj 

= Z PaUl^2-'X ,) {357] 

= Z^PaXiX2...Xn [Bew. 1] 

= Zp7xiX,.-«x, [357] 

= -4XiX2-'Xn. 

361. In dem Ausdrucke Jx^Xa^-x,^, in welchem J 
ein beliebiger Lückenausdruck mit n oder mehr Lücken ist, 
kann man ohne Werthänderung eine beliebige Schaar der 
Grössen XiX2'**Xn mit einer Klammer umschliessen. 

Beweis aus 360. 

362. Die Ordnung der Faktoren, welche in einen 
Lückenausdruck eintreten foUen, ist gleichgültig für das Re- 
fultat, d. h. 

AxxX2 • • • = Ax^g' • • •, 
wo X1X2 • • • und x^0 • • • dierelben Faktoren nur in verschie- 
dener Ordnung enthalten Tollen, und ^ eineii Lückenausdruck 

bezeichnet. 

Beweis. Es fei -4 = ^?«, wo jedes ?a ein lücken- 
haltiges Produkt ist, fo ist 

^XiX2 . . • = -4(XiX2 ) [360] 

= ZPaCxiX2...) [357]. 

Nun ist aber (nach 356) PaCx^Xj*--) das arithmetische Mittel 
(ämmtlicher Ausdrücke, welche hervorgehen, w^n man x^, 
X2 , • • • in allen möglichen Anordnungen in die Lücken von 
?a hineinfügt, 4iro ist es gleichgültig, in welcher Ordnung 
die Grössen Xj, X2,'«« in dem Ausdrucke PaCx^Xj-*) vor- 
kommen, d. h. Pa(xiX2' • •) = Pa(XpXg- . .), wennxiX2-*- und 
x^s • • • diefelben Faktoren nur in veschiedener Folge enthalten 
[oUen. Alfo ist 

^XA . . . = ^Pa(xA---0 = Xp^Cx^s- • • •) [357] 
= -4(x^g. . = ^x^x, [360] 

363. Wenn irgend einer der Faktoren, welche mit 
einem Lückenausdrucke multiplicirt Tind, eine Summe ist, fo 
kann man statt der Summe die einzelnen Summanden fetzen, 
und die fo erhaltenen Lückenausdrücke addiren, d. h. 

^P(x + y H )q = ^pxq + -4pyq + .-. -, 



233 

wo p und q Fakiorenreihen bezeichoen, und A einen_Lücken- 
ausdruck. 

Beweis. Nach 362 ist -4p(x + y +••)? = -^P9(x + Y 

-) ). Hier ist -4pq wieder ein Lückenausdruck, und daher 

hat -4pq(x -{- y -{-• •) die Form einer Summe von Produkten, 
deren jedes (x + Y +* *) als einen Faktor enthält, alfo die 

Form Px + y + . . . + Ox + y H +• • . Dies ist aber (nach 39) 

gleichPx + Py-f--- +Ox-fOy+-==Px + Ox + -- + Py 

+ Oy -I = ^pqx + -ipqy H = Jpxq + -4pyq -\ . 

Anm. Es unterliegt hiernach das Produkt der Faktoren, welche 
un einen Lückenausdruck hineintreten follen, ganz den Gefetzen alge- 
braischer Multiplikation, und es bietet fleh uns hier alfo die allge- 
meinere Aufgabe dar, diejenigen Produkte extenÜTer Grössen , welche 
den Gefetzen algebraischer Multiplikation unterliegen, zu behandeln, 
was der Gegenstand des folgenden §. fein folL 

§. 3* A^ebraiscbe HnltipUkation. ^ 

364. Erklärung. Unter algebraischer Multiplikation 
verstehe ich diejenige Multiplikation, deren Bödingungsglei- 
chungen find: 

e,e, = ege, und EcFer) = EFer, 
wo e^, Cg ursprüngliche Einheften undE, F algebraische Pro- 
dukte ursprünglicher Einheiten ilnd. Ich bezeichne fie wie ge- 
wöhnliche Produkte der Algebra ohne umschliessende Klammer. 

Anm. Name und Bezeichnung find darin begründet, dass für 
diefe Multiplikation, wie unten gezeigt wird, alle Gefetze der in der 
Algebra angewandten Multiplikation gelten und keine andern. In dem 
ersten Thcile war diefe Multiplikation nicht zu behandeln, da fie 
keine einfachen Grössen liefert, und mit der Funktionslehre aufs 
Engste zufammenhängt. Sie kann als die charakteristische Multipli- 
kation diefes zweiten Theiles aufgcfasst werden , während die den ersten 
Theil charakterifireniie kombinatorische Multiplikation von jetzt an 
immer mehr zurücktritt. 

369. In einem algebraischen Produkte zweier einfacher 
Faktoren kann man die Faktoren vertauschen, d. h. es ist 
ab = ba. 

Beweis. Es fei a = ^aftea, b=^/?ieb, 
fo ist 

15» 



234 

ab = 2^0^^ ^ß% e j = ^a^ß^ (c« e^ ) [42] 

= Zi^(e*ea)^ [364] 

= ZiJbejZaae« [42] 
= ba. 

366. Statt einen einfachen Factor c dem zweiten Faktar 
eines algebraischen Produktes hinzuzufügen, kann man ihn dem 
ganzen Produkte hinzufügen, d. h. 

A(Bc) = ABc. 
Beweis. A und B find hier algebraische Produkte der 
aus den Einheiten ei , e, , * • • numerisch abgeleiteten Grössen, 
alfo (nach 45) darstellbar in den Formen 

A = ^a«E«, B = X^/5^Fj, 
wo Ea, F( algebraische Produkte der Einheiten und. Endlich 
fei c = ^ycecj fo hat man 
ACBc) = Z crE;(ZCTZ ?w) = Z«a^>ycEa(Fjec) [45] 
= Jiajß^,E^Y^e, [364] 

= Zö«E«Zi?*F^^Aec [45] 

= ABc. 

Anm. Hierdurch ist die algebraische Multiplikation als lincalc 
Multiplikation^ d. h. als folche, deren Bcdingungsgleichungen noch 
gelten, wenn man statt der Einheiten beliebig aus ihnen numerisch 
abgeleitete Grössen fetzt, nachgewiefen. 

367. Die Ordnung, in welcher man mit einfachen Fak- 
toren fortschreitend multiplicirt, ist gleichgültig für das Re- 
fuUat, d. h. 

Abcd . • • == Acbd ••=:.••. 

Beweis. Es ist 

Abc = A(bc) [366] 

= A(cb) [365] 

= Ach [366]. 

Alfo kann man in einem klammerlofen Produkt zwei auf 
einander folgende Faktoren vertausclien. Durch Wiederholung 
diefüs Verfahrens kann man jeden einfachen Faktor auf jede 
Stelle des Produktes bringen, alfo den fortschreitenden ein- 
fachen Faktoren beliebige Ordnung geben. 



9«i> 235 

868. Slail jnil mehreren einfachen Faktoren fortschrei- 
tend zu multipliciren, kann man mit ihrem Produkt multipH- 
circn, d. h. 

Abc- • •• = A(bc- • •)• 
Beweis. Nach 366 ist 

A(bc • pq) = A(bc • . p)q = A(bc • Opq «• <*• w. 
= Abc« • -pq. 
369. Bei einem algebraischen Produkt von zwei be- 
liebigen Faktoren kann man die Faktoren vertauschen, d.h. 
AB = BA, 
Beweis. Es fei As=ai--aa, B = bi-«-b,j, fo ist 

AB = A(bi. . bj = Abi- • -b« [368] 

= bi-..b„ai-..a^ [367] 

= h-K(.H-'^m) [368]- 

376. Bei einem algebraischen Produkt von drei belie- 
bigen fortschreitenden Faktoren kann man den zweiten und 
dritten Faktor in eine Klammer schliessen, d. h. 
ABC = A(BC). 
Beweis. Es fei B = bi«-«ba, C = Cx-Cn, fo ist (nach 
368) 

A(BC) = A(B(Ci . . . c,)) = A(Bci • • • c J 
= Ab, • • -baiCi« • •c„ 

= A(b4.--bn,)Ci--*Cn, 

= A(bi..-bJ(ci..-cJ 
= ABC. 
371. Wenn man aus den ursprünglichen Einheiten 
^a'-'^n die Kombinationen mit Wiederholung zur m-ten 
Klasse bildet und jede diefer Kombinationen als algebraisches 
Produkt der darin enthaltenen Elemente fetzt, fo stehen diefe 
Produkte in keiner Zahlbeziehung zu einander, und jedes 
algebraische Produkt von m Grössen, die aus den Einheiten 
Ol •••Ob numerisch abgeleitet find, lässt Tich aus jenen Pro- 
dukten numerisch ableiten. 

Beweis. Nach der Definition in 364 follen die Glei- 
chungen 

eA = e,e, 
und . E(Fe,) == EFe, 



236 <•«• 

die volbtftndigfen Bedingungsgfleiohungfen der algebraischen 
Multiplikation Tein, d. h. es fall keine Beziehung zwischen 
den Einheitsprodukten stattfinden, als folche, welche fleh aus 
jenen Bedingungsgleichungen abieilen lassen. Jede aus ihnen 
ableitbare Gleichung muss alfo durch Anwendung jener Glei- 
chungen identisch gleich null gemacht werden können. Da 
aber jene Fundamental * Gleichungen auf beiden Seiten stets 
diefelben Einbetten enthaHen, nur in anderer Folge oder Zu- 
rammenrassung, Tc kennen durch Anwendung derftrfben in ein 
Produkt keine neuen Einheiten als Faktoren hineingebracht 
werden. Dagegen kann man alle Glieder einer folehen ab- 
geleiteten Gleichung (nach ^67, 368) auf die Form bringen, 
dass de wohlgeordnete Kombinalioneil (mit gestatteter Wieder- 
holung) aus den Einheiten Ci > • • e^ werden. Nachdem dies 
gesehehen ist, mnss «tfo- die Gleichung identisch gleich null 
fein, d^th. alle Koeffioienten mäasen null fein, d.h. es findet 
keine Zahlbeziehung zwischen ihnen statt. Der zweiie Theil 
des Satzes folgt unmittelbar aus 49. 

Anm. Es bilden lomit die Koai|>inationen mit Wiederholung 
aus den ursprünglichen Einheiten zu irgend einer (m-ten) Klasse, die 
Kombinationen als algebraische Produkte betrachtet, ein System von 
Einheiten höherer Ordnung, aus welchem lieh alle algebraischen Pro- 
dukte zu m Faktoren, welche aus den ursprftnglichen Einheiten nume- 
risch abgeleitet und, wiederum numerisch ableiten lassen. Es lässt 
fich fehr leicht zeigen, dass dasfelbe auch noch gilt, wenn man statt 
der n ursprünglichen Einheiten n beliebige, aus ihnen numerisch ab- 
geleitete, aber in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen 
fetzt. Indem ich jedoch diefen Beweis dem Lefer überlasse, schreite 
ich rogleich zu dem für die weitere Eatwiokelang unentbehrlichen 
Satae. . , . 

3T3. Wenn ein algebraisches Produkt null ist, fo mnss 
noth wendig einer feiner Faktoren null fein, d. h. wenn 

AB=sO, A^O 
ist, fo muss 

B=0 
fein. 

Beweis. Im allgemeinsten Falle werden A und B Viel- 
fachenfummen von algebraischen Produkten fein, deren Fak- 
toren aus den ursprünglichen Einheiten a, b, c,* • • numerisch 



abgeleifel riad. Dann bilden (nach 37i) die Kombinilioneü 
mit Wiederholungen aus a, b, c, • • *, wenn jede diefer Kom^ 
binationen als algebraisches Produkt der darin enthaltenen Ein- 
heiten geretzt wird, die Einheiten aus denen A und B numerisch 
aUeitbar lind. Man stelle fich vor, dass die Elemente jeder 
Kombination nach dem Alphabete geordnet Und, und die 
Kombinationen felbst zunächst nach Klassen aufgestellt find, 
fo dass jede niedere Klasse der höheren voran steht, und 
dass ferner innerhalb jeder Klasse die Kombinationen lexiko- 
graphisch geordnet feien. Wir wollen diefe Aufstellung die 
wohlgeordnete Aufstellung der Kombinationen nennen. Da 
A nach Hypothens von Null verschieden ist, fo muss unter 
den Koefficienten, durch welche A aus jenen Kombinationen 
abgeleitet ist, noth wendig mindestens einer von null verschie- 
den fein. Es fei E| unter allen Kombinationen, welche ia 
ddm Ableitungsausdrucke von A einen von Null verschiedenen 
Koefficienten haben, diejenige, welche in der wohlgeordneten 
Aufstellung die früheste Stelle einnimmt, fo erscheint A in 
der Form 

A = aiEi +a2Ej +•.. =X«aEa, 
wo ttj.von Null verschieden ist. Ferner feien Fj, Fj,--^ 
nach der Reihe die Kombinationen der obigen Aufstellung, und 

B = ^ßbFfi = jSiFi + ßiVi -) , 

tö ist 

AB = ZaaiSbEaFj [42]. 

Jedes Produkt EaFj liefert wieder ein algebraisches Pro- 
dukt der urspranglichen Einheiten, und wenn wir diefe Pro- 
dukte mit 6|, 62,* • - bezeichnen, fo wird AB eine Vielfachen- 
fnmme diefer Einheitsprodukte; alfo da AB nach Hypothefls 
null ist, fo müssen alle Koefficienten diefer Yielfachenfumme 
null fein, d. h. 

X'ö^ftEEaFj^GJ^O, 
wo die in Klammer geschlossene Bedingung ausfagt, dass man 
die Summe aller der Produkte aaßt^ zu nehmen hat, deren zu- 
gehörige Einheitsprodukle E^fh einen konstanten Werth. G^ 
haben. Wir haben hier nur diejenigen Gleichungen diefer 
Art zu betrachten, welche in irgend einem Gliede den Faktor 



238 C»»t. 

Ol enthalten; diefe Gleiokungen können wir in der Form 
schreiben 

= a,/9k + Z^f> [EaF* = E|Ek] , 
wobei noch die Bedingung hinzuzurügen ist, dass unter den 
unter dem Summonzeichen stehenden Produkten keins mit 
Oi/Jk identisch ist. Ich zeige nun, dass man diefe Bedingung 
auch To ausdrücken könne: i müsse kleiner als k fein. In 
der That ergiebt fich zuerst, dass a nicht 1 Tein kann; denn 
dann müsste das Produkt der beiden Kombinationen E^ und 
¥t diefeibe Kombination liefern, wie das Produkt der beiden 
Kombinationen Ei uiid Fk, d. h. F» müsste mit Fk identisch 
fein, alfo 6=k, dann wäre alfo aajS» mit a| /3k identisch, was 
der vorausgefetzten Bedingung widerspricht. Alfo muss a >- 1 
fein, d. h. E« muss in der wohlgeordneten Aufstellung der 
Kombinationen später vorkommen als E^. Dies ist auf zwei 
Arten möglich; erstens auf die Art, dass E^ weniger Elemente 
enthält als E«, dann muss, da EjFk mit EaF» gleiche Kom- 
bination liefern foll, Fk mehr Elemente enthalten, als F», d. h. 
Fk muss in jener wohlgeordneten Aufstellung später folgen als 
Fb, d. h. 6 <: k fein. Oder zweitens, wenn E| und E« gleich 
viel Elemente enthalten, fo muss Ea in der lexikographischen 
Aufstellung später folgen als Ei. In dem Princip der lexiko- 
graphischen Aufstellung von Kombinationen liegt es aber, dass 
das erste der Elemente a, b, • • •, welches in 2 Kombinationen 
einen ungleichen Exponenten hat, in der später folgenden 
Kombination den kleineren Exponenten habe, fo dass alfo, 
wenn dies Element in Ei den Exponenten a, in Ea den Expo- 
nenten Y hat, /<.a fein muss. Ferner, aus der Bedingungs- 
gleichung EtfF^ =s £i,Fk folgt, dass, wenn a, ßy /, ^ die 
Exponenten find, welche irgend ein Element beziehlich in den 
Kombinationen Ei, Fk, E«, Fi hat, a -f /> = / + ' fein muss. 
Hieraus ergiebt Hch unmittelbar, dass, wenn ein Element in 
El denfelben Exponenten hat wie in E«, es auch in Fk den- 
felben Exponenten haben muss, wie in F^, und dass alfo das 
erste der Elemente a, b,-- welches in E« einen andern Ex- 
ponenten hat als in Ei, auch das erste ist, welches in F» einen 
andern Exponenten hat als in Fk; es mögen a, ß^ /, i ins 



***) 239 

Berondere die Exponenten dieres Elementes in E^ Pk, E«, Fb 
fein, fo Tahen wir, dass y<^a fein muss; dann folgt aber 
aus der Gleichong a + ß-^^y 4* ^9 ^^^ S ^^ ß fein muss, und 
dass alfo nach dem Princip der lexikographiscben Aufstellung 
die Kombination F^ früher stehen muss als Fk, d. h. b<>k 
fein muss, da ja die Kombinationen Fj , F2 ,• • • in jeder Klasse 
lexikographisch geordnet fein feilen. Somit haben wir ge* 
funden, dass in den beiden möglichen Fällen 6 <: k fein muss. 
Wir haben alfo die Gleichung 

* = a^/Jk + Zi^b[EaFb = EjFk, b <: k]. 
Es fei nun zuerst k = 1 , fo fällt die Summe ^a^ß^ ganz 
fort, da ihre Bedingung, b <^ 1 nicht erfüllt werden kann, 
alfo hat man a|/?|=0, und da a^ nach der Yorausfetzung 
^ 0, und Ox und ßi Zahlen find, fo muss alfo 

fein. Setzt man k = 2, fo fällt, da b <c 2 und ßi—Q ist, 
die Summe ^a^ßi gleichfalls weg, und man erhält Oiß^ 
= 0, alfo 

ft = 0. 
Und aus gleichem Grunde ergiebt fich, dass ßz=^0 ist u. f. w. 

Alfo ist auch B, was = j^iFt + i^aFa -i war, =0. 

373. Wenn zwei algebraische Produkte aus je zwei 
Faktoren gleich Tind, und einen gleichen, von null verschie- 
denen Faktor haben, fo muss auch der andere Faktor in bei- 
den gleich fein, d. h. wenn 

AB = CB, und B ^ 0. 
ist, fo muss 

A = C 
fein. 

Beweis. Aus AB = CB folgt 

= AB — CB = (A — C)B. 
Alfo da B ^ ist, fo muss (nach 372) A — C null fein, 
d. h. A = C. 

3741. Erklärung. Unter dem algebraischen Quotienten 
A:B verstehe ich denjenigen Ausdruck, welcher mit B alge- 
braisch multiplicirt A giebt, d. h. 

(A:B).B = A. 



«40 ^*** 

879. Es ist 

AB:B = A. 
Beweis. Nach 374 ist, wenn man darin AB statt A Tetst, 
(AB:B)B = AB. 
Alfo (nach 373) 

AB:B=:A. 

376. Alle algebraischen Gefetze der HultipHkation und 
Divinon gelten ffir die algebraische Multiplikation und Divirion 
extenOver Grössen. 

Beweis. Denn alle diore Gefet^e gründen (ich auf die 
Formeln 

AB = BA 

ABC = A(BC) 

(A;B)B = A 

AB:B = A 
und auf die für alle Hultiplikationsarten (nach 42, 45) gelten- 
den Beziehungen zur Addition und Subtraktion. 

Anm. Durch die Identität der Rechnungsgefetze der fo eben 
behandelten Multiplikation mit der gewöhnlichen Multiplikation der 
Algebra ist die Identität der Bezeichnung und Benennung gerechtfer- 
tigt. Der einzige Unterschied liegt in den yerknüpften Grössen, welche 
dort Zahlen, hier beliebige extenfive Grössen, wie z. B. Punkte, Linien 
u. f. w. find. Es wäre verkehrt, wenn man diefe Differenz der ver- 
knüpften Grössen auf die Bezeichnung oder Benennung der Y^rknäp- 
fung felbst übertragen wollte, wodurch die Terminologie nutzlos an- 
wachfen, und der Zufammenhang verdunkelt werden würde. Auch 
diejenigen Eigenschaften diefer Produkte, welche auf der befonderen 
Eigenthümliclikeit extenfivcr Grössen beruhen, finden fich in der Al- 
gebra, und zwar in der Lehre Yon den ganzen Funktionen, wieder. 
So z. B. liefert der Satz, dass fich jede ganze Funktion Einer Varia- 
bein vom n-ten Grade in n lineare Faktoren zerlegen lässt, hier auf 
Strecken der Ebene angewandt, den Satz: 

Jede Summe von algebraischen Produkten von je n Strecken Einer 
Ebene lässt fich auf Ein folches Produkt reduciren. 

Hierbei ist natürlich vorausgefetzt, dass auch die Annahme inma- 
ginärer Strecken verstattet fei. 



•ff) 241 

§. 4. Gänse Funktioaen ersten Grades. Quotient. 

3*77. Erklärung. Wenn ai, a2,---a„ Grössen erster 
(oder n — 1-ler) Stufe in einem Hauptgebiet n-ter Stufe find, 
die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, Ib verstehe 
ich unter dem Bruche (Ouotienlen) 

den Ausdruck, welcher mit ai, a2,***an multiplicirt, bezieh- 
lich die Werthe b|, bs^'-b^ liefert, fo dass alfo 

Ich nenne ai, aa,* -aa die Nenner des Bruches, bj, bj-'-bn 
feine entsprechenden Zähler, und fetze zwei Brüche, oder 
zwei Ausdrücke, welche aus Brüchen numerisch abgeleitet 
find, dann und nur dann einander gleich, wenn De mit jeder 
Grösse erster Stufe multiplicirt Gleiches liefern. Wenn auch 
die Zähler Grössen 1-ter oder (n — l)-ter Stufe find, und in 
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, fo nenne ich den 
Bruch einen umkehrbaren, und bezeichne in diefem Falle, wenn 

ai, 82,' • -an 
ist, mit jr den umgekehrten Bruch, d. h. ich fetze 
1 _^ 81, B^y • • a„ 



bi, ba," b„' 
Anm. Der Gedanke, welcher diefer Erklärung zu Grande liegt, 
ist leicht hindurchzufehen. In der Algebra ist nämlich unter dem 

Quotienten -j- der Ausdruck verstanden, welcher mit b multiplicirt 

a giebt, und dies genügt (wenn b nicht null ist) zur Definition des 
Zahlqnotienten. Für die eztenfiven Grössen genügt es nicht zu wissen, 
welehes Rerultat die Multiplikation des Quotienten mit irgend einer 
(von Kuli verschiedenen) Grösse liefert, indem daraus nur die Multi- 
kation desselben mit folchen Grössen fich bestimmt ^ welche aus jener 
Grösse numerisch ableitbar (ind. Man fieht alfo, dass in einem Ge- 
biete n-ter Stufe die Refoltate der Multiplikation eines Quotienten 
mit n in keiner Zahlbezielmng stehenden Grössen bestimmt fein 
müssen, damit der Quotient vollständig bestimmt fei. Der Quotient, in 

16 



242 l««« 

dicfcm Sinne aufgefasst, ist für die DifTerenzial- und Integral-Rechnung 
extenfiver Grössen , fo wie für die Behandlung der geometrischen Ver- 
wandtschaften unentbehrlich. Ich bemerke noch, dass man als Renner 
des Quotienten auch beliebige Grössen höherer Stufen hätte gestatten 
können-, doch würde man dann den wefentlichen Vortheil grösserer 
Einfachheit gegen den zweifelhaften Vortheil unfruchtbarer Allgemein- 
heit austauschen. Ich werde deshalb auch die Zähler, wenn nicht 
ausdrücklich anderes festgefetzt wird, stets als Grössen erster Stufe 
betrachten. 

378. Zwei Brüche oder Yielfachenruinmea von Brüchen, 
welche mit n in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden 
Grössen erster Stufe multiplicirt, Gleiches liefern, find einander 
gleich, vorausgefetzt, dass n die Stufe des Hauptgebietes ist. 

Beweis. Es Teien und Qi die beiden Brüche oder 
Vielfachenfummen von Brüchen, welche mit n in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehenden Grössen erster Stufe ai 

Sil muUiplicirt, Gleiches liefern, alfo es fei 

* Oar = Oiar 
für jeden Werth r zwischen 1 und n, fo ist zu zeigen, dass 
= 0i, d. h. (nach 377) dass und Oi mit jeder Grösse 
erster Stufe x multiplicirt Gleiches liefern. Nun lässt fich 
(nach 24) jede folche Grösse in einem Hauptgebietc n-ter 
Stufe aus n in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden 
Grössen, alfo aus a],**'*aQ numerisch ableiten. Es fei 

x = xiai -i x^a^, 

dann ist 

Ox = 0(xiai -\ x^aj = XiOai H x^Oa« [44] 

= XiOiai+--XnOia„ [*] 
= (xia,+...x,a„)Oi [44] 

= OlX. 

379. Einen Bruch multiplicirt man mit einer Zahl, 
indem man jeden Zahler mit diefer Zahl multiplicirt, und 
Brüche von gleichen Nennern addirt man, indem man die 
entsprechenden Zähler addirt, wobei die Nenner in beiden 
Fällen ungeändcrt bleiben, d. h., beides zufammengefasst, 

ai, aj,--- ai, aa,--- 

^ (igb,+yci + '0,(/?b,+yc,+-0,-' ^ 
ai > «2 > • • • 



243 

Beweis. Zu zeigen ist (nach 378), dess beide Seiten 
der zu erweifenden Gleichung mit jeder der Grössen ai , • • • »^ 
multiplicirt, gietcbes Refultat liefern. Nun ist (nach 44) 

X Bj, 82,' • • ai, Bj,» • y 

%, ai,.- 'ai, aj,-- 

= /Jb,+yCr + -'- [377J. 

Ferner ist 

(^bt + yc, +• • •), (^b, + yc, + • .),• . ^^ 

8i » a» >•• ' 

= ^b, + yc, + .... [377]. 

Bezeichnen wir alfo der Kürze wegen die linke Seite der zu 
erweirenden Gleichung mit L, die rechte mit R, fo wird für 
jeden Index r 

♦ La, = Rar. 
Folglich L=R (nach 378). 

390. Jeden Bruch kann man auf die Form bringen, 
dass feine Nenner beliebige n in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehende Grössen erster Stufe find (wo n die Stu- 
fenzahl des Hauptgebietes ist), und zwar ist 

wenn^tti a^ay ^<^,aaar * * ^ in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehende Grössen, und o^,« Zahlen fmd. 
Beweis. Es ist 



^i-^Z^77.= y«,/^:i:a. [44] 
«1 » "a j • ^mmt ai , aj , • • • 

=Z5;;ä [377]. 

Aber auch 

5=z=~~x-=== 2-a,,aa« :^2.ct.,ab« [377]. 

Alfo liefern beide Ausdrücke mit ^a, «aamultiplicirt, für je- 
den Werth von 1- * «n gleiches Refultat, find airo, da ^04,« aj, 
^<^,a&a 9 ' * * nach der Hypothefis in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehen, (nach 378) einander gleich. 



244 

381. Wenn ei, e^^'^^e^ die ursprünglichen Einheiten 
rind, und mit Ep^g der KUrze wegen der Bruch bezeichnot 
wird, dessen Nenner die ursprQngiichen Einheiten find, und 
von dessen Zählern derjenige, welcher dem Nenner e, ent- 
spricht, gleich e« ist, während alle übrigen Zähler desrelben 
null find, d. h: wenn 

* Er,,e, = e. und E,^.et = [t ^ r] 
ist, fo lassen fich die n^ Ausdrücke, welche aus Ep^, hervor- 
gehen, indem man statt r und s nach und nach beliebige der 
Zahlen l-*n Tetzt, als Brucheinheiten Tetzen, d. h. es lassen 
fich alle Brüche aus ihnen numerisch ableiten, während fie 
fclbst in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und 
zwar ist 

— — = Z^tta, bE«, I. 

Gl , e2 , • • • 

Beweis i. Es ist 

Ci , Ca , • • • 
Ferner ist 

2^aa, bEa, *e, = ^ g,^ tE<, »e , [44] 

= X^^T^r = X«.,»ej [♦], 

indem nämlich E«, 6 0^ = ist für a ^ r, und Fpber = eb 
ist. Airo beide Ausdrücke, da fie mit jeder der Grössen ei 
.•.Cn multiplicirt Gleiches liefern (nach 378) einander gleich. 
2. Angenommen zweitens, es bestände zwischen den 
Grössen E,^« eine Gleichung der Form 

^«a, h^ü, 6=0, 

fo hätte man für jeden Index r 

= Xa«, bEa,ber = 2^äZW^r [44]. 

Alfo da Eft, ber = ist, wenn r von a verschieden ist, 

== Z^a,^bE,,be, =^^er [*]. 
Wenn aber 

= 2^0^ =«r,iei + 0,^^02 + • • • , 
fo muss, da Ci, es,-** in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehen, (nach 28) jeder der Koefficienten von ei, es,-** null 
fein^ d. h. 



245 

ftir jedes r und s, airo ist die angenommene Gleichung iden- 
tisch null, d. h. (nach 2) die Grössen E,^ stehen in keiner 
Zahlbeziehung zu einander. 

383. Jeder Bruch Ifisst Tich als Lückenausdruck mit 
einfacher Lücke darstellen, und zwar ist, wenn die Nenner 
&i9*''&tt ®i^ einfaches Normaifystem bilden, 

Bj, 82, • • • 

Beweis. Zu zeigen ist, dass fie mit jeder Grösse erster 
Stufe X multiplicirt Gleiches liefern. Nun ist, wenn x = Xia| 

+ x,aj H ist, 

([l|a,]bi+[Ila,]b, + . . Ox=[xIa,]b, +[xMb, + • • . 

[353] 

=Xibi+Xabj-| [153]. 

Aber auch 

»1, a2,' • • 

= a" !"'"(xi«i+^2a, + -0=x,bi+X2b2 + .. [377]. 
ai, aa,- •• 

Somit liefern beide Seiten der zu erweifenden Gleichung mit 

jeder Grösse erster Stufe multiplicirt Gleiches, find alfo felbst 

gleich (nach 357, 377). 

Anm. Es ist alfo der Brach nur eine einfachere Form des 
Lückenausdrackes mit einer Lücke, und kann alfo auch jedes System 
beliebig vieler linearer Zahlfnnktionen Ton beliebig fielen Zahlgrössen 
als Prodakt eines Quotienten in eine extenfive Variable dargestellt 
werden. 

383. Erklärung. Das bezügliche Produkt der Zdhler 
eines Braches, dessen Nenner das System der ursprünglichen 
Einheiten bilden, nenne ich den Potenzwerth des Bruches, 
und bezeichne den Potenzwerth des Bruches Qy wenn n die 
Anzahl der Nenner ist, mit [Q""], d. h. ich fetze , wenn 

_.»!> a»'_^ n jg^ yyjj g^^ Oa,- •«» das System der ursprüng- 

liehen Einheiten bilden, 

[OT = [aiaa-...aJ. 



346 

Anm. Wenn jeder Zähler das p-fache des entsprechenden Ken- 
ners ist) fo ist der Bruch vermöge der Definition gleich der Zahl p; 
das bezügliche Produkt der Zähler ist dann [pej^pea* ••pcn] =p» 
[eie2***en], alfo da das bezügliche Produkt der ursprünglichen Ein- 
heiten 1 ist, =p'*, d. h. in einem Hauptgebiete n-ter Stufe ist der 
Potenzwerth einer Zahl p gleich y^ . Der tiefere Grund der gewählten 
Benennung und Bezeichnung liegt in einer eigenthümlichen Verknüp- 
fung der extenfiven Brüche, welche ganz der bezüglichen Multiplika- 
tion entspricht , und deren Wefen ich hier in mehr anschaulicher Form 
zu entfalten verfuchen werde. Ich gründe den Begriff diefer Verknüp- 
fung auf den des Lückenproduktes. Wenn nämlich A , B ,. • ., Ai, B^,. • • 
Brüche find, deren Nenner etwa die ursprünglichen Einheiten fein 
mögen, und a, b,» • • beliebige Grössen erster Stufe , 1 aber eine Lücke 
ist, in welche Brüche der genannten Art (alfo Grössen nnllter Stufe) 
eintreten foUen, fo fetze ich [AB» • •] = [AjB^ • • •] dann und nur dann, 
"v^enn in Bezug auf eine beliebige Reihe von Grössen erster Stufe 
a, b,«**, deren Anzalil gleich der Anzahl der Faktoren jener Pro- 
dukte ist, 

[la-lb- • -JAB. . . = pa.lb. • • .JA^Bj .... 
ist. Ich nenne das Produkt [AB-.*] ein (auf das Hauptgebiet) bezüg- 
liches Produkt der Brüche A, B,*.**. Aus diefem Begriffe folgt 
(nach 360) fogleich , dass die Ordnung der Faktoren in diefem Produkte 
für den Werth desfelben gleichgültig ist , ein Gefetz , welches mit dem 
in 58 ausgesprochenen in Uebereinstimmung ist, da die Brüche der 
genannten Art als Grössen nuUter Stufe zu betrachten find. Ferner 
ergiebt fich leicht, dass wenn in dem Produkte [lalb*.-] zwei der 
Faktoren, z. B. die beiden ersten, einander gleich find, allemal 
[la-lb- • • lAB. . . = ist. Denn es ist (nach 355) [la-lalc . ] ABC- • • 
gleich einem Bruche, dessen Zähler die Summe aller der Ausdrücke 
ist, die man dadurch erhält, dass man A, B, C,-* in allen möglichen 
Anordnungen in die Lücken eintreten lässt, und dessen Nenner die 
Anzahl diefer Ausdrücke ist. Nun zeigt fich, dass fich die Glieder 
des Zählers paarweife aufheben. Denn wenn PQR. • • eine andere 
Ordnung der Faktoren ABG.*. darstellt, und zwar fo, dass P in die 
erste Lücke eintreten foU^ Q in die zweite n, f. w. , fo wird das daraus 
entspringende Glied gleich [Pa-Qa.Rc- .]. Vertauscht man P und 
Q, fo geht aus diefer Ordnung das Glied [Qa.PaRc*..] hervor, die 
Summe beider giebt aber null, da Pa und Qa Grössen erster Stufe 
find, und deren Vertauschung (nach 60) entgegengefetzten Werth be- 
dingt. Alfo heben fich die Glieder im Zähler paarweife auf, d. h. 
der Zähler wird null, alfo der Bruch null. Dasfelbe gilt, wenn in 
dem Produkte [la.lb**..] beliebige zwei Faktoren gleich werden, fo 
dass alfo in diefem Falle stets [la*lb- * • -jAB* . • ==0 ist. Daraus folgt 
aber wiederum fogleich, dass wenn fich die Grössenreihe a, b,**.* 
lineal ändert, z. B. b in b'=b4-tta fich verwandelt, das Produkt 



Pa*lb* • • «]AB* • • denfelben Wetth behält, und hieiraiiB (nach 70), daas 
wenn fieh a, b,-** beliebig, jedoch fo ftndern, dass ihr Produkt 
[ab*-**] konstant bleibt, anch Pa*lb**-*]AB* ••• konstant bleibt. 
Wir können daher diefen Ausdruck als Verknüpfung, und zwar als 
multiplikative Verknüpfung Yon [ab***] und' [AB***] anfehen, und 
schreiben daher [la-lb* • • jAB* - * = [ab* • *J[AB* • .]. Hier hat [AB* * *], 
da es mit dem Produkte [ab****] verknüpft, wieder eine Summe you 
folchen Produkten derfelben Faktorenzahi , alfo eine Grösse derfelben 
Stufe liefert, ganz die Bedeutung eines extenßyen Bruches , aber eines 
folchen, der, wenn die Anzahl der Faktoren m ist, nur mit Grössen 
m-ter Stufo zufammentritt. Es feien i^, Ea,«*. die Einheiten m-ter 
Stufe, und fei Ei[AB. . *] = Aj, Ea[AB. *] == Aj,* • *, fo ist klar, dass 
[AB**-] einem Bruche Q gleich ist, dessen Nenner E^, Ea,***, unä 
dessen entspi*echende Zähler Ai, Aj,*** und. Denn es giebt jenes 
Produkt [AB***] mit den Einheiten m-ter Stufe, alfo auch mit jeder 
aus ihnen ableitbaren Grösse, d. h. mit jeder Grösse m-ter Stufe mul- 
tiplicirt, dasfelbe Befultat, wie diefer Bruch Q auf gleiche Weife 
verknüpft liefert , d. h. es ist vermöge der Definitionen jenes Produktes 
und diefes Quotienten [AB.*]=Q, d. h. das bezügliche Produkt 
von m Brüchen, deren Nenner und Zähler von erster Stufe find, giebt 
einen Bruch, dessen Nenner und Zähler von m-ter Stufe find. Durch 
die Reciprocität zwischen Grössen erster und (n — l)-ter Stufe (im 
Hauptgebictc n-ter Stufe) ergiebt fich auch, dass das bezügliche Pro- 
dukt von m Brüchen , deren Neuner und Zähler von (n — l)-ter Stufe 
und, einen Bruch liefert, dessen Nenner und Zähler von (n — m>ter 
Stufe Und. Dies letztere Produkt würde daher als regressives, das 
ersterc als progressives Produkt von Brüchen zu betrachten fein. Wir 
bleiben hier bei dem ersteren, alfo dem progressiven Produkte der 
Brüche stehen, um nanfentlich noch die progressiven Potenzen der 
Brüche zu betrachten. Da das Produkt gleicher Faktoren eben nur 
Eine Anordnung diefer Faktoren gestattet, fo geht fogleich aus dem 
Begriffe hervor, dass [A™][ab-*-] = [Aa-Ab*** •] fei, vorausgefetzt 
natürlich, dass die Anzahl der Faktoren a, b,*** auch m betrage. 
Setzen wir die ursprünglichen Einheiten e^, ea,* • • als Nenner, und a|, 
a^,**» als entsprechende Zähler, d. h. Aeis^a^ u. f. w. , fo ergiebt 
fich unmittelbar, dass [A^] mit dem Produkte von m ursprünglichen 
ißinheiten multipUcirt, das Produkt der m eBtsprechenden Zähler gebe 
und dass alfo die Potenzen von A jede Grösse, welche aus den ur- 
sprünglichen Einheiten hervorgegangen ist, und welche den Exponen- 
ten jener Potenz als Stufenzahl hat, in diejenige Grösse verwandelt, 
welche aus den entsprechenden Zählern genau auf dicfelbe Weife 
hervorgeht. Betrachten wir ins Befondere diejenige Potenz von A, 
deren Exponent mit der Stufenzahl n des Hauptgebietes gleich ist, 
alfo [An], fo ergiebt fich [AnJ[eie2. * «en] = [»iSa** -an], d. h. gleich 
dem bezüglichen Produkte der Zäliler, alfo (nach 383) gleich dem 



948 <M« 

Potenswertbe von A. Aber da daa besfigüche Produkt der & arsprOBg- 
lie]ien Einheiten (nach 94) gleich i ist, fo ifit [An] felbst diefem Po- 
tenzwerthe gleich, worin cJfo die vollständige Begründung der oben 
gewählten Bezeichnung liegt. 

384. Der Potenzwerth eines Braches ist gleieh dem 
beztlglichen Produkte der Zähler, dividirt durch das der Nenner, 
d. h. wenn 

0=^42^ ist, fo ist [o«]=[JiJi:::]. 

Beweis. Es Tel Qe, = c, für jeden Index r von 1 bis 
n; fo ist Q = ^^' ^^*'" (nach 380). Ferner feien bj, ba,..- 

als Yielfachenfummen der ursprünglichen Einheiten ei, Oj, • • • 
ausgedrückt, und fei für jeden Index r von 1 bis n, bf = 
^ßr.aea, fo ist a, = QK == 2ißr ,(tQ ea = ^ ^ßr^gCq. Somrt ist 

[M2--] [ ZftT^'Zft^'"] 

2^ ßi,aß2,i [eg- e^'"] 

wo üf 6,*** alle möglichen verschiedenen Anordnungen der 

Zahlen 1, 2,*** darstellen und r die Anzahl der Zahlenpaare 

ist, die in den beiden Zahlreihen 

a, *,•••. 
1,2,.... 

entgegengefetzt geordnet flnd. Hier heben Heb nun die bei- 
den Summen, und da [oie, *.•] = ! ist, fo erhält man 

fev^j ^ ^'''''' ""^^ ^^"^ ^"'''''' ^^^' 

8ftS. Wenn Q und Qi Brüche mit n Nennern find, und 
zu einander in der Zahlbeziehung 

stehen, fo stehen ihre Potenzwerthe in der Zahlbeziehung 

Beweis. Es fei 



[45] 
[57] 






> 



SM) 249 

fo ist (nach 383) 

[0*] = [««1 • aa, • • . aaj =i a'Caiaj • • • a J [46] 

'=a-[Oi"] [383]. 

386. Wenn zwischen den Zahlern eines Bruches eine 
Zahlbeziehung herrscht, fo Iftsst fich der Bruch stets auf die 
Form bringen, dass einer oder mehrere feiner Zähler null 
werden, und zwischen den übrigen Zahlern keine Zahlbe- 
ziehung stattfinde; und zwar wenn ei,-**en die Nenner^ 
ai, •••a^ die Zahler 'des Bruches find, und zwischen 
f^i9*''&m keine Zahlbeziehung stattfindet, aber die übrigen 
n — m Zahler aus ihnen numerisch ableitbar find, fo dass 

isty fo ist 

6l)'**®m» ^m+lJ ^m + 2j**j ^n 
Cin4r = «r,lCl + Ctr,2e2H ö^,mem — C^ + r) d. h. 

— o a äa+r — e^ + r 

ist. Und alle aus Ca+i,--Cn numerisch ableitbaren Grössen, 
aber auch keine andern geben mit muUiplicirt, null. 
Beweis. OCm+r=ar,iOci -I ar,mOett— OCa+r 

= ar,iai-| ar,iDam-- «m + rj 

da nach Hypothefis ai,--an die zu den Nennern ei,-«-en ge- 
hörigen Zähler des Bruches Tind 

= [*]. 

Alfo find die zu den Nennern Cni4.i,«««Cn gehörigen Zähler 
null. Ich zeige nun, dass zwischen den n Grössen e],«--eQ^, 
Coi+i9**'Cii keine Zahlbeziehung herrscht. Der Kürze wegen 
fetze ich 

fo dass alfo Ca_^., = q, — • e^+r ^st, fo ist 

[Ci-Ca e^-c^+i cj 

= [eiCa • - • c„,(qi — e„,+i) • • • (q«, -n — ^n)]. 
Da hier qi, qj,-- aus Ci, e^j-'e« numerisch abgeleitet 
Dnd, fo können wir fie (nach 67) weglassen und erhalten 
das Produkt 

= + [^162 ej, 

16* 



250 C»«* 

alfo von Null verschieden; folglich stehen e^, e2^^*e^y 
Cin+i>*'Cn (nach 61) in keiner Zahlbeziehung; alfo lässt 
fich (nach 380) in der im Satze angegebenen Weife als 
Bruch darstellen. Daraus nun, dass c^+i, *'C,^ mit mul- 
tiplicirt Null geben, folgt fogleich, dass dies auch für jede 
Yielfachenfumme diefer Grössen gilt. Aber auch umgekehrt 
muss jede Grösse p^ welche mit Q multiplicirt null giebt, 
eine Yielfachenfumme von Ch,-}-i, • • • c^ fein. Denn wie auch 
p beschaffen fei, immer muss es fich (nach 24) aus ei, 02, - 'Cq^, 
Cm+ij"-Cn ableiten, alfo fich in der Form 

P=ßieiH «i^e^ + q 

darstellen lassen, wo q eine Vielfachenfumme von 0^4.1,- -Cn ist. 
Soll dann pO=0 fein, fo hat man, da Oci=ai, u. f. w., 
OCm+i=0 u. f. w. ist, 

= pO = aiai H «ü^a^, 

alfo (nach 28) ai, Oa,- «01 = 0, alfo p = q, d. h. eine Viel- 
fachenfumme von 0^4.1, Cn, + 2?*--Cn« 

387. Erklärung. Wenn ein Bruch mit einer von 
Null verschiedenen Grösse erster Stufe multiplicirt ein Viel- 
faches diefer Grösse, etwa das ^fache derfelben liefert, fo 
dass alfo 

QX = QX 

ist, fo nenne ich den Koefficientcn g (mag q nun reell oder 
imaginär fein) eine Hauptzahl des Bruches Q, und das Ge- 
biet, welchem alle Grössen x angehören, welche jener Glei- 
chung genügen, das zu der Hauptzabl ^ gehörige Hauptgebiet. 

388. Aufgabe. Die Hauptzablen und die zugehörigen 
Hauptgebiete eines Bruches zu finden. 

Auflöfung. Es fei q eine Hauptzahl eines Braches Q 
mit n Nennern Ci, e2,*'en; und fei x = ^x^ea eine von 
Null verschiedene Grösse, welche mit Q multiplicirt ihr ^faches 
liefert, fo hat man 

Ox = ?x, d. h. Cq — 0)x = 0. 

Setzt man hierin statt x feinen Werth, und fetzt 

(a) (? — 0)e« = Ctt, 
fo erhält man 

(b) = ^XaCa. 



•#•) 251 

Da nun x von Null verschieden ist, To muss auch min- 
destens eine der Zahlen Xi , • • • x,^ K)n Null verschieden lein, 
al(o (nach 16) zwischen Ci , • • • c^ eine Zahibeziehung statt- 
finden, rolgiich (nach 61) ihr kombinatorisches Produkt null 
fein, «Ifo 

(c) = [CiC2.«..cJ, 

d.h. (nach 384) der Potenzwerth des Bruches p — niuss 
null fein. Umgekehrt, wenn diefe Gleichung (c) erfällt wird, 
fo gilt (nach 66) auch eine Gleichung der Form (b), alfo 
giebt es dann eine Grösse x ^ 0, welche der Gleichung Qx 
= QX gentigt, d. h. q ist dann eine Hauptzahl. Setzt man in 
der letzten Gleichung statt Cj , Ca , • • • ihre Werthe aus (a), 
fo erhält man 

= [(?ei — 0ei)(?e2 — Oca)- • • -(ge^ — QeJ\, 
oder indem man die Klammern löst 

(d) aoQ^^a,Q-'' + a,Q^-^ +(_1)X==0, 

wo «j. aus dem Produkte [CiCa* • -0^1 dadurch hervorgeht, dass 

'man auf alle möglichen verschiedenen Arten r der Grössen 
Ol, 02,-* '6^ in die entsprechenden Grössen Qei, 0e2,--«0eQ 
umwandelt, während man die jedesmal übrigen unverändert 
lässt. Die n Wurzeln ^i,* • -^^ diefer Gleichung (d) find alfo die 
gefuchten Hauptzahlen; ihr Produkt ist nach dem Neutonschen 
Satze gleich a^ ; Oq , d. h. gleich dem Potenzwerthe von Q 
(nach 384). Die Grössen x find dann durch die Gleichung 
(b) bestimmt. Nach diefer Gleichung stehen c^ , Cj , • • • c^ in 
einer Zahlbeziehung zu einander. Folglich lässt fich (nach 
17) aus den Grössen Ci,«*-Cn ein Verein von weniger als 
n Grössen, etwa Ci, C2,-*Cm, ausfondern, welcher keiner 
Zahibeziehung unterliegt, und aus welchem die übrigen Grössen 
(Cm-f-ir* O numerisch ableitbar find; dann aber lässt fich 
der Bruch q — Q, dessen zu den Nennern Ci,* -0^ gehörigen 
Zähler (nach a) C| ,• • «0^ find, (nach 386) auf die Form bringen, 
dass unler den Zählern n — m derfelben null werden; die 
zugehörigen Nenner feien am+i,*-an; fo haben (nach 386) 
alle aus aa,4i,-**an ableitbaren Grössen x, aber auch keine 
andern, die Eigenschaft, dass (^ — Q)x = fei, d.h. dass 
Qx=:^x wird, d.h. alfo, das Gebiet 8^+1* •••8^ ist das zu 
der Hauptzahl ^ gehörige Hauptgebiet. Alfo: 



252 €••• 

^Jeder Bruch mit n Neiinern hat n Hauptzahlda und 
2war find diofe die Wurzeln q der gleichbedeuleaden Glei- 
chungen c oder d, das Produkt dieCer n Wurzeln ist gleich 
dem Potenzwerthe von 0? und das zu der Hauplzahl ^ ge- 
hörige Hauptgebiet "erhält man, indem man (nach 3S6) q — 
als einen Bruch darstellt, von dessen Zählern einer oder 
mehrere null find, während die übrigen Zähler in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehen; dann ist das Gebiet der- 
jenigen Nenner diefes Bruches ^ — Q, deren entspre<$bende 
Zähler null find, das verlangte Hauptgebiet.^ 

389. Wenn die n Hauptzahien (?i,***?n o>nes Bruches 
alle von einander verschieden find, fo find die n zuge- 
hörigen Hauptgebiete alle von erster Stufe und stehen in keiner 
Zablbeziehung zu einander. 

Beweis. Nach 388 lässt fich zu jeder der Grössen 
Qir ' 'Qii9 z* B* 2U Qn ^^"^ ^on ^ull verschiedene Grösse erster 
IStufe finden, welche mit Q multiplicirt ihr ^^-faches liefert. 
Es feien ai,- ««n diefe Grössen, fo dass Oar==?pflr ist. An-* 
genommen nun, ai,*"an ständen in einer Zahlbeziehung, fo 
müssten fich aus ihnen (nach 17) m Grössen, etwa ai,-'aoi, 
ausfondern lassen, die in keiner Zahlbeziehung zu einander 
ständen, und aus denen jede der übrigen, z. B. a^, numerisch 

ableitbar wäre. Es fei a, = aiai -j CLafij^, fo muss, da a, 

von Null verschieden ist, auch mindestens einer der Koef* 
ficienten «i,* * -Om ^on Null verschioxien fein. Es fei dies z. B. 
01 . Nun hat man 

da nach der Vorausfetzung Qar=:^,8, ist, alfo wird 

==?r«iai4 ?r«mam> 

folglich find (nach 29) die entsprechenden KoefGcrenten gleich, 
namentlich aiQi =aiQr^ d. h. da a| ^0, ist ^,=^i , was gegen 
die Vorausfetzung ist. Alfo können ai,--^^ in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehen. Folglich kann auch keins der 
Hauptgebiete von höherer als erster Stufe fein. Denn wäre 
z. B. das zu ^1 gehörige Hauptgebiet von höherer Stufe, fo 
müsste dies Gebiet mit dem Gebiete (n — l)-ter Stufe der 



858 

Grössen 83- • -an (nack 26) mindestens ein Gebiet erster Stufe 
gemein haben. Es fei c eine (von Null verschiedene) Grösse 
diefes gemeinschartlichcn Gebietes, fo wäre c aus 82,* '-8^ 
numerisch ableitbar, und würde lieh doch, da es in dem zu 
Qi gehörigen Hauptgebiete liegt, in Tein ^-faches verwandeln, 
was als unmöglich nachgewiefen ist. 

390. Aufgabe. Den Fall gleicher Hauptzahlen zu 
unterfuchen. 

Auflöfung. Wenn man die Bezeichnungen der vorher- 
gehenden Sdtze festhält, fo hat man (nach 388) 

(a) [ciC2---cJ=0, wo 

(b) Cr = (e-0)er. 

Es find ölfo Ci, C2,- • -Cn die zu den Nennern e^, Oa,- • 6^ 
gehörigen Zähler des Bruches ß — 0, und die Gleichung (a) 
fagt aus, dass das kombinatorische Produkt der n Zähler null 
fei, d. h. dass der Potenz werth von q — Q null fei. Es be- 
halten nach dem Obigen die Gleichungen (a) und (b) ihre 
Bedeutung, wenn man statt der Nenner ei,**en beliebige n 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen erster 
Stufe fetzt. Die n Werlhe von 9, welche der Gleichung a 
genügen, find (nach 389) die n Hauptzahlen von Q. Wenn 
nun mehrere, etwa a, derfelben gleich a find, fo heisst das 
alfo, dass die Gleichung (a) für q im Ganzen a Werthe dar- 
biete, welche gleich a find. Wenn aber ein Werth von q 
gleich a ist, fo lässt fich (nach 388) eine von Null verschie- 
dene Grösse erster Stufe 81 finden, welche mit Q multiplicirt 

ihr a-fachcs liefert. Es fei diefo Grösse ai=XiC, -j x^en, 

fo muss von den Koefficienten Xi,---Xn mindestens einer 
von Null verschieden fein, weil fönst, gegen die Annahme, 
81 felbst null wäre. Es fei x^ von Null verschieden, fo stehen 
(nach 19) a^, 02,* «en in keiner Zahlbeziehung zu einander, 
können alfo nach dorn Obigen statt Oi, 62," 0,1 in die Glei- 
chungen (a) und (b) eingefetzt werden; dann wird c^ = (ß— 0)ai 
= ß8i — Oai==ßai — «»i (nach Annahme) = (p — a)ai und die 
Gleichi^ng (a) verwandelt fich in 

(p - a)[aiC2----cJ = 0. 

Wir wollen annehmen, man habe, wenn die Gleichung 



254 

(a) im Ganzen a Wurzeln ^ = a hat, nach und nach die Glei- 
chung (a) noch in die Formen 

(p — a)'[aia2C3 c^l = 

u. r. w., endlich in die Form 

(c) iQ — ay[aia2 • • • a^c^^-i . • - c J = 
umwandelt, wo r < a ist, und zwar fo, dass 

Qai =aai,[ai«0a2] = ci[aia2] u. f. w., endlich 

(d) [ai 82 • • • a, _i • OaJ = a[ai aj a J 

Tel und die n Grössen ai,*-ar, 0^4.1, ---en in keiner Zahlbe- 
zichung zu einander stehen, fo lässt fich zeigen, dass man 
diefe Umwandlungen a,uch fo weit fortfetzen könne, bis end- 
lich r = a werde. In der That, fo lange noch r kleiner ist 
als a, d. h. es noch mehr als r Wurzeln ^ = a giebt, welche 
der Gleichung (c) genügen, fo ist aus der Theorie der Glei- 
chungen bekannt, dass, wenn man jene Gleichung durch (^— a)' 
dividirt, der Quotient noch eine Wurzel Q = a darbieten müsse, 
d. h. es muss noch 

(e) [ai a,Cr+i oj = 

fein, für ß = a. Es feien d^+j, d^ die Werthe, in welche 

Cr4.i,'-*Ca übergehen, wenn man in den letztern a statt q 
fetzt, fo erhalt man 

(f) [ai----aA+i'--dJ = 0, wo 

(g) dr+i = (a - 0)e,+i ,• • • ',in = i^—Q)^n 

ist. Diefe Gleichung g Tagt aus, dass zwischen den Grössen 
ai9 ' * ar, d,^t " ' An ^i"^ Zahlbeziehung herrscht (nach 66). 
Es fei 

(h) a^ai H a,a, + a,4.idr+iH aA = 

der Ausdruck diefer Zahlbeziehung, fo muss einer der Koef- 
ficienten «r+ij***^ von Null verschieden fein; denn wenn 
fie alle Null wären, fo würde zwischen ai,***ar eine Zahl- 
beziehung herrschen, was gegen die Vorausfetzung streitet. Es 

fei etwa a^^i von Null verschieden, und fei a^+i 0,4-1 -\ «„0^ 

==ar+'i gefetzt, fo stehen (nach 19) ai,«--a,+i, e^+jj-'-en 
in keiner Zahlbeziehung zu einander, können alfo statt Ci,* • *e,| 
in die Gleichungen (a) und (b), oder statt ai,- • «a,, e^+i,- • -e. 
in die Gleichungen (c) und (d) eingefetzt werden, fo dass 
alfo nun 0,4,1 = (g — 0)8,+ 1 gefetzt werden kann. Ferner 
ist dann 



255 

(a — 0)ar4i == «rf i(a— 0)er+i H + «^(a— OK 

== Or fidr+i + + «A [nach g] 

= - aiEi — • • • • — My [nach h]. 

Alfo ist 

0ap4i = aiai -\ + a^a^ + «a^-i. 

Folglich 

[ai- • •ar-08r+il=[ai a^Ojai + • • •«rar+aa^O] 

0) =«[ai a^aH-i] [67]. 

Nun folUe, wie oben gezeigt, 

Cr+i = (? — 0)ar^t = pa^+i — Oa^-i 
fein, alfo wird 

[ai a,-CH-i] 

= ^[a^ • • • • a,ar+i] — [aj • • • a, • Oarf i] 
= p[ai • • • • an-il — a[ai • • • • an-i] [nach i] 

= (p — «)[ai----ar+-i]. 
Setzt man dies in die Gleichung (c) ein, fo erhält man 
(k) (ß~a)'+^[aia2---aH-iCr+2----cJ = 0, 
d. h. die Gleichungen (c) und (d) bestehen noch fort, wenn 
man, fo lange noch x<a bleibt, in ihnen r + i statt r fetzt, 
folglich bleiben fie noch bestehen wenn r = a wird, d. h. 

„Wenn unter den Hauptzahlen des Quotienten Q mehrere, 
und zwar a einander gleich und zwar =a find, fo lassen fich 
a Grössen erster Stufe ai,*'*-aa von der Art finden, dass 
diefe mit n — a der Gr(>ssen e„- -ea, etwa mit e«+i,- • • «0^, 
in kein^ Zahibeziehung stehen, und 

(*) Oai =oai,[afOa2] =a[aia2] u. f. w., endlich 
[aia2 • • • • aa-i • Oaa] = «[ai aj • • • • a«] 
fei, dann wird die Gleichung für die Hauptzahlen ^ folgende: 
(**) (e - a)»[ata2 • • • -aaCa+i • • • -cj, wo 

für jeden Index r von a + 1 an bis n ist.^ 

Es kommt nun darauf an, die zu den Nennern ai,**-aa 
gehörigen Zähler des Bruches Q zu finden. Zunächst ist der 
zu dem Nenner ai gebinrige Zähler nach dem Obigen gleich 
aai. Es fei der zu dem Nenner a, gehörige Zähler x, d. h. 
Qar = x, fo hat man (aus ^) 

[aiaa • • • ar~ix] = a[aia2 • • • a J , 



258 

d. h. [aiüa • • • ar-i(x — «8,)] = , 

alfo besteht (nach 66) zwischen den Grössen ai, a29***ar~i, 

X — ea, eine Zahlbeziehung , d. h. es ist 

X — aay = a'rj 
wo ü\ irgend eine aus ai, a2r**ar~i nnmerisch ableitbare 
Grösse ist, und man erhftit x = aar -f B\y d. h. 

(1) Oa, = aa, + a^, 
wo a^ eine Vielfachenfumme von ai, a2,**'ar>i ist. 

Es werde nun das Produkt von Q mit irgend einer aus 
ai,***aa numerisch ableitbaren Grösse p unterfuchit, und zwar 
fei psa^ai +*"€l^&t9 wo r = < a, und a, ^ ist, fo hat 
man 

Op = 0(Oiai+-.a^a,) 

= aiOai -i OrOa, 

= Ojaai« • • • o^aar + p' [nach 1], 

indem p' eine Vielfachenfumme von ai, a2,**-ar-i darstellt, 
= «p + p', d. h. 
,,Die durch die obige Gleichung (^) bestimmten Grössen 
ai, 83,- ««aa haben die Eigenschaft, dass jede Vielfachenrumme 
derfelben der Gleichung 

(****) Op = öp + p' 
unterliegt, wo, wenn p aus den r ersten jener Grössen ableit- 
bar ist, p' aus den (r — 1) ersten derfelben ableitbar ist.^ 

Es leuchtet unmittelbar ein, dass wenn von den Grössen 
^'u ^'9'" der Gleichung (i) mehrere, etwa die Grössen a'3, 

• ••a^^ null find, dann jede Vielfachenfumme von ai,-***ar 
fich durch die Multiplikation mit in ihr a-faches verwandelt, 
und alfo das zu a gehörige Hauptgebiet von (ßehe 387) 
von r-ter Stufe ist. 

Wenn unter den Hauptzahlen von Q nicht nur a derfelben 
vorkommen, welche gleich a, fondem auch 6, welche gleich 
jS, c, welche gleich y nnd u. f. w., wo a, ß^ y,«-- alle von 
einander verschieden find, fo lassen fleh nach dem Obigen 
h in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen b|, 

• «• b| von der Art angeben, dass jode Vidfacbenrumme q 
von bi,' • -b^ der Gleichung Oq==iJq + q' genügt, wo, wem 
q aus dem m ersten jener Grössen ableitbar ist, q' aus den 



9W 

(m-^ i) MTsImi 4brrdi)«n aUeiflMar Ut, wU «benfo lassen fidi 
€ in keiBer Zablbearidiuiif - zu ^naiider stebonde GrftBsen Ci, 
• • -Cc von der ArV angeben, dags jede Vielfechenfuiiime r vom 
Ci,* • *c, der Gleichung Or = yr + r' geüAge, wo, wenn r $x^ 
fUn A ersten der Grössen Ci,**«a( aUeitiier ui^ r* an» den 
n — 1 OTSlen derrdben aUeitbar isl n. f. w. Es lisel fidi 
neigen, dass dann die Grössen ai,*-*aa, bi,***b(, Ci,"-Oc in 
keiner Zahibeziehung zu einander sieben, und idfo als Nenner 
des Bruches gereizt werden können. In der Tbat nehoien « 
wir z. B. an, dass zwischen den Geössen fti,« • • ^9^^^^ bj,- • «b», 
Ci,- • *Cm.i noch, keine Zahibeziehung beüebe, aber min tv9i^ 
sehen diesen Grössen und der Grösse Cm eine ZaMbeziehung 
berYortrete, fo wird dieCe die Form haben. 

(m) p4-q + r=.0, 
wo p eine YielfacbenfHinie von a^, •••««, q eine ViellMbeif- 
fumme von b^,* • «t)^, r eine VteUachenCamnie von ei,**<CA 
ist, alfo wird auch 

= 0(p4-q+r) 
fein. Dies ist aber, wie oben gezeigt, 

t=a op + p' + /»q + q' + yr + r', 

oder, indem wir statt r feinen Werth = — p — ^ ans der 
Qleickoiig (m) fotzen, 

= (a-y)p + (/S-^y)q + p' + q' + r'. • .. 
Da nach dem Obigen r' aus Ci,'-Cm.i nnweris^ ab^ 
leitbar ist, To find alle in dtefer letzteren Gleichung voricom- 
mcnden Grössen aus den nach der Annahme in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehenden Grössen ai,**aa) bi,-*bt, 
Ci,***Cvi^i nuiaerisch ableitbar. Die rechte Seite der letzten 
Gleichung ward Ikh alfo als VielfaohcnfiHnme der leintg)^ 
nannten Grössen darsteilen lassen , und da die linke Seite null 
ist, To werden (nach 28) alle einzelnen Koefficienten dieFer 
Vielfachen rumme null fein. Wenn nun p von Null verschie- 
den, etwa =?=X3yai +• . • -x^a. wäre, wo x, ^ ist, fo wdrde 
p' nacii dem Obigen ans ai,* • * ^ag-i numerieeh ableübar fein, 
folglich würde a,, da es auch in q, q^, r', nit^hl enthalten 
ist, in jener gleich null gefetzten Yielfachennimme nur ein- 
mal vorkommen, nämlich mit dem KoefBcienton (a — )^)x, veit- 

17 



9S6 

iHuiden; lietHr mttfvta alfo mII Tein, wfts iiitn#ftich ist, da x. 
nach dar Annahme unglekh ruU, und a ongietcfa f iat. Folg* 
Uck ist dia Annahme, daaa p von Null verschieden Toi, nnmdg- 
lioh^ d. h. p ist gleich null, aus gleichem Grunde ist q = 0. 
Dann aber folgt aus der Gleichung (m), dass rssO ist Da 
Aua aber die Grössen ai,--^a« in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehen, fo folgt aus p = 0,. dass alle Koefficientan 
4es Ansdruckas, durdk welchen p aus ai^-'-a« abgeleitet isl^ 
. nuU fittd^ und dasfelbe folgt für q und r. Alfo entfadlt die 
Gleichung (m) gar keinen Ausdruck der Zahlbeziefanng; es 
findet allb eine folcbe zwischen« den Grossen cj,' • -a«, bi,« • • 
b|, C|,*-*C(,*'* gar nicht statt, was zu zeigen war. Alfo 
^Wenn die Gleichung 

[(pei — OetX^ea — Oe,)- • • ^Qßn — Oon)] = 0, . 
w«Mie in Bezug auf ^ vom n»>ten Grade ist^ a Wurzeln =;a^ 
1^ Wurzeln ^szß u. f. w. darbiatei, wo a, /?,• • • von einander 
verschieden find, fo kann man n in keiner ZahHreziekniig zu 

einander stehende Grössen ai, a«, bs,* • - -b»,« • • • von der 

Art angeben, dass wenn p eine VIelfachenfommeder m ersten 
unter den Grössen aj,« • -8«, oder unter den Grössen b^,* • • »bi, 
edier unt^r dem Grössen irgend emer folgenden Gruppe ist, 
dann Op im ersten Falle =::ap-j-p^, i» zweiten =/2p-f p^ 
u. f. w. fei , wo p'^ aas (ten m — i ersten Grössmi derfelben 
Gruppe Bwnerisch ableitbar ist.^ 

An». 1. Wenn unter den Wuseln ^ ein Paar oder mefaiect 
Paare unaginftrer Wurzeln yorkominen, To ändert dos in den gewon- 
nenen Refultaten nichts , da die Beweisführung ebenfowohl f&r ima- 
ginäre wie für reelle Wurzeln gilt. Es hat überdies nicht die geringste 
ßeliwiefrigkeit , die ans imaginären Warzefpaaren Üiessenden Bestim- 
mmgeD'in Melle Form nanufetaeD) was ieh daher dem Loler aber- 
lasse. 

A n m. 2. Die im Obigen entwickelten Gefetze find für die Theorie 
der geometrischen Verwandtschaften von Wichtigkeit. In der That 
stellt jeder Quotient, wenn er nicht mehr als vier Nenner enthält, 
gcfOineirisch gedeutet eine bestimmte kollineare Verwandtschaft dar, 
in ^r Art, dass jedes Pnvktfyatem mit dem Quotienten mnitipUcirt 
eiuii dem ^rajtexen koliinearea Punktfystem Uefiert, u^d fiim;ekeiirt l|i8«t 
fich jedes einem ursprünglichen Punktfjatem kollinear verwandt^ 
Punktfystem aus jenem durch Multiplikation mit einem Quotienten 
ableiten. Der Quotient gewahrt nun vor jeder andern analytischen 



SM 

Einkleidung jener Verwandtschaft den Vortheil^ dass ßch die wefeni- 
lichen Eigenthümlichkeiten der Yerwandtscliaft an ihm auC die ein- 
fachste Weife fymbolisch darstellen. Sind z. B. die vier Hauptzahleu. 
eines Quotienten mit vier Nennern alle reell und von einander ver- 
schieden, fo bieten je zwei kollinear verwandte Punktfysteme im 
Rimmc^ wdche durch jene Quotienten dargestellt werden kOnneii^ 
vier Funkte dar^ von denen keine drei in einer Ebene liegen^ iid4 
welche mit den ihnen entsprechenden zuXammenfallen, und ausser 
diefen giebt es keinen fünften Punkt, welcher mit dem ihm entsprechen- 
den Funkte des andern Systems zufammenfällt. Ebenfo enthalten die 
vorhergehenden Sätze die befonderen Beziehungen koUinearei^ Ver- 
wandtschaft für die F&lle, wo mehrere der Hauptzahlen des sugehö- 
rigen Quotienten cinamder gMch werden. Dte speeaeUen geometrischea 
Verwandtschaften, welche der KoUineation untergeordnet find, gehen, 
durch specielle Annahmen hervor. So z. B. die Affinität durch die 
Annahme , dass den unendlich entfernten Funkten jedes Systems auch 
unendlich entfernte Punkte des andern entsprechen. Femer die Gleich- 
heit durch die Annahme, dass ausserdem das Produkt der HaaptsaÜeB^ 
d. h. der Fotenzwerth des Quotienten gleich eins fei, die Kongnaei^ 
durch die Annahme, dass die entsprechenden Strecken gleich lang 
fein foUen (d.h. entweder =1, oder = — 1, oder =: cos. a + i fin. a), 
die Kongruenz verwandelt fich in die Symmetrie, wenn das Produkt 
der Hauptzahlen :^ — 1 statt -f 1 wird. Endlich die Aehiüichkeit geht 
ans der Affinität hervor durch die Annahme, dass die entspre(äi6ii^te& 
Strecken numerisch in g^iohem Vei^ältaisae stehen« Wir betigaekleo 
nun im Folgenden noch eine specielle Form des Quotienten, welche 
mit der Verwandtschaft der Kcciprocität in engster Beziehung steht, 

391. Wenn ein Brach Q die Bigenschaft hat, das» für 
beliebige van Null verschiedene Grössen er^^er Stufe a und b 

(a) [Oa|b] = [Obla] und [Oa|al ^ 

ist, fo lassen fich stets n in keiner Zahlbeziebung tu einander 
stehende Grössen erster Stufe Ci^-^-Cn von der Art finden^ 
dass 

(b) [OeJc.] = 

isty fobald r von s verschieden ist. Ferner find dann die n 
Hauptzahlen des Bruches Q alle reell , und unttr ihnen fo 
viel p^fiMve, als es unter den Produkten 

(e) [06i|c,],---[0cJcJ 
pofitive giebt» Endlich lassen fich stel9 n zu einander nor- 
male Grössen 0i,*'*^ von der Art finden, dass jede derfel- 
ben mit niultiplicirt ein Vielfa<^es derfdben liefert ^ alfo 



9SQ 

(d) Oe, = ßA, wo 

(e) [e,!e3]=0 

für jedes von r verschiedene s. 

Beweis. Ich zeige zuerst, dass Tich n Grössen C|,* • Cn 
der verlangten Art finden lassen« Es genagt zu zeigen, dass 
(re der Gleichung (b) für den Faii genügen, dass r<:s ist, 
denn da nach der Vorausfetzung (a) [Ocjc^] = [QcJcJ ist, 
To folgt dann, dass die Bedingung auch bestehen bleibt , wenn 
umgekehrt der erste Index grösser ist als xler zweite. Wir 
retten der Kürze wegen Ocr=;kr, To zeige ich zunächst, daas 
man n von null verschiedene Grössen erster Stufe Ci,«-*Cn 
finden kann, welche den Gleichungen [kr|Ca]=0, für jedes r 
< s genügen. Nach 189 können wir diefe Gleichungen auch 
schreiben [c^jkJ^O. Zunächst wählen wir für c^ eine be- 
liebige (van Null ver^cbiediHie) Grösse (erster Stufe). Dana 
muss C2 der Gleichung [c2|k,]=:0 genügen, d. h. c, muss zu 
kl normal fein (nach 152), oder anders ausgedrückt, Cj muss 
dem Gebiete |ki, welches von n ~-l-ter Stufe ist, angehören. 
Im Uebrigen fei Cs willkürlich. ■ Ferner muss c^ den Glei- 
chungen [Cs|ki] = [cs|kt]^0 genügen, d. h. c, muss den 
Gebieten jk^ und jk, angehören, alfo dem ihnen gemeinschaft- 
lichen Gebiete, dlefes ist (nach 25) mindestens von (n — 2)-ter 
Stufe, in ihm fei C3 willkürlich. Aus gleichem Grunde muss 
C4 den Gleichungen [c^lki] = [c4(k2] = [c4|k3] =2 gentigen, 
alfo demjenigen Gebiete angehören, was den drei Gebieten 
(n — l)-ter Stufe |ki, jk,^ [ks gemeinschaftlich ist, dies Gebiet 
ist mindestens von (n — 3)-ter Stufe, in ihm fei c« wilikür- 
licb, und fo fahre man fort. Endlich c,^ muss den Gleichungen 

[Cjkl] = [Onh] =•••.= [Cjkn-l] = 

genügen, d. h. c^ muss den (n — 1) Gebieten (n — l)-ter 
Slufe |ki, |k2,-**{kn.i angehören, diefe haben mindestens ein 
Gebiet erster Stufe gemeinschaftlich, in diefem fei c^ beliebig 
(aber von Null verschieden) angenommen. Somit haben wir 
jetzt n von Null verschiedene Grössen, wekhe den Gleichun- 
gen [c^lkj == 0, d. h. 0= [kjcg] = [OCrlfcg] zunächst für jedes 
r *< s genügen, alfo auch nach Gleichung (a) für jedes von r 
verschiedene s. Es ist noeh zn zeigen, dass ei>**'<^]i ii> 



keiner Zahlbeziehung zu einander sieben. Angenommen, es 

herrschte zwischen ihnen die Zahlbeziehung x^Ci -| l-XaC^ 

:^0, wo mindestens einer der Koefficienten, z. 6. x^ voii Nidl 
verschieden Ist, To haUe man 

= [Oc,'(XiCi 4 . • -XA)] = x,[0c,lcj , 
weil aUe übrigen Produkte null find, alfo Uttte man, da x, 
^0 ist, [QCr|cJ=3 0, was gegen die YoraBsfetzung (in a) 
streuet, alfo ist es unmöglieh, dass Ci,***Ca in einer Zaklbe- 
Ziehung zu einander stebeit. Nun fei [Oc^|cJ=a^, umi a^ 
= Cy : TP^Op gefetzt. Dann bilden die Grössen ai, • • • • a^ einen 
Verein, welcher den Begingungen 

(0 [OaJaJ=0, 
wenn r ^ s, und 

(g) [OarW==^l 
unterliegt, und zwar ist a, reell, wenn [O^rl^^J pofitiv ist; 
hingegen ist a^ einfach imaginär, d. h. als Produkt einer Reellen 
Grösse und der Quadrat wurzel aus — 1 darstellbar, wenn 
[Oc^lCf] negativ ist. Es find alfo unter den Grössen ai,**-an 
fo viel reelle, als unter den Produkten [Oci|ci],- • »[Oc^^oJ. 
poHtive find. Ich will jeden folchen Verein ai,- • ^11^, welcher 
den Gleichungen f und g unterliegt, und in welchem jede 
der Grössen ai,-**an entweder reell oder einfach imaginär ist, 
der Kürze wegen einen konjugirten Verein nennen. Es zeigt 
fich nun, dass ein folcher Verein bei circulärer Aeitdarung 
der darin vorkommenden Grössen wiederum ein folcher Verein 
bleibt, und zwar fo, dass die AnziBibl der reellen unter im 
n Grössen in dem einen Verein eben fo gross ist wie in (fem 
andern. Hierbei will ich unter circulftrer Aenderung zweier 
Grössen ai und 82, wenn beide reell, oder beide einfach im«- 
ginfir find, den üebergang derfelben in zww andere (i'ftsseti 
bj und bj verstehen, von denen 

(h) bi = xai+ya2 
bj = xa2 — yai 
ist, während x und y beide reell find, und die Summe ihrer 
Quadrate eins ist, alfo 

x* + y'»t=l. 
Hiiiigegen wenn von den beiden Grössen ai und a^ die eilte 
reell, die andere imaginär ist, fo foll 



bi = |[ai + yi»r 

ba = xaa — yiaa 
fein, wo 1 = ^ — 1, x und y beide reell find, und x^ — y^, 
d. h. x^ + (yi)^=l ist, oder anders ausgedrückt, die Glei- 
chungen (h) stellen jede clrculftre Aenderung von a^ und a, 
dar, wenn X immer reell, y aber nur dann imaginir und 
zwar einfach imaginUr ist, wenn von den Grössen ai und a2* 
die eine reell und die andere einfach imaginär ist. Es leuch- 
tet unmittelbar ein, dass auch b^ und bs beide reell, oder 
beide einfach imaginär find, oder eine derfelben reell, die 
andere einfach imaginär ist, je nachdem dies für ai und a^ 
der Fall war^ und dass alfo die Anzahl der reellen Grössen 
des Vereins bei der circulären Aenderung diefelbe bleibt« 
Ferner wird für jedes r >* 2 vermöge der Gleichungen h 

[Ob||aJ = x[0aiiaj + y[0a,|aj =0,. 
da [QaijaJ und [Qa^laJ (nach f) null find, aus gleichem Grunde 
iat dann 

[0b2W = 0. 
Ferner ist 

[Obilba] = x'[Qa,M - y^IOaaW + xy(£Oai|a,] 
— [OaalaaD, 
oder da [0«!^] = [0a2|ai]=0, und [0ai!ai] = [0a2|a2] = l ist, 

[Ob|M = 0. 
Feraw ist 

[ObilbJ = x^EOailaJ + y^Oa^la^] + »xy[0at|a2] , 
oder da [Oailaj] null, [Oaijaj = [0a2|a2] = i, und x* + y* 
3H 1 iat, fo wird 

[Obi|bJ = l, 
ttttd 9M gleichem Grunde [0b2ib2] = 1. Alfo genügt der 
Verein, weleber aus at, H9"'^n durch eirculäre Aenderung 
zweier Grössen hervorgeht, noch immer den Gleichungen f 
und g, alfo auch jeder Verein, welcher aus ai, a2,* • *aa durch 
wiederholte eirculäre Aenderung hervorgeht. 

Ich zeige nun, dass wenn irgend zwei der Grössen ai,. 
•••aa> etwa ai und a2 noch nicht zu einander normal find, 
man (ie durch eirculäre Aenderung normal zu einander machen 
kturn, und dass dabei das Produkt der numerischen Werlhe 



dKefer Grossen jedesmal abnimmt, fn der Thal Töilen b^ uird 
ba M einander normal fein, d. h. (nach 15®) [bi|b2] = fein, 
Ib hat man (nach h) 

== [(xai + yo2)!(xa2 - yaO] 

= ^^[ailaj] - y'Lailaa] + xyCa«/ -- «i*) 

==:x2 — y^ — äyxy, 
wo y = (ai* — a^O : 2[ai|a2] ist, hieraus folgt 

Sind nun ai nnd ^ bdde reell oder beide einfoch imaginlr, 

fo ist y reell, alfo auch — reell, alfo können wir dann x und 

y keide reell annehmen, und die Aenderong ist eine circnifire: 
Ist hingegen von den Grössen ai und 82 die eine reell ^i", 
die andere einfach imaginär == r'i (^0 i=|/^), fo wird y 
t=^ + (r^ +r'0:Äi[r;r'], alfo 

~ V 2lr|r'] J-V^ 2[r|r'] A «[rjp'] ^ 
^ r^ +2 [T\r'] +r^^ 2[ry] — r'- r^ . 
2[r|r'] * 2[r|r'3 

~ 4[rjr']* 

alfo ist p^l -+ Y^ einfach imaginär, aber auch y, alfo auch ihre 
Summe, d. h. x:y; nehmeu wir alfo x reell an, fo wird y 
etefach imaginär, aber dies war gerade die Bedingung dcff 
circutftren Aenderung für diefenFall, alfo lassen Tieh in alhHI 
PMIen je zwei der Grössen des Vereins , die noeb nieht nor^ 
nal KU einander find, durch circolftre Aenderung norAal zu 
einander machen. Bs isl noch zu zeigen, dass bei dieC^r 
Aenderung das Produkt der numerischen Wi^rtbe der Grössen 
kleiner wjrd. Hierbei foll unter dew numerischen Werthe 
einer Grösse ri, wo r reell, und i = ^— 1 ist, der numeri- 
sche Wefth von f verstanden fein. In diefem Sinne feien «j 
Und 02 die numerischen Werthe von a^ und a2, und ßi und 
/Sa die Von bi und bj, fo ist (nach 156) [aia2P= [bibal^j 
aber (nach 198) ist [aiasl'^CaiOsnn.^axas)^, wenn c^ und 



264 CM« 

cchi reell find; dasfelbe wkd nun auch der Fall fein, wcpn % 
und ai eiafach ioiaginftr, und unter ^a^aj steljs der Wiakel 
zwischen den entsprechenden reellen Gröasefi verstanden ist; 
wenn hingegen eine der Grössen äi und a^ reell, die andere 
einfach inaginär ist, fo wird [aiaj]- = — (ala2^in.^alaa)^ 
aber dann auch [bibj]^ = — (/Ji^afin.^biba)^, alfo da [aiaj]* 
= [b|b2]' ist, fo ist in allen Fällen 

(ttitta fin. ^aiaa)^ = (ßtß^ fin. ^bih^y. 
Wenn nun ai und aj nicht zu einander normal, hingegen b^ 
uiaid b) zu einander normal find, fo ist (fin.^atajX^^ 1» 
(rin.^btb,)^ = 1, alfo ia,a,)'<: ißtß.y, d. h. da a„ a,, ß,, ß^ 
pofitiv find, aiOi <^ i3i/?2* Alfo wenn von den Grössen eines 
k(Hijngirtpn Vereins irgend zwei no<Dh lucht zu eiaand^ norr 
n^al find, fo Ifisst fich der Verein circulär fo uniwitndeln, dass 
das Produkt der numerischen Werthe aller Grössen des Ver- 
eins kleiner wird. Da es nun ein minimum für dies Produkt 
geben muss, und dies minimum nur eintreten kann, wenn alle 
Grössen des Vereins zu einander normal find, fo muss fich 
alfo durch (wiederholte) circjiläre Aend^rung aus dem Verein 
&i> a2"'8tii ein Verein ableiten lassen, von dessen n Grössen 
je zwei zu einander normal find. Es fei r^, T2," t^^ diefer 
Verein, fo genügt derfelbe, da er aus dem Verein ai, 82,* •• 
a^ abgeleitet ist, wie oben bewiefei^ noch den Gleichungen 
f nnd g, und enthält eben fo viele reelle Grössen, ^ie der 
letetßre Verein^ alfo eben fp. viele reelle Grössen, als wter 
den Produkten [Ocijci], • • • • [Qc^lcJ pofilve Produkte . vorkom- 
men. N»o fei Ori = ;xiri-h -Xarn, Xo verwa»delt fich die 
19 der Gruppe f enthaltene Gleiclüur^ :=^ [Oft [ra]. in =: ([x^ri 

+ Xsrj H xjr^}\r7]=^i[r2\Tt], d» alle übrigen Produkt« 

{«•11^2] > felr»] u. f. w. wegen der aorrarien Beziehung (nach 
152) null find« Da nun ferner ra, alfo auch [r^lrj] von Null 
verschieden ist, fo |olgt aui^ der Gleichung sx^Cr^jr,}, dass 
X2 = fei; auf gleiche Weife folgt ^3F=.0,- ' : ••Xa = 0, alfö 
Qti =s Xiri. Dann verwandelt fich die in der Gruppe g ent- 
haltene Gleichung l = [Qri|rJ in i =Xj[rijri] = Xiri^ d. h. 
»I ist =1 .r,*, alfo 

Or,-i,r., 



und aus gl^cheoi Grunde ist 

SeUi DUM 

11 1 .. 

uÄd felsl Fl, ^u'"^n ais ^i<> Nenner des Bruche» 0» fo wei*« 
den alfo die zugehörigen l&Ahler ^iri, ih^ir^^fifm Md die 
ZAhler des Bruches q — Q vrorden alfo (^ — Qi^Ti, {f—. ^)r2^ 
' * '(? — ^ttX) <i^r Polenzweiih des Bruehe» ^ r-- Q ist (naeh 
383) gleich dem kombinatorischen Producte feiner . Zfthkf 
dividirt durch das Teiner Nenner, alfo gleich (q-^QxXv — ^2) 
•••(? — Qa)- l^>ö Gleicliung aber, durch welche die Haupt- 
zahlen Q eines Quotienten bedingt flnd, drückt aus, dass der 
Potenz werth von q — Q null fei, alfo hat man 
in — ?iX? - ft)- •••(?- ft») = 0, 
d. h. ^1, i^n flnd die Hauptzahlen von 0, es waren dtefei* 

11 1 ► 

ben (nach (i)) gleich —7, —7, • • • • --7, Je nachdem nun r 

reell oder einfach imaginär ist, ist — pofitiv oder negativ, 

alfo kommen unter den Hanplzahlen von Q fo viel pefitive 
vor, als unter den Grössen ri, r2,'«rn reelle vorkommen, 
d. h. wie oben gezeigt, als unter den Produkten [Oci|ci], 
" * * [Q^ti cj pofitive vorkommen. Alfo ist der 3atz vollstän- 
dig erwiefen. 

Anm. Die Hauptzahlen des Quotienten Q und die zugehörigen 
Grössen r|, ra,*-rn lassen fich durch das Verfahren in 388 unmittel- 
bar finden *, es kam hier nur darauf an , die befonders einfachen Bezie- 
hungen ^ welche unter der speciellen Vorausfetzung, die wir für Q 
gemacht hatten, zwischen jenen Grössen hervortreten, abzuleiten. 
Gelegentlich kommt in dem oben gegebenen Beweife der Beweis des 
fogeBauBten Trägheita^efetEes quadratischer Formen vor', aiudi läset 
fich aas ihm dec Stürmische Satz über die Wurzeln algebraischer Glei- 
chungen leicht ableiten. Auf die Geometrie angewandt, schliesst unfer 
Satz den Satz ein , dass jede algebraische Oberfläche zweiter Ordnung 
drei reelle Hauptaxen enthält, und der Satz 388 lehrt diefelben unmit- 
telbar finden. 

17* 



2S6 



§. 6. Die Funktionen als extensive Orössen. 

392. ErkUrung. Ich Tage, eine Funktion f Tei aus 
einer oder mehreren Funktionen f| , f2 , • • • numerlsek ableit- 
bar, wenn fich f in der Form 

f==«ifi +(hf%'^ 

darstellen Iftsst^ wo Oi, Oa,*** Zahlgrössen ausdricken, die 
entweder konstant oder doch von den Yariabeln der Funk« 
iionen nnabhftngig find, und wo das Gleiehbeitszeichen d» 
ßleidibeit für beliebige Werthe diofer letzteren Variabein 
ausragt. 

Anm. Kachdem diefe Definition festgestellt ist, l>esieben Heb 
alle bisher aufgestellten Erklärungen und Sätze unmittelbar aucb auf 
Funktionen, welche hiemach als extenfive Grössen erscheinen. Es ist 
diefe Betrachtungsweife für die Funktionenlehre und daher auch für 
die Theorie der Kunren und Oberflächen von grosser Bedeutung, wie 
fleh unten zeigen wird. Aucb kann fie dazu dienen, um unabhängig 
von den £rüberen geometriacben Entwitskelungen , den Begriff der 
Addition von Punkten, Linien, Flächen u. T. w. festzustellen. Für die 
Schärfe der Auffassung ist noch zu bemerken, dass stets festgestellt 
fein muss, welches die Yariabeln find, von denen die Funktionen ab- 
hängig gedacht werden follen, und auf die fich fomit auch die obige 
Dcfinitionsgleichung bezieht. Um ein Beispiel für die befondere Ge- 
Btaltang der allgemeinen Begriffe zu geben , wenn Funktionen als Ein- 
heiten gefetzt werden, betrachte ich die 6 Funktionen x', y', zy, z, 
y, 1, in denen x und y die Variabein find. Diefe stehen in keiner 
ZahlbeziehuDg zu einander, da, wenn ax^ + ^7* + c*y + dx -j- ey + f 
=r0 fein foll, für jeden Werth von x und y, alle Kocfficienten a, b, 
c, d, e, f null fein müssen. Wir können alfo jene 6 Funktionen als 
ein System von Einheiten fetzen. Die aus ihnen numerisch ableit- 
baren Funktionen find die Funktionen zweiten Grades mit zwei Ya- 
riabeln. Diefe bilden alfo ein Funktionsgebiet 6-ter Stufe. Aus 6 in 
keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Funktionen zweiten Grades 
mit 2 Yariabeln lassen ßch alfo alle Funktionen zweiten Grades mit 
2 Yariabeln numerisch ableiten. 

393. Erklärung. Es feien x und y die Koordinaten 
eines Punktes in der Ebene (oder x, y, z die Koordinaten 
eines Punktes im Räume), ferner Teien f^, fj,* • •fjj n in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehende Funktionen dieter Koor- 
dinaten und fei 

f=Xif, +X2f, -\ Xj„, 



•~> 267 

d. h. Xiy"' Xj, die AbleiUiihlen , durch welche f aus fi,* • • F^ 
ableitbar ist. Endlich herrsche zwischen diefen Ableitzahlen 
die Gleichung 

(a) 5p(xi, X2,---xJ = 0, 
To nenne ich die Gerammtheit der Kurven (Oberflädmi) f = 0, 
für welche die Ableitzahlen von f der Gleichung (a) genügen, 
ein zu diefer Gleichung gehöriges Kurvengefoäde (Flftcihen« 
gebilde), und zwar ein Kurvengebilde (Flächengebiet) n-ten 
Grades, wenn die Glei^ung (a) vom n*»ten Grade ist. Sind 
IBS Befondere fi, fj, f, Funktionen ersten Grades von x und - 
yund 

f = Xjfi 4- X2f2 + Xgfg , 

to bedingt die homogene Gleichung 

SP(Xi, Xa, X3) = 
ein Liniengebilde in der Ebene, und find fi, f^, fj, U Funk* 
tionen ersten Grades von x, y, z, und 

f =X,fi + Xjfa 4- Xgfa + X4f4, 
To bedingt die homogene Gleichung 

SP(Xi, Xa, X3, X4) = 
ein Ebenengebilde im Räume. 

Anm. Dio ganze hier eiogeleitete Idee ist nieht anders als die 
naturgemässe Erweiterung des Begrififs der Koordinaten, welche aus 
dem Wefen diefes Begrififs von Telbst hervorgeht. Die Koordinaten 
find, auf ihre ursprüngliche Idee zurückgeführt, die Ableitzahlen 
einer Grösse , durch welche diefe Grösse aus mehreren in keiner Zahl- 
bcziehung zu einander stehenden Einheiten hervorgeht. Substituiren 
wir nan diefen Einheiten Funktionen der ursprünglichen Koordinaten, 
fo geht der obige al][gemeinere Begriff hervor. Diefe Funktionen, 
welche als Einheiten gefetzt find , werden dann in der Ebene jede 
durch eine Kurve und 'einen Koefficienten dargestellt, nämlich durch 
die Kurve, welche alle Punkte umfasst, deren nrsprüngliche Koor- 
dinaten jene Funktion null machen, und durch den Koefficienten 
irgend eines von Null verschiedenen Gliedes der Funktion; wobei 
dann einerfeits durch diefe Funktion fowohl jene j^urve als jener 
Koefficient, andererfeits durch die letzteren die erstere bestimmt ist, 
Diefe Kurven fclbst repräfentiren die räumliche Lage der Einheiten 
und diefe Koefficienten ihre metrischen Werthe. Ausser dem in dem 
Lehriatze angedenleten Falle, wo f«, f», «•• Funktionen eroten Grades 
find, werde ich hier noch den Fall betrachten, wo fi^ f])*** Kreis- 
funktionen find. 



394. Erklärung. Die Fimktion 

x^ + y^ + ßx+YY-h^ 
nenne ich eine einfache Kreisfunktion, die Funkimn 

<x^ + yO + /»x + yy + * 

eine a*fftehe KreisAinklian. Und Wenn f(x, y) eine Krfeis* 
funklion ist, fo nenne ich den Kreis, dessen Gleichung, bei 
rechtwinkligen Koordintlen , 

ftx, y)t=0 
ist, den zu diefer Funklion gehörigen Kreis. 

Sff9. Alle Kreisfunktionen find ans vier in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehenden Kreisfunktionen numerisch 
ableitbar. 

Beweis. Jede Kreisfunktion ist aus den vier in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehenden Funktionen x^ + yj*, x, 
y, 1 numerisch ableitbar. Folglieh auch (nach 24) aus be- 
liebigen vier in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden, 
aus x^ + y^ x> y> 1 ableitbaren Funktionen, d.h. aus vier 
reichen Kreisfunktionen. 

396. Der Doppelabstand (fiehe 345) eines Punktes (x', 
yO von einem Kreife, dessen Gleichung 

f(x, y) = 
ist, wo f(x, y) eine einfache Kreisfunktion bezeichnet, ist 
gleich 

f(x', yO. 

Anm. Der Beweis durch Koordinaten ist bekannt. Viel einfacher 
ist jedoch der auf dem Begriff extenßver Grössen beruhende Beweis. 
Es gründet fioh diefer darauf, dasB, wenn p ein variabler Pnnkt, a 
der Mittelpunkt des Kreifes und a' fein Radius ist, 

(p — a)* — a'> = 
die Gleichung des Kreifes ist, und die linke Seite derfelben sugleieh 
den Doppel abstand des Punktes p von dem Kreife darstellt, was 
beides unmittelbar im Begriffe liegt. 

397. Drei Kreife stehen dann und nur dann in einer 
Zahlbeziehung zu einander, wenn He alle drei durch die- 
folben zwei (reellen oder imaginären) Punkte gehen. 

Beweis. Es feien f|, f^, f^ drei Kreisfonktionen von 
X und y, ki, kj, ks die drei Kreife deren Gleichungen be- 
ziehlich 



•MI 

fl=0, f2=0, f3=0 

Rud. Es Tei zuerst eine Zahlbeziehuitg zwischen ihnen an- 
genommen, etwa 

(a) f^=(h{i + aj^. 
Die DurchcchnittspiinlKte der Kreife k^ und k, Fmd nun die- 
jenigen Punkte, für welche gleichzeitig fi und f^ null rind; 
dann ist aber vermdge der Gleichung (a) auch fg nuH, d. h. 
diefe Durchschnittspunkte liegen auch in dem Kreife k^. Nun 
fei umgekehrt angenommen , dass die DurohschnittspuBkte von 
kl und ka auch in k^ liegen. Für irgend einen dritten Punkt 
(x', yO in ^z mögen, wenn man feine Koordinaten statt x und 
y in die Funktionen f^ und fj einführt, diefe beziehlich die 
Werthe Oi und a^ annehmen, fo hat der Kreis, dessen Gleichung 

ist, mit k3 ausser den obigen Durchschnittspunkten noch den 
Punkt <x', yO gemein, alfo drei Punkte, ist ihm alfo identiacb, 
d. h. der Kreis kg ist aus kj und kj numerisch abldtbar. 

Anm. Wenn die Durchschnittspunktc der Ereife kj und kj ima- 
ginär werden, fo hat jeder Kreis, der diefelben beiden imaginären 
Paukte enthält , die Eigenschaft , dass fein Mittelpunkt mit den Mittel- 
punkten jener Kreife in gerader Linie liegt, und die drei Krcife die- 
felbe Linie gleichen Doppelabstandes (gleicher* Potenz nach Steiner) 
haben. 

398. Zwei Kreife haben stets eine gerade Linie des 
gleichen Doppelabstandes und drei Kreife stets einen Punkt 
des gleichen Doppelabstandes und zwar w«mi (^ fj, fa drei 
etafache Kreisfunktionen find, To ist 

fi-f2=0 
die Gleichung für die gerade Linie des gleichen Doppelab- 
standes von den zu fi und ^ gehörigen Kreifen, und der 
Punkt, welcher durch die Gleichungen 

fl — f2=0, fi — f3=0 

bestimmt ist, ist der Punkt des gleichen Doppelabstandes von 
den Arei zu fi, f^, fa gehörigen Kreifen. 

Beweis. Für die Punkte des gleiche Doppelabstandes 
d^ zu den einfachen Funktionen f|, f^ gehörigen Kreife hat 
man (nach 396) 

fi = fj, d.h. fi.~fa = 0. 



270 

Da aber ^ und f^ einfache Kreisfiinktiontn nnd , To heben 
(ieh in. der Differenz f^ - f3 die quadratischen Glieder auf uad 
fi — ^2 wird eine lineare Funktion, alfo fi — f^ = die Glei- 
chung einer geraden Linie. Für den Punkt P des gleichen 
linftren Abstandes von den drei zu fi, fj, fs gehörigen Kreifea 
hat man aus gleichem Grunde f^ =s fj = fg, d. h. f^ — fa =0 
und fi — fa = 0; alfo ist P der DurchschnitUpunkt der durch 
die letzten zwei Gleichungen dargestellten geraden Linien. 

Anm. Für zwei concentrisobe Kreife wird jeae Linie unendlieh 
entfernt) für identische unbestimmt. Für drei Kreife, deren Mittel- 
punkte in gerader Linie liegen, wird der Punkt des gleichen Abstan- 
des entweder unendlich entfernt, oder unbestimmt innerhalb einer 
geraden Linie oder ^anz unbestimmt, je nachdem zwischen den drei 
Kreifen keine, eine, oder zwei Zahlbeziehungen herrschen, in welchem 
letztern Falle die drei Kreife identisch find. 

399. Vier Kreife stehen dann und nur dann in einer 
Zahlbeziehung zu einander, wenn fie alle vier einen Punki a 
des gleichen Doppelabstandes haben, und zwar stehen fie, 
wenn a endlich entfernt ist, in derfelben Zahlbeziehung zu- 
einander wie ihre Mittelpunkte. 

Beweis 1. Es feien f|, f^, fg, f^ vier einfache Kreis- 
funktionen, k^, k2, kg, k4 die zugehörigen Kreife. Es fei 
zuerst angenommen, dass jene vier Funktionen in einer Zahl- 
besziehung zu einander stehen^ fo dass etwa 

fei» fo miisSy da aUe vier Funktionen einfache KreisJTunktionen 
find, «1 + 02 + «3 = 1 fein, f ör den Punkt a des gleidiea 
Doppelabstandes von drei Kreifen ki, k2, k^ hat man (nach 
398) fi5?:f3 = f3, alfo wird für diefen Punkt 

h = Oh + (h +«3)fi = fn 
da «1 -f ^^2 + <^3 == 1 >s^ d. h. der Punkt a ist Punkt des 
gleichen Doppelabstandes von den vier Kreifen ki, kj, k,, k«. 
2. Es fei umgekehrt angenommen, dass a ein eadlich 
entfernter Punkt fei , welcSer gleichen Doppelabstand von den 
vier Kreifen k^, kj, ka, k« habe; es feien ai, Sj, ag, «4 die 
von dem Punkte a nach den Mitteipunklen jener Kreife ge- 
zogenen Strecken 9 und r^, rj, ra, ri die vier Radien, und 
p die variable von a nach einem beliebigen Funkte der Kreis- 



271 

umfinge gezogene Strecke , fo nehmen fi, fa, fg, f^ die 
Form an 

f. = (P - ^sY - ri = p^ - 2[a Jp] + S, 
wo 4) = a/ — rj ist. Nach 396 stellt zugleich S den Doppelr 
abstand des Punktes, för welchen p = ist, d. h. des Punk* 
tes a, 'von dem Kreifo k^ dar. Diefer Doppelattstand ist nach 
der Vorausfelzung für die vier Kreife kj,- • •k4 derfelbc. Ferner 
besteht (nach 233) zwischen den einfachen Mittelpunkten der 
Kreife ki,-**k4 eine Zahlbeziehung; diefelbe ZahlbeziehDog 
findet (nach 222) auch zwischen den Strecken statt, welche 
von einem beliebigen Punkte nach jenen Mittelpunkten gezogen 
find, alfo auch zwischen ai,**a4. Es fei 

84 = ai^i + «2^2 + «sag 

diefe Zabibeziehuag, fo muss, da die Mittelpunkte einfache 
Punkte find, ax + «2 + <^ = 1 iein; dann hat mmi 
f4=pi-2[a4|p] + <r 
= P^ — 2[(aiai f a^aa + (hB^yif] + S 
=(«1 + «2+ «3)(p^ -h ^) — 2[(«iai+aaaj +a3a3)|p] 
= aifi + ajfa + agfg. 
3. Ist der Punkt a des gleichen Doppelabstandes «nend«- 
fich entfernt, fo liegen (nach 398) die Mittelpunkte der vier 
Kreife in einer geraden Linie. Vier folche Kreife stehen aber 
stets in einer . Zahibeziebung zu einander; denn tmmkX man 
diefe gerade Linien zur Abscissenaxe (der x), lo werden die 
vier Funktionen fj , • • • f4 von der Form 

f3 = x« + y'-2/?x: + *„ 
indem das Glied mit y wegfilUt: Es fmd alfo dann die Funk- 
tionen fi,**-f4 aus den drei Funktionen x? + y^, x nnd 1 
anmerisoh ableitbar, stehen alfo (nach 392) in ek^ep Zablbei^ 
Ziehung zu einander. 

An m. We»a -der PuDkt a dea gleichen DoppelabBtftBdea von ^cr 
Kreifen ausserhalb ^ines der Kreifo liegt, fo ^t der Doppelabstaad 
von diefem Kreife, gemäss der Definition, pofitiv, alfo auch der 
Doppelabstand von den übrigen Kreifen pofitiv, a liegt dann zugleich 
ausserhalb der übrigen Kreife. Zieht man von a die Tangenten an 
die vier Kreife, fo müssen diefe gleich fein, weil för - jedeti Kre» das 
Quadrat der von einem äusseren Punkte gezogenen Tangente gleich 
dem Doppelabstande diefes Punktes ist* Schlägt man alfo um a einen 
Kreis, dessen Kadius gleich jenen Tangenten ist, fo werden alle vier 



272 

Kr^ife von diefem letztern Kreife fenkreckt geflehnittea. liegt loa- 
gegen a innerhalb eines der Kreife, fq muss es auch innerhalb der 
andern liegen* Zieht man dann von a in irgend einem der Kreife 
diejenige Sehne, die durch a halbirt wird, fo ist das Quadrat der 
halben Sehne gleich dem Doppelabstande des Punktes a yob diefem 
Kreife, sieht man alfo in allezi vier Kreifen die durch a halbirleii 
Sehnen, fo müssen diefe alle einander gleich fein. Schlägt man end- 
lich um a mit der halben Sehne s einen Kreis, fo wird diefer Kreis 
von jedem der vier Kreife im Durchmesser, d. h. fo geschnitten, dass 
die beiden Durchschnittspunkte die Endpunkte eines und desfelben 
durch diefen Kreis gezogenen Durchmessers find. 

llan kann diesen in Durchmessera geschnittenen Kreis als einen 
fenkrecht schneidenden betrachten , dessen Radius imaginär = r / — 1 
ist, während a der Mittelpunkt bleibt und erlangt dadurch den Vor- 
theil eines gemeinschaftlichen Ausdrucks. Unfer Satz würde dann fo 
lauten : Vier Kreife stehen dann und nur dann in einer Zahlbeziehung 
zu einander, wenn lie von Einem Kreife fenkrecht geschnitten werden, 
und zwar ist der Mittelpunkt diefes Kreifes der Punkt des gleichea 
Doppel abstandes von irgend dreien der vier Kreife, und der Radius 
gleich der Quadratwurzel diefes Abstandes. Wir können dies auch fo 
ausdrücken. Das aas drei Kreifen ableitbare Gebiet ist die Gefammt- 
heit der Kreife , welche von einem und demfelben Kreife fenkrecht ge- 
schnitten werden. In diefem Sinne stellt aKo der letztgenannte Kreis 
jeaes Gebiet, d. h. das aus Kreifen erzei^;bare Gelriet dritter Stufe 
dar; während das Gebiet zweiter Stufe durch einen Verein zweier 
Punkte dargestellt wurde. 

4A0» Aufgabe. Den Kreis zu finden, welcher aus n 
gogcJ^enen einfachen Kreifen durch n gegehene Zahlen ab- 
leitbar ist. 

Auflöfung. Es feien ai, (h'-^-a^ die n gegebenen 
Zahlen, ihre 3uaime a; ferner fei ein beliebiger Punkt als 
Anfangspunkt aller Strecken angenommen , und feien die von 
ihm nach den n Mittelpunkten gezogenen Strecken ai, a^* va^ 
und die n Radien feien ßi^ ßir'ßn] ferner fei die von 
oach dem variaUen Punkte gezogene Strecke r, fo find die 
n zu den Kreifen gehörigen einfachen Funktionen 

(T-^aY-ßl 

für jeden Werth des Index a von 1 bis n. Alfo ist die ge- 
fiicUe Kreisfunktion f, 

f = ZM(r-«.)^/?a*] = Ztta[H-2[r |a«}+aa> -ßl] 
= ar* - 2[rlZ««a«] + Z«(»(«a* t- ßl\ 



m 

weil ^Oa^OL Kti^ehortiitiäti i^t.' D« «m dei^ Vunkl will*- 
Mrliefa ist/fo kdtinen wir ibif-y wenn a niohl ncdl isl, h 
wählen, dass er aus den n MttielptinliteR dur ch di gsZableA 
cety-'^an numerisch ableitbar ist/ Diann ist ^a^jusazTO nnd 
das zweite Glied fftilt weg. Dann wird 

Setzen wir ^aa(j?J — ai) = «/?*, fo wird 
f=<r'-i?^), 
d. h. ^der Mittelpunkt des gefachten Kreires ist, wenn dte 
$iimme der n gegebenen Zahlen nicht tiult ist, der ans deA 
n Hittelpunkten der gegebenen KreiFe durch die n gegebenen 
Zahlen ableitbare Punkt, und den Radius (ß) desfelben erhält man, 
wenn man die n DoppelabstSnde des gefundenen Mittelpunktes 
Ton den n gegebenen Kreifen beziehlich mit den n gegebene^ 
Zahlen multiplicirt , die Summe dierer Produkte durch die 
Summe der n gegebenen Zahlen dividirt, den Quotienten mit 
— 1 multiplicirt und aus diefem Produkte die Wurzel zieht.^ 

Ann). Dit Bebandlang d^ Ftlles, wo a>=0 wird, aberlaaie ich 
dem Lefer.. 

5. 6. VerwandtsAafteiL von dem Oefdohtspnnkte der 
FonktioiuTerkxitkpfaQer aus betrachtpt 

4i01. Erklftrung. Zwei Vereine von Grössen nenne 
ich verwandt, wenn jede Zahlbeziehung, wekhe< syrischen 
den Grössen des ersten oder zweiten Vereines herrscht , auch 
i^Wi^chen den entsprechenden des andern stattfinde! ^ d« k. w^mi 
4ler Grösse 

pc±=aa -}-/Jb +••• 
die Grösse 

Pi = aai + /Jbi+.'- 
t$nlspriobt und umgekehrt, wo nitalich a, b, • # • ^ Miebige 
{[rossen des ersten Vereins und ai, bi,-«*« die . eitfapreeken*- 
den des andern, und a, /?,«•• beliebige Zahlen find. . 

A02. Wenn zwei Vereine von Grössen, . in . den«» die 
Grössen eines jeden Vereins Tich aus n in keiner Zahlbeziehung 
ktt einander stehlenden Grössen desbUien aumeriseb abfeilen 
lassen, einander verwandt fein feilen, fo kann man beliebigen 

18 



n in keiniur SaUbes^Mbung zn einander stoheaden Grössen d90 
einea Veireins. balie^ige n. derselben Bedingung unterworfene 
Grössen des andern entsprechend fetzen; dann ist zu jeder 
iGrösse eines jeden der beiden Vereine die entsprechende des 
andern genau bestimmt« 

Beweis. Es feien a, b,-*- n in .beliebige , in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen des einen, und 
Siy b| , • • • n derfelben Bedingung unterworfene Grössen des 
andern Vereins, fo lässt fich nach der Vorausfetzung jede 
Grösse p des ersten Vereins aus a, b,*«* numerisch ableiten. 
Es fei 

p = aa + /?b + ' • • 
der Ausdruck diefer Ableitung, fo flnd (nach 29} die Zahlen 
a, i?,*- * genau bestimmt, fobald p eine bestimmte Grösse isU 
Sollen nun beide Vereine verwandt fein, fo miiss (nach 400) 
der Grösse p eine Grösse 

Pis==«ai + /^bi +••• 
entsprechen. Es ist alfo zu jeder Grösse des einen Vereins 
die entsprechende des andern genau bestimmt. Es ist noch 
zu zeigen, dass die fo gebildeten Vereine in der That ein- 
ander verwandt (ind, d. h. dass jede Zahtbeziehung, welche 
zwischen den Grössen des ersten Vereins herrscht, auch zwi- 
schen den entsprechenden Grosso des zweiten hercsche und 
umgekehrt. Es fei 

(a> jr + ^'Ä + • •• = - 

eine zwischM den Grössen r, s,»** desperaten V^oins herr- 
schende Zahlbeziehung, und feien ri, St,--« die den Grössen 
r, s,-*- entsprechenden Grössen des zweiten Vereins, fo ist 
zu zeigen, dass auch 

(f ri -f <rsi + • • • = 
fei. Setzt man in (a) stall r, s,* • • die Ausdrücke ihrer Ab* 
leitang aas a, b,*---, löst die Klammem auf, und fasst die 
Glieder, welche a enthalten, in Ein Glied zulanmen u. f. w;, 
fo erhalt man einen Ausdruck d«ir Form 

oa + /Jb -I • =0, 

wo a, ßf'^* Funktionen der Zahlgrössen ^, er,**- und d^ 



AbleiltmgßsaMm von r, 0>* • •find; BiiririM folgt, Ai. a, ti^* • • 
in keiner Zahlfeezieftmgr zu tinmAer ai^ea, (nneh 99) 

a=«0, iS=?0, . 

Wendet man min dasfelbe Verfekrea aaf dan Auadrwk. 
^1 +^i +*'* an«} fo eritftb man, da die AbleitzaliIen;VM^ 
1^, «!,♦•• dreWlben find, wie die von r, s.,«t,. . 

' (jFi 4-'Ä5i +• • • =Äai + ^lii +• ••, 
wo a, /},>•• dijB&ibe Bedeatvng 4iaben, wie ob^. Da aben 
ay ßr^* ^^ ^^^1 fo erbftli.iiiaB 

ff, +*«! +.f=0, 
(t h. jede Zählbdziälräng, welche zwischen den Grössen des 
ersten Vereins . berrscfat,, henrscht auch zwischen den enl*- 
sprecbenjdea des stJiteileB, nnd ebenfo umgekehrt/ d..h. im 
beidea Verao» fi»d verwandle 

- 408. Wenn« man aus ^wei verwandten Vereinen zwei 
neue Teristne dadu^ck ableitet, dass man jedem linealen Pr^: 
drfüt P,. was auisi Grössen des erslra Verdnes gebildet ist,, 
dasjenige ProiAdd alsi e»tspreohend Tetzt, welches .auf: gleiche 
Weire aus den entsprechende Grissen des zweiten .Verelas.' 
gebildet ist, fy Ghi diefe iiefdenf neuen yer^ine eii^arvlei^ gleich- 
faiia verwandt^ d, h^ .wenn r, s, • • • beliebige firösse». dfiB*. 
mieli und r^v Si^^f die eittsprechetidea des verwatfdten V^r? 
eines Tind, und die Unealen Produkte P(r, s^.- •) 9ftdP(ri^ S|^ • ^ < 
einander entsprechend; gefeizt werden, wie auch r^ s,*f • ge- 
wählt fein mögen, (o find auch die fo erhaltenen Vereine eiii-^ 
ander verwandt. 

Beweis. Es Teien Si , 8],* • • a^ Grössen des ersinn Ver- 
eins, welche in keiner Z.ahlbeziehung zu einander stehen^ und 
aus welcher fich alle Grössen des ersten Vereins aumerisch ab- 
leijlee lassen, und b^, b^, • • • b^ die entsprechenden des andern, 
welche alfo derrelben Bedingung unterworfen find, und fei 

r =s Z^p«a« — ftaj H p^a., s s= X^^«at, u. t. w., 

alfo. 4na#h 400) . 

fi^jfird iä . ' 



99« 

* 0a nim dM Prodrti^ lineile find, lo mub (naoh BO) 
jede BedkigiMigdglefc&mgv "^eldi^^wisciteii disft Produkteii. 
PC^a 9 8(9**0 herrscht, auch .bestehen bleiben, wenn man 
siMl 'di , 'a3> • • • a^ die Grössen b| , b, ,* •* b,^ fetat. Hon lassen 
fMi/ (nach 49), yreän p die Anfesahi der verschiedenen Pro»« 
dukte von der Form PCat, «()' * -) ond q die AnsihI der von. 
einander unabhängigen. K^dingHngsgkHehungan isV^ die ßlmmt« 
liK^hen < Produkte P(a«, a»»* * •) aoap -- q der&lbcn, wdcbe in. 
keiner Zahlbeziehung zu einasiler stehen^ ptimerlBdi abtoitfen, 
und zwar Co, dass, wenn dief^ p -»- q Pro^ektei beiitimmt Tind, 
auch ftlr jade» der Hbrigen Produkte die AbleitamhUn bbatinitni 
Fmd. die Aosdrüeke diefer Ableitung Hnd Mir von den Ber. 
dlngungagleidiungen abbltagig. fielzt.Bati daher ^tafcta,,^,* • « 
überall b^, b,,---, To müssen, da dto Bediftfttnfsjgleichttnge». 
bei diefer Sutfstilulion nach geltend bleiben ^attchdÜ Aus- 
drilcle jener Ablaäong beatehdn UoibeA^ d. h. w6nn Ai; Aj,* • * 
dib in keiner Zidilbezi ebentg i zu ^nander» stehendeii PrMlufcla 
find, >ui welchen Geh alle flbrifcm Produkte ^ der. Forai 
P(ac, a^,-*0 ableitoll lassen, und 

ist V ^'^MB ferner Bi , B^ , ^liejanigen PrödiUite find^ weleha . 

am flen^ Produkten A^, As,*«* dadurch hecMorg^en!^ liaaa, 
man in dielen bf , b,,* • • iitatt! ai, ^2.^-^' Üm^ So ist 

- '* PCto«r*>i^,-^0==«ai,t,M.*i +- «,, .;«,-Bii H — . 
Alfa> . . . u ./ 

P(r, s, »; ') = ^Qü(ft ■ ■ '(«1, g, B,...Ai +a2, ,, y.A^ + ^O 

: ' ' iP(ri, Si'r- • . ) = XpaCb""- '• («1, ,, K... Bi + 02, a, ^,...82+ • ' ), 

A. hV eij ist P(r, s,- • •) 'durch diefelben Ä^ahlen aus A^, Aj,- • • 
abgeleitet, wie das ^nlsprediende Produkt P^r^, s/, •••) aus 
den enti^prechenden Produkten Bj, B2,'-"V d. h. (nach 401) 
es ist der Yerein der ft^odukte P(r, s,- • •) verwandt dem Ver- 
eine defr entsprec^ndöh Piradukte P(f i , »i , • ^ ^ > • '^ 

A04. Man kann in zwei Vereinen, dereA fcd^r aAs n' 
Grössen desfelben ableitbar ist^ und welche ein^iader verwandt 
fein feilen, in jedem beliebige n +- i Grössen annehmen, von 
defiftfi keine n in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, 
und festfetzen, (duss-den n ^-f 1 Gröi^A^ des «r^^^p. Vereins 



V»: 

Grössen entsprochen Tollen, welche den n rf- 1 im zweUiaQ 
Verein angenommenen Grössen kongruent lind; dann ist zu 
jeder Grösse eines Vereines die entsprechende des andern, 
mit Ausnahme etees für alle gleichen ZahlkoefSeienten,* ge- 
nau bestimmt. 

Beweis. Es Teien df • • 'a^+i die Grossen des ersten und 

bi b„^i die des zweiten Vereinig, welche der im Satze aus- 

ge^ochenen Bedingung unterworfen rmd, fo wird tioh, ge- 
m%s3 diefer Bedingung, jede der Grössen ai9**'^ii+t ms den. 
tfbrtgen duroh ^ihien ableiten Isssefli welche alt^ von Null 
verschieden -find. Denn da der Verein aus n in keiner Zahl^ 
beziehung zu einander steh^den 6r(tesen i^Ieübar fein foil, 
fo muss er auch (nach 24) aus je n diefer Bedingung unter«* 
worfenen Grössen ableitbar fein, allb auch jede der Grössen 
aif»*-8a+i aus den übrigen, und follle von 4en. AbleHzaMeH; 
irgend eine Null fein, fo Würde zwischen den fi übrigen, gegieja. 
die Vorausfetzung^ eine Zablbeziehung herrschen. Dasfelbe gilt 
f&r die Grössen h^^ • • *^n-H' ^^^ ^^^ 

W |b,^.i=/J,bj+---iJnbn, 

iMb «1 , • • • *Ob) ßir"'fiti «U« uttgleiek NuH. 

Ferner feien Ci,-*-*«^^.! die Grössen, welche bezieUieh 
den Grössen a^,* • •8^1-1 entsprechen und den Grössen b^- • •b^^-i 
kongruent fein feilen. Aus diefen Kongruenzen folgt, dass 
für jeden Indeix r von 1 bis n + 1 ficb c, als Produkt von b^. 
in eine Null versehledene Zahl x^ dmm» darstdlefi lassen, alfo 
(b) c, = x,b,. 

Da ferner Ci,'«««c„4.i den Grössen a|,* •• -8,14^ fo ent- 
sprechen follen, dass die Vereine verwandt ßnd, fo muss 
(»fich 401) 

(c> Crt+t«5a,c, +••• o^Cb 
feki. ^tthstituirt man in (c) die Werthe aus (b) und dividirl 
B|U Xj^i, fo erhült «an 

«■+1 ■ ,*«+» ■ • 

ij^ber M19 ,(') M^ ■'Mtn xugleiph 



37d C^« 

allb muss (nach 29) 

-z = Pu V 7" = P»- 

Hierdurch bestimmen fleh alle Unbekannte bki auf eine. 
Setzen wir Xn-}.i=A, fo wird 

fd^ if —^^^ . . T — '^^^ Y , — ; 
ta; Xi == -— »• • • • > Xft — ^ — -j x^+j .r- A. 

Wenn diere ^edfngimgen (d) erfttllt find, fo wi#d a^eh 
umgekehrt die Gleichung c ermiit. Dann Hnd alfo die Ver-^ 
eine verwandt; in Bezug a«f die n -f i Grössen aj • • ^a^^i and 
die ihnen entsprechenden Ci* • • -0^4:1 uttd jeder Cirdsse 

einspricht die Grds^^e 

(iddr, indem man mw Cf * -^n ihre Werthe aus<b} und dann 
statt Xf • -Xn ihre Wertle aus (d) fotaÄ, i . 

d. h. q ist mit Ausnahme dines konstanten . F^k^or^s X genau 
bestimmt. : • 

Anm. Es lässt n«li dle^Y^rwandtsch^, zweier ¥er;;i]ie) abgctfeh^a 
Y0n 4ien. inetvi^clileii Werilbei^ ^^r «tlt8Bre<^enden Qröfflf^ji, fUißh,if der 
Art bestimfni^D, da»| mam festr^lzt, eß /allen jeden drei in einer ^ahl- 
beziehung zu einander stehenden Grössen des ersten Vereins' auch, 
drei in einer Zalilbeziehung zu einander stfeheü'de Grössfen'deS' iwteiien'* 
uäd timgekehrt 'entspredhen.= Ber Beweis der"ldenlitÄt dlefet^'äestiäi^ 
niiktig Jiiit de^ db€b.g«gebeai6iti'(^nt& man TO^a des mftriaclieii Weih 
then der entsprechenden Grössen abücht) ergte1;>t iicl^ l^eht, wenn 
mfoi^d^ von ^öblus in ^o^nem J)ar^c<E<ntrischen Calcul. in §. 200—206 
und befonäers in §^ 203 gegebene vort^-efflichc Entwickelung derCol- 
lineafion auf 'die hier t)etrachtete ällgenieine Verwandtschaft überträgt. 
409. Der Raum und die Ebene lassen Hch in der Art 
einander verwandt fetzen,' dass jedem'^Pünkte im Rtlüme ein 
Bereis in der 'Ebene entspricht 'taiid' üingekührt. ' Bann ent-' 
sprechen den in Einer Ebene liegenden funkten d^s* RaiAn^^ 
reiche Kreire, welche von Einem und demrelbeu; Kreire fenk- 
recht geschnitten werden. Und zwar kann man fünf belie- 
bige Punkte des Raumes, Von denen kein^ vier in Jfiiner 
Ebene liegen, mit fünf ' tieUebigeh Kreifen der Ebene, von 



dn^n keine Tier vwi. Eia^m Kireife fenkr^ecbt g^sekniUen 
werden, entoiirechend reizen. Dann aber is4 ku jedem Pui^ykte 
des Raumes der entsprechende Kreis der Ebene und umge^ 
keikti bestimmt. Jeder Satz der Sbereometrie lässt fich in diefem 
Sinne auf Kreife der Ebene , und umgekehrt jeder Sftlz über 
KreiTe der Ebene mt Punkte des Raumes übertragen* 

Beweis. Nach 395 ist jede Kreisfunklion aus vier be- 
liebigen in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Kreis- 
funktionen numerisch ableHbar, und nach 232 ist jeder Punkt 
hn Räume aus vier beliebigen in keiner Zahlbezfehung xn 
einander stehenden Punkten numerisch ableitbar. Folglich 
kann man (nach 404), wenn die Punkte des Raumes und die 
Kreife einer Ebene zwei verwandte Vereine bilden feilen, 
fünf beliebige Punkte des Raumes, von denen keine vier in 
einer Zahlbeziehung stehen, d. h. keine vier in Einer Ebene 
liegen, und fünf beliebige Kreife. der Ebene, von denen keine 
vier in einer Zahlbeziehung stehen, d. h. keine vier von 
Einem Kreife fenkrecht geschnitten werden^ annehmen und 
festfetzen, dass jenen fünf Punkten des Raumes diefe fünf 
Kreife entsprechen follen, dann ist zu jedem Punkte des Rau- 
mea der entsprechende Kreis der Ebene und umgekehrt be*- 
^stinmt* Ferner, da vnach dem Begriffe der Yerwandtffcbaft 
(401) jede Zahlbeziehung ^ weiche zwischen den Grossen de^ 
einen Vereins herrs<^.ht, auch zwischen den entsf rechenden 
Grössen des verwandten Vereins besteht, fo folgt, dass wenn 
^zwiichen vier Punkten des Raumes eine Zahlbeziehung. herrscht, 
anch zwischen den vier entsprechenden Kreifen eine folcbe 
herrschen muss , d. h. wenn die vier Punkte in Eiper Ebeoe 
liegen, fo müssen die vier entsprechenden Kreife von Einem 
Kreife fenkrecht geschnitten werden. Endlich die Uebertrag- 
barkeit der Sätze folgt daraus, dass jeder Satz des Raumes 
lieh vermittelst der vier Ableitungszahlen, durch die jeder 
Punkt darstellbar ist, in einen analytischen Satz kleidet, und 
diefer fich wieder, indem man die vier Ableitzahlen als die 
Ableitzahlen des jenem Punkte entsprechenden Kreifes fetzt, 
in einen Satz über Kreife der Ebene verwandeln Ifisst, und 
ebenfo umgekehrt. 



CM« 

406. Man kann in. der Etenä zwei TeFwandtoTereiM 
VM Kroifen annehmen, und dabei fünf beliebige Kceife des 
einen f&nf beliebigen Kreifen des andeiTi Vereins ents^eehend 
fetzen, verausgeretzly dass keine vier der In demfelben V&c* 
eine langenonimenen fdnf Kreire von einem und demfelben 
Kreife renkrechl geschniUen werden, dann ist zu jedem 6*teli 
Ki'eife des einen Vereins <fer entspreciieAde des andern be- 
slimmt^ und jeden vier Kreifen des einen Vereins, die von 
BinemKreife fenkreciit geschniUen werden , entsprechen vier 
Kreire des endern, die gleichfalls von Einem Kreife fenkrecht 
geschnitten werden. 

Beweis ergiebt fich aus dem Obigen von felbst. 
Aiim. Wir nenpen die fo eben. behandeUe Verwandtschaft die 
fyncycliscbe. Von befondei'cm Interesse ist der Fall, wo Solchen 
Greifen, die fich in Punkte zurammenziebcn , auch in dem andern 
Vereine gleicbfaHs fotcbe entsprechen. 

WS. Wenfi der Kreis, dessen Gleichung 

(a) aCx^ + y^)+2i?x + 2yy + ir=0 • . 
ist, wo (t, ßf Y^'i reell find, fleh in einen Punkt zufamme»* 
ziehen foll, fe muss 

(b) «« = /?« 4-/2 

fein, irargdcehrt, wenn die Gleichang (b) statlfindel und niclit 
«He KoefBcienten miK find, fo niuss der durch (») dargesteüle 
Kreis fich entweder in einen Punkt zufammenziefaen, oder in 
idre unendlich entfernte Gerade umschlagen; letzleres, wenn 
^i ßy 7 zugleich null find. 

Beweis. Aus der Gleichung (a) erjffcM fich, wem « 
iriebt null ist, Rlr den Radius, r des zu ji^aer Gleidtung ge<- 
btlrigen Kreifes 

woraus das Uebrige hervorgeht. Wenn hingegen a null ist, 
(e wird die Gleichung, (a) die Gleichung einer geraden Linie; 
nher dann folgt- aus (b), dass ß^ 4- /^ "ull fei, d. h. dass ß 
uad Y null feien; alfo ist, dann die durch die Gleichung (a) 
d^fgiestellte .Linie die unendlich entfernte. . 

. 408. Nimmt man x und y als (rechtwinklige) Koordi- 
naten eines Vereins von Kreifen und x' und y^ als die eines 
andern, und fetzt den vier Funktionen 



281 

x» + y», X, y, 1 
nach d^ Reihe die Funktionen 

i, X', y', x'^ + y» 
entsprechend, fo dass aKo jedem Kreife, dessen Gleichung 

(a) a(x* + y^) + 2/Jx + 2yy + <J = 
ist, derjenige Kreis entspricht, dessen Gleichung 

(b) a + 2/?x' + 2yy^ + ^(x'^ + y'*) = Q 

ist; To entspricht jedem Punkte des ersten Vereines, mit Aus* 
nähme des Anfangspunktes der Abscissen, ein Punkt des zwei- 
ten und umgekehrt; dem Anfangspunkte der Abscissen hin- 
gegen entspricht in dem andern Vereine jedesmal die unendlich 
entfernte Gerade. 

Beweis. Wenn^ der Kreis, dessen Gleichung (a) ist, 
nch in ^incn Punkt zufanunenzieht, fo ist ad = /?' + j^^ (407). 
Wjßnn aber diefe Gleichung gilt, fo ist auch der Kreis, dessen 
Gleichung (b) ist (407), entweder ein Punkt (wenn 4^0) 
oder die unendlich entfernte Gerade, letzteres wenn ß^ y^ i 
mdl find, d. h. wenn der Punkt des ersten Vereins durch die 
Gleichung a(x^ -f y^ ;=; bestimmt, alfo Anfangspunkt itor 
Koordinaten ist. 

409. Wenn bei zwei fyncyclisch verwandten Vereinen 
von Kreifen der unendlich entfernten Geraden jedes Vereins 
ein Punkt des andern entspricht, und allen übrigen Punkten 
jedes Vereines wiederum Punkte des andern entsprechen, fo 
kann man stets den (zu einander fenkrecfaten) Koordinaten- 
axen jedes Vereins eine folche Lage geben, und dem al9 
Einheit genommenen Maasse der Längen einen folchen Werth, 
dass den vier Funktionen 

x» + ySx, y, 1 
des ersten Vereines nach der Reihe die vier Funktionell . 

1, X', yS x'2 + y'^ 
des andern entsprechen. 

Beweis. Die unendlich entfernte Gerade wird durch 
eine Funktion dargestellt, welche bloss aus einer Konstan- 
ten besteht. Der Punkt, welcher in jedem Vereine der un-r 
endlich entfernten Geraden des andern Vereines entspricht, 
fei 2&UIQ Anfangspunkte der Abscissen gemacht. Der Anfangs- 

18* 



282 €*•• 

punkl der Abscissen wird durch die Kreisfunktion x* + y* 
dargestellt. Diefer Funktion entspreche in dem zweiten Ver- 
eine die Konstante a, durch welche die unendlich entfernte 
Gerade dargestellt; ebenfo entspreche der Funktion x'^ + y'^ 
des zweiten Vereins in dem ersten die Konstante b. Man 
findere nun das als Einheit genommene Maass der Ldngen , (b 
multipliciren fich die Koordinaten mit einem konstanten Faktor 
Xy und «s entsprechen fleh dann 
XXx^ + yO, b 

a, A»(x'» + y'0. 

Es werde X^ fo bestimmt , dass a : P = P : b, i.h.X^ = ab fei. 

n 

Setzen wir dann -r- =: ti\ fo entsprechen fleh 
/., iu(x'^+y'^). 

Nun werden aber die rfiumlichen Gebilde, welche durch Funk- 
tionen dargestellt werden, nicht verändert, wenn man diefe 
alle mit einer konstanten Zahl, alto hier mit fj, dividirt, und 
wir könaen dahör x* -f y' und 1 mit 1 und x'^ -f y'* ent- 
sprechend fetzen. Es möge ferner den Funktionen x und y 
des ersten Vereines die Funktionen fi und f, , nämlich 
fi = «i(x'^ + y'^) + /Jix' + y,y' + d, 

U = «2(x'* + y'^) + /?2X' + Y^r + ä, 
entsprechen, fo dass alfo den Funktionen 

x* + yS X, y, 1 
die Funktionen 

1, f„ t,,x'^ + r' 

entsprechen. Aus den ersteren fei durch die Koetficienten a, 
ß, Y, S eine Funktion f abgeleitet, fo entspricht ihr im zweiten 
Vereine die Funktion P, welche durch diefelben KooHficienten 
aus den vier letzten Funktionen abgeleitet ist. Die Bedingung 
dafür, dass die erstere Funktion f einen blossen Punkt dar«- 
stellt, ist Cnach 407) 

(a) 4air = /?» + yl 
Für die zweite Funktion 

P = ö + /Jfi + yf2-f.<y(x'» + y'») 

= (* + M + Y^X^'' + y^O + (/»A + yÄK 



*••) 283 

ist diere Bedingung; 

Führt man hier statt d den Werth aus (a) ein, To erhilt man 
iß' +y' + 4aM + ia/a^Xa + ßi, + r^i) 

= <ßßi + rß^y + aißn + mV. 

Diefe Gleichung muss für beliebige Wertbe von a, /}, 
Y gelten, alfo müssen die Koefficienten, die zu gleichen Po-^ 
tenzen diefer Grössen gehören, auf beiden Seiten gleich Tein. 
Da die rechte Seite a nur in der ersten Potenz enthftit, fo 
müssen die Koerficienten der Glieder, welche a^ enthalten, 
und derer, welche a gar nicht enthalten, null fein, alfo find 
Ol, 029 iu i% i^ull, d. h. fi und fj stellen gerade Linien dar» 
welche durch den Anfangspunkt der Abscissen gehen. Legen 
wir die Abscissenaxe fo, dass fle mit der durch f^ dargestell- 
ten Linie zufammenfällt, fo reducirt fleh f, bloss auf das 
Glied, was y enthält, d« h. ß^ wird null. Dividiren wir dann 
noch die fo reducirte Gleichung durch a, fo geht He über in 

ß' + r\^ß'ßi' + ißri + my^ 

Da in der entwickelten Gleichung iy-^f^ der KoefBcient von 
ßf ist, fo muss }^|)f3=:0 fein; y^ kann nicht null fein, weil 
fönst fa identisch gleich null wäre, alfo muss yi null fein. 
Dann erhalt man 

ulfo j?j = -|- 1 , yj = -|- 1. Da auf jeder der beiden Koordi- 
natenaxen die Seite, nach welcher die Koordinaten pofitiv 
genommen find, beliebig gewfthlt werden können, fo können 
wir ßi und y^^=: •{- \ fetzen , und es wird dann f| =s x', f^ 
= y', und entsprechen alfo den Funktionen 

x^ + y^x, y, 1 
des ersten Vereins die Funktionen 

1, x^ y^ x'^ + y'^ 
des zweiten. 

Anm. Die hier behandelte specielle Art der fyncyclischen Ver- 
wandtschaft ist zuerst von Möbins aufgestellt und von ihm Kreisver- 
wandtschaft genannt worden*, vergl. Möbius üeber eine neue Ver- 
wandtschaft zwischen ebenen Figuren (in den Berichten der König), 
fiäcfas. Qefellsch. der V^Tiss., 5. F^r. 1853). Es ergiebt fich aus dem 
Obigen) dass derjenige Funkt in jedem der beiden kreisverwandten 



284 C«t# 

Vereine als charakteristisch hervortntt, welchem im andern Vereine 
die unendlich entfernte Gerade entspricht. Es fei dicfer Punkt Cen- 
tralpunkt des Vereins genannt. Legt man nun die beiden Vereine fo 
auf einander, dass die Ccntralpunkte, die x-Axen und die y-Axen 
fich gegenfeitig decken, fo deckt auch jede durch den Centralpunkt 
gehende gerade Linie, z. B. die gerade Linie qx + ry = die ent* 
sprechende. Schlägt man nun noch um den Centralpunkt mit der 
Länge, welche als Maass der Koordinaten zu Grunde gel^t ist, einen 
ICreis, welcher Hauptkreis hcisse, fo stellt fich die gan^e Art des ge- 
genfeitigen Entsprechens aufs Anschaulichste dar. Dann besteht die 
Peripherie des Hauptkreifes aus den fämmtlichen Punkten, welche 
ihre entsprechenden decken, jedem Punkt im Innern des Kreitcs ent* 
spricht im andern Vereine ein auf demfclben Radius liegender Punkt 
ausserhalb des Kreifes, und zwar fo, dass der Radius stets die mitt- 
lere Proportionale zwischen den Abständen der beiden entsprechenden 
Punkte vom Centrum ist. Letzteres folgt für einen Punkt der x-Axc 
fo^leich aus den entsprechenden Funktionen, denn die Kreis-Gleichung 
(ßines Punktes der x-Axe, dessen Abscisse =c ist, ist (x — c)* + y* 
ft== 0, d. h. x^ + y» - 2cx -f- c' = 0, alfo die dea entsprechenden Pank- 

ies l-2cx + ca(xa + ya)=0, d. h. (x-'^)Vy' = 0, alfo ist der 

Abstand diefes Punktes vom Centralponkte =s — ^ wifchrend die dei 

c 

entsprechenden Punktes c war, alfb ihr Produkt 1 , d. h, die als Ein- 
heit genommene Länge die mittlere Proportionale zwischen den Ab- 
ständen der entsprechenden Punkte auf der x-Axe. . Da man nun jede 
durch den Centralpunkt gehende gerade Linie als x-Axe annehmen 
kann , fo giU jene Beziehung allgemein. Wenn man statt der Annahme, 
dass den unendlich entfernten Geraden ein Punkt entsprechen foll, 
die Annahme macht, dass in den beiden fyncyclischen Vereinen ohne 
Ausnahme jedem Punkte des einen Vereins ein Punkt des andern ent> 
spreoheu fbll, fo entspricht auch der unendlich entfernten Gerade« 
des einen Vereins die unendlich entfernte des andern, und man ge- 
langt zur Aehnlichkeit, welche Xich alfo auf diefe Weife der Kreis- 
Verwandtschaft gegenüber stellt. 



§. 7. Normale Einheiten der Funktionen, St^tigk^it 
der letzteren. 

aiO. Erklärung. Normale Einheiten reeller 
firdssen. Für die reellen Zahlen Tetze ich 1 als normale 
Einheit, für die reellen exienfiven Grössen Tetze ich als nor- 



male Einheiten die ursprünglichen Einheiten e^, ej, 



•e, 



'ai 



fSr die reellen extenliten Gröwen m*ter Stufe ferner die wohl- 
geerdneien (multiplikaÜTen) Koinbinalionen ohne WiederholüBf 
cur m-ten Klasse au» den ursprünglichen Einheiten, für die 
reellen algebraischen Produkte von Grössen gleicher Stufe end« 
lieh die (wdilgeordneten) Kombinationen mit WiederheliHig - 
aus den normalen Einheiten der Fakioren (wobei jede diefer 
Kombinationen als algebraisches Produkt der darin enthaltcaen 
Elemente aur;curassen ist). 

Anm. £s find hier nur die früher vereinzelt yorko^menden Be* 
Stimmungen zufammengefasst. Es kommt noch darauf an, auch fiiT 
die reellen Lückenausdrücke die normalen Einheiten festzustellen. Wir 
haben (in 363 An m.) gefehen, dass das Produkt der Faktoren /welche 
die Lücken eines Lückenausdracks ausfüllen Tollen , als ein algebrai- 
sches Produkt aufzufassen ist, mit welchem der Lückenauddruck mul- 
tipliclrt werden foll. Folglich kommt es nur darauf an , welche Wcrthe 
der Lückenausdruck annimmt, wenn die normalen Einheiten jener 
algebraischen Produkte mit ihm multipUcirt werden. Es feien Ei^ 
E^*" die normalen Einheiten diefer algebraischen Produkte und L 
der Lückenausdruck, fo kommt es auf die Werthe L£|, LEj,-*- an. 
Diefe Werthe können wieder extenfiye Grössen fein, die normaleä 
Einheiten derfelben feien e^, es,«-«, fo ergeben fleh als normale Ein- 
heiten von L diejenigen LückenaaBdraeke^ welche mit Ei) E»-*- mal* 
tiplicirt irgend eine der Einheiten e^, es,*** liefern. 

411. Erklärung. Normale Einheiten reeller 
Lückenausdrücke. Wenn Ei, Ea, die normalen Ein- 
heiten derjenigen algebraischen Produkte find, deren Faktoren 
die Lücken eines reellen Lückenausdruckes L auszufüllen ver- 
mögen, und Ol, e2,*:* die normalen Einheiten derjenigen 
Grössen flnd, in welche L nach Ausrüllung feiner Lücken 
übergeht, To Tetze ich diejenigen Lückenausdrücke E^^^ als 
normale Einheiten von L, welche den Gleichungen 

Er..Er = e. und E,,.Et = 0[t^r] 
jgfenügen. 

Anm. Es ist diefe Erklärung in Uebereinstimmung mit der in 
381 für die Einheiten des Quotienten , d. h. des Xückenausdruekes mit 
Einer Lücke gegebenen. 

412. Jeder (reelle) Lückenausdruck liisst (ich aus den 
in 4fl festgefetzten normalen Einheiten desfelben numerisch 
ableiten, und diefe letzteren stehen in keiner Zafalbeziehung 
zu einander. 

Beweis wie in 381. 



SM («it 

418. ErkL Nartaiale Binheiien einer Grössen*» 
gaitung. Als Grössen derrelben Gattung fetze ich alle die- 
jenigen Grössen, welche nach dem Früheren zu einander addiri 
werden können. Die Anzahl der normalen Einheiten einer 
Grössengattung nehme ich stets als eine gerade an, indem 
die eine Hälfte derfelben reell ist, und die andere daraus 
durch Multiplikation mit i = }/-— 1 hervorgeht. Die Ableit- 
zahien, durch welche eine Grösse aus ihren normalen Ein* 
heiten numerisch abgeleitet wird, nehme ich stets als reell an. 
Anm. Für die allgemeinen Zahlgrössen find alfo 1 und y — 1 
= i die normalen Einheiten , für die allgemeinen Grössen erster Stufe 
*ii Cji* ' 'Cftj Cii, eji,« • •eni, wo e^, ej,- • «en die ursprünglichen Einheiten 
find u. f. w. 

414. Erkl. Numerisoher Werth einer Grösse 
heisst die pofitive Quadratwurzel aus der Summe der Qua-» 
drate aller Zahlen, durch welche jene Grösse aus ihren nor- 
malen Einheiten ableitbar ist, d.h. wenn E^ E2,*** die 
normalen Einheiten einer Grösse P find und 

P = OjEi + €^1^2 -f- • • • 
ist, fo ist der numerische Werth von P gleich 

Anm. Diefe Definition ist in tJebercinstimmung mit der in 151 
gegebenen. Der nnme rische We rth einer komplexen Zahlgrösse p + qi 
ist hiemach gleich )/p2 + q*. 

418. Wenn der numerische Werth einer Grösse null 
ist, fo Hnd alle Zahlen, durch welche diefe Grösse aus ihren 
normalen Einheiten abgeleitet ist, einzeln genommen null. 

Beweis. Es feien E], E^,-«* die normalen Einheiten 
der Grösse P und fei 

P = ajEi + Ä2E2 +•••. 

Wenn nun der numerische Werth von P null fein foll, 
fo heisst das (nach 414) 

y«; +a\ -\ =0, alfo 

«I + «I -I — =0- 
Da aber 04, o^,*** (nach 413 Anm.) alle reell Hnd, fo 

kann die Summe ihrer Quadrate nicht anders null fein^ als 

wenn fie alle einzeln genommen null find, alfo 

= ax = «2 =• • • . 



4iÄ) 287 

416. Erklärang. Wdnn der nttmerische Wafih einer 
Grösse a kleiner ist als der einer Grösse b, fo Tage ich, a fei 
numerisch kleiner als b und schreibe dies 
a num. < b. 
4117. Wenn a^, Os,*** die Zahlen und, durch welche 
a aus feinen normalen Einheiten ableitbar ist, und ebenfo ßi^ 
ßif'" die Zahlen, durch weiche b aus feinen normnlen Ein- 
heiten ableitbar ist, fo find die Vergleichungen 
a num. <: b 

und «! +«1 H ^ ß\+ ß\ +••• 

einander gleichbedeutend. 

Beweis folgt unmittelbar aus 416 und 414. 
418. Wenn p, q,--- pofitive Zahlwerthe und a, b,«-« 
beliebige (aus denfelben normalen Einheiten ableitbare) Grössen 
von der Art Hndj dass 

a num. <^ p, b num. < q, • • • 
fei, fo ist auch 

a + b + • • • num. < p + q + • • . 
Beweis 1 (für zwei Grössen). Es feien Ci, Ca,«*- die 
normalen Einheiten von a und b und fei 

a = aiCi -}- 020^ -{-••• 

h=^ßie,+ß2e2 +••• 
und fei a der numerische Werth von a, /? der von b und y 
der von a + b, fo ist a <: p, /? < q, zu zeigen ist, dass 
y <. p + q Fei. Nach 414 ist 

a^ = a*j -f a^ -f • • • 

ß' = ß'.+ß\+-- 

alfo (*) f^a' + ß^ + 2(aii9, + a,ß, +...)• 

Nun können wir zeigen, dass Oißi + ce^ft H =<Zaß 

fei. In der That ist 

(a/?)'-(aiA + Ma +•••)' 

Die rechte Seite ist die Summe mehrerer Quadrate, alfo gleich 
oder grösser als Null, alfo auch die linke, d. h. 



288 €"• 

ilfo auch, da a mi ß poiTtiv rind, 

Wenden wir diefe Vergleichung auf dte Gleichung (^) aii^ 

fo folgt 

Y^^<:a' + ß' +iaß, d. h. y» = <: (a + ß)\ 

aifo, da y und a -{- ß poniiv Tind, 

/ = <« + /»; 

aber da a und ß (pontive) Zahlen find, welche bezieblich 
kleiner als die podtiven Zahlen p und q find, fo ist 

a + /?<p + q, 
alfo y<p + q, 

d. fa. der numerische Werlh von a -f b ist kleiner als p + 4* 
2. (für mehr Grössen). Da nun (nach Bcw. 1) a + b 
nuni. <p + q und (nach Hypothefis) c num. •< r ist, fo ist 
(nach Bew. 1") a + b -{- c num. <: p -{- q + r u. f. w. für be- 
liebig viele Grössen. 

%19. Wenn p und q pofitive Zahlwerthe und a und b 
beliebige (aus denfelben normalen Einheiten ableitbare) Grössen 
von der Art find, dass 

a num. •< p, b num. < q ' 

ist, fo ist auch 

a — b num. <^ p + q. 
4120. Erklärung. Ich fagc, eine Funktion tiq) einer 
pofjtiven Zahlgrösse verschwinde mit q, wenn fich zu jeder 
poritiven Zahl p ein poHtiver Werlh von q angeben lässt von 
der Art, dass 

f(q) num. <: p 
fei, und auch bleibe, wenn q beliebig abnimmt, aber pofltiv 
bleibt. Wenn ausserdem f(0) = ist, fo fage ich f(q) werde 
mit q null. 

Anm. Beide Ausdrücke : Mit (pontivem) q versciiwiDden und mit 
q null werden ) find alfo nicht identisch; fondcrn nur der zweite 
Bchliesst den ersten ein, nicht umgekehrt; denn es könnten für f(q) 
die Bledingnngen des Verschwindens mit q erfüllt fein, und könnte 
dennoch f(q)für q = in einen ifolirten von Null verschiedenen Werth 
ftberspringen. 

421. Wenn mehrere Funktionen fi(q), f2(q)j • •, fn(q) 
einer pofltiven Zahlgrösse q mit q verschwinden, fo ver- 
schwindet mit q auch 



(•) aifi(q) + a^fjCq) + . • • + a„f„(q), 
wo ai, 83,- • • a^ endliche Zahlen, oder auch beliebige endliche 
Lückenausdrücke mit je einer Lücke find, welche durch fiq, 
fjq u. f. w. ausgefüllt werden kann. (Und ebenfo wenn jene 
Funktionen mit q null werden, fo wird auch diefer letzte 
Ausdruck (a) mit q null.) 

Beweis 1 (für Zahlen). Sollten von den Grössen «i,* • «an 
einf^e null fein, fo kann man in dem Ausdrucke (a) die Glie- 
der weglassen, in denen diefe Koefficienten, welche gleich 
null Find, vorkommen. Wir nehmen an, dies fei schon ge- 
schehen, und es feien alfo a^,- • -aQ lauter von Null verschiedene 
(endliche) Zahlen. Da nun (nach Hyp.) f^q mit q verschwindet, 
fo muss fich (nach 420) zu jeder von Null verschiedenen Zahl, 

z. B. zu — , ein pofltiver Werth q^ von der Art angeben 
nai^ 

lassen, dass fi(qi) numerisch kleiner als p:ain fei und auch 
bleibe, wenn qi beliebig abnimmt, aber pofitiv bleibt; aus 
gleichem Grunde wird man auch einen poHtiven Werth q^ der 
Art angeben können, dass f2(q2) numerisch kleiner als p:a2n 
fei und auch bleibe bei abnehmenden q^, u. f. w. Wenn nun 
q ein pofltiver Werth ist, welcher noch kleiner als jede der 
Grössen qi, qar *4a ^^^ ^^ ^^^ ^u^b ^i? >^u™* ^ P * ^i^ u- ^' ^« 
oder 

Bifiq num. < — , a2f2q num. <-£-,... anfa(q) "um. < — ; 

folglich ist (nach 418) auch die Summe der linken Seiten 
numerisch kleiner als die der rechten, d. b. 

Bifiq + ajfjq -I + a J„q num. <: p, 

eine Vergleichung, die auch bestehen bleibt, wenn q beliebig 
abi|imnit, aber pofitiv bleibt, d. h. es verschwindet der Aas- 
druck (a), wenn ai,***an Zahlen fmd, mit q. 

2. Es reducire fich der Ausdruck (a) auf aJiq, wo ai 
eine normale Einheit eines Lückenausdruckes fei, dessen Lücke 
durch fiq ausgefüllt werden kann; es feien ferner ei, Ca»*** 
4ie normalen Einheiten von a|fiq, und £1, E»,*** die von 
r^q und fei 

(b) fiq = Ei^iq + E,y,q + . . . = Z^Ea^a«, 

1» 



290 (4t» 

To wird (nach 411) a^ die Eigenschaft haben, dass es mit 
einer der Einheiten E|, Ej,«-*, z. B. mit E^, multiplicirt, 
eine der Einheiten e^, ej,« • •, z. B. die Einheit e^, liefert, hin- 
gegen mit jeder der übrigen Einheiten Ei, Ej,*-- multiplicirt 
null giebty fo dass alfo dann 

(c) aiE, = e„ aiEt = 0, für t ^ r 
ist. Dann erhalten wir 

aifiq = ai2^Ea5P«q = XaiEa5P«q [44] 

= aiEr5Prq = e,(p,q [c]. 

Alfo ist (nach 414) der numerische Werth von a^ftq 

gleich y(5Prq)^« Da "^n (nach Hyp.) f^q mit q verschwindet, 
fo iässt fleh (nach 420) zu jeder pofitiven Zahl p ein Werth 
von q der Art angeben, dass fi(q) num. <: p fei, und auch 
bei abnehmendem q bleibe, d.h. (nach 417), dass 

fei und bei abnehmendem q bleibe. Da aber (nach 413) y^q, 
Sp2qr" reell, alfo (SPiP)S (.92^)^'" pofitiv find, fo muss 
jedes diefer Quadrate kleiner als p^ fein, alfo auch (g>ti)^^f\ 
d. h. ajfjq num. <:p, alfo verschwindet aifiq mit q. 

3. Es feien endlich ai, 82,* • • beliebige Lückenausdrücke 
(mit je einer Lücke), und fei 

wo E,i, E,2r" ^^^ normalen Einheiten von a, darstellen, 
fo wird 

aifiq 4- ajfjq -I = 2^a«, ^ E«, ^ f.q. 

Da nun (nach Bew. 2) Ea^^f^q mit q verschwindet, fo 
verschwindet (nach Bew. 1) auch die Vielfachenfumme diefer 
Ausdrücke; alfo auch aifiq -f a2f2q +• - **. Wenn ausserdem 
ft<If f^q»'**» für q = 0, auch null find, fo gilt dasfelbe auch 
für aJiq + a2f2q +"'9 alfo, da ausserdem der letzte Aus- 
druck mit q verschwindet, fo wird er nun auch mit q null. 

422. Wenn zwei Funktionen f^q und f2q einer pofitiven 
Zahlgrösse q mit diefer verschwinden (oder null werden), fo ^ 
mmsis mit ihr auch die Differenz f^q — fjq verschwinden (oder 
null werden). 

Beweia in 421* 



4tf) 29i 

433. Erklärung. Wenn fx Tör ehien bestimmten 
Werth X die Eigenschart hat, dass lieh allemal ein konstanter 
Werth c von der Art angeben lässt, dass f(x-f qdx) - c jedes- 
mal mit dem pofltiven Zahlwerthe q verschwindet, was für 
eine endliche Grösse, die mit x von gleicher Gattung ist, auch 
unter dx verstanden Tein mag, To fage ich, die Funktion fx 
konvergire um x nach c. 

A nm. Es ist hier alfo unter dx vorläufig nichts weiter verstanden, 
als eine beliebige endliche Orösse , welche mit z von gleicher Oattung 
ist. Doch habe ich schon hier die fe Bezeichnung gewählt, da fie ftir 
dos Folgende am bequemsten ist. 

424. Wenn fx um x nach c konvergirt, fo kann es 
um X nicht zugleich nach einem von c verschiedenen Werthe 
Ci konvergiren. 

Beweis. Denn follte beides zugleich der Fall fein, fo 
mttssten (nach 423) f(x -f qdx) — c und f(x + qdx) — Ci beide 
mit q verschwinden, alfo (nach 422) auch die Differenz beider, 
d.h. c — Ci, was unmöglich ist, da c und Cj zwei verschie- 
dene Konstanten ßnd. 

429. Erklärung. Eine Funktion fx heisst in x stetig, 
wenn fx um x nach dem Werthe konvergirt, den fx in x hat. 

426. Wenn fx in x stetig ist, fo* verschwindet för 
jedes endliche dx die Differenz f(x -f <ldx) - fx mit q. 

Beweis unmittelbar aus 425, 423. 

Anm. Wenn fx in x nicht stetig ist, fo verschwindet nicht für 
jedes endliche a die Differenz f(x+qdx) — fx mit q-, fondern es könnte 
f(x 4* qdx) f är verschiedene Grössen dx nach verschiedenen Gränzen 
konvergiren, oder, wenn es auch für alle endlichen Werthe dx nach 
ein und demfelben Werthe c konvergirte, alfo (nach 423) die Funktion 
fx felbst um x nach diefem Werthe zu konvergirte, fo würde doch 
(fx) , wenn es in x unstetig ist , dort in einen von c verschiedenen " 
Wertb überspringen. 

427. Erklärung. Wenn f^x eine Zahlfunktion und fx 
eine beliebige Funktion ist, und beide für denfelben Werth 
von x = a null werden, doch fo, dass der Quotient fx : fiX 
um x = a nach einem konstanten Werthe c konvergirt: fo 

verstehe ich unter dem Bruche j— diejenige Funktion, welche 

IiX 

im Uebrigen mit jenem Quotienten übereinstimmt, aber für 



%9i (4»f 

xssa den Werih c annimmt, und bezeichne den Werth c, 
welchen diefer Bruch fär x = a annimmt, mit 



=[f>= 



a). 



Anm. Es ist diefe Bestimmung, ebenfo wie die vorhergehenden, 
nicht bloss far die Funktionen extenfiver Grössen, fondern auch für 
die gewöhnliche Funktionenlehre nothwendig. In derThat, mag nun 
X eine extenßve Grösse oder eine Zahlgrösse, fx eine extenfive Funk- 
tion oder eine Zahlfunktion fein, fo wird, wenn der Bruch ^— 

wieder als eine Funktion behandelt werden foll, derselbe für jeden 
bestimmten Werth von x gleichfalls einen bestimmten Werth anneh- 
men müssen (348). Diefer Werth wird im Allgemeinen durch Divifion 
der befonderen Werthe, welche fx und f^x dann annehmen, gefunden. 
Aber wenn für x = a fowohl fx als f^x null werden , fo wird der 
Quotient diefer befonderen Werthe vollkommen unbestimmt , eine Un- 
bestimmtheit, welche für den Bruch -r— durchaus aufgehoben wer- 

IlX 

den muss , falls man den Bruch Verknüpfungen unterwerfen will , die 
auch für den Fall, dass x =s a fei, ihre Geltung haben foUen. An und 
für fich ist es möglich, in diefem Falle für jenen Bruch einen belie- 
bigen bestimmten Werth b festzustellen, allein dann müsste in die 
Bezeichnung des Bruches diefe Bestimmung, dass derselbe für x = a 
den bestimmten Werth b annehmen follte, mit aufgenommen werden. 
]>iefe willkürliche Btstimmung wird überflüssig, wenn der in der 
obigen Erklärung aufgestellte Begriff festgehalten wird, nach welchem 
jener Bruch in x = a stetig gefetzt wird. Aber diefer Begriff fetzt 
voraus , dass jener Bruch um x = a nach einem bestimmten Werthe 
c zu konvergirt. Ist dies nicht der Fall, fondern konvergirt der Bruch 

}^ . . beim Verschwinden der poßtiven Zahlgrösse q nach ver- 
fiCa + qb) ^ & ^ 

schiedenen Gränzen zu, je nachdem b andere Werthe annimmt, z. B. 
bei Zahlgrössen , wenn b die Werthe -}- 1 , — 1 oder cos. p -}- i ßn» P 
annimmt, fo ist der oben gegebene Begriff nicht mehr anwendbar, 
und es bleibt nichts übrig, als dann eine willkürliche Bestimmung 
hinzuzufügen und mit in die Bezeichnung aufzunehmen. Die Verkennung 
aller diefer Verhältnisse hat in die höhere Analyfis eine heillofe Ver- 
wirrung gebracht, welche fich häufig genug durch Widersprüche und 
fehlerhafte B^fultate verrieth. um diefen Irrthümem zu entgehen, 
hat man hier und da die Methode zu verbessern gefacht; namentlich 
ist es Cauchy's Verdienst, dass er durch einen unerschöpflichen Reich- 
tbum der genialsten Kunstgriffe die Methode überall, wo fie schien 
zu Irrthümem führen zu können, gegen diefelben ficher zu stellen 
fachte. Aber auch er konnte daokit nicht zum Ziele gelangen, w«il «r 



*••) 283 

das üebel nidit bei der Wanel ergriff, und^ idcht die wefentHchen Be«> 
griffsbestimmungen hinzufügte, aus deren Mangel alle jene Yerwirrung 
hervorging. Ich habe mich daher genöthigt gefehen , diefe Begriffsbe- 
stimmungen , fo weit fie für das Folgende nothwendig erschienen, hier 
nachzutragen , und , statt mich auf frühere Bearbeitungen der Differen- 
zialrechnung, der Potenzreihen und der Integralrechnung berufen zu 
können, musste ich diefe Wissenschaften TOn vorne an aufbauen ^ um 
fie auch-für eztenfiYe Grössen mit Sicherheit anwenden zu können. IB» 
wurde dadurch um fomehr geboten , mich nur auf das Nothwendigsto 
zu beschränken. Ich bemerke hier noch, was fich aus dem oben Bemerk- 
ten leicht ergiebt, dass ähnliche Begriffsbestimmungen für alle die Fälle 
festzustellen find, wo die zu verknüpfenden Funktionen für gewisse 
Werthe der Variabein in folche Ausdrücke übergehen, welche keinen 
Verknüpfungen (oder wenigstens nicht denen, durch welche jene 
Funktionen unter fleh verbunden und) unterworfen werden dürfen, 
alfo namentlich, wenn eine oder mehrere derselben unendlich oder 
mehrdeutig werden. In allen diefen Fällen kann die Bestimmung ganz 
analog der f o eben mitgetheilten getroffen werden. Die Bezeichnung, 
welche ich oben hinzugefügt, indem ich hinter die Funktion den be- 
fonderen Werth der Variabein in Parenthefe beifüge, um durch das 
Ganze den Werth auszudrücken, welchen die Funktion für diefen be- 
fonderen Werth der Variabein annimmt, ist auch in vielen anderen 
Fällen mit Vortheil anwendbar, und zum Theil unvermeidlich. 



Aq>. 2. ^tfferenjtolredjttunj. 

§. 1. Differenzial erster Ordnung. 

428. Erklärung. Wenn q eine reelle Zahlgrüsse, dx 
aber eine beliebige endliche Grösse, welche mit x von gleicher 
Gattung ist, bezeichnet, fo verstehe ich unter der (nach der 
Verftnderlichen x und dem> Zahlfaktor q genommenen) DtffereoB 
der Funktion fx, geschrieben dz,qfx, diejenige Funktion, welche 
der Gleichung 

(a) dx,qfx=5 ^1 

genügt (wobei die Diviflon durch q in dem 427 bestimmten 
Sinne zu fassen ist). 

429. Erklärung. Wenn der Ausdruck dx,qfx in q = 
und in x (425) stetig ist, fo bezeichne ich dx,ofx mit dxfx 



294 (#•# 

und nenne dxfx das nach x genommene Differenzial von fx, 
d. h. ich Tetze 

Wenn dx,qfx nicht die Eigenschaft hat, dass es inq = 
und in x stetig fei, To Tage ich, dass auch d^fx unstetig Tei. 
Wenn in einer Formel das vor eine Funktion geretzte Dif- 
ferenziQlzeichen d ohne jeden Index geschrieben ist, fo Toll 
das heissen, dass die Formel allgemein gelten Toll, nach wel- 
cher Variabein auch die dadurch ausgedrückte Differenziafion 
genommen fei, d. h. welchen Index man auch dem d hinzu- 
fügen mag, Yorausgeretzt nur^ dass man dann in diefer Formel 
jedem DifTerenzialzeichen'd (was vor eine Grösse tritt) den- 
reiben Index hinzufügt. 

Anm. Es lässt fich der Begriff des Differcnzials auch für den 
Fall, dass dasfelbe unstetig wird, feststellen, und lassen fich mit 
folchen Differenzialen unter gewissen Umständen noch gültige Ver- 
knüpfungen vornehmen. Doch ist es bei jeder Behandlung der Diffe- 
renzialrechnung am zweck massigsten, diefen Fall zunächst ganz aus- 
zuBchliessen , und namentlich den Fall, wo das Differenzial unendlich 
wird, im Zufammenhange mit der allgemeinen Betrachtung unbegrenzt 
wachsender Funktionen in einem eigenen, die ganze Analyfis des 
Unendlichen behandelnden Abschnitte nachzuholen. Aus dem vorlie- 
genden Werke schliessen wir jedoch diefe Betrachtung aus , und fetzen 
im Folgenden bei jedem Differenzial voraus , dass es stetig fei. Noch 
bemerke ich, das die Stetigkeit von dzfx vorausfetzt, dass f(z -}* ^l^^) 
— fx um q = gleichfalls null werde, d. h. dass auch fx stetig fei. 

Udo. Wenn d^fx stetig ist und fx=y gefetzt wird, fo ist 
fiCx + qdx) = fx -f q(d,fx + N) 
= y + q(dxy+N), 
wo N mit der reellen Zahlgrösse q zugleich null wird. 
Beweis. Man fetze . 

Da dxfx stetig ist (nach Hyp.), fo ist (nach 429) auch 

der Quotient ^ — — — in q = stetig, und dann =dxfx, 

alfo wird N als die Differenz diefer beiden Ausdrücke mit q 
zugleich null. Dann erhalten wir aber 

f(x + qdx) = fx + q(d,fx + N) = y + q(d,y + N). 



*•«) 295 

4l3t. Wenn Ä ein konstanter Lückenausdruck mit n 
Lücken (in jedem Gliede) ist, in welche Grössen von der 
Gattung X eintreten Tollen, To ist • 

(a) d,(ulx») = nJx»-*dx; 
ins Befondcre ist 

(b) dx(^x) = J 

(c) dxJ = 0. 

Beweis. Da für die Produkte, deren Faktoren in die 
Lücken eines Lückenausdruckes eintreten follen (nach 363), 
die gewöhnlichen Geretze der Algebra gelten, To folgt, wie 
in der Algebra, dass 

Ä{x + qdx)» = ulx» + nq-^x'^-^dx + ^B 
ist,' wo B eine steigende Potenzreihe von q ist. Hieraus folgt 
unmittelbar, dass 

^(X + qdx)"^ — JX» . r^XA ^ ^ 

^ — LJ» — l =2 n-4x'*^*dx + qB 

q 

in q = stetig ist, alfo ist (nach 429) 
dx(,4x'^) = nJx"-*dx. 
Hieraus folgen die^Forraeln b und c filr n = 1 und 0. 

432. Wenn U| , U2 , • * • beliebige Funktionen einer be- 
liebigen Variabein x find, fo ist (wenn dUi, du^,* • • stetig find) 

d(ui + Ua +• • O^^^J^i + ^"2 +• ••• 
Beweis. Es fei Ui = fiX, U2 = faX u. f. w., fo ist 
(nach 430) 

fi(x + qdx) = u, + q(dui + NO, 
wo N| mit q zugleich null wird, und fo für jeden andern In- 
dex. Alfo 

^f«(x -f- qdx) = Z"ua + q(dxUa + Na). 
Alfo ist 

ZÜM^qdx) - u, ^2; d,Ua + N, 

=Xd^i +XNr. 

Da nun Nj, Nj,--* mit q null werden, wie gezeigt, fo wird 
auch (nach 421) ihre Summe X^n7 mit q null, alfo 



296 C«S9 

Die tinke Seite ist aber dx^foX = dx^ü7, alfo 

dx^u« = XdxU«, 
oder da die Formel für jeden Index x gilt, 

d^Uft =^dUtt. 
433. Wenn y und z beliebige Funktionen von x (ind, 
und [yz] ein beliebiges Produkt derfelben ist, fo ist (voraus- 
gefetzt, dass dy und dz stetig find) 

d[yz] = [dyz] + [y-dz]. 
Beweis. Es fei y = fx, z = Fx, fo ist (nach 430) 

f(x + qdx) = y + q(dy + N), 

F(x + qdx) = z + q(dz + NO, 
wo N und N' mit q zugleich null werden. Somit ist 

d,[y,] = [fx + qdx).F(x + qdx)]-^[yz]^^ _ ^^ 

= [y(dxz + NO + [(dxy + N)z] für q = 0, 
oder (nach 429) mit Weglassung des Index, 

d[yz] = [y.dz] + [dy.z]+[y.N'] + [Nz] für q=0. 
Da nun N und N' mit q null werden, fo wird (nach 421) auch 
[y-l]N' + [l-z]N, wo 1 eine Lücke, in welche N eintreten 
foll, bezeichnet, mit q null, d. h. [y*N'] -}- [N»z] wird mit q 
null, alfo ist 

d[yz]=[y.dz] + [dy-z]. 
4134. Wenn y aus feinen normalen Einheiten Oi, es,-«« 
durch die Zahlgrössen y^, ya,-'* ableitbar ist, und yi, ys,«« 
Funktionen einer beliebigen Variabein x find, fo ist (voraus- 
gefetzt, dass dy^, dy,,*-- stetig lind) 

dy = eidyi + e^dy, -\ 

Beweis. Da y = eiyi + Ojy, -f ist (nach Hyp.), fo ist 
dy = <J(eiyi) + d(e2y2)+--- [433] 

= eidyi + e^dya -{ [433, 431 c.]. 

A n m. Hierdurch läset fich das Differenzial ciDcr extenfiyen Fank- 
tion auf die Differenziale von Zahlfanktionen zurückführen. 



§. 2. Differenzialquotient erster Ordnung. 

438. Erklärung. Unter -r-fx oder unter Px verstehe 
" dx 

ich (vorausgefetzt dass dzfx stetig fei), den Ausdruck, welcher, 



«M| im 

mit jeder Grösse dx (die mit x von gleicher Gattung ist) mnl- 
tiplicirt, dxfx liefert, d.h. welcher der Gleichung 

Afx.dx = Px.dx = d.fx = [^^i±Äri*](, = 0) 

gentigt. Ich nenne -pfx den nach x genommenen DifTerenzial- 

quoticnten erster Ordnung von fx, und fx die erste abge- 
leitete Funktion von fx. 

436. Er kl. Wenn man die Differenzialqnotienten einer 
Funktion u =: f(x, y, • • •) mehrerer Veränderlichen x, y,* • • 
auf die Weife bildet, dass man jedesmal den DifTerenzial- 
quotienten nach einer diefer Veränderlichen nimmt , während 
man dabei die übrigen Veränderlichen wie Konstante behandelt, 
fo n&nne ich die fo hervorgehenden Differenzialquotienten die 
zu dem Vereine der Veränderlichen x, y, ••• gehörigen par- 
tiellen Differenzialquotienten , und bezeichne dann den in diefam 
Sinne nach x genommenen Differenzialquotienten mit 

iLu, oderAf(x,y,..) 

u. f. w. 

An m. Es ist bei den partiellen DifTerenzialqttotienten unumgänglich 
nothwendig (worauf schon Jaco bi in Crellc's Journal 6. 22 S. 321 auf- 
merksam gemacht hat) den zugehörigen Verein der Veränderlichen anzu- 
geben, alfo nicht bloss diejenige Veränderliche zu nennen, nach welcher 
der IMfferenzialquotient genommen werden foU, fondem auch diejenigen, 
welche bei der Bildung desfelben als Konstante behandelt werden foiien. 
Denn wenn z. B. eine Gleichung zwischen x und y hervortritt, fo 
lässt fich die Anzahl der Veränderlichen uro eine vermindern; schafft 
man z. B. z weg, fo bleiben nur y, z,*-* übrig; und betrachtet man 
jetzt diefe als den Terein der Veränderlichen bildend, fo gewinnt 

--|— u jetzt eine ganz andere Bedeutung und im Allgemeinen einen 

ganz andern Werth als vorher. Aber es würde fehr unbequeni fein, 
wenn man den ganzen Verein der Variabein, zu welchem die par- 
tiellen Differenzialquotienten gehören, mit in die Bezeichnung derfel- 
bcn aufnehmen wollte. Man beugt allen Verwechselungen vor, wenn 
man den Verein der Veränderlichen jedesmal angiebt, und wenn man, 
fobald in einer zufammenhängenden Darstellung bei der Differenziation 
nach derfelben Variabelu, z. B. nach x, das eine Mal andere Grössen 
als konstant behandelt werden Collen, als das andere Mal, ein neuet, 

19* 



29i9 t«* 

im' XJebrigen willkürliches Zeichen statt -^ fetzt, hat mao dann die 
Bedeutung diefes Zeichens angegeben , fo ist eine Verwechfelung un- 
möglich. Die allgemeine Bezeichnung durch -pu, welche ich für die 

partiellen Diffcrenzialquotienten nach x gewählt habe , bedarf , obwohl 
fie ungebräuchlich ist, wohl kaum einer Rechtfertigung, indem fie, 
ohne willkürlich zu fein, äusserst bequem ist, und eine fo UDgehiu- 
derte Verwendung gestattet, wie keine andere. 

HSI. Wenn Cj, 62,« •• die normalen Einheiten von x 
= Xie, +X2e2-f--*' find, und rf^fx, ^af^r** die nach Xj, 
X2 , • • • genommenen Differonzialquotienten von x , welche zu 
dem Vereine der Veränderlichen Xj , x, • • • gehören , bezeich- 
nen, To ist (vorausgefetzt, däss dxfx stetig ist) 
dxfx = ^ifx • dxj -f *2fx • dx2 + • • • . 

Beweis 1. Es feien die normalen Einheiten e^, 62,* • in 
zwei Gruppen zerlegt^ und y aus der einen Gruppe, z aus 
der andern numerisch abgeleitet, und s^war To, dass x = y + z 
fei, fo zeige ich, dass dxfx = dyfx 4- d^fx fei, wo bei den 
durch dy, dz bezeichneten Differenziationen y und z als den 
Verein der Variabein bildend gedacht find. In der That,'es 
fei dy aus denfelben Einheiten ableitbar wie y, und dz aus 
denfelbcn wie z, und fei dy -|- dz = dx = Cidxj + e2dx2 + • • • . 

Nun ist(nach Hypothefis) dxfx stetig, d. h. es ist 1 ^ — "^"1 

für jeden Werlh dx (der aus et, 62,- • ableitbar ist) in q = 

und in x stetig, alfo auch, wenn man dy statt dx fetzt, d. b. 

ffx -I- (idyl •— fx 
es ist -^= — L_1_A/ in q-_o y^d in x stelig ferner ist 

f(x + qdy)-fx ^ f(y+qdy+z)- f(y+z) ^^ 

. q q y,q > 

alfo ist dyfx von dy^qfx verschieden um eine Grösse N, die 
mit q null wird, fomit 

d,fx = !^^L+^yIzi_^ + N 

q 

und ebenro 

d,fa ^ fCx + qd.) - fx 

q 

wo N und Ni mit q null werden, und die ersten Glieder, in 



*•») 29» 

q = und in x stetig find. Wenn nun eine Funktion g>x in 

X stetig ist, To heisst das (nach 425), es konvergire 9(x + qdx), 
wo dx eine beliebige Grösse, die mit x von gleicher Gattung 
ist, und q eine reelle Zahl bedeutet, um q = nach einem 
Werthe zu, den es in q = erreicht, d. h. es lasse fich 
5P(x -f qdx) in der Form jpx -f Nj darstellen, wo N, mit q 
null wird. Wenden wir dies auf dyfx an, und fetzen, da in 
<]p(x + qdx) das dx willkürlich war, dafür das obige dz, fo 
erhalten wir 

d,fx = fC^ + qdz+qdyj-fCx + qdzj^j^^^^ 

Hier ist qdz + qdy = q(dz -f dy) = qdx, da wir oben dy + dz 
==dx fetzten, alfo 
dyfx 4- da fx 

^ f(x+qdx)-f(x+qdz)+f(x+qdz)-fx , f, ■ pj ^ pj^ 

Hier hebt fich das zweite und dritte Glied im Zähler, und 
da N + Ni +N2 = iV (nach 421) mit q null wird, fo er- 
halten wir 

d,fx + d,fx= ^^' + y^^^ + iV, 

WO N mit q null wird, alfo 

dyfx-[-d,fx=:dxf(x). 

2. Da man nun ebenfo, wie man x in y und z zerlegte, 
wieder y oder z zerlegen kann, fo gilt der Satz auch für 
beliebig viele Stücke, in die man x in der Art zerlegen kann, 
dass jedes Stück aus einer Gruppe der Einheiten Oi , c^ , • • • 
numerisch abgeleitet ist, und die verschiedenen Gruppen keine 
gleichen Einheiten enthalten; alfo namentlich, wenn x^e^ = yi, 
X2e2 = ya 5 • • • ^"d demgemäss dy^ = e^dx^ , dya = Cadya , • • • 
jst, fo ist 

dxfx = dy Jx + dy,fx + • • •> 
wo die durch dy^ u. f. w. bezeichneten partiellen Di fTerenziale 
fich auf den Verein der Veränderlichen yi, yj,-- beziehen. 

3. Nun ist 

d,,fx = [ '^- + y-^' ](q = 0). 
Aber f(x + qdyj) = f(x + qcidxj) = f(xiei + z +. qeidxi), 



wenn der Kürze wegen x^e^ + ^s^s + * " mit z bezeiclmet 
wird, alle ißt f(x -f I^yO == f[«i(xi + <!<•*! ) + z], airo 

d,fx= f[e.(x. + qdxQ + z]- f(e,x, + z) ^^^^^^ 

= dxifx = r— fx'dxi [nach 436] 

=:tflfXidXi, 

und ebenfo für die übrigen Indices. Setzt man diefe Werthe 
in die vorhergefundene Gleichung ein, fo erhalt man 
dx£x = ^ifx»dxi 4- ^afx-dxa +• " '• 

438. Wenn dx;fx stetig ist, fo ist -pfx oder Px ein 

von dx unabhängiger Quotient, und zwar, wenn Cj, ej,--- 
die normalen Einheiten von dx = e^Xi + CjXj +.. find, 
fo ist 

fx • e-= T-fx c= ^,fx 
' dx, ' 

und Px = ^ ' ' — , 

Ol, ej, .-.' 

wo ^1, ^2j*' oder j— , j^»'** die zu dem Verein der Ver- 
dXj 0X2 

änderlichen x^, Xj,*** gehörigen Differenzialquotienten nach 

Xj, X2,* • bezeichnen. 

Beweis. Wenn x eine Zahlgrösse ist, fo ist (nach 428) 

auch dx eine Zahlgrösse und 

dx, qfx_ f(x + qdx)— fx _f(x + qQ.— fx 

dx qdx q' * 

wenn man qdx mit q^ bezeichnet. Nun wird q^ mit q null, 

alfo ist 

dxfx^dx, ofx_r f(x + qO-f^ l„. _ Q. 
dx — sr~L q^ r^ ~^' 

alfo da (nach Hyp.) d^fx, alfo auch -j— (wenn dx ^ ist) 

stetig ist, fo ist auch -^^ — / — in q = stetig, d. h. 

(nach 427) es konvergirt diefer Ausdruck, wenn x konstant 
ist^ um q'=3 nach einem konstanten (von q' unabhiogigen) 



«»> am 

Werüie, welchen er ia q'^szO erreicht; diefer Werth isl alfo 
bei variaMem x eine blosse Funktian von x^ unabhängig von 
q^, d. h. von qdx. Es Tei dicfe Funktion jpx, To ist 

dxfx = <jpx-dx, 
alfo ist g>x die Grösse, welche mit jedem dx multiplicirt, dxfx 

liefert, d. h. (nach 435) g>x = j-fx, alfo ist -pfx von dx un-? 

abhängig. 

2. Es fei x = Xiei -}- XaCj +• •, fo ist (nach 437) 
dxfx=:<yifx-dxi + «Jjfx-dxj +• • '9 
wo ^1, ^29* * ^^^ ^^ Satze angegebene Bedeutung haben. Nun 
ist Px (nach 435) der Ausdruck, welcher mir jedem dx = 
Cjdxi 4- ^2^X2 +••• multiplicirt dxfx giebt, alfo hat man 

Px(eidX| ^-Cadxj + • • •)='ifx-dxi + J2fx-dx2+" •, 
alfo 

f'x-eidXi-ff'xe2dx2H =rfifxdxt+52f^**C2+ • • •. 

Nun find nach Bew. 1 die Grössen d^fx, ^sf^r** blosse 
Funktionen von x, alfo voii dx^, dx,,*-* unabhängig; d.h. 
far jeden Werth x ist die rechte Seite obiger Gleichung eine 
Summe von Produkten der variabeln Zahlgrössen dxi, dxj,* • • 
mit Grössen, welche bei unverändertem x fich nicht ändern; 
alfo muss auch die linke Seite von gleicher Form, und müssen 
die entsprechenden Koefficienten gleich fein, d. h. es. ist 

Pxei = ^ifx, .f'xca = S^fXj» • • 
und Px ist als derjenige Ausdruck bestimmt, welcher, mit 
Ci, 02,- •• einzeln multiplicirt, beziehlich die Werthe ^Jx, 
dafx,-" liefert, d.h. (nach 377) es ist 
p^ __ Jifx, ii^^r • ' 
Ci, Ca,--* 

Anm. Hierdurch ist die Differenziation nach einer extenfiyen 
Grösse x auf die partiellen Differenzialquotienten nach Zahlgrössen. 
KuräckgeMhrt, während in 434 das Differenzial der extenfiven Funk- 
tion auf die Differenziale von Zahlfunktionen zurückgeführt war, wo- 
durch alfo die Reduktion des nach einer extenfiven Grösse genommen 
nen Differenzial qnotienten einer extenfiven Funktion auf die nach 
Zahlgrössen genommenen Differcnzialquotienten von Zahlfunktionen 
vollendet ist. 



3Ö2 («• 

439. Wenn z eine beliebige endliche Grösse, welche 
mit X von gleicher Gattung ist, und q wie bisher eine reelle 
Zabigrösse bezeichnet, To ist 

f(x + qz) = fx + q(zrx + N), 
wo N mit q null wird (und vorausgeretzt ist, dass d^fx stetig 
ist). 

Beweis. Es ist für jede endliche Grösse dx, welche 
mit X von gleicher Gattung ist, (nach 430) 

f(x + qdx) = fx 4- q(dxfx + N), 
wo N mit q null wird. Es ist aber dann (nach 435) dzfx 
:=dx«rx, alfo 

f(x + qdx) = fx + q(dx*rx -f N); 
da aber z nach der Vorausfetzung diefelbe Bedeutung hat wie 
dx, fo können wir auch jenes für diefes fetzen und erhalten 
die zu erweirende Gleichung. 

440. Es ist 

dfy = Py dy = j^fy -dy = dyfy 

auch dann, wenn y wieder Funktion einer beliebigen Grösse 
ist, auf welche fleh die durch das vorgefetzte Zeichen d dar- 
gestellte DiiTerenziation bezieht (vorausgeretzt, dass dy und 
dfy stetig find). • 

Beweis. Es beziehe fich die Differenziation auf x und 
fei ycryx, fo ist (nach 430) 

(*) SP(x+qdx) = y + q(dy + N), 
wo N mit q null wird und 

dfy = d^,,) = ML±äzify(q = o) [429] 

^fy4-q[(dyfN)ry + N-]-fy^^^P^ [439], 

wo N' mit q null wird, 

= Py(dy + N) + N' für q = 0, 
da nun N und N^ mit q null werden, fo wird (nach 421) auch 
PyN + N' mit q null, und alfo ist 
dfy = Py . dy. 



4L4t. Wenn x und y = fx aus den n ursprünglichen 
Einheiten ei, 62,* ••e,^ numerisch ableitbar Find, und 
X = x^ei + XjCa H + XaCn 

y = yiei +y2C2 H +Yn^a 

ist, und dxY stetig ist, To ist der Potenzwerth des Quotienten 

-j-y gleich der Funktionaldeterminante von y^, y2,-* ^^'^^ 

Xi, X2,-**, d.h. gleich der Determinante, welche aus den 
partiellen DilTerenzialquotienten der Funktionen y^, J^y'*' 
nach den Variaboln X|, X2,*-* gebildet wird, d. h. 

wo für jeden Index r von 1 bis n, das Zeichen -j— den par- 
tiellen DifTerenzialquotienten bezeichnet, welcher nach x^ fo 
genommen ist, dass alle übrigen unter den Variabein Xi,***Xn 
(ausser x,) bei der Differenziation als konstant gefetzt lind. 

Beweis. Es ist, wenn das Zeichen -r— der Kürze wegen 
durch S^ erfetzt wird, (nach 438) 

^Ij 625* • •? ^n 

alfo (nach 383) der Potenzwerth 

Aber da y = e,yi + e2y2 + ••• ist, fo ist (nach 434) 
^lY = ei^iYi + ejJiyz + • • •, alfo 

[Px]° = [fei<Jiyi + e2^iy2 -i )(eirf2yi + 02^272 H )• • • 

(eiJnYi + ^i^nYi -i )] 

= Z+ ^^lYl • <^2y2 *nYu [63], 

indem nämlich [eiea*« ej (nach 94) gleich 1 ist. 

Anm. Der BegriflF der Funktionaldeterminante, wie ervonJacot^i 
in Crelle's Journal, Bd. 22, p. 319ff., zuerst aufgestellt wurde, tritt 
hier als Potenzwerth der abgeleiteten Funktion in feiner wahren Be- 
deutung hervor; und die dort nachgewiefencn Sätze ergeben fleh aus 
diefer Bedeutung aufs leichteste; ich überlasse diefe Ableitung daher 
dem Lefer. 

442. Wenn u eine beliebige Funktion der veränder- 
lichen Grössen x, y,*- •• ist, fo ist 



904 C«M 

dx ' dy ^ ' 

= clxU -f- dyU +•••, 

wo j-, -7-, • • die zu dem Verein der Veränderlichen x, y, • • • 

gehörigen partiejien Differenzialquotienten und dx, dy,*** in 
demfelben Sinne die partiellen Differenziale bezeichnen (und 
die letzteren als stetig vorausgefetzt find). 

Beweis« Es fei x aus Teinen normalen Einheiten durch 
die verftnderlichen Zahigrössen Xi, Xj,- • -, ebenfo y aus Teinen 
normalen Einheiten durch die veränderlichen- Zahigrössen y^, 
ys,-** ableitbar u. f. w. Man bilde nun ein neues System 
normaler Einheiten e^, Oj,- • •, fi, f2, • • •, • • •, und fetze ¥== 

XiOi + XaOa + • • • + yifi + Yafa + • • • -| , fo wird u (nach 

352) eine Funktion der einzigen Variabein v und man erhftlt 
(nach 437} 

d.u = ^^u dx, + Au.dx, +... +^^u.dy, 

+ j^^«dy2+--- +'••, 

wo -7— u. f. w. fich auf den Verein der Variabein X| , Xa , • • 

yi9 7)9* '*9 '** bezieben. Da u eine Funktion von v ist, fo 
können wir (nach 429) statt dyU auch du schreiben. Ferner 
ist, wenn man y, z, • • •, d. h. y,, ya,- • • Zi, Za,* • •, • • • kon- 
stant fetzt (nach 437) 

3-u»dx = ä— U'dxi +-J— u-dxa +•••, und ebenfo 
dx dxi dxa 

u. f. w. Alfo 

du = A„.dx + ^u.dy+.... 

§. 3. BifEereuziale höherer Ordnung. 
MS. Erklärung. Wenn u eine beliebige Funktion 
ist, und d und ^| zwei beliebige Di (Terenzzeichcn ((lx,q, dy,4|) 



^der Differenzialz^phen (4x, dy) fitd, bei demn ficb jedoch 
die Differ^nziaUon auf ein und dei^relt)en Verein von Yariabeln 
bezieht, deren Differeiuuale bei J6KlQr DifTerenzistion konstant 
gefetzt werden, fo verstehe ich unter iiiU den Ausdruck 
j(JiU), und nenne ddi in diefem Sinne ein t^rodokt von Dif- 
ferenzzeichen; und halte diefe Bestimmung auch dann noch 
festy wenn di ein. Produkt von DifTerenzzeichen ist, d^ h. 
ich fetze « 

Sdiu = öiS{a) 

u. f. w., 
wo S, ^1, ^2j-* fJch auf denfelben Verein von Variabein be- 
ziehen, deren DifTerenziale konstant gefetzt werden. 

449. Erklärung. Wenn d ein beliebiges DiiTerenz- 
zeichen (dz,q) ist, fo fetze ich 
d^u — u 

letzteres jedoch nur^ wenn n + 1 ein^ ganze ppntive Zahl ist. 

A n in, £a lässt fich auch dem negativen Exponenten eine Be- 
deutang beilegen, was jedoch erst in der Integralrechnung klar wer- 
den kann. 

449. Es ist 

(a) dx,qdy,qf(x,y) 

_f(x+qdx,y+qd y) — f( x+qdx,y)--f(x, y+qdy)+f;g 

web wenn r(x,y) nocb andere Veränderliche enthält, welche 
aber alte bei der Differenziation l^onstant gefelzt werden, und 
ebenfo ist 

(b) d^,dy,,u = dy,,d,,,u. 

Beweis. Es ist (nach 443) 

=d,,,[dy,qf(x,y)] 

=d,., f^y±?4y)iz!(?'l) [4351 

und dieß nach d^mfi^ben Sfktze 

_ l(»+q'lx,Y+qdy)-K* +<idx,y)~7f(x,y.+dy)-ff(x,y). 



q:^ 



20 



306 CAM 

Airo Formel a erwiefen. Aber vtns diefer Formel folgt 
fogleich, chiss tly,qdx,qfl[x, y) denfelben Ausdruck liefert, wie 
dx,qdy^qf(x, y), alfo auch Formel b ^Wfefen. 

Anm. Man h&tte atieh das sm y geliörige q von dem zu x gehö- 
rigeii .yevschleden fetzen ujid jenes etwa mit qi bezeichnen können, 
fo wären die Formeln noch bestehen geblieben, eine Verallgemeine- 
rung, die jedoch ohne befonderen Nutzen ist. 

9:46. Die Ordnung der auf einander folgenden DifTerenz- 
zeichen (dx,q u. f. w.), unter denen die Differenzialzeichen 
mit einbegriffen lind, ist gleichgültig für das Refultat. 

Beweis. Denn nach 445 b lassen fich je zwei auf ein- 
ander folgende Differenzzeicheh vertauschen. 

441. Wenn ein höheres Differenzial stelig ist, fo ßnd 
auch die niederen Differenziale, durch deren fortschreitende 
Differenziation jenes entstanden ist, stetig. 

Beweis. E^ fei u ein beliebiges Differenzial, und fei 
dxU stetig. Es wird u im Allgemeinen eine Funktion der 
Variabein x, y,** und ihrer Differenztale fein. Allein da bei 
der Differenziation nach x alle übngen Variabein und ßmmt- 
iiche Differenziale als konstante behandelt werden, fo genügt 
es für diefe Differenziation, u als blosse Funktion von x zu 
betrachten. Es fei in diefem Sinne u = fx, fo ist 



d.u = ['^^L+q^^-)^^^ 



:0). 



Da nun d^u stetig ist, fo muss der in Klammer geschlossene 
Bruch um q = nach einer bestimmten endlichen Gränze 
konvergiren, die es in q = erreicht, alfo muss mit dem 
Nenner (q) auch der Zähler null werden, d. h.' f(x -f (Jdx) 
— fx muss mit q null werden , d. h. (nach 425) fx ist in x 
stetig, alfo auch u. Durch Fortfetzung diefer Schlussweife 
gelangt man zu dem allgemeinen Refultate des Satzes. 

448. Es ist, wenn A einen Ausdruck mit n Lücken 
von der Gattung x bezeichnet, 

d°^(Jx°) = ^ "^ ^, ^x°-*°dx". 
* (n — m) ! 

Beweis i. Der Satz gilt (nach 431) für m^^^f. 

2. Wenn nun der Satz für irgend einen Wefth m gilt, 

fo gilt er auch für ni -f 1 ; denn dann ist 



««•) 307 

d»+*(^x») = dx(d»^») [448] 

da nach der Annahme der Beweis für den angenommenen 
'Werth ni gilt; da nun (nach 443) dx bei der DiflerenziaUon 
als konstant betrachtet werden Toll , und es mit x von gleicher 

n f 

Gattung ist, To ist . r-,-4dx" ein Ausdruck mit n — m 

® ' (n — m)! 

Lücken, Tolglich erhalten wir (nach 431) den zuletzt gefun- 
denen Ausdruck 

(n — m) ! 

= p "' ... ^x^-'^-^dx^+S 

(n— m— 1)! 

d. h. der Satz gilt dann auch, wenn man m -f * statt ra fetzt; 

da er nun (nach Bew. 1) für m = l gilt, <o gilt er auch für 

in = 2, und weil für m = 2, fo auoh fttr m = 3, alfo für 

alle pofltiven Werthe. 

4S9. Wenn e^, e,,*- die normalen Einheiten von 
x = Xiei 4-Xiea"+** find, und *i, *2>-" <*»« zu dem Ver- 
eine der Veränderlichen x^, x^,«-- gehörigen partiellen Dif- 
ferenzialquütienten nach x^, Xj,-- bezeichnen, fo ist (vor- 
ausgefetzt, dass d]|u stetig fei) 

dJu = X^<Jarfj • •••u»dx«-dxj* ••, 
wo die Anzahl der Faktoren dxadx^ • • • • in jedem Gliede n 
isl, und die Summe Tich auf alle unter diefer Bedingung 
möglichen ganzen pofitiven Werthe a^ b,«** bezieht. 

Beweis. Nach 437 ist 

dxU = ^JftU-dXa. 

DiiTerenzirt man noch einmal nach x, 16 ist, da bei diefer 
Differenziatlon (nach 443) -dx, alfo auch dxj, dxj,** konstant 
zu fetzen And, (nach 437) 

diu = ^i\ Sa U • dXa dXfc = ^da ^i u • dxa dxj [446] 
u. f. w. 

d° 
450, Erklärung. Unter -p-fx oder unter P'^^x ver- 
verstehe ich (vorausgefetst, dass dj^fx stetig ist) den Aus- 



808 t^M 

druck, welcher mit dx** inultiplieift, was auch dx für eine 
mit X gleichgattigß Grösse Tein mag, d°fx liefert. 

491. Wenn d^fx stetig ist, fo ist f^^'^^x derjenige Aus- 
druck mit je n Lüökeii (in jedem Gliede), welcher die Eigen* 
Schaft hat, dass 

n 

(a) P'^)x(ere^.O = *A---fx 
Ist, für jede Reihe von n Indiöes r, s, • • •, wobei die Bedeu- 
tung von Ci, e2,---5'*t> *2>'"5 diefelbe ist, wie in 449. 

Beweis. Nach 450 ist zu zeigen, dass allemal f^^^x-dx*^ 
= d;fx ist, wenn P^^x der Gleichung (a) genügt. Es ist dann 

P'»)xdx'* = P^>xCeidXj + egdxj -] )" 



■\n 



=1 



= n ist, unter ^^^^ ^ — u den Ausdruck 



P^^xCe^e^ )^x<,dxe • • • 

nach dem allgemeinen polynomischen Lehrfatze (oder auch 

nach 45) ^ 

= X^a*ft---/fx.dXadxB-.. [a] 

= d;fx [449]. 

492. ErkUrung. Wenn x, y,,-«- Zahlgrössen und u 

eine Funktion derfelben Ist, fo verstehe ich, wenn a + b +• • • 

dx*dy^ 
jn ^ d|dj..<..u 

dx^dy^^^'* " dx^dy»^ ' . 

wo fleh die DifTeirenziationen auf den Verein der Var>abeln 
X) y,*-* beziehen, und dx, dy,-** von Null verschieden an- 
genommen find. . 

Anm. Die partiellen Differenzialquotienten nach verschiedenen 
extenfiven Variabein können fast Überall entbehrt werden, da man 
mehrere extenüve Variabein stets auf eine einzige zurückführen kann 
(nach 352). 

4S3. Wenn y noch wieder Funktion einer beliebigen 
Veränderlichen ist, fo ist (die Stetigkeit der vorkommenden 
Differentiale vorausgisfetzt) 



r! va! b\ J 



b -j = n). 

Beweis. Wie in der gewöhnlichen Analylis. 



^ap. 3. KnenbUcl)e Betljett. 
§. 1. Die nnendliclien Reihen im Allgemeinen. 

J9L94. Erklärung. Eine Reihe Uq -f ^i + »ü + * ** * 
heisst acht, wenn fich eine poritire Zahl T> i linden lisst 
von der Art, dass Uo, UiT, UaT',--« bis ins Unendliche hin 
endlich bleiben, d. h. dass fie numerisch kleiner bleiben als 
eine gewisse endliche Grösse M, To dass alfo 

uj'num. <:M 
bleibt för jeden Index r. 

4LSS. Zufatz. Setzen wir -7jr = t, fo können wir die 

Bedingung der Aechtheit auch To ausdrücken, dass fich zwei 
pofitive Zahlen t und M, von denen t<: 1 ist^ finden lassen, 
fo dass stets 

Uy : t' nüm. <: M 
bleibe. 

4196. Jede ächte Reihe ist konvergent. 
Beweis. Es fei R = Uo + Hi -f «2 +*•• eine achte 
Reihe, fo giebt es (nach 435) eine pofitive Zahl < 1 von der 
Art, dass, für jeden Index r^ u, : t', was wir mit a^ bezeichnen 
wollen, numerisch kleiner als eine gewisse endliche (pofitive) 
Zahl H fei; dann wird 

R=:ao + ait-f ajt' +• • •, wo a, num. <: M. 
Der Rest ^^ diefer Reihe von dem Gliede ant" an ist 

. ?u = a,t- + a,+it«H+.... 
Nun ist a, num. < M, a^t' num. < Mt', alfo (nach 418) 

Panum.<:Mt» + Mf^t^ -{ 

num. <:Mt"(l + t + t» H ) 

t" 

num. <: M-; ^. 

1 — t 

Nun lässt fich hier n To gross wählen , dass ^^ "^w* kleiner 

wird als eine beliebig gegebene pofltive Grösse k, und auch 

hleibt, wenn n noch wächst; dies wird nämlich erfüllt, wenn 



"^'*»«-k(r^)''"8^(T) 



31p C4»f 

ist. Da airo der Rest ^^ mit wachrendem n nach Null zu koh- 
vergirt, b ist die Reibe konvergent. 

Anm. Um die Beziehung zwischen ächten, anächten, konver- 
genten and divergenten Reihen noch anschaulicher hervortreten zu 
lassen, will ich hier noch die anächten Reihen berühren. Wenn die 
fämmtlichen Glieder einer unächtca Reihe cadlich bleiben, d. h. nume- 
risch kleiner bleiben als eine endliche pofitive Zahl M, fo will ich 
diefe Reihe eine Uebergangsreihe nennen, wenn dagegen die 
Glieder einer Reihe unendlich werden, d. h. wenn es zu jeder pofitiven 
Zahl M Glieder der Reihe giebt, welche noch grösser als M find, fo 
mag eine folche Reihe eine abf arde heissen. So z. B. ist die Reihe 
t .j. |t^ -{- ^t> 4"* * * * ^^^^ ächte, wenn der numerische Werth der Zahl- 
grösse t kleiner als 1 ist; He wird eine Uebergangsreihe, wean t nume^ 
risch gleich 1 wird, und zwar 'eine divergente Uebergangsi'eihe, wenn 
t = l, eine koavergente, wenn ts= — 1 ist; üe wird abfard, wenn 
t num. >- 1 wird. Eine folcbe abfurde Reihe ist stets zu verwerfen. 
Hingegen hat die Uebergangsreihe mit der ächten noch das gemein, 
dasfl fie den Werth der Funktion, welche durch die Reihe dargestellt 
werden foll, wirklich ausdrückt, gleichviel ob fie konvergirt oder 
divergirt. Im letzteren Falle zeigt Fie, falls üe fleh dem Unendlichen 
nähert, dass fär diefen Fall in der That die Funktion unendlich wird^ 
fo z.B. ist die obige Reihe bekanntlich die Reihe fQr — log. (1 — t)^ 
diefe Funktion wird, mit t^l unendlich, ebenfo wie dio Reihe t + 
ii^+it*+"'^ und diefe stellt alfo auch für diefen Fall uoeh den 
Werth jener Funktion dar. Oder, um ein einfacheres Beispiel za 
wählen, die Reihe 1 + 1 + 1* -f- * wird für t = + 1 eine Uebergangs- 
teiiie; und zwar nimmt fie für t = l, entsprechend der Funktion 

z , deren Entwickelung fie darstellt, unendlichen Werth an. •- 

Wenn hingegen die divei^ente Uebergangsreihe fleh keinem anend- 
lichen Werthe annähert, fondern stets, wie weit man Sie auch ver- 
folge, zwischen verschiedenen Werthen hin und her schwankt, wie 

z. B. die Reihe 1-f t + t»-1 bei dem Werthe t = — 1, fo lässt 

fich dennoch ihr Werth aus der Gränze bestimmen , nach welcher jene 
Reihe konvergirt, wenn man t zuerst kleiner als 1 fetzt und fich dann 
t der 1 unbegränzt annähern lässt. Aber alle diefe Uebergangsreihen, 
felbst wenn fie konvergiren , dürfen nur mit Vorficht angewandt wer- 
den; da dio Rechnungsgefetze ächter Reihen auf fie nicht mehr an- 
wendbar ßnd. 

4197. Wenn a eine beliebige Grösse, b, c,--- aber 
Zahlgrössen find, fo ist der numerische Werth (^) des Pro- 
duktes (abc*-0 diefer- Grössen, gleich dem Produkte ihrer 
numerischen Werthe (a, ft y,---); <•• h. 



Beweis 1. Für zwei Grössen. Es Teien ej, es,*-- die 
reellen, ici, icj, • • • (i ==F — 1) ^^^ imaginären Einheiten von 
a und fei a = ^ a^e. + 7a^(|> wo die a^^ und y^ alle reell flnd 
und fei b = d.+ «i, fo ist (nach 4i4) a* = ^oi + yj, /J^ 
= 5^ + «^ Ferner ist 

ab =» X (^— gyajeg + KSn -h gCtt) ea, alfo 

= (<J' + OZ«J + yJ=/JV, 

alfo, da Q, a, ß pofitiv find, 

Q = a/9, d. h. ab num. = aß, 
2. Da nun (nach Bew. 1) ab num. = aß ist, fo ergiebt 
fJch (nach Bew. i) abcnum. =a/?y u. f. w. 

458. Wenn a und ai beliebige Grössen, b, c,*-- b,, 
C|,-«- aber Zahtgrösscn find und 

anum. <: ai, bnum. •< bi, cnum. < c,,« • • 
flnd, fo ist auch 

abc« • • num. < aibjCi • • •. 
Beweis. Denn es feien a, /9, y, •••, «i, ßu yt,-" b*^" 
ziehlich die numerischen Werthe von a, b, c,- • •, a|, b|, Ci,* • •, 
fo ist (nach 457) «jJy« • • der numerische Werth von abc*«« 
und aißiYi • • • der von aib^Ci - • •. - Da aber a, ß^ y, » • •, Oj, 
ßi9 Yw" pofitive Zahlen find und a<: a^j ß ^ ßu Y^Yw" 
ist, fo ist auch aßy- • • ^axßxYi • •, d. h. abc- • • num.<^aibiCi-^. 
Anm. Diefe zwei Sätze, welche fystematischer nach 419 ständen, 
find hier nachgeholt, um fie im Folgenden verwenden zu können. 

499. Wenn mehrere Reihen acht find, fo fst auch ihre 
Vielfachenfumme acht, d. h. wenn 

Rj==ui +u; +u(^)+u?>+... 
R, = u, +u;+uf + uf +..• 



Rn = UB + u: + u(?^ + u?^+... 
flehte Reihen find, und a^, o,,**- a^ beliebige endliche Zahl- 
grössen find, fo ist auch die Reihe 

R = u + u'+u<*> + u(^+-., 
wo für jeden Zeiger s 



u^») = a,u?) + a^iij) ^ ct^u^*) 

ist, eine ächte Reihe. 

Beweis. Da Ri eine ächte Reihe ist, fo, giebt es (nach 
454) zwei pofitive Zahlen Ti und Mi, von dinen die erstere 
>^ 1 Jst, vofk'xler Art, dass für jeden Zeiger s 

u<*>Ti num. <:. Mi 
Tei. Ebenfo lassen Tich für die übrigen Reihen R29* -* Rq Tolche 
pontiven Zahlenpaare Tj, May**-* T^, M^ finden, von denen 
die erste jedes Zahlenpaares > 1, und fo, dass 

u^/^Ta num. < Ma,- • • ug')!^ num. < M^ 
ist. Es fei T die kleinste der Zahlen Ti,*-T„, alfo noch 
T > 1 , fo bleibt 

u(/>T num. < Mj, u<«)T num. -^ Ma,- • u;[«>T num. <^ M„, 
airo auch (nach 458), wenn j?j, •** ^. die numerischen Werthe 
von Ol,-- • ttn find, 

a,u<«) T num. -^ ß^M^^ ,.•••, ay^^T num. < ßJH^; 
folglich , da die rechten Seiten diefer Vergleichung pofitiv find, 
fo ist (nach 418) 

a,u^s) T + . . . . + a^")! num. <c ^.M, + • • • + ßji^, 
d. h.. 

uWTnum. <:M, 

wenn /?iMi -{ ßJA^^ mit M bezeichnet ist; folglich ist die 

Reihe R (nach 454) eine, ächte« 



§.2. Die Beihen als Funktionen einer Zahlgrösse. 

460. Der nach der Zahlgrösse x genommen^ Differenzial- 
quotient einer ächten Reihe R=a« -f- a^x -f- 83X^4- • • • =^fl^ 
ist wieder eine ächte Reihe. 

Beweis 1. DaR eine ächte Reihe ist, fo müssen fich 
(nach 455) zwei pof. Grössen t und M, von denen die erste 
<: 1 ist, finden lassen, fo dass für jedes r 

-^-num. -<M 

ist. Nun fei r eine pofitive Zahl zwischen t ußd 1, d. h. 
r >t aber -< 1, fo zeige ich, dass all^ {Jlieder.der Rjeilie 



1 



die Eigenschaft haben, dass für jeden Index r bis ins Unend- 
liehe hin der Ausdruck -^ — endlich fei. In der That ist 
rarX'-^ _ rt' a^x' 

Der zweite Faktor ist (nach Hypoth.) numerisch kleiner als 

M, alfo (nach 459) der ganze Ausdruck 

rt' 
num. -< -r-Mi , 

» 

wenn wir der Kürze wegen den numerischen Werth von M : x 

mit Mj bezeichnen. Nun fei n ^ -, was stets möglich ist, 

T — t 

da r grösser als t, alfo t — t ungleic|^ null ist, Dann wird 

t V* 

n >• (n + 1) — > oder, indem wir mit — multipliciren , 

_. >. i^ — L—:^ — ^ und aus gleichem Grunde 
(n + l)l»f 1 ^ (n + 2)t^+2 

— -irrt — ^ — ^+1 ^ ••••• 

Nun werden aber die Ausdrücke 
Jt^ 21^ nT 

da ihre Anzahl endlich ist, und fie alle endliche Werthe haben, 

kleiner fein als eine gewisse pofitive endliche Grösse; diefe 

rt' 
heisse m. Da nun alle Ausdrücke — für jedes r, was grösser 

als n ist, wie eben bewiefen, kleiner als -r- find, und dies 

letztere <ra ist, fo werden alle jene Ausdrücke für jeden 
Werth von r kleiner als m fein, alfo auch 
rt' 

Hier ist^ m eine endliche Grösse, aber auch Mj, wenn 

nicht etwa x gleich null ist, alfo auch mM| endlich, alfo auch 

ra x.'~~* 

— ~v- — numerisch kleiner als eine endliche Grösse, d. h. die 

20* 



314 C4«i 

Reihe -pR ist eine ächte, vorausgefelzt noch, dass x ^ ist. 

Wenn aber x = ist, fo ist — R = ai, alfo gewiss eine 

gchte Reihe. 

2. Da nun -pR eine ächte Reihe ist, To ist (nach Be- 

d^ 
weis 1) auch dessen Differenzialquotient nach x, d. h. -p- ^R 

eine ächte Reihe u. f. w. 

461. Wenn eine Reihe ao + »iX -|- SjX^ -f . . . für irgend 
einen Werth x' der Zahlgrösse x acht ist, fo ist fie es auch 
für jeden Werth der numerisch gleich oder kleiner als x' ist. 

Beweis. Denn wenn die Reihe für x = x' acht ist, Ib 
müssen fich (nach 454) zwei pofitive Werthe T und M, von 
denen der erste :> 1 ist, angeben lassen, fo dass für jedes r 

a,x'*r <: M 
ist. Dann ist aber, wenn xnum. = <:x' ist, 

a^T num. = <: a^^x"!' [458] 

num. <: Mi , 
d. h. die Reihe ao + &iX + a^x^ 4.... ist dann auch eine 
ächte (nach 454). 

Anm. Es folgt hieraus fogleich (nach 360), dass aach die nach 
X genommenen Differenzialquotienten jener Reihe für jedes x, was 
numerisch gleich oder kleiner als x' ist, ächte Reihen, alfo auch stetig 
fein müssen. Daraus folgt auch umgekehrt, dass wenn eine Funktion 
fx für irgend einen Werth von x, der numerisch kleiner als x' ist, 
fich in einer ächten Reihe foU entwickeln lassen, nothwondig fx und 
feine Differenziale für jeden Werth, der numerisch gleich oder kleiner 
als x' ist, auch stetig fein müssen. Und es kommt darauf an, ob 
diefe Bedingung der Stetigkeit ausreichend dafür ist, dass fich fx in 
einer ächten Reihe entwickeln lasse. Zu dem Ende kommt es darauf 
au, fx für die verschiedenen numerisch gleichen Werthe zu betrachten, 
namentlich für eine Reihe folcher Werthe, von denen jeder folgende 
aus dem vorhergehenden durch gleiche circuläre Aenderung hervor, 
geht. Nun hat Cauchy nachgewiefen, dass, wenn fx stetig ist, das 
arithmetische Mittel aller Werthe, welche fx erhält, indem x fort- 
schreitend einer konstanten circulären Aenderung unterworfen wird, 
bis X wieder zu dem ursprünglichen Werthe aurückkehrt, ein Aas- 
druck ist, welcher stets nach einer konstanten (von x unabhängigen) 



«*•} 315 

Grftnze koHvergirt, fobald der Winkel der circnl&ren Aenderung ver- 
echwiudend klein wird. Er hat aus diefem Satze auf eine fehr rinn^ 
reiche Weife die Bedingung abgeleitet, unter welcher eiuc Fankti09 
fx ficli in einer konvergenten (genauer in einer achten) Reihe ent- 
wickeln lässt, worüber Moigno Lebens de calcul differentiel Tora. 1 
p. 150 88. zu vergleichen ist. Der Gang der folgenden Entwickelung 
ist im wefentlichen derfelbe , wie «r in dem angefahrten Werke ge* 
wählt ist', doch ist hier die Betrachtung verallgemeinert, in fofern ix 
als extenHve Grösse betrachtet wird, w&hrend z felbst eine Zahl- 
grosse bleibt. 

462. Lehrfatz und Erklärung. Wenn f'ji stetig ist 

für jede Zahlgrösse x, deren numerischer Werth zwischen 

den Grftnzen a und b liegt^ und 9 eine n-te Wurzel der ab- 

2n 2n 

foluten . Einheit und zwar Ö = (50S. — + ifin. ?- ist, to kon- 

n Ä ' 

vergirt der Ausdruck 

n ^ J n 

mit unendlich wachrendem n nach einer konstanten [von x 
unabhftngigen) Gränze« Diefe konstante Gränsa fei das. au 
jenem Stetigkeitsgebiete gehörende konstante Glied der 
Punktion fx genannt und mit C(fx) bezeichnet. 

Beweis des Lehrfalzes. Da fx stetig ist, fo ist 
(nach 439) 

f(x + q)-fx = q(Px -fiV), ---^ 
wo N mit q null wird. Da nun ®* numerisch gleich 1 ist, 
foist xö* numerisch ==x, alfo auch f'(x0<») stelig. Setzt man 
nun in die obige Gleichung x0* statt x, und q = x@«(0— 1); 
fo verwandelt fleh x + q in x0^^ und wir erbalten , wenn 
wir noch dem N den Zeiger a beifügen, 

f(x®«+^) — f(x0«) = X0H0 — l)[P(x0O + JVJ. 

Nun ist, wenn wir g- mit* bezeichnen , <yf(x0*) = 0*P(x0*) 
(nach 440);^ alfo wird 

indem wir stall A^JV«, welches mit JV« numerisch gleich isl, 
alfo, eben fo wie dies, mil q zugleich null wird, N\ gesdirie^ 
ben haben. 



316 («M 

Gehen wir nun zum arUhmetischen Mittel über, fo wird, 
wenn die folgenden Summen von a = 1 bis n genommen 
werden, 

Die linke Seite ist null; denn die dort erscheinende Summe 
ist gleich 

f(x©?^*) + f(x©») + hf(X®2)_f(x©») f(x02) 

— f(x0), alfo =f(x®'^^0 — f(x0) = O, 
da ®»=1, aifo xö'^i-^^rx© ist. Somit erhalten wir 

Aber — ^N\ ist das arithmetische Mittel der Grössen 
n 

N\, N\r' ' 9 i^^ ^^^^f ^>^ gr^^s auch n fei, numerisch klei- 
ner als der grösste numerische W^h diefer. Grössen, den 
wir mit N'. bezeichnen wollen. Wenn nun n unendlich wird, 

2n in 

ftl> kon^ergirt ®=3Cos.- — f*ißn. — nach 1, alfo 0—1 nach 0, 

alfo konvergirt auch q = x0«(0 — 1), was mit x(0 - 11 nu- 
merisch gleich ist, nach 0, alfo auch N^^ iV'a,---, alfo auch 

N'; alfo auch d y ^, da fein numerischer Werth noch 

kleiner ist als der von N'. Setzen wir die Gränze, nach 

y*ffx0«) 
■^^ ■ konvergirt =yx, fo haben wir alfo 



tfyx=cO, d.h. yiC7=CoBs^ 
An ID. Ich habe hier den Satz, dasa» wenn da« Differential einer 
Funktion nidl bleibt, die Funktion koaaatant fei, als bekannt voraus- 
gefetzt , um hier nicht die Entwickelung zu unterbrechen. Der Beweis 
0i«feß Sa^s ist im Eingange .de» fönenden Kapitels (der Integral- 
rechnung) nachgeholt, und zwar ohne dass in diefem Beweife auf 
irgend einen Satz des gegenwärtigen Kapitels srnrückgegangon fei. 

4163. Das konstante Glied Mner Vielfacfaenfumme von 
Funktionen (deren erste abgeleitete Funkticrtieii stetig find), ist 
die entsprechende Vielfachenfumme aws den kenstanten Gliedern 
der Funktionen, d.h. (wenn t\x^ f^x,.-« atelig flnd, fo ist) 

qoifix -f a2f2X + . .] = c4C(fix) + «iWax) + . • '. 



*«*> 317 

Beweis. Wenn & dierdba Bedeutung wie in 462 hat^ 
fo ist C(fjx) die Gränze, nach welcher — ^fi(x®«) mit un- 

endlichem n konvergirt, d. h. es verschwindet — ^r^Cx®*) 

i 4 

— C(fix) mit — , ebenfo — ^faCx©*») — C(f2x) u. f. w., alfo 
(nach 421) auch ihre Vielfachenrumme , d. h. 

^ZaifiCx0«) + «2f2(x0«) + - • -- ct,C(f,x) ^ OaCCfax)-. •, 
d. h. es konvergirt 

i-Z<M^^0«) + a2f2(x0^)T^ 

nach aiC(fix) + a2C(f2x) +••••. Aber die Gränze, n^ch 
welcher jener Ausdruck konvergirt, ist (nach 462) mit 
C(aifiX + a2f2X +• •) bezeichnet, alfo 

daj.x + o^fax + • • •) =^ aiC(fiX) + a2C(f2x) + • • • . 

46A. Wenn m eine ganze Zahl, aber ungleich null ist, 
fo ist 

C(X»")==:0. 

Beweis. C(x°*) ist (nach 462) die Gränze, nach welcher 

i 

— X^(xö*)°* mit unendlich wachfendem n konvergirt. Es ist 

J — j-^ ^^ ^ua.—-' . 

aber — ^fx®«)™ = — >©™^ Nehmen wir n fo gross an, 
n n 

dass in nuai. -<n ist, und fetzen ^0"** = s, fo ist 

s = 0°* 4- ®2=» -I + 0"^ 

s = 1 + ®°* + ®^ 4 + ®('^-i)°^, 

weil ®°™ = 1 ist. Es geht aber der obere Ausdruck aus dem 
unteren durch Multiplikation mit ®°* hervor; alfo haben wir 
s®*^ = s, d. h. s(l — ®°») = 0. 

Es ist aber (nach 462) ® = cos.— + ifin.-^, alfo ®°^ 

n n 

=^cos.~ + ifin.— ; alfo da — ein ächter Bruch ist, fo 
n n ^ n 

ist 0*^1, alfo folgt aus der Gleichung s(l ~ ®°*) = Q, dass 



318 <*•» 

s gleich null ist, alfo auch — ^0™«=O, d. h. — ^(x®«)°*=0, 

fobald n >• m ist, alfo die Gränze, nach welcher diefer Aus- 
druck mit unendlich wachfendera n konvergirt, 0, d. h.C(x"*)=0. 

Anm. In diefen Sätzen liegt der Grund der obigen Benennung, 
indem, wenn fx eine beliebige (begränzte) Pbtenzreihe von x mit 
ganzen pofitiven oder negativen Exponenten und dem konstanten 
Gliede a ist, C(fx) gleich diefem konstanten Gliede a ist. 

465. Wenn x num. > a ist, fo ist 



"> 



X — a 
Beweis. Es ist 

X'-a "^ X "^ x^"^ "^x'-i"^x'-^(x — aV 

Alfo (nach 463) 



X — a ^ Lx'-^(x — a)J 



Nun ist das letzte Glied der rechten Seite (nach 462) nume- 
risch kleiner als der grösste der Ausdrücke, welche aus 

a' 
"^zi7 \ hervorgehen, indem man statt x beliebige mit x 

X yX. "~~ aj 

numerisch gleiche Werlhe fetzt. Der grösste diefer Ausdrücke 
ist, wenn A und X die numerischen Werthe von a und x Tmd, 

A' 

= Yr~i7Y Äv ^®* ""'^ P ^^^^ beliebige pofitive Grösse, fo 

Ä. (_A. ~— Aj 

kann man r stets fo gross wählen , dass x^züYZTk^ """*• ^ P 
wird, und auch bleibt, wenn p noch wächst; alfo wird dann 

d. h. numerisch kleiner als jede pofitive Grösse, d. h. =0, alfo 

466. Wenn die zweite abgeleitete Funktion von fx stetig 
ist für jeden Zahlwerth x, der numerisch kleiner als x' ist, 
fo lässt fich fx in einer ächten, nach Potenzen von x auf- 
steigenden Reihe entwickeln. Und zwar, wenn znum. >x, 



*••> 319 

aber num. <c x' ist und das Zeichen C Tich auf die Variable 
z bezieht, während x als konstant gefetzt wird, fo ist 



<-im-h-m 



und wenn X und Z beziehlich die numerischen Werthe von 
X und z find, und F der grösste der numerischen Werthe ist, 
welche fz für die verschiedenen Werthe von z, welche nume- 
risch = Z find, annimmt, fo ist jedes Glied der obigen Ent- 
wickelungsreihe von fx, und auch der Rest der Reihe numerisch 
kleiner als das entsprechende Glied und als der entsprechende 
Rest der nach Potenzen von X entwickelten Reihe 

Z -X Z^z«* 

Beweis. Es fei zunächst für z nur vorausgefetzt, dass 
es numerisch kleiner als x' fei, fo ist (nach Hyp.) V'z stetig, 
allb (nach 447) auch fz und fz. Nun fei x als konstant be- 
trachtet, und nur z als variabel, und fei das konstante Glied 
der Funktion 

^ z(fz — fx) 

^ Z — X 

betrachtet; alfo zunächst die Stetigkeit von g>'z unterfucht. Ks 

f 2 fx 

ist zuerst für ia = x der Ausdruck (nach 429. wo 

z — X 

man nur dx = 1 , und x + q = z zu fetzen hat) = fx = fz, 
alfo in diefem Falle g)z = zfz, alfo y'z in diefem Falle = f z 
-f zf'z, alfo stetig, da fz und i"z ^s find. Ferner, wenn 
z^x, alfo z — x^O ist, fo ist 

fz — fx , zf z z(fz - fx) 
^ Z — X Z - X (z — x)2 

Da nun fz, fx, z stetig find, und z - x^O ist, fo ist 
auch in diefem Falle (p*z stetig; alfo (p^z fo lange stetig, als 
z num. < x' ist. Somit bleibt C{(pz) (nach 462) von unver- 
ändertem Werthe, fo lange z num. < x' ist, aber für z =0 
wird (nach*) ipz gleichfalls null, fomit ist C(g)0)==0, alfo 
auch C(9)z), alfo erhalten wir die Gleichung 
rz(lfe--Jx)-| _ 



{'^ir]=«- 



Nehmen wir jetzt z numerisch > x aber noch immer inim. 
x' an, fo ist z — x>0 und es find daher nnd 



Z — X z 

fo wie ihre Differenziale nach z stetig, alfo (nach 463) 



.i-!^x^■^<^J=»• 



Aber C = i (nach 465, wo man nur z statt x, und 

z ' — X 

X statt a zu schreiben hat), folglich hat man 

Z X x^ x' — ^ x' 

Nun ist = 1H I--T+"* + -r"i + "n> ^^ 

z — X z z* z'-i z'-*(z — x)' 

alfo (nach 463) 

fx = C(fz) + xc(|) + *'KzO+ ■ ■ 

Hier ist das letzte Glied (nach 462) . numerisch kleiner 

als der numerisch grösste der Ausdrücke, die man erhftlt, wenn 

x'fz 
man in --—,7 ;: statt z alle möglichen mit ihm nume- 

z'"^(z — x) ® 

risch gleichen Werthe fetzt. Der grösste der numerischen 
Werthe, die dabei fz annimmt, ist oben mit F bezeichnet, die 
numerischen Werthe von z und x aber mit Z und X; der 

numerisch grösste Werth, den — — annehmen kann, ist 

1 ,r • * P *'fz ^ X'F ' 

alfo ist C— -TT r num. ■< „, ,^^ =77 ; und aus 



Z - X' z'-i(z — X) Z'-i(Z - X)' 

gleichem Grunde find die übrigen Glieder, vom ersten anfan- 

XF X^F X'-^F 
gend, numerisch kleiner als F, -=-, y^,--* »TZil <lies fiöd 

aber die entsprechenden Glieder und ersteres der entsprechende 

FZ V^Va 

Rest der Reihe yZT? "^^ / yä- ^* "™ endlich die letzt- 
genannte Reihe eine ächte ist, fo ist auch die Reihe für fx, 
da ihre Glieder numerisch noch kleiner find,' als die Glieder 
dicfer Reihe, eine ächte. 



467 . Der T a y 1 r'sche und M a c 1 a u r i n'sche Satz. Wenn 
f'x stetig ist für jedes x, was numerisch kleiner als x' ist, fo 
ist in demfülben Umfunge 

fx = f(0) + xf'(O) 4- |-V'(0) -f- |*P»)0 + . . 

Beweis. Denn dann lasst Hch fx (nach 466) in einer 
Reihe entwickeln. Es fei diere Reihe 

(*) fx-Za";;^ 

fo ist 



"•'■' = 2 CT 



^' a^«-» [448], 



n)! 

alfo P''>0 = n!aat, da alle übrigen Glieder null find, airo 

_ fcn)0 
^^~ ÜÄ' 
Dies in (*) eingefetzt giebt die zu erweifende Gleichung. 

Anm. Da f(a + x) als Funktion von x betrachtet werden kann, 
fo ist es überflüssig, den Satz in zwei Sätze (den Taylor'schen und 
Maclaurin'sehen) zu zertrennen. 

§. 3. Entwickelung der Funktionen mehrerer Zahlgrössen oder 
Einer extensiven Grösse in Reiben. 

468. LehrTatz und Erklärung (Erweiterung von 
462). Wenn f(x,, Xj,---) eine Funktion mehrerer veränder- 
licher Zahlgrössen x^, x,,- * • ist, und die zu dierem Vereine ge- 
hörigen partiellen ersten Differenzialquotientcn 7™ll[Xi, Xj,- • •), 

CiX| 

^-f(Xi, X2,- • 0,- • • allemal Stelig find, fobald gleichzeitig der 

numerische Werth von x, zwischen den Gränzen ai und b, , der 
von X2 zwischen den Gränzen »2 und bj liegt u. T. w.; und wenn 

endlich di = cos. hif«n. — , ©2=cos. f-ifin. — , •••, 

To konvergirt der Ausdruck 

-— ^ Zfür®% X20*,...) 

Il|ll2 • • * 

21 



322 ' U*d 

mit den unbegränzt wachrenden ganzen Zahlen n^, nj,--* nach 
einer konstanten (von x^, Xj,--- unabhängigen) Gränze. Diefe 
konstante Gränze fei das zu jenem Stetigkeitsgebietc gehörende 
konstante Glied der Funktion TCx^; Xj,* • genannt und mit 
C[f(xi, Xa,---)] bezeichnet. Dann ist für 2 Variabein 

C[f(x„ x,)] = C,iC,[lXxu X2)]), 
wo Ca rieh nur auf die Variable X2 bezieht (x^ als konstant 
geretzt) und C^ fich nur auf die Variable x^ bezieht (x, als 
konstant gefetzt); und entsprechend für mehr Variabein. 

Beweis i (für 2 Variabein). Nach der Bedeutung der 
Summenbezeichnung ist 

wo die innere Summe fich nur auf den Index B bezieht, die 
äussere nur auf den Index a. Lassen wir nun zunächst Uj 
unbegränzt wachfen, fo konvergirt die innere Summe (nach 
462) nach einer von Xj unabhängigen Gränze, welche wir mit 
CjlfCxj©*, X2)] zu bezeichnen haben. Diefe Gränze wird alfo 
nur noch eine Funktion von x,0; fein, und fei diefelbe mit 
y(Xi®;) bezeichnet; fo ist die Gränze, nach welcher der obige 
Ausdruck mit unbegränzt wachfendem Ug konvergirt, 

"1 

Wächst nun auch Ui unbegränzt, fo konvergirt (nach 462) 
dierer Ausdruck nach der auch von x^ unabhängigen Gränze 
Cj[yx,]. Nach diefer Gränze konvergirt alfo der ursprüng- 
liche Ausdruck, wenn in ihm fowohl n^ als Uj unbegränzt 
wachfen; d. h. es ist 

C[f(x„ X2)] = Ci[yxi]. 
.Aber es war g)(xi0;) = C2[f(xi©?, Xj)] gefetzt, alfo ist (für 
a = 0), (pxi == C2[ftxi, X2)] ; alfo 

C[f(xi, X2)]=^Ci(C2[f(X„ X2)]). 

2. Diefelbe Schlussreihe lässt fich auf beliebig viele Ver- 
änderliche übertragen. 

Anm. Es versteht ficli von felbst, dass man aucli ni = n2 =•••> 
alfo auch ©1 = ©2 = • ' * fetzen kann, ohne dass der Satz aufhört 
richtig zu fein. 



M») ß23 

469. (Erweiterung von'466). Wenn f(xi, Xa,-) eine 

Funktion mehrerer veränderlichen Zahlgrössen X|, Xj,*— ist, 

und die zu dem Vereine diefer Veränderlichen gehörigen 

d^ 
partiellen zweiten Differenzialquotienten ^— jf(xi, X2,-'«)5 

(IX j 

d^ 

j-jf(xt, Xj, •••)>••• allemal stetig find, Tobald gleichzeitig Xi 

(Ix, 

numerisch kleiner als x\ , X2 numerisch kleiner als x'2 i^^ 
u. f, w., fo lässt fich f(xi, Xa,- • •) in einer nach ganzen homo- 
genen Funktionen von Xj, Xa, • • • aufsteigenden ächten Reihe 
entwickeln. IJnd zwar wenn ilch das Zeichen C auf die Ver- 
änderlichen Z|, Z2,* • • bezieht, während Xi, x^* • • als konstant 
gefetzt werden, fo ist 

(a) Kxi, x„. •) = Crf(z„ z„. .)-^-i-.— \ •• •] 

L »2 — ' X2 tu — X| J 

(b) =Z'^'^iW¥?l 

und wenn Xi , Z| , X, , Za , • * • beziehlich die numerischen 
Werihe von Xi, z^, X2, Zs,*-» find, und F der grdssto der 
numerischen Werth« ist, welche f(Z|, z,,'*-) für die ver- 
schiedenen Werthe von Zi, Zj, •••, welche beziehlich nume- 
risch = Z|, Z2,* • • find, annimmt, fo ist jedes Glied der obigen 
Entwickelungsreihe von f(xi, x%,- • O? fo wie auch jede Summe 
jener Glieder und namentlich der mit dem homogenen Gliede 
eines beliebigen (n-ten) Grades beginnende Rest der Reihe 
numerisch kleiner als das entsprechende Glied, oder die ent- 
sprechende Summe oder der entsprechende Rest in der Reihe 






Z| — Ai L2 — -X.2 
Beweis 1 (für 2 Veränderliche). Betrachten wir zu- 
nächst Xi als konstant, fo ist (nach 466) 

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist nur noch eirie 
Funktion von Xj und Xa; diefe Funktion fei mit 9)(xi, Xj) 
bezeichnet, fo ist (nach 466) 



824 t4## 

f(x„ X3) = y(x„ X2) = Ci|^^-?^-^g)(z,, Xz)], 

wo C| (ich nur auf die Veränderliche zi bezieht. Setzen wir 
nun statt 9(21, Xj) feinen Werth, welcher aus der rechten 
Seite der obigen Gleichung (*) dadurch hervorgeht, dass man 
Xi statt Xi fetzt y fo erhftit man 

Da Cj fich nur auf die Variable z^ bezieht, alfo ^- — 

Zi — Xj 

in Bezug auf C2 als konstant gefetzt wird, fo können wir 
(nach 463) auch das Zeichen C, vor diefen Faktor fetzen und 
erhalten 

LZj — X| L2 — "^2 J 

alfo Formel (a) bewiofen. Es kommt nun darauf an, hier 4en 
in Klammern geschlossenen Ausdruck, in weichem wir der 
Kürze wegen f statt f(Zi, Z2) schreiben wollen, in einer Reibe 
nach steigenden ganzen homogenen Funktionen von X] und Xj 
ZU entwickeln, und den zugehörigen Rest hinzuzufügen. Setzen 
wir Uo, Ui,-*** Uu_i als die n ersten Glieder und r^ als den 
zugehörigen Rest diefer Reihe, alfo 



** ^1 .^*2 



^1 "— A^ «2 ^"^ ^2 

fo ist bekanntlich Uo = f, % = ( — + — jf, und für jeden 
Index r 



2^X«Ä*f 



und r^ =*: -. — ^ ^^— B^. 

Zl — Xi Z2 — X2 

Dann miI alfa 

f(xa, X2)«=Ue + C(uO + dn^) +• • , . C(u._0 + C(r.). 
Hier ist jedes Glied der rechton Seitf (nach 462) nume- 
risch kleiner als der numerisch grösste der Ausdrücke, die 



') 83S 

man erMIt, wenn man In die in Klammer gescfalossene Funklion 
von Zi und Zj statt diefer Variabein alle möglichen mit ihnen 
numerisch gleichen Werthe fetzt. Der grösste der numerischen 
Werthe, die dabei f annimmt, ist oben mit P bezeichnet, die 
numerischen Werthe von Z| und Zj', x^ und x, mit Z^ und 
Z2, Xi und Xj. Folglich ist 

x«xu ^ xexiF 



num. 



z«z* • Z«Z*, ' 

alfo da der Ausdruck rechts pofitiv ist, fo ist (nach 418) auch 

2^\Äf ^ srx\x\F 
-V^num.<2^zh 
alfo auch (nach i^**) (Ör jeden Index r 

u, num. <: U,, 
wo Ur dasjenige bezeichnet, was aus u, hervorgeht, wenn 
man darin Xi, Z^, X2, Z2, F statt Xi, z^, x,, Zj, f fetzt, fo 
dass alfo 

wird, wo auch der Rest Bq ans r,^ durch diefelbcn Substitu- 
tionen hervorgeht. Diefer Rest ist noch zu unterfuchen. Es 
ist, wie fo eben gezeigt, 
Un num. < Üq. 
Ferner aber auch, da unter allen Werthen welche Zj — Xi 
annehmen kann, wenn statt z^ und Xi alle möglichen mit ihnen 
numerl^eb gleichen Werthe gefetzt werden, Z| -* Xi der nume- 
risch kleinste ist, fo ist 

Zi ^ Zi 

Zl — Xi 



num. < ,7— v"> ^^^ ^"S gleichem Grunde 
^1 — Ai 



Z2 ^ 1*2 

^ num. ^ 



Z2 X2 ii% '-*' A2 ^ • 

Aifo 4^ di^ Mden' letzten Yergleichungen nur Zahlgrössan 
enthalten, fo ist (nach 458) 

Zi Z2 . Zj Z2 -, 

— ^-u^num. <: = — ^-hf — Sr'U«, 

Zi — Xi Zj — Xj '^ , Zi — Xi Zj ^ Xa * 

fl. h; Xn nUXfL < R». 

Alfo ist tv«li (aaph 46;») 

C(u,) num. <: U^, C(rn) num. <. R^, 



«26 (*•• 

d. h. jedes Enlwickelungsglied der Reihe für fi[xi, x^), und 
der Rest derfolben ist numerisch kleiner als das entsprechende 
Glied und als der entsprechende Rest der Entwickelungsreihe 
(^^**). Diefe letztere Reihe ist aber bekanntlich konvergent, 
d. h. ihr Rest R^ konvergirt mit unbegrenzt wachrendem n 
nach null; alfo thut dies auch der Rest C(rJ, da er noch 
numerisch kleiner als R^ ist, d. h. auch die Entwickelungs- 
reihe für f(xi, Xj) ist konvergent, fo lange nämlich die Be- 
dingung erfällt wird , dass Xi num. <: x' und Xj num. < x'j 
bleibt. Die Reihe für f(xi, Xj) war aber, wenn wir den Rest, 
wie dies bei konvergenten Reihen gestattet ist, weglassen, 
f(xi, xO = Uo + C(U i) + C(uj) + • • • , 

wo C(u,) = C^^-^l^'ca + 1 = r), d. h. 

womit die Formel (b) bewiefen ist. Es bleibt noch zu zeigen, 

dass die Reihe f(xi , Xj) = Uo + C(Ui) + CCuj) -\ — • nicht 

bloss eine konvergente, fondern auch eine ftchte ist. Da x^, 

x' x' 

X2 num. <: x'j, x'2 find, fo find — und — num. > 1; folglich 

Xi X2 

muss es eine pofitive Zahl T geben, welche > 1 aber nume- 

x' x' 

risch kleiner als — und — ist. Dann hat man x^T num. 

Xi Xj 

<: x'i und XjT num. •< x'2, folglich muss die Reihe für f(x,, Xj) 
noch konvergent bleiben, wenn man x^T statt x^ und x^T statt 
X3 fetzt; dann verwandelt fich aber C(u,), da es eine homogene 
Funktion r-ten Grades von x^, X2 ist, in TCCu,), folglich 
bleibt die Reihe 

"o+T€(u,) + rC(u2)+--- 
konvergent, alfo auch ihre Glieder bis ins Unendliche hin end- 
lich, alfo (nach 454) die Reihe 

«o+CCuO + C(u2)+-.. 
eine flehte. 

2. Der Beweis 1 ist überall fo geführt, dass er fich un- 
mittelbar auf beliebig viele Variable übertragen Iflsst. 



4lfll) 327 

470. Der Taylor'sche Salz (467) gilt auch, wenn x 
eine beliebige extenflve Grösse ist; d. h. es ist auch in dierem 
Falle 

fx = f(0) + xf'O + y f-0 + . . = 2^f''^. 

vorausgeretzt, dass d^fx für jeden Werth x, der numerisch 
kleiner als x' ist, stetig Tei. 

Beweis. Es fei x==Xiei -f XaC^ 4-* • •» wo ei, Ca,- • • 
die normalen Einheiten von x Hnd, fo ist (nach Hyp.) d^fx 
stetig; aber (nach 449) 

difx=j;fx.dxJ+<J',fx.dx;H +2^i^afx-dxidxj + .., 

wo dty 629'" ^^^ ^^ ^^^^ Vereine der Variabein x, , Xj,-- 
gehörigen partiellen Differenzialquotienten find. Diefe Glei- 
chung gilt für jede Werlhreihe von dx^, dxj,- • •, alfo nament- 
lich, wenn man dxj, dxg,-- null fetzt. Dann aber wird d^fx 
= J|fxdxJ, alfo ist d]fx stetig, aus gleichem Grunde JJfx 
u. f. w.; alfo lässt fleh (nach 469) fx, als Funktion von x,, 
X2,-- in einer ächten Reihe entwickeln, deren Glieder nach 
ganzen homogenen Funktionen von Xj, Xj,**« fortschreiten, 
es fei 

fx = Uo + Ui +• U3 H 

diefe Reihe, wo 

Ur = 2;"a«^j^...x;xV^."^a ^' b +• • =r) 
ist. Setzen wir hier 

Za«,B,..[l|ei?[i;e2P- . .(a + b + • • = r) = a„ 
wo 1 eine durch x ausfüilbare Lücke bezeichnet, fo wird u, 
= a,x', und alfo 

(*) fx = ao + a^x + 83x2 H . 

Setzen wir hier x = yz, wo z eine Zahl ist; fo wird 

fx = f(yz) = ao +a,y-z 4-ö2y^-z2... =Xw^^z^ 
Alfo find (nach 460) die Differenzialquotienten diefer Reihe 
nach z gleichfalls ächte Reihen, und es wird alfo 



,^.f(y^) = 2^,a.y. 



dz _ 

Aber (nach 440) ist ^f(yz) = f'(yz)^(yz) = Px.y, und 



328 C*»* 



d^ d* 

ebenfo ^-/(yz) = Px-y^ u. f. w., j-äf(yz) = P°)x • y». Alfo 






Setzt man nun z = 0, fo wird auch x = yz = 0, alfo 

f(n)0.y» = n!a^-y", 
da alle übrigen Glieder der rechten Seite verschwinden. So- 
mit, da diefe Gleichung für jeden Werth y gilt, To ist, wie aus 
357 leicht hervorgeht, 

f(n)0 = n!a^, alfo 8^ = ^^, 

was, in die obige Gleichung (^) eingeführt, die zu crweifende 
Formel liefert. 

iftajj. 4, JJntegtttlredjttttng. 
§.1. Integration von Differenzialansdrücken. 

471. Wenn ft eine reelle Zahlfunktion der reellen Zahl- 
Grösse t ist, und die abgeleitete Funktion ft zwischen t = ti 
und t2 stetig und poHtiv ist, fo wöchst zwischen denfelben 
Gränzen ft mit t; wenn dagegen Pt stetig und negativ ist, lo 
nimmt ft ab, während t wächst. 

Beweis. Es ist (nach 439, indefn man hier t statt x, 
und z = 1 fetzt) 

f(t + q) = ft + q(Pt + iV), 
wo N mit q verschwindet, alfo 

fCt + q)-fl = q(Pt-hiV). 

Da N mit q verschwindet, fo muss für gehörig kteine 
Werthe von q auch ft -f- iV mit ft gleichbezeichnet fein; alfo 
wenn q und ft gleichbezeichnete Grössen find, fo wird dann 
q(Pt + N) pofitiv, alfo auch f(t + q) >" ft fein; d. h. ft wächst 
mit t, wenn aber q und ft ungleichbezeichnete Grössen find, 
fo wird q(ft + iV) negativ, alfo f^t + q) <: fl, d. h. ft nimmt 
ab wenn t wächst» 

472. Wenn die reelle ZahlfuRkÜon ft der reellen Zahl- 
Grössetfftr t = ti denfelben WerUi annimmt, wie fürl = tj, 
wo ta >" ti ist und f t für jeden Werth t, der zwischen t, 



und ta liegte stetig ist, fo muss für irgend einen Werth t, 
der zwischen t^^ und t^ liegt, rt = Tein. 

Beweis. Wenn Pt Tür jedes zwischen tj und ta liegende 
t von Null verschieden wäre, To müsste es fortdauernd pofitiv 
oder fortdauernd negativ fein. Denn wäre Pt für einige Werthe 
poDtiv, für andere negativ, fo müsste es mindestens einen 
Werth geben, wo f't aufhörte pofitiv zu fein und anfinge 
negativ zu werden o^er umgekehrt; da aber Pt (nach Hyp.) 
stetig ist, fo müsste es bei diefem Werthe von t noth wendig 
null werden. Wenn aber f't dauernd poHtiv wäre, fo würde 
(nach 47i) fta > ftj fein, was mit der Vorausfetzung, dass 
ftj=:ft2. fei, streiket; es müsste alfo Pi dauernd negativ fein; 
allein dann wäre fti <i ft^ (nach 471), was gleichfalls mit der 
Vorausfetzung streitet, alfo ist die Annahme, dass ^(t) für 
jedes zwischen tj und tj liegende t von Null verschieden fei, 
unmöglich , d, h. Pt ist für irgend ein zwischen t| und tj lie- 
gendes t null. 

473. Wenn ft eine reelle Zahlfunktion einer reellem 
Zahlgrösse t ist, und ft für jedes zwischen ti und ta liegende 
t stetig ist, fo muss für irgend ein zwischen diefen Gränzen 
liegendes t 

t2 ti 

fein. 

Beweis. Die Funktion 

12 — h 
iiimml für t = ti den Werth fti, für t = t2 denfelben Werth 
fti an; da nun y't = ft — (fta — fti) : (ta — tj ist, fo ist alfo 
auch ijp^t zwischen jenen Gränzen stetig, folglich giebt es (nach 
472) einen zwischen denfelben Gränzen liegenden Werth t, 
für welchen 5p'l = 0, d h. 
^ ft2-ft| 

ist. 

4?ft. Wenn ft eine beliebige Funktion der reellen Zahl- 
grösse t ist, fo ist, fo lange ft^^ö ist, auch ft nothweiMlig 
konstant. 

21* 



330 C4«» 

Beweis 1. ft fei eine reelle Zahlfunktion. ' Angenom- 
men , es habe ft für zwei verschiedene Werthe t| und tj un- 
gleiche Werlhe, alfo fti ^ftjj, während doch Pt zwischen tj 
und X2 null fei , fo hätte man (nach 473) för irgend ein zwischen 

tj und tj liegendes t, ft = ~ r^ alfo ungleich, null, was 

mit der Vorausfetzung streitet; alfo ist die Annahme, dass ft 
für irgend zwei Werthe, welche noch innerhalb der Gränzen 
liegen, zwischen welchen f't = ist, ungleiche Werthe an- 
nehme, unmöglich, d. h. ft ist innerhalb diefer Gränzen konstant. 

2. Wenn ft eine beliebige Funktion ist, und e^, Ca,««- 
ihre normalen Einheiten und f]t, f2t,«** die zugehörigen Ab- 
leitzahlen nnd, alfo 

ft=eifit -f eaf2t +• • • 
ist; fo ist (nach 434J 

dft = Oidfjt + Cadfjt H , d. h. 

f't = eif'it + e2p2t4-.... 
Da nun vorausgeretzt war, dass Pi = fei, fo lind (nach 28) 

f'jt = f'at = -* =0, 
alfo (nach Bew. 1, da fit u. f. w. Zahlfunktionen find) fjt, fat,« • • 
konstant, alfo auch Cifit 4- Osfat -f * * konstant, d. h. ft konstant. 

J9179. Wenn dzfx innerhalb gewisser Gränzen, für jedes 
dx, null ist, fo ist innerhalb dcrfelben Gränzen fx konstant. 

Beweis. Es feien Ci, Oa,-** die normalen Einheiten, 
und Xi, X2,-*- die zugehörigen Ableitzahlen von x, alfo x = 
XiCi -f XaO^ H — , und feien die zu dem Vereine der Variabein 
^u ^9"' gehörigen partiellen Differenzialquotienten nach x^, 
X2,*-* beziehlicb mit ^1, J29'" bezeichnet, fo ist (nach 437) 
dxfx = rfifx'dxi + ^afx-dxj H . 

Da nun dzfx (nach Hypoth.) für jedes dx null ist, alfo 
auch wenn dxj^O, dxj, dxg,» • • null find, fo hat man rfifx = 0, 
alfo (nach 474) fx von x^ unabhängig, und aus gleichem Grunde 
auch fx von X2, Xs,*-» unabhängig, d. h. von x unabhängig, 
alfo konstant. 

476. Wenn innerhalb gewisser Gränzen die Differenziale 
der Funktionen fx und g>x fortdauernd gleich find, und. für 
irgend einen Werth x innerhalb jener Gränzen die Funktionen 



reibst einander gleich findi fo findet diere Gleiehheit auch für 
jeden andern zwfschen jenen Gränzen liegenden Werth x statt. 

Beweis. Es Tei Fx=:fx — g>Xy (o hat man dFx=drx 
— dipx, alfo dFx innerhalb jener Gränzen , für welche die 
Yorausfetzung, dass dfx = d9)x fei, statt fand, null; alfo (nach 
475) innerhalb derfelben Gränzen Fx konstant , d« h. fx — q>x 
= Konst. Da nun für einen gewissen Werth von x, nach der 
VorausPetzung, fx = 9x ist, fo ist die obige Konstante null, 
allb für jeden Werth x innerhalb jener Gränzen fx — yx = 0, 
d. h. fx = 9)x. 

47?. Erklärung. Wenn t eine pofltive Zahl ist und 
die Funktion ft zwischen t = und t=:ti stetig ist, fo ver- 
stehe ich unter dem Integral von ftdt di^enige Funktion Ft, 
welche mit t null wird und deren nach t genommenes DifTe- 
renzial für jedes t, welches zwischen jenen Gränzen liegt, 
gleich ftdt ist. Ich bezeichne dies Integral mit d^^ftdt; d. h« 
eis ist 

d-ifl.dt = Ft, 
wenn dtF(t) = ft • dt und F(0) = Ö ist. 

Anm. Die gewählte Bezeichnung gewährt vor der gewöhnlicheb 
den Vorzug, dass fie nur als eine Erweiterung der für die Differenzial- 
rechnung geltenden erscheint; eine neue Bezeichnung schien aber 
wünschens werth, da der Begriff des Integrals , wie er oben aufgestellt 
ist , mit dem gewöhnlichen Begriffe desfelben nicht deckend ist. Wenn 
wir bei der gewählten Bezeichnung festfetzen, dass das Differenzial, 
auf welches fieh die Integration bezieht (hier dt) stets an den Schluss 
des zu iütegrirenden Ausdruckes gestellt werde, fo können wir bei 
derfelben die Klammer, welche eigentlich den zu integrirenden Aus- 
druck umschliessen mösste, entbehren. Eben fo hat man nicht nöthig, 
die Grösse, nach welcher integrirt werden foll, dem Integrations- 
seichen beizufügen, da diefe gleichfalls durch das an den Schluss ge- 
stellte Differenzial schon bezeichnet ist. Allein dann muss man fest* 
halten, dass man dann nicht für dies Differenzial einen ihm. gleichen 
Ausdruck, welcher ein anderes Differenzial enthält, fetzen darf,, wenn 
man nicht zuvor nachgewiefbn hat, dass das Integral, wenn es il^ch 
auf dies neue Differenzial bezieht, denfelbcn Werth beibehält. Di^ 
Aenderung in dem Begriffe des Integrals , wie Üe die obige Definition 
zeigt, besteht darin, dass die Unbestimmtheit , welche das fogenannte 
allgemeine Integral vermöge der willkürlich hinzuzufügenden Konstan- 
ten erhält, aushoben ist, indem das Ii^tegral nach denk aufgestellteti 
Begriffe stets zwischen zwei genau &»tg08tel]te)v Gi^äBzeh genommen 



33i C*** 

ist, indem n&mlich als AnfÄngsgränee-O, als Endgfünze der 1?^ertli 
der Yäriabeln felbst gefetzt isl. Das allgemeine Integral ist als für 
fich bestehende Grösse aus der Mathematik aus demfelben Grunde 
gänzlich zu verbannen, wie alle andern mchrdeatigen Grössen und 
Grössenverknüpfungen , weil nämlich kein algebraisches Gefetz für 
folche mehrdeutigen Ausdrücke allgemeine Geltung behält. Es hat 
alfo nur das bestimmte Integral wissenschaftliche Berechtigung. Die 
gewählte Bezeichnung reicht aber aus, um jedes bestimmte Integral 
zu bezeichnen. Denn foU z. 6. das Integral von fz>dz zwischen den 
Gränzcn a und a -l" b genommen werden , fo hat man nur z =: a -(- 1 
zu fetzen und d— *f(a + t)dt zu nehmen und nach der Integration t =b 
zu fetzen. Noch bemerke ich, dass die Stetigkeit der zu intergrircn- 
d^tt Funktion im Folgenden überall voraüsgefetzt wird, auch wenn 
diefe Bedingung nieht ausdrüeklich fainängefdgt ist. 

478. Zufatz. Es ist 

dt(d-*ft.dl) = ft-dt, und [d-»ftdli(t = 0) = 0. 

yi94 Wenn f(0)=0 ist, fo ist für jedes t, was zwischen 
den Giränzen und t' liegt, zwischen welchen dft stetig ist, 
d-Mft=:ft. 

Beweis. Nach 478 ist, wenn alle Differenziale nach I 
genommen flnd, 

d(d-yft)c=:dft und [d~idft](t = 0) = 0^ 
airo haben die beiden Funktionen d'^dfl und ft die Eigen-^ 
schafl, dass für jedes zwischen und t^ liegende t ihre Dif- 
ferenziale gleich find, und dass für t = beide Funktionen 
einander gleich, nämlich gleich null werden; denn für d~^dft 
haben wir es fö eben bewiefen , und für ft ist es (nach Hyp.) 
der Fall. Alfo find (nach 476) beide Funktionen einander 
gleich. 

480. Eine Summe integrirt man, indem m«n die Stücke 
integrin, und ein Produkt, dessen einer Faktor konstant ist, 
integrirt man, indem man den variablen Faktor inlegrirt, und 
den konstanten unverändert lässt; oder beides zu einer all- 
gemeineren Formel zufammengefasst, 

d-^ ZaÄCÖdt = Zaad-%(t)dt. 

Beweis. Nach 478 wird die Funktion d''^fa(t)dt mit t 
null, alfo auch a«d'~^f«(t)dl, alfo audi die Summe diefer Aus* 
drucke; folglich ist (naeh 479) 



«•») 333 

= <'~'Z'a«<ld-*f«(t)(lt [432, 433] 

= d-*Zü;;ÜÖHt' [478]. 

481. Wenn ft stetig ist für jede zwischen den Gränzen 
und t' liegende pofitive Zahlgrösse t, fo ist für jedes folcbe 
t auch die Integration von ftdt ausführbar. 

Beweis. Wenn ft eine reelle Zahlfunktion ist, fo isi 
der Beweis bekannt (vergl. z. B. Moigno Calcul intögral p. 1 ss.)* 
Wenn aber ft eine beliebige Grösse ist, und ei, Oa,*-* ihre 
normalen Einheiten, f^t, f2t,*-* ihre Ableitzahlen find, alfo 

ft = eJit + e^fat -i ist, fo ist (nach 480) 

d-iftdt = eid-^fitdt + ead-2fjidt H . 

Da nun (nach 413) fit, fat,*** reell Tind, fo find, wie 
eben gezeigt, die Integrationen d~*fitdt, d"%tdt,-* ausführ- 
bar*, alfo auch die Integration d^^ftdt. 

482. Wenn die pofitive Zahlgrösse t = ^u Funktion 
einer lindern pofitiyen Zahlgrösse u ist, und ^»u. mit u zugleich 
hüll wird, fo ist 

d-m.dt = d-ift.9'u-dii.. 
Beweis.. Es fei d-^ft-dt = Ft, d.h. diFt = ftdt und 
F(0) = 0. Da nun dtFt = F'ldt ist, fo folgt aus der ersteren 
Gleichung F't = ft. Nun ist (nach 440) 
duFt = F't dut = F't-du^u 

= F't.5p'u.dtt [440]. 

Ferner ist, wie oben gezeigt, F't = fl, und Ft = F5p(u), 
alfo da jpu mit u zugleich null wird, fo wird Ft nicht blosrs 
mll X, fondern auch mit u null; und wir erhalten alfo 
duF9>(u)=ift-jp'u*du und 
Fsp(0) = 0, 
alfo ist (nach 477) Fjpus=d~'^ft*9'u«du; aber es war auch 
F9u = Ft = d-mdt, alfo 

d-mdt = d-*fl-^'u.du. 

483. Erklärung. Wenn x eine beliebige Grösse ist, 
deren numerischer Werlh i i^st, und x : t mit e bezeichnet 
wird (wo alfo der numerische Werth von e gleich 1 und x 
= el ist), fo fetze ich 

d-^fxdx = d-'f(et).edt, ^ . 



334 t^«* 

wo e bei der Integration als konstant geretzt und vorausgeretzt 
wird, dass f(et) in t stetig ist, und auch bleibt, wenn t bis 
null hin abnimmt. Wenn fich eine mit x verschwindende 
Funktion von x finden lässt, deren nach x genommenes DiF- 
ferenzial fxdx ist, fo Tagen wir, dass in diefem Falle fxdx 
allfeitig integrirbar fei. 

Anm. Wir werden späterhin zeigen, dass jedesmal , wenn es eine 
Funktion Fx von der Art gicbt, dass dxFx = fxdx, und F0:=0 fei, 
dann auch für jedes x jene Funktion Fx = d— ^fxdx fei, wobei d— ifxdx 
in dem oben gegebenen Sinne aufzufassen ist. Dagegen wird Hch 
zeigen, dass es nicht zu jedem fxdx eine Funktion Fx von der ge- 
nannten Eigenschaft giebt, während auf der andern Seite d— ^fxdx 
— d— >f(et)edt (nach 481) stets gefunden werden kann. Es ist alfo 
d— fxdx in der Weife, wie wir es oben definirt haben, als das allge- 
meine stets mögliche Integral von fxdx aufzufassen, welches fich nur 
in speciellcn Fällen als Funktion von x in der Art darstellen lässt, 
dass das nach x genommene Differenzial diefer Funktion gleich fxdx fei. 

484. Statt eine Summe zu integriren, kann man die 
Stücke einzeln inlegriren, d. h. 

d-KfiX + f2X + • Odx = d-VjXdx + d-^f,xdx + • • 

oder 

d"^Äx dx == Xd- VaX . dx. 
Beweis. Es fei x = et, wo t eine pofitive Zahlgrösse 
und numerisch gleich 1 ist, fo ist 

d-i^^ dx = d-^Xf^ eil [483] 

= d-iZ^^3redt [39] 

= Z^d-Vedt [480], 

weil nttmlich t eine poßtive Zahlgrösse ist, 

= J]"d-*faX.dx [483]. 

485. Statt ein Produkt zweier Faktoren, von denen der 
eine konstant ist, zu integriren, kann man den andern Faktor 
integriren, und den konstanten Paktor unverändert lassen, d. h. 

d-^afxdx = ad-^fxdx , 
wo fx im Aligemeinen einen Ausdruck mit zwei Lttcken dar- 
stellt, von denen die eine durch a, die andere durch dx aus- 
geßUlt werden foli. Bezeichnen wir die erstere Lficke durch 
r, die letztere durch li, und schreiben statt a und dx bezieh- 

a dx 

lieh -y und -r-, um dadurch T^bolisch auszudrücken, dass a 



A^) 335 

in iie Lücke I, und dx in die Lücke Ii einireten foU, To 
können wir die obige Formel bezeichnender schreiben 
. j a . dx a , .- dx 
1 li l li 

Beweis. Setzen wir x = et (in dem Sinne von 483), 
to ist 

4 d-*fx~ = 4-d"Xet)-?-dt [483] 

= d-M[yd-*f(et)-^dt] [479] 

= d-*4^^~*f(eOT-dt [433, 43i c] 

= d-*4-f(el)^dt [478] 

= d-*4-f^~ [483]. 

Anm. Es versteht fleh von felbst, dass, wenn eine der GrÖasen 
a oder x (alfo auch dx) eine Zahlgrösse ist, die zugehörige Lücke 
wegfällt und daher die Unterscheidung der Lücken überflüssig wird; 
ebenfo wenn die beiden Lücken vertauschbar find, d. h. wenn stets 
dasfelbe Refultat hervorgeht , fobald von zwei beliebigen Grössen (hier 
a und dx) die. eine in die erste, die andere in die zweite Lücke ein- 
tritt, oder umgekehrt jene in die zweite, diefe in die erste. Noch 
bemerke ich nachträglich, dass in dem ganzen vorhergehenden Ab- 
schnitte überall, wo von einem Lückenauadrucke mit n Lücken die 
Rede ist, ohne dass eine nähere Bestimmung hinzugefügt ist, stets 
die n Lücken als vertauschbar gefetzt find. 

486. Es ist fxdx dann und nur dann alffeiiig integrir- 
bar, wenn die abgeleitete Funktion fx entweder ein lücken* 
lofer Ausdruck (d. h. x eine reelle Zahlgrösse) oder ein 
Ausdruck mit zwei vertauschbaren Lücken ist, nämlich fo, 
dass es für das Refultat gleichgültig ist, in welcher Verthei- 
lung zwei Grössen in die beiden Lücken eintreten. Wenn 
diefe Bedingung erfüllt ist und Fx die mit x verschwindende 
Funktion von x ist, deren nach x genommenes Differenzial 
fxdx ist, fo ist allemal 

Fx = d-^fxdx. 

Beweis 1. Wenn es eine mit x verschwindende Funk- 
tion Fx giebt, fo dass dxFx = fxdx ist, fo istF'x = fx (nach 



336 (#•• 

435), alfo F'^x = fx (nach 450). AJber ¥''x ist (nach 451) 
ein Ausdruck mit zwei vertauschbaren Lücken, alft> auiQh das 
ihm gleiche f^x. Wenn die Lücken von nullter Stufe flnd 
(d. h. X eine Zahlgrösse ist), To können die Lücken wegge- 
lassen werden, und wird dann fx ein lückenlorer Aujsdruck. 

2. Es fei x=:yt, wo y numerisch gleich 1 und t eine 
pontive Zahl ist und Tei vorausgeCetzl, dass fx ein Ausdruck 
mit zwei vertauschbaren Lücken [ei, To hat man (nach 483) 
d""*fxdx = d*"^f(yt)ydt, wo bei der Integration y als konstant 
betrachtet wird. Es fei dies Integral gleich F(y, t) gefetzt, 
d. h. es fei dtF(y, t) = f(yt).ydt, und F(y, 0) = 0, fo be- 
weife ich, dass dxF(y, t) = fxdx fei. Da y und t von ein- 
ander unabhängig find, To ist, wenn dy und dt die auf den 
Verein diefer beiden Variabein bezüglichen Diiferenziale find, 
(nach 437) 

dxF(y, l) = dyF(y, t) + dtF(y, t) = dyF(y, t) + f(yt).ydt. 
Ferner ist (nach 446) 

dt[dyF(y, t)] = dy[dtF(y, t)] = dy[f(yt).ydt] 

= f'(y • tdy . y dt + f(yt)dydt [433] 

= dtf(y t) . tdy + f(yt)dtdy [440] 

= dt[f(yt).tdy] [433]. 

Da nun, wie oben gezeigt, F(y, 0) = ist für jedes y, 

fo ist auch dyF(y, 0) gleich null, ebenfo wird f(yl)*tdy mit t 

null, alfo ist (nach 479) 

dyF(y,0 = flCyt)tdy. 

Indem wir nun diefen Werlh in den oben für dxF(y, t) 
gefundenen Ausdruck einführen, erhalten wir 
dxF(y,t) = f(yt).tdy + f(yt).ydt 
= f(yt)d(yl) = fx.dx. 

Hier find y und t Funktionen von x (nämlich t = lP^ 
y = x : Fx^), alfo ist F(y, t) auch als Funktion von x zu fassen 
und fei als folche mit Fx bezeichnet; fo haben wir alfo in 
jedem Falle, wo Px ein Ausdruck mit zwei vertauschbaren 
Lücken ist (wohin auch der Fall gerechnet werden kann, wo 
Px ein lückenlofer Ausdruck ist), eine mit x = yt verschwin- 
dende Funktion Fx gefunden, deren nach x genommenes 
Diiferenzial gleich fx*dx ist; und zwar wair diefe Funktion 
gleich d""*fxdx. 



3. Ausser der Funktion Px = d^^fxdü: (aton es keine 
«ndere^ Punktion jpx geben, deren nfich x gmommehes Bif- 
fereneiftl in demrelben Umfange, wie das von Fx, gleieii fxdx 
isl, und welche mit x verschwindet; denn wenn d^Fx = dxjpx 
und für irgend eihon Werlli (hier für x = 0) Fx = yx ist, 
(o findet (nach 476) diefe Gleichbeit allgemein statt. Folglich, 
to bald dxFx = fxdx und F(0} = ist, imiss auch Fx =± 
d-^fxdx fein. 

487. Wenn X aus feinen normalen Einheiten Ci, e,,--- 
durch die Zahlen Xi, X2," • • ableitbar, airox=Xiei-fx2e2 +. • • 

ist, und wenn zugleich fxdx = Ajdxi + Ajdxj -| ist, wo 

Ai, Aa,-' Funklionen von Xj, Xa,-« find: fo ist die Bedin- 
gung (allfeiliger Integrirbarkelt), dass fx ein Ausdruck mit 
zwei vertauschbaren Lücken fei, identisch der Bedingung, dass 
für je zwei Indices r und s 

fei, wo dl, ^aj**" AiG zu dem Vereine der Veränderlichen 
^19 ^29"* gehörigen partiellen DifTerenzialquotienten nach dx^^ 
dxa,- • * bezeichnen. 

Beweis. Statt Aidxj + Adx, + ... können wir, da 
(nach 142) (;e,!ej] = l, und [er|eg]= ist, wenn r ^;S ist, 
schreiben (Ai[l|ei] + AsCilej] +• ')dx. Alfo da, für jedes dx, 
fxdx = (Ai[l|e,] + AaHlea] -] )dx ist, fö ist (nacb 357) 

fx = A,[l|e,] + Aa[l|e,] +• • • =;ZAa[l|eJ, 
Nun ist (nach 437) 

dxfx =5= ^äf,fx • dxj = Xc^fcA JljCftldx^ 

Pxdx = ZMliMTin^]^ , 

wo If eine Lücke i^t, in welche dx eintreten foll. Somit wird 
(nach 357) 

f'x = 2"<J^A,ü,e,][l,|e6T 
Sind nun 1 und l^ vertauschbare Lücken, fo hat man für je 
zwei Zeiger r und s 

X^bA«[o,|eJ[er|ee] == X^^AaCeJcJCeJeB]. 
Da aber [«rjeg] null ist für' je zwei Versehiedeno Zeiger r und 
s, und gleich 1 ist, für jß^wei gleipha, fo^ erhält man 

2% 



936 C4»» 

Wd c^benrp g^ u/rigek^hrli wf^ diefea I^|4qren .Gtoich^Qg«» 
dio vodatzte, wel(:he dia Vcriauschburkeit der Llickea e^ns* 
fagt, hervor. 

J|A8. Wenn fx innerMb g^wi/sser Gränzen, in deaen 
nach X7=0 und x;=a liegt, silelig ist, und 

F(x) == d-^fxdx 
Ist; fo ist auch, wenn x = a + y ist, 

FCa + y) - Fa = d-M(a + y)dy. 

Beweis. Wenn F(x) = d-*f(x)dx ist, fo ist d^Fx = 
fx . dx , d. h. F'x = fx ; alfo dy [F(a + y) — Fa] = F'(a + y )dy 
[nach 440] = f(a + y)dy. Ferner ist F(a + y) — Fa für y =0 
gleichfalls null, alfo (nach 487) F(a + y) — Fa = d-if(a -f y)dy. 

489. Es ist, wenn a einen Ausdruck mit n Lücken I 
und einer Lücke li bezeichnet^ 

Kt) r=ri-r--- ' ,, 

Beweis. Es fei x = et, wo t der numerische Werth 
Von X, und e nunterJsch gleich 1 ist, fo ist 

Es fei ae*^"S was wir, da in die Lücken l und l^ in dem 

' /" e N* e 
Ausdrucke \ ~y ) V ^^^^^^ Grösse e eintritt, ^att dieft^^ 

Ausdruckes ieimn können, mit b bezeichnet, fo erhalten wir 

da der letzte Ausdruck mit t verschwinde^ und nach t differen- 
ziirt bf'dt liefert, alfo' 

" ' =— *-.ae'»lVH==--4-,ax«H 

n H- 1 n + 1 

4190. Wenn die Reihe y ®«( T J T~' '" welcher a. 

einen Ausdruck mit a Lücken 1 und einer Lücke 1^ darsftetU, 
eine ächte ist, fo ist 

'\-^'IKW=M^ .... 



=1 



n9 

»etreis. M^n hat (nafcK 484} ' 

-^_qx«+i (nach 489).. 

Anm. Durch diefe Formel, welche nur dann das allfeitige In- 
tegral darstellt, wenn die Bedingung allfeitiger Integrirbarkeit (48(5) 
erfüllt wird, ist die Aufgabe der Integration von Differenzialausdrücken 
allgemein gelöst. Da es uns hier nur auf die Darstellung der In-' 
tegralrechnung in ihren wef entlichsten Zügen ankommt, fo können 
wir mit diefer Löfung der Aufgabe uns hier begnügen. 

§.' 2. Integration von Di£Eerenzialgleichnng^ , wenn die 
nnabhängige Variable eine Zahlgrösse ist. 

4ftl^ Krklärung. Einen gegebenen Verein von Diffe- 
F6BzialgIeidiutijg«n (der aber auch auü^'einer «inalgeil Qleichanftf 
bestehen kann) vollständig integriren, heisst die ßinuntlicbeB 
Vereine von Gleichiingän.. finden^ welche keine. Diff^reliziale 
Hiebr eMhaÜeo^ und von deri?« jeder Verein die j^igenscbaft 
hat^ däs6, wenn er Erfüllt Ist ^ auek der fegebene Yeräin^r*« 
fbttt feij jeder foloke Verein heisst eiil (den gegoltenen VbreinJ 
ialegrirtn4er VereioL Wenn: alfo A ein Verein von DifiFere»zial-* 
gteftöhusfeH und :B^ ein iJmf iiilegirtrende]^ Verein iat^ fo heissb 
dafi i> B entt^lt keine Differen^ate mehi^ und 8) fobald die 
GUäehbngep des Vereins S als richtig vörausgefetsti find, ' b 
lassen' fush daraus die Gleiolmqgen de^ Vereines A als rii^btig 
Dächweinsn. 

• > Anm. £a roll in ^i^fem Sv vor^iusgefetzfe werden^ dl^ss-^ we»n 
alle Variabel,n a^s veränderliche 2iahlgröasen aufg;efaflst werden, vpn 
einer derfelbcn (t) alle äbrigen (xi,'»«'Xn) abhängen. Soll.diefe 
Abhängigkeit durch die gegebeneh Differenzialgleichungeh fo genau 
bebfcimnkt werden,' als dies tibferhaupt durch DifferenziÄlgleithungert 
möglich i0t, fo müssen fo tiel (n) von'- einander unabhängige Biffe* 
Fcipaialglei^iung«^ gegeben feia^^als es abhängige, yarijabelKi gieH. Ist 
t die unat).hilngige (variable) Zahlgiösse und ünfi ^>;." 2» die ßh*, 
hängigpn ^ahlgrössen, fg können wii^eüi System von n Einheiten e^, 
Ca;- • • dn ahn€hiiien uhd x^e^ -f . • • • "p ine^ t=r x fetzen. Da l als diö 
Qrfablili^glge' Vari^bl^ aiigfendthni^h i^t ,- fo -Verden - ^Ue in din'^g^- 
\Huk^ j DlfiJEireaiUlgleii^iiangoii i ; voiükienitn^üein i X^iffhnanzial^uatleatdu • 



840 f4M 

nach t genommen fein mflssen. Wenn dietb X^0erenxittlqiiotlenten 
bis zur m-ten Ordnung aufatetgen, fo wird jede der n Gleichungen 
die Form haben, dass eine Zahl funktion von t, :!^ und den Differenzial- 
quotienten von x bis lur m-ten Ordnung hin gleich gefetzt ist. Sind 
nun fj = 0, fj = O,*' • • fn = diefe n Gleichungen, fo fetze man 
Cifi +• • • ^n^n = fi fo haben wir eine Gleichung 



•(■".Ä-- •£')=» 



aufzulöfen, in welcher t eine Zahlgrösse ist, hingegen x und die Funk- 
tion f aus n Einheiten numerisch ableitbar find. Die Löfung diefer 
Gleichung bildet alfo den öegenstand diefes §. Zunächst behandeln 
wir die DiflFerenzialgleichungen erster Ordnung, d. h. den Fall, wo 
m = l ist. 

492. Aufgabe. Die Gleichung f(t, x, *x) = 0, in 
welcher t eine Zahlgrösse, x und f(i, x, ^x) Grössen Find, die 
aus n Einheiten ableitbar Hnd, und dx das DifTerenzial von x 
nach t bezeichnet, zu integriren; wobpt vdräusgefeMt wird, 
(hiss (ich r(t, X, ^x) nicht «us wenigfer als n Einheiten alh- 
leiten lasse. 

Auflöfung. . Es Ibien e^r * * ^^ dieEinheilen, aus denen 

X s:^ XiCi -j x^ea uud f ,= egfi -f- -i • f e„fa numeri«ldi • ahge« 

leitet find. Es wird vorausgefeizt; dass die Gleiohüngen 
f^ srj 0;- * • • f^ =s 0, welche in f =r ^eiilhäiten find, nicht 
von einander abhängig^ find, d. ht dass keine derfelben aus 
den übrigen nch mit Notfewiendigkeit ergsebe; l^eim dann 
würdb fick ja der Gleicbung f^^^O, f aus Weliigelr eis n Ettw 
heitc& numerisch «bleuen lassen, was. oben ausgeschlossen 
winrdei !Es Tuid bier f^, • •* f^, Funktionen ^er Zahlgk-össan, 
t, Xj,- • • x„, rfxi,- • • Sxj^, Man bestimme aus einer der Glei- 
chungen fi," ' fn eine der Unbekannten ^X|,* • ^ Jx^ und fetze 
dcri gefundenen Werth in die übrigen Gleichungen ein, mit 
den fo erhaltenen, und überhaupt mit den jedesmal noch übrig 
bleibenden Gleichungen, fö fern fle noch eine der Variabeln 
^Xi,'-*^Xn enthalten, verfahre man ebenfo, fo erhält man 
zuletzt entweder aus der zuletzt übrig bleibenden Gleichung 
deti Weflh der letzten jener Unbekannten, und dadurch dann 
nach und nach alle jene U^nbekannten ^Xi,-«« ^x^ als Funk- 
tionen von t, xi,« • • ^n» d, b. dx ,als FunkUpa von t ynd x, 
odec es Tind aus der letztea oder aucii sckon aus den letd^en 



AM) 341 

m CrldiiAimfen die ffemnNlichenGfOston ^Xi,* • • <Fxn versehwim«» 
den. In dierem Fallo bleiben m Gleichungen übrif , welche 
nur Beziehungen zwischen t, X|,- • • x^ ausdrücken, und zwar 
müssen diere Gleichungen alle von einander unabhängig fein, 
weil im entgegengefetzten Falle auch die n ursprünglichen 
Gleichungen von einander abhängig wären. Diere m Glei- 
chungen bilden dann einen Theil der gefuchten Integralglei- 
chungen. Durch fie kann man m der Werlhe t, X|,--«Xn 
durch die übrigen n — m -f 1 ausdrücken, und dadurch redu- 
ciren (Ich die n — m ersten Differenziglgleicluingon (vermittelst 
welcher man n — m der Unbekannten JX|,* • • ^x^ ausdrückte) 
auf n — m Gleichungen, in welchen ausser t nur n — m der 
Grössen Xt,« • • x^ und die entsprechenden n — m der Grössen 
^Xi,- • • Jxn vorkommen; und durch welche fich diefo letzteren 
als Funktionen der ersteren darstellen lassen. Somit kommt 
es nur auf die Integration det Gleichungen von der Form 
ix = f(t, x), d. h. dx = fft, x)dt an. Diefe Integration foll in 
den nächstfolgenden Nummern behandelt werden. 

4»8. Wenn 

dx.==flCt)dt 
i&t, w% t eine Zahlgrösse und x eine aus ^inen^ Systeme von 
n Einlieiten ableitbare Grösse ist, fo ist 

x = d-*f(t)dt + c, 
wo c eine (aus n Einheiten ableitbare) willkürliche Konstante ist. 
* Beweis. 'Es fei d^*ftt)dt gleich y gefeltt, fo ist (nach 
478) dy=fCt)dt, alfo. dx -dy=0, d. h. (nach 484) d(x — y) 
==0, alfö (nach 475) x — y konsfant. Diefe Konstante, welchö 
mjl X von gleicher Gattung, alfo aus n Einheiten ableitbar ist| 
fei c, fo h«t man X c= y + c = d""^f(t)dt + c. 

4»4. Wenn 
(a) ax=«f(x,t) ^ 

ist, und man überall mit J den allgemeinen Differenzialquo^ 
tienten nach t (auch x als von t abhängig gedacht), hingegen 

unter — , -t- die partiellen Diffcrenzialquotientfft.jn BeiHigiii^f 

den Verein der VariaKeln x, t, von denen die erste eine 



34S 

zeichnet: fo-ist " ; .. . 

^'^-^^^^^ : . 

(b) ( ,J'X =.-^C<5*x) + f^C^^X) U. f. «r. 

uMd WMtl man > ' 

' ■•■■ ■ ■•tP*-ixä=f^x, t)-' :■■,;... 

Ua, Sai$it .•■•. ••,•■• . ■ ; , , . ..•.!....■ 

' - (c) *^ 6 +<(c;D).t + f,(c, 0)^ + f»(<'Vo)^+- • ' . , 

wox einß. willkürliche Kon3ts^ate i&t, nämliah der Wartb.y.dea 
j^ annimmt, wenn t null wird, und wa vorausgefet^t wird, 
da^s die. Reibe auf dßr rechtea Seite eine fachte fei* Aus. der 
QlcuQburjg (d) %4<^t, in^n auch 9 al^ Fuplcti^n :>von i(,und Jtf 
nämlich: .... • .. . ^ , ;,.. 

(d) c = X - f(x, t)l + fi(x, t)y ^ f,(^, t)^^ . . . . 

Beweis. Die Formeln (b) ergeben fleh* unmittelbar aus 

Ci),' fhdem, wtönn 5() 'eine beliebigö Ftinkilon von bt üYitf 't iirt,' 

'■ * ■ = d -^ d** *' 

und X als von t abhängig gedacht wird ^d^ =-7^9- dx + -jiSP-dt, 

^lfo.:-^,;d. h. 4spi;^jT^gp».Jx +•^91 ist; es ist aber_iiax)h (a) 

<J^ =?:; f, alfx? jßrhWt . man rfjp. = f— ^ + -r^, worauf ^iß For- 
meln (b^ hervorgehen, indem man 'statt y nach und'njich Sx, 

SH^ <Px fetzt. t)ann aber ärgiebt fiöh die Fürmel (c) 

unmittelbar aus dem Taylor'schen (Maclaurin'sohen) Satee (470). 
Setzen wir x = F(t), fo können wir den Tayloi^sahen Satz 
auch iad^r Form. darslelle)a = 

tr(t + T) = X + flCx, t)i + f,Cx, t)|J+ - S 
dd«r, weArt» vrirrna^t Tdtsieß^ < 

..,, ,,,,:• F<0)=Rjii. f(xrt)j-h/i(Ä,t)^^fi{K,t)^4^..-, 



»••) 6113 

F(0) isl aber der Werlh von x = F(t) für t = ff, d. h. F(0) 
ist gleich c, Tomit auch Gleichung (d) bewiefen. 

Anm. Es versteht fich von felbst, dass die willkürliche Konstante 
c mit X von gleicher Gattung ist, und alfo n numerische Konstanten 
einschliesst , wenn x aus einem Systeme von n Einheiten ableitbar ist. 
Bife Integratiohsgleiebtng .in der Fohn (d). ist von bcfoddei^em law- 
teresse, in fo fem in ihr ejr.e Funktion von X und t einor I^Di^t^i^l^ 
gleich gefetzt ist, und zwar demjenigen. Konstanten , welcher x gleich 
wird, wenn t = wird, \yorauf wir im folgenden §. zurückkämmen 
werden. Wir haben oben die BüDferenzialquotienten S^x.^ <J'x,««' fort- 
schreitend jeden aus dem nächstvorliergehenden abgeleitet. Es iöt von 
Interesse^ auch eine unmittelbare Darstellung diefer piiferenaialquoi> 
ticnten als Fui^tiQnon von x und t zu verXuehen ^ was in .dem folgeor 
den Satze ges9hehen ist, dessen fich leicht^ ^rgcbende^ aber etwas 
umständlichen Beweis ich dem L'efor überlasse.' ' 

49s. . Wenn, in dem Sinne von 494. 

Jx = f(x, t) ; 



# \ d*+« d^+* u 

WO fich die Summe auf alle möglichen gan^^ni, abqr. nicht nega- 
U«eii Werthe a, n, b, I»,- - • { Lezieht., welche den. Bedingt ngen 
UBterwjOffen find;, dass f = 1 +(a — l) + (b -•- 1) +-• -j 4m 

ferner a + a + b + bH =r, und. die SuAiaii^tt:ifc »^^ o^ 

b4*b,"* alle grösser ab null feijen, und wo' 

_ a(a + &-iXa + b + c-a)>> 

^^^»*'*^^(r — aXr — a-b--lXr— a-b~ — 2)-.* 

n! 
*a!a!l)!b!.--- 
ist. 

496. Aufgabe. Die Gleicliung 

f(^°^x, S^^% J«x, t) = 0, 

wo X fawobl als f aus ejneim Systeme von n £inheiteB abl^itr 
bar Find, t eine Zahlgrösse darstollt, <^ der alIg^meiae DifTe- 
renzialquotient nach t (x als yon t abhängig gedacht) bezeichnet, 
und d^x. statt x. geschrieben ist, z^ integrireA« 

i\uflöfung. Man fet?e 4®x = fo> <Jx,= p,,-— ^^^^ 
f^Pm-Jr ^^ V^^^ f'^^T^^P«-! ^^^ m?n hat .die m Gleichungen; 



344 €*•• 

5po=spi 

*P1 = p« 



^Pm-2 = Pm-1 

und die Gleichung f(<Jpin~i , Pm-i >' • • Pi » Po> = 0, Aus der 
letzten Gleichung bestimme man ^Pm^i, es fei 

*Pm-l =y(Po» Pir • • Pm-lj 0- 

Nun nehme man ausser den n Einheiten e^,--* e^, aus 
denen x abgeleitet ist, noch m neue Einheiten e^% e^*V • e^™~^^ 
an und multiplicire die obigen m Gleichungen beziehlich mit 
e«», eii\. . . ei^-^) und addire. Man fetze ferner 

Poe^^> + Pie^>^ + • • • + Pm-ie^"^-'^ = P 
und • 

p,e(«) + P2e^'> + ^ • • + P«-ie<«-^^ + eC-^DyCpo, p, , ^ • • p^_.|, t) 
= FCp,t), 
fo find p und F aus den nm Einheiten e^'^e^ (wo r jeden der 
m Werthe bis m — 1 , und s jeden der n Werthe i bis n 
annehmen kann) ableitbar, und man erhält die Gleichung 
(Ip = F(p,t). 
Diefo Gleichung ist nach der Methode . von 496 zu inte- 
grlren und liefert eine aus nm Einheiten (e^'^ej ableitbare 
willkürliehe Konstante. 

Anm. Hierditrch ist die für diefen §. vorgesteckte Aufgabe darch 
Anwendung unendlicher Reihen ganz allgemein gelöst, denn auch die 
fogenanuten bofondcren AuflÖfangea find, wie dies 8Cht>n die Allge- 
meinheit der angewandten Beweismethode zu erkennen giebt, in der 
oben mitgetheilten allgemeinen Auflöfangsmethode vollständig mit 
eingeschlossen. Da jedoch diejenigen Dififerenzialgleichungen , welche 
in Bezug auf die abhängige Variable (x) und deren Diiferenziale von 
erstem Grade find, und welche die unabhängige numerische Variable 
(t) nur in Gliedern enthalten , in denen jene Variable und deren Dif- 
ferenziale nicht vorkommen, durch Gleichungen von endlicher Form 
tnteginrbar find, fo will ich diefen Fall hier noch behandeln. 

498. Die Gleichung 

(a) <fx + Ax = 0', 
in welcher d und x die Bedeutung der vorigen Nummern 
haben, A aber einen Bruch mit n Nennern {377 fF.) darstellt, 
wird, wenn mj,- • • m^, die wir alle von einander verschieden 



AM} 84» 

vorausretzen , die n Hauptzahlen des Bruches A^ und ai,--*a,^ 
die zugehörigen 'Hauptgebiete erster Stufe (388, 389) find, 
integrirt durch die Gleichung 

(b) x = 2^aaaae-ni^t, 

wo e die Bads des natürlichen Logarithmenrystems ist, und 
(hr ' * ^u willkürliche konstante Zahlen bezeichnen, und die 
Summe fich auf a = 1 bis n bezieht. Die n Werthe m = 
mi,*-' m^ find durch die Gleichung n-ten Grades 

(c) [(A-mr] = 

bestimmt und die n Grössen ai,*- • a^ durch die Gleichung 

(d) a,s[(A-m,)»-^]. 

Beweis. Dass die n Hauptzahlen m = mi, m2,***mA 
die n Wurzeln der Gleichung (c) und die n zugehörigen Haupt- 
gebiete ai,*-* a,^ durch die Gleichung (d) bestimmt find, folgt 
fogleich aus 38S und 389, womit noch die Anmerkung zu 383 
zu vergleichen ist. Die Hauptgebiete ai,*-* a^ haben (nach 
389) die Eigenschaft, dass fle in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehen und Aar = m,ar ist. Es muss fich alfo x aus 
ai,**' a^ numerisch ableiten lassen. Es fei 

(*) x = 2^x^ 
der Ausdruck diefer Ableitung, fo verwandelt fich die Glei- 
chung (a) in 

= Xaarfxa + ^Aaa • x^, 
alfo da Aa,= mra, ist, fo erhalten wir 

= ^aa(^Xa + maXj. 
Da hier dx^ -f m^Xf^ eine Zahlgrösse ist, und ai,* • • a^ in 
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, fo hat man (nach 
28) Sxa + mftXft = 0, d. h. dx« = — m^x^dt, alfo 

Xa = C^e~ma*, 

wo a^ eine willkürliche konstante Zahl ist. Setzen wir diefen 
Werlh in die obige Gleichung (*) ein, (o erhalten wir 

X = ^aae"ma*- 8«. 
An Dl. Es find hier die Haaptzahlen des Braches A als vcrscbie- 
den von einander voraasgefctzt. Sind einige dcrfelben gleich, fo ge- 
langt man leicht zu dem Refultate, wenn man in bekannter Weife 
diejenigen unter ihnen, welche gleich werden Tollen, zunächst als 
unendlich wenig von einander verschieden fetzt, dann x nach dem 

%2* 



94ft i*m 

obigen Satze, entwickelt, und endlich , nachdem man die unendlich 
kleinen Differenzen aus den Nennern weggeschafft hat , diefe DilTercnzen 
ganz verschwinden lässt. Ob Wurzeln imaginär werden oder nicht, ist 
für die ganze Behandlung glcichgältig ; auch kann man die imaginären 
Formen der Endrefultate leicht in reelle Formen umfetzen. 

499. Wenn 

(a) Öx + Ax = {(i) 

fst, wo dy X, A, l die Bedeutung wie in 498 höben, fo wird 
die obige Gleichung, wenn man auch den Grossen m^y-- - m^, 
ai, •• a^ dierelbe Bedeutung giebt, wie dort/ und 

(b) Ilt) = aif,+a2f2+...aj„ 

ist, und d~%enartdt =s Yr gefetzt wird, integrirt durch die 
Gleichung 

(c) x = 2i*(ya + aa)e-m^ta^, 

in welcher ai,--* «q willkürliche Konstanten find. 

Beweis. Da ai,**» a^ (nach 389) in keiner Zahlbezie- 
hung zu einander stehen, fo lassen fich fowohl f (wie oben 
geschehen), als auch x aus ihnen numerisch ableiten. Es fei 

X = ^ a^Xa , 
fo hat man, da (nach 389) Aa^ = m^a^ ist, aus der Glei- 
chung (a) 

= Z afl(tfxa H- in^Xa - f«), 
alfö (nach 28) dx^ + ni^x^ — fa = 0, wo alle Grössen Zahl- 
grössen find, d. h. dx^ + maX^dt = f^dt* Setzt man hier x« 
= (ya + '^a)ß"''"a*, WO y^ eine Funktion von t ist, die mit I 
rerschwindet, und a^ konstant ist, fo erhält man, indem man 
dies in die vorige Gleichung einfetzt, dy^^ fae'~m«tdt, alfo 
(nach 477) y^ = d'^Q^^a^di, wie oben. Setzt man dann, 
statt Xft den gefundenen Werth in die Gleichung * ein, fo 
erhSit man die zu erweifende Gleichung. 

Anm. Die Integration einer Gleichung, welche Differenzialquor 
tienten hölierer Ordnung nach t enthält.) im Uebrigen aber die Fornn 
der Gleichungen 498 und 499 hat, reducirt fich nach der Methode in 
497 auf Gleichungen, welche ganz diefe Fe«n der Gleichungen 498 
und 499 Iiabcn, nur dass statt der n Einheiten ei,««* e^ hier^ wenn 
die Differential gleichnng von m-ter Ordnung ist, mn Einheiten hervor- 
treten. 



i» 



§. S. Integration von Differenzialgleichungen, 
wenn die unabhängige Variable eine extensive Grösse ist. 

900. Die Integration jeder beliebigen partiellen DifTeren- 
zialgleichung erster Ordnung lässt Tich zurückführen auf die 
Integration einer Differenzialgleichung der Form Xdx = 0, in 
welcher x eine extenfive Grösse, Xdx eine Zahlgrösse dar- 
stellt. 

Beweis. Wenn Xi,** x,^ die unabhängigen Variabeln 
und Xo die von ihnen abhängige Variable ist, und Xq, Xi,« • • x^ 
Zahlgrössen find, fo wird jede partielle DifTerenzialgleichung 
-erster Ordnung zwischen diiefen Grössen fich in Form einer 
Gleichung darsteUen lassen^ wetefa^ zwischen den Grössen. 

Xo, X|,- • • x^, -j — Xo, j~ Xo,* • • ^— Xo stattfindet. Bezeichnen 

wir die Grössen , x©,- • • i— Xo mit p^, p^, fo können wir 

veraittelst jener Gleichung eine der Grössen Pi r " * Pn» z* B. 
Pn, als Funktion der ftmmtiiehen Grössen Xo,* • « x„, Pi,* • • Pn^i 
dar^iellen, und «Ifo der zu iategrirenden partiellen Diffweneial- 
gleichung die Form geben 

(*) Pn = fi^, *ir • • ^f^ 9u P2, • • • Vu^i) = f* 
Nun ist dXo ^=^ Pi^Xi -i*- p^dx^ -f« * ; • Pn^n* ^^"^ umgekehrt, 
wenn diefe Gleichung erfüllt ist, fo find Pi,* • • Pn die partiellen 
Differenzialquotienten von Xq nach Xj, Xj,*-* x^. Setzt man 
daher in diefer Gleichung statt p^ feinen Werih aus der vorigen, 
fo' ist, wettü die Gleichung 

(**) dXo =a Pidx, + . • ^ Pn-idXn^i + fdx. 
erfüllt ii^t, auch die geigebene erfüllt. Jeder Verein von Glei- 
chungen alfo, welcher die letztere integrirt, erÖlUt auch die 
erslere und es kommt alfo nur anf die Integration diefer letzte- 
ren an. Setzen wir nun Co, ei,--en als ein System von 
Einheiten und x = x^e^ + XiCj -j- . • . x^en,, alfo dx == Codxo 

-j- Cidxi -j e^dx^, und felzen ferner, wenn 1 eine Lücke 

darstellt, 
X = [lleo]-Pill|et]-p,[l|e,] Pn-i[i;en-i]--f[iK}, 



»48 <«« 

To verwandelt Tich die Gleichung (**) in 

Xdx = 0, 
auf deren Integration es alfo nur ankommt. 

Anm. Die Integration der Gleichung Xdx = 0, auf welche es 
hier ankommt, ist nach der berühmten Pfaffschcn Methode, wie fie 
namentlich durch Jacobi (Grelle Journal B. 2, p. 347 und B. 17, p* 
138) vereinfacht ist, vollständig zu löfen, oder genauer, auf die im 
vorigen §. behandelten Integrationen zurückzuführen. Die Darstellacg 
und Ergänzung diefer Methode durch Anwendung ezteariver 6rö86eii, 
durch welche fich die löfenden Formeln grösstentheils in einer er- 
staunenswerthen Einfachheit darstellen, follen den Hauptgegenstand 
der folgenden Entwickelung bilden. Doch wollen wir zuvor den auf- 
gestellten 6atz auch auf partielle Differenzialgleichungeti hfJherer Ord- 
nungen ausdehnen. 

501. Die Integration jeder beliebigen pfnrtieilen Diffe«- 
renzialgldehung von höherer als erster Ordnung Iftssit fieh 
zurückführen auf di^ Integration einer üifferenzialgleichung 
der Form Xdx = 0, in welcher rowohl x als Xdx extennve 
Grössen darstellen. 

Beweis. Es fei z die abhängige Variable und yi,-«- y^ 
Teien 4ii9 unafahingigen Variabein, wo z, yt,« • * y^ Zahlgrüssen 
darstellen. Um die partiellen Difibrenzialquotienten höherer 
Ordnung bequem bezeichnen zu können, nehmen wir zunöchst 
ein System von n Einheiten e|,***.en an und fetzen yiCi -|- 
y2e2 -| + yi©n = y? ft? werden die verschiedenen Differen- 
ztalquotienten bis zur m-ten Ordnung hin fich darstellen lassen 

d d^ d*» 

in der Form -pz, j— 2^>*' j"«^« ^'^^^ ^^^"^ jeder diefer 

Differenzialquotienten einen Ausdruck mit fo viel (unter ein- 
ander vertauschbaren) Lücken dar, als die Ordnung des Dif- 
ferenzialquotienten beifügt,: und zwar in der Art, dass der 
Ausdruck nach AusfMlung diefer Lücken durch die Einheiten 
von y, einen Zahlausdruck liefert und zwar jedesmal einen 
der gewöhnlichen (numerischen) Differenzialquotienten; z. B. 

d^ 
stellt T— oZ einen Ausdruck mit zwei vertauschbaren Lücken 
dy^ 

d* d* 

dar und zwar fo, dass t— oZ-ejeo = , — j-z ist u. f. w. Es 
dy2 * ' dyjdya 

feien nun 



*^J 849 

d d* d* 

gereut, fo wird die partielle Differenzialgleichung in ihrer 
vollständigsten Allgemeinheit die Form annehmen 

(*) f(y, Z, Pi, P2,"Pm) = 0. 

Von den hierin vorkommenden Variahein ist nur z eine 
Zahlgrösse,. alle übrigen find extenfive Grössen , und zwar 
enthält y, vermöge der ihm beigelegten Bedeutung, n ver- 
ftnderliche Zahlgrössen, und jede der Grössen Pir * * Pm fo ^^1 
veränderliche Zahlgrössen, als es Kombinationen mit Wieder- 
holung aus n Elementen zur To vielten Klasse giebt» alfi der 
Index jener Grösse beträgt. Die Anzahl der veränderlichen 
Zahlgrössen, welche in den rämmtliohen in der obigen Glei- 
chung (*) vorkommenden Yariabeln enthalten find, Tei r, To 
kann man vermöge der Gleichung (*) eine diefer Yariabeln 
durch die übrigen r ~ 1 ausdrücken. Es bleiben alfo noch 
r — 1 Yariabeln übrig. Jetzt erweitere man das System der 
n Einheiten ei,*-- e^ fo, dass es nun r — 1 Einheiten ent- 
hält und multiplicire mit jeder derfelben eine der r — 1 ver- 
änderlichen Zahlgrössen, und Tetze die Summe diefer Produkte 
= x, fo enthält x die Tämmtlichen r — 1 veränderlichen Zahl- 
grössen. Nun hat man ferner vermöge der oben angegebenen 
Bedeutung der Grössen Pi,-** Pm 

(**) dz = pidy, dpi = p,dy,- • • dp^«i = p^dy , 
und wenn diefe Gleichungen ermilt fmd, und zugleich ver- 
mittelst der Gleichung (*) eine der r veränderlichen Zahl- 
grössen, welche in jenen Gleichungen {**} enthalten find, 
durch die (r — 1) übrigen ausgedrückt find, lo ist damit die 
gegebene partielle Differenzialgleichung (^) erfüllt. Folglich 
kommt es nur darauf an, die Gleichungen (**) zu integriren. 
Yon diefen ist nur die erste eine Zahlgleichung, die'folgeuden 
enthalten, da dpi mit pi von gleicher Grössengattung ist, u. f. w. 
jedesmal fo viel Zahlgleichungen als' in den Grössen Pir " Pn-i 
veränderliche Zahigrössen enthalten find. Die Anzahl der 
l^mmtlichen Zahlgleichungen, welche in den obigen Glei- 
chungen (**) enthalten find, fei s, fo ist s kleiner als r (näm- 
lich um fo viel als die Anzahl der veränderlichen Zahigrössen 



850 f»»* 

beträgt, welche in y und p^ zuramm^n enthalten find). Man 
bringe diefe Zahlgleichungen auf die Form, dass die rechte 
8t»ite null Ist, tind maltiplicire fie nach der Reihe mit den 
Einheilen ei,- • • e^; fo werden fie die Form haben 6iXidx = 0, 
e2X2dx = 0, • • •, egXgdx = 0. Dann' find diefe Gleichungen 

gleichbedeutend der einen Gleichung eiX^dx + ejXjdx -| 

+ egXgdxrs^O, d. h. (e,Xi -f- e2X2 +• • * egXJdxssO; fetat 
man alfo eiXi -f ©2^2 +• • • egXa = X, fo werden jene Glei- 
chungen (**) gleichbedeutend der Gleichung 

Xdx=0, 
duf deren Integration es alfö allein ankommt. 

Anm. 1. Es ergiebt fitsh leicht, dass die Zahlen r und b von n 
und m auf die Weife abhängen, dass 

^ , (n + lKn-f 2).>»(n+m) ^_ (n+lX^-f^J-(P + ">-!) 

''-°+ 1 . 2.........m ''- 1 . 2........m-l 

ist, ferner dass in dx, wie es in der Gleichung Xdx hervortritt , nicht 
die Differenzialc aller r Unbekannten enthalten ßnd, fondern die 
Differentiale der zu f^m gehörigen YerKnderlichen Zahlgrttssen in dk 
üicht erschisinen, die fLahl der nomerischen Bifferenziale, die in dx 
iiervortretet^, Ut s-f ii* AIb Beispi^ fei d^, partielle Diferensialglei- 
phung 2^er Ordnung mit zwei unabhängigen Variabein gewählt. Man 
erhält damit, indem wir die Bezeichnung der Unbekannten ändern, 
drei Gleichungen der Form 

dz :^ pdx + qdy 

dp = rdx + sdy 

dq = 8dx + tdy, 
welche die acht Variabein z, x, y, p, q^ r, s, i enthalten, von denen 
eine vermittelst der gegebenen partiellen. Differenzialgleichung durcli 
die Übrigen ausgedrückt werden kann*, femer kommen in ihr fünf 
Diffferenziale vor (dx, dy, dz, dp, dq). 

Anm. % Man fleht, dase die Integration ' der Oleichung Xdx, 
' 'vvexm dx und Xdx extepfive Orderen dacstellQn, die: aligemeiBste , ja 
m»n kann fagcn, die einzige A^^abe der Integralrechnung ^t, indem 
auch die in den früheren Abschnitten behandelten Aufgaben der In- 
tegralrechnung fich hierauf zurückführen lassen, und auch, da jede 
Zahlgrösse zugleich ' als spfecielle Gattung der extenflven Grössen er- 
•scheint, die Vorher (in 500> beliaiiid«lte Aufgabe hi ihr enthalten isl. 
üh der LßXung diefer Aufgabe .wäre man alfo aan "Ziele di9c Integral- 
i^hnupg angelangt* Allein die Pfafi'sQhe Methode ist für denFali, 
wp auch Xdx eine extcnfive Grösse ist, d.h. wo mehrere numerische 
Differenzialgleichungen hervortreten, nicht mehr anwendbar, und die 
Methoden, welche man für die Auflöfang der partiellen Diff^renzial- 



36* 

gleichungen höherer Ordnungen anwendet, und welche auch fär die 
Löfung diefer allgemeineren Aufgabe förderlich fein würden, haben 
nur eine äusserst beschränkte Sphäre. Daher werde ich nur den Fall 
ins Auge fassen, wo Xdx eine Zahlgrösse ist, und werde auf den 
allgemeineron Fall nur gelegentlich hindeuten. 
502. Wenn die Gleichung 

Xdx = 0, 
(in welcher, wie im Folgenden überall, Xdx ein^ ZaUgrödsre, 
X eine Funktion von x, und x aus einem Systeme von m 
Einheilen Oi,*** e^ numerisch ableitbar ist) durch einen Ver- 
ein von n Zahlgleichungen Uj = Ci, • • • u^ = Cn, wo Cj, • • • c^ 
konstant lind, integrirt wird, ib lässt floh Xdx auf die Form 

Xdx = üidui +... +U„du„ 
bringen. 

Beweis 1. Es fei x = Xiei H x^e^, fo find Ui,- • • u^ 

als Funktionen von Xj.« • • x^^ aufzufassen. Da nun die Glei- 
chungen U| = Ci,« • • Ua = Cq einen die GlefChung Xdx = 
integrirenden Verein bilden, fo hcisst das (nach 491), es muss 
Tich aus jenen Gleichungen die letztere ableiten lasseh, d. h. 
wenn man aus den Gleichungen dui=^0,*** du|| = 0, welche 
in Bezug auf die m DiiTerenziale dxi,--* dx^^ homogen vom 
ersten Grade find , n diefer letzteren Grössen durch die übrigen 
ausdrückt, und diefe Ausdrücke in Xdx einführt, fo muss da- 
durch Xdx identisch gleich null werden, oder, was nach einem 
bekannten Satze aus der Theorie der Gleichungen dasfelbe ist, 
es mössen fich Grössen Ui, Us,**- Uq finden lassen, welche 
die Gleichung 

Xdx = Uidui +... +U^du„ 
erfüUen. « 

2. (Ich füge einen zweiten Beweis hinzu, um zugleich 
die Grössen Ui,*-«Un finden zu lehren.) I>ie Funktionen 
U|,- • • Uj^ können als von einander unabhängig aufgefasst wer- 
den, weil fönst die gegebene Gleichung schon durch einen 
Theil derfelben integrirt werden würde. Sind aber Ui,**- u^ 
von einander unabhängige Funktionen von x^,* • • x^, fo lassen 
Och n diefer letzteren Grössen, z. B. x^,- • • x^, als Funktionen 
der übrigen und der Grössen U| , • • • u^ darstellen. Es fei 
x,e, H + x„e„ = y , und x„ ^iC,4t H + x^e^^ = z ge- 



352 

fetzt, und feien die auf den Verein der Variabein Ui,* • • u^, z 
bezüglichen partiellen DiiTerenzialquotienten erster Ordnung 
nach der Reihe mit ^i,**- ^a» ^ bezeichnet, von denen alfo 
der letzte nach der extenfiven Grösse z genommen ist, fo 
wird 

dy = Jiydui H + Jny-d«n +.^y-<Jz, 

und alfo 

Xyx = X(dy + dz) 

= XJiY . dui + . . . + X<J„y . du„ -f (X Jy+X)dz, 
oder wenn wir 

X<J,y = U„...X<J,y==ü„ , 
fetzen, fo wird 

Xdx = Uidui + • • • + U„du„ + (X<Jy + X)dz. 
Da nun, wenn man Ui,-*Uq als konstant fetzt, Xdx 
identisch gleich null werden muss, und da dann dui,**- du^ 
= find, fo hat man (X<Jy + X)dz=0, und alfo 
Xdx = Uidui +... +üadu„. 
Anm. Es gilt dicfer Satz auch, wenn Xdx eine extcnfive Grösse 
ist, und namentlich gilt der zweite der oben mitgetheilten Beweife 
nnmittelber auch für diefen Fall. 

503. Wenn fich der Ausdruck Xdx (in dem Sinne von 
502) auf n Glieder, nämlich auf Uidui -f . . . 4- Vj^du^ zurück- 
fuhren lässt, aber nicht auf weniger als n folche Glieder, fo 
wird die Gleichung 

(a) Xdx = 
integrirt durch Vereine von je n von einander unabhängigen 
Gleichungen, und zwar bilden die folgenden Vereine von je 
n Gleichungen : 



(b){ 






»du/^ ^ » ^'du, 
wo r jeden der Werthe 0, 1, 2,*-- n annehmen kann, und 
?i9 * " ?r willkürliche Funktionen bezeichnen , das vollständige 
System der integrirenden Vereine. Wenn ins Befondere r = 
ist, fo hat man den Verein 



888 

(c) üi=^Ü2 = .-.=U„=^0, 
«nd wenn r=^n ist, den Verein 

(d) Ui = ci, «2=^02, •••,Un = c„, 
wo Ci, • • • Cq willkürliche Konstanten Tind.^ 

Beweis. Die Glerchüng Xdx kann nicht durch einen 
Verein von weniger als n Zahlgleichungen integrirl werden, 
weil Tonst (nach 502) Xdx auf weniger als n Glieder der Form 
Udu zurückgeführt werden könnte, was mit der Vorausfetzung 
streitet. Es kommt alfo darauf an, Vereine ron n Gleichungen 
zu finden, welche die Gleichung Xdx = integriren und zwar 
die rämmliicben möglichen Vereine diefer Art. Es tnögen die 
n von einander unabhängigen Gleichungen Vi =?:<), v^ = 0,« • •, 
Va = einen die Gleichung Xdx = integrirenden Verein 
bilden., fo lassen fich die Funktionen Vj,- ••, v^, welche ur- 
sprünglich als Funktionen der m Varibeln Xi,* •* x^^ angenommen 
fein mögen , zugleich darstellen als Funktionen von Ui, • • • u^ 
und von n — m der Grössen Xi,--- x^^, z. B. als Funktionen 
von Ui, • • • Ua, Xn+i, • • • Xj^. Wenn alle jene Funktionen v^, . • . vö 
dann nur Ui,« • * u^ enthalten, aber von x^-i-i,- • • x^ unabhängig 
find, fo ergeben fleh Ui,*-- u^ als konstant, und es tritt der 
befondere Fall (d) ein. Wenn aber mindestens eine der Funk- 
tionen Vi,- • • Va, z. B. Vq, noch mindestens eine der Variabein 
Xn4-i,-*- Xm, z. B. Xm, enthält, fo lässt fich, vermittelst der 
Gleichung Vn = 0, x„ durch die übrigen (ui,«-- Un,Xn4i,-»« 
^m-i) ausdrücken. Führt man diefen Ausdruck in die übrigen 
Gleichungen vi = 0,*-* Vq»i?=0 ein, fo ist es möglich, dass 
in den fo erhaltenen Gleichungen noch mindestens eine der 
Variabein Xn_|-i,'-- Xn,-i vorkommt, z. B. Xj^_i in Vn_i = 0; 
in diefem Falle drücke man x„_i vermittelst diefer Gleichung 
durch die noch übrigen Variabein Uj,« • • u^, x^-f-i,« • • x^j^j aus, 
und fetze diefen Ausdruck in die übrigen Gleichungen ein; 
und fo fahre man fort, bis man endlieh entweder alle Glei- 
chungen Vi = 0,««- Vn = erschöpft hat, oder bis nur noch 
folche Gleichungen übrig bleiben, die nur Ui,*-- u^ enthalten. 
Im ersteren Falle muss (nach 491) der Ausdruck Uidui-f*** 
UndUn identisch = werden, alfo üi = 0,- • • 11^ =; 0, was 
den befonderen Fall (c)' liefert. Im letzteren Falle mögen su^ 

23 



8M 

letzt' r Gleichungen Vj iii=&,-«< t, «es übrig geblieben fein, 
welche nur die Variabein Ui,«** u^ enthalten^ fo können wir 
vermittelst dlefar Qleiefaungen r der Grössen Hi , » < • tt^ als 
Funktionen der übrigen darstellen, z. B. Ui,*«* u, als Funk« 
lionen von U^fi»* * * Uq. Der Verein wird in diefem Falle stets 
ein iotegrirender rein, wenn nur, von welcher Art auch jene 

r Funktionen fein mögen, durch fie der Ausdruck Uidui -] 

Uj^du,! identisch gleich null gemacht wird. Da wir Ui,*-«u^ 
als Funktionen von u^i^^-Un dargestellt haben, fo erhal- 
ten wir 



■ 



u.d4^«i+--ü,as;«^ + ü- = o. 



als die nothwendigen, aber ausreichenden Bedingungen, da^ 

mit in diefem Falle Uidui -| UndUn identisch gleich null 

werde. Somit haben fich die Vereine b (von welchen (c) und 
(d) nur specielle Fälle darstellen) als die fömmtlichen mög- 
lichen Vereine ergeben, welche die Gleichung Xdx = unter 
der Vorausfetzung des Satzes integriren. 

Anm. Es ist diefer Satz nach feiner «inen Seite hin in der an- 
geführten Abhandlung Jacobi's (Grelle Journal B. 2 p. 348) nach- 
gewicfen. Aber es ist dort die wichtigste Seite unferes Satzes, dass 
es nämlich ausser den Gleichungsvereinen (b) keinen Verein integri- 
rendcr Gleichungen gebe, nicht nachgewiefen. Auch ist dort nicht 
gezeigt, worin der yerschiedene Charakter der integrirenden Vereine 
(b) je nach dem Wertbe des Index r bestehe, obgleich Jacobi mehr- 
fach auf die Verschiedenheit diefes Charakters hinweist. Offenbar 
war Jacobi auch mit diefer Seite unferes Satzes vollkommen ver- 
traut, und es lag nur in dem befon deren Zwecke jener Abhandlungen, 
dass er fich darüber nicht weiter ausspricht. — Man Hebt aus diefem 
und dem vorhergehenden Satze, dass es dasfelbo ist, zu fagen, es 
lasse fich Xdx »= daroh Vereine von je n (und nicht weniger als n) 
Gleichungen integriren, oder zu fagen, es lasse fich Xdx {in dem 
Sinne von 502) auf eine Summe von n (und nicht weniger als n) Glie- 
der der Form Udu zurückführen. Alfo kommt es darauf an, die Be- 
dingungen aufzufinden, unter denen diefe B«duktion möglich ist, und 
wenn diefe Bedingungen erfüllt find, die Methode der Redoktion an- 
zugeben. Um beides auf ei)ae Idchto Weife zu eneicken^ wird «s 



m 

tatf^mHoAg JBbin, dia folgem^^n Bistinwiaiigeji uad Sätfle aber Uelosiv- 
auadrücke mit nicht vertaußchbarcn Ldcken aufsuBtelleiL Noch be- 
merke ich) dass der vorstehende Satz nicht mehr gilt, wenn Xdz eine 
extennve Grösse ist; and dass, wenn die Reduktion von Xdx auf die 
möglichst geringste Anzahl von Gliedern der Form Uda vollzogen iat, 
doch damit noch keinesweges die Integration der Glelchuvg Xdzs^O 
gegeben ist Aber aus WH folgt, dass, wenn man die XämmtUchen 
möglichen Redaktionen diefer Art kennt, man auch die Gleichung 
Xdx^=0 zugleich vollständig integrirt habe. Und diefe Betrachtung 
scheint mir den Weg anzugeben, auf welchem man hoffen kann, sn 
diefem letzten Ziele der Integralrechnung an gelangen. 

504. Erklärung. Wenn L einen Ausdrucdi mit. a 
Lücken gleicher Gattung darstellt, fftr welche jedoch nicht 
Yerttuschbarkeit der Lücken vorauagefetzt iai, Tq veratehe ich 
unter [Laia3**- a,^] denAuadruck, welcher hervorgeht, wenn 
man Bi,--* an in allen mögUchea Ordnungen in die n Lücken 
von L eintreten liast, den erhaltenen Ausdrücken das Zeichen 
4- oder •<** vorfetzt, je nachdem daa kombinatorische Produkt 
der Grössen 9 welche nach der Reihe in die n Lüeken von L 
eintreten, dem Produkte [aiaf^aj gleich oder entgegenr 
gefetzt ist, und. denn die Summe der fo erhaltenen Glieder 
durch deren Anzahl dividirt. Wenn L weniger als n, z. B. 
nur n — r Lücken enthält, fo verstehe ich unter [Laia^ ** • a^l 
den Ausdruck, weicher hieraus herv(vgeht, indem man dem 
L noch r Faktoren 1 voranstellt, von denen man jeden als 
Ausdruck mit einer Lücke betrachtet, indem nämlich, wenn 
man diefe Lücke durch eine Grösse a ausgefüllt denkt, aus 1 
die Grösse l*a, d. h. a, hervorgeht. Hierdurch ist diefer 
Fall auf den vorigen zurückgeführt. Wenn ins Befördere L 
ein Ausdruck mit n — 1 Lücken ist, der durch Ausfüllung 
diefer Lücken eine Zahlgrösse wird, fo wird 

\ 
[La^ • • • aj = — (ai[LAi] + • • • a jLAnl), 

wo A, (für jeden Index r) alle Grössen ai,-«- a^, mit Aus- 
schluss von a„ als Faktoren enthält und [ayAr]?=:[aiai- • * a. 
ist. Ich nenne auch diefe Produkte (wie überhaupt alle welche 
durch die scharfe Klammer umschlossen find, f. 94) bezüg- 
liche Produkte, und zyrar fetze ich als das Heuptgebiet, auf 
welches ße fich besiebeo, daa Gebiet der Einheiten» aus 



356 

wekhen die nmintKeheii Grössen, welche in die Ltteken ein- 
zutreten fähig find, abgeleitet worden können. 

505. Wenn L einen Ausdruck mit n Lücken bezeich- 
net, und 

••bj, 





1) 


[•i- 


•«„] = 


:[b,.. 


ist, 


fo ist Buch 










[La,. 


••aj = 


= [Lbi 


und 


wenn 










2) 


[«!•• 


•»J = 


= 


üt, 


To ist auch 










[Lai- 


••aj = 


= 0. 



Beweis. Wenn zwei der Grössen Si,*** a^, z. B. a, 
und Bg) einander gleich werden, To ordne man die Ausdrücke,- 
welche (nach 504) bei der Entwickelang von [Laf • • an] da- 
Aoroh hervorgehen , das« man a^ , • • • a^^ rn allen möglichen 
Polgen in die Ltcken von L eintreten Ifisst, paarweire fo, dass 
je zwei derfeiben, bei denen ßch die Reihenfolge jener Grösi^n 
nur durch die gegenfeitige fitellung von a, und b^ unterschei- 
den, ein Paar bilden. Dann werden die Ausdrücke jedes 
Paares (nach 504) entgegengefetztes Vorzeichen haben; wenn 
nun a^ und a^ einander gleich werden, fo werden diefe Aus- 
drücke, abgefehon von dem entgegengefetzten Vorzeichen, 
identisch; alfo wird ihre Summe null, alfo in diefem Falle 
auch [Lai . • • a J = 0. 

2. Wenn [aj • • • aJ =^0 ist, fo heisst das (nach 66), es 
stehen die Faktoren ai,*--an in einer Zahlbeziehung, d.h. 
(nach 2) eine derfelben, z.B. a^, wird fich als Vielfachen- 
fumme der übrigen aj,-**an-i ausdrücken lassen. Führt man 
diefen Ausdruck für a^ in [Lai** • dn-i^n] ^^^j ^^^ löst die 
diefen Ausdruck umschliessende Klammer auf, fo stellt fich 
[Lai • • • dn^iaj als eine Vielfachenfumme von Ausdrücken dar, 
deren jeder zwei gleiche unter den Grössen ai,*** a^^i ent- 
halt, alfo (nach Bew. 1) null ist. Alfo ist auch jene Viel- 
fachenfumme, d.h. [Lai*** aJ, gleich null. 

3. Wenn die Reihe der Grössen ai,* - • a^ eine einfache 
lineale Aenderung erleidet (vergl. 71), z. B. a, fich in a, -f oa« 
vovwandelt, wo a eine Zahlgrösse ist, und r und s von ein- 



renolrieden find, fo verwaiid«It Reh [Lmi^ • • a,a^ * * * 8»] 

hl [Lat 8^8,4.1 • • • • a J 4- «[I^ai • • • • ^r-i^^t^fhi ' • • • »nl; dar 

zweite (Uefer Ausdrücke enthält , da s von r verschieden ist, 
a^ zweimal, ist alfo (nach Bew. 1) gleich null, airo bleibt der 
Ausdruck [Lai*-- aj von unverändertem Werthe, wenn die 
Reihe der Grössen Bi • • * a,^ eine einfache lineale Aenderung 
erfuhrt, alfo auch, wenn fie wiederholt eine einfache lineale 
Aenderung erfährt, d. h. (nach 71} wenn jene Reihe fleh über- 
haupt lineal ändert. Wenn nun [8183 • • • a J = [bib, • • • bj ^ 
ist, fo lässt fich (nach 76) die Reihe b^, bj,-** b^ aus der 
Reihe at, 82,*-- a^ durch lineale Aenderung ableiten, wobei, 
wie eben bewiefen, der Werth von [Lai-** aj unverändert 
l)leibt, d. h. es ist dann [Lai • • • aj = [Lb| • • • hj. 

906. Erklärung. Wenn ein Ausdruck L mit n Lücken 
die Eigenschaft hat, dass er mit je n Grössen af-va^i die 
in die Lücken eintreten können , ein Produkt [Lai • • « lU liefert, 
welches null ist, fo fetze ich [L] = 0. Wenn ferner ein Pro- 
dukt [81 • • • aj = 1 ist, und L n Lücken enthält, fo fetze ich 
[L] = [Lai...aJ. 

Anm. Es iat Achon fräber bei der Behandlung des Potenzwerthea 
eines Bruches Q (No. 363), obwohl nur gelegentlich, die hier gewählte 
Bezeichnung angewandt, indem, wenn ei,-«'ea die n Nenner find, 
deren Produkt [ej • • • ej = 1 ist, und aj,« • • a^ die zugehörigen Zähler, 
unter [Qi^] das Produkt [aj • • • an] verstanden war. Da nun Q als 
Lackenausdruck mit einer LtLcke aafgefasst werden kann , indem näm- 
lich (für jeden Index r) Qer = ar ist, fo wird Qn ein Ausdruck mit 
n Lücken, und gehört alfo [Q»»] zu den hier (in 506) definirten Aus- 
drücken. Man überzeugt fich leicht, dass auch nach dicfer Definition 
(506) der Ausdruck [Qn] = [ai'aj* •• an] wird, und alfo beide Defini- 
tionen in Yollkommener Uebereinstimmung stehen. Es hat fich mir 
die Allgemeinheit der hier (in 504 und 506) aufgestellten Begriffe, und 
ihre wefentliche Bedeutung für die Analyfis erst während der Arbeit 
ei'geben. Sonst würde ich diefe Begriffe und die daraus fliessenden 
Sätze fogleich an ihrer Stelle (im ersten Kapitel diefes Theiles) be- 
handelt haben. Da hier diefe Sätze den Gang der Ent Wickelung unter* 
brechen, fo beschränke ich mich auf diejenigen Sätze, welche für die 
' folgende Darstellung unentbehrlich erscheinen. 

507. Wenn L zwei oder mehrere vertauscbbare Lttcken 
enthält, fo ist [L]==:0« 

Beweis. Es »t eu zeigen, dass wem von den n Lückett 



SS6 

von L Bmh nur zwei mit elsMider verUtuBchbar find, «IhoMd 
[Lai,**-an] null ist, was auch ai,***a^ für Grössen feHi 
nidgen. Denn es Teien die übrigen Lücken durch beliebige 
jener Grössen ausgefüllt, fo gehl ein Ausdruck mit zwei ver- 
tausehbaren Lücken hervor, diefer Ausdruck fei P. Sind mui 
b und c zwei beliebige Grössen, welche in dtefe zwei Lücke« 
eintreten können, fo ist, da die Lücken vertauschbar Tind, 

Pbc = Pcb; aber [Pbc]=:-5-CPbc — Pcb), alfo =0, alfo auch 

[Lai* •• a^] =0, für beliebige Grössen ai,« • * a^, d, h. (nack 
506)[L]=sO. 

B08. Wenn A^, • • • A^ Grössen mit je einer Lücke der- 
felbon Gattung und, welche entweder alle, oder doch alle bis 
auf eine derfelben, nach Ausfüllung diefer Lücken Zahlgrössea 
werden, und P ein Ausdruck mit beliebig yielen Lüdien ist, 
fo ist das Produkt 

[Ai.-.A„P] 
ganz den Gefetzen der kombinatorischen Multiplikation (52 ff.) 
unterworfen und zwar in dem Sinne, dass Ai,**- A^ als ein^ 
fache kombinatorische Faktoren betrachtet werden, namentlich 
find zwei Produkte, welche fich nur durch die gegenfeitige 
Stellung zweier diefer Faktoren unterscheiden, einander ent- 
gegengefetzt, d. h. 

(a) [Ai..A,..A,..A„P] = [Ai..A,..A,..A„P], 

wo beide Seiten der Gleichung fich nur durch die gegenfeitige 
Stellung der Faktoren A, und A^ unterscheiden, und wenn 
zwei jener Faktoren gleich werden, fo ist das Produkt null, d. h. 

(b) [Ai •Ar--A,...A,P] = 0. 

Beweis. Betrachtet man z. B. nur die beiden ersten 
Faktoren Ai und As und nennt das Produkt der übrigen Qy 
und fetzt ej,** e^ als Einheiten, deren kombinatorisches Pro- 
dukt 1 ist, fo ist 

[AiAjO] = [AiAa0eie,e3 • • • ej. 
Hier feilen (nach 504) die Faktoren eiCsCs • • * e^ in allen mög* 
liehen Ordnungen in die Lücken von A1A2O eintreten, und das 
Vorzeichen wird poßtiv, wenn Ci, Cj, es,»«* e^ entweder in 
diefer Ordsrng, aife Oi in A,, Of in A2 und die übrigen 



859 

es- • e^ nach der Reihe in O9 eintreten , öder in irgend eimt 
andern Ordnung ^ welche durch eine gerade Anzahl Yon Ver* 
fetzungen aus jener Ordnung herrorgeht; ganz dierelbe Be« 
deutung hat aber [A^^iQ^i^^i^s ' * ' ^nL indem auch hier das 
Zeichen pofitiv wird wenn ei in Ai, e^ in A^, und es,* • • e^ in 
diefer Reihe in Q eintreten u. t. w., allb ist [AjA^Oeieses • • • ej 
= [A2 AiQeseies • • ej, letzteres ist aber, da (nach 55) [caeieg • • e J 
= — [eie^es • • 'oj ist, (nach 505) gleich — [AaAjOeieaea • • -ej, 
alfo [A1A2O] = — [AjAiO]. Werden Ai und Aj einander gleich, 
Co fblgt aus diefer letzten Formel, dass dann [A1A2O] null wird, 
Dasrelbe gilt nun aus demrelben Grunde, wenn man statt der 
beiden ersten Faktoren des Ausdruckes [AiAs*** A^P] irgend 
zwei andere, A, und Ag, betrachtet. Somit gelton die fot* 
nein (a) und (b) whI auf ihnen beruhen die übrigen Gefetze 
der kombinatorischen Multiplikation. 

909. Wenn A ein Ausdruck mit einer Lücke und B ein 
Ausdruck mit m — 1 Lücken derfelben Gattung ist, und 81,* • 'am 
Grössen diefer Gattung find, fo ist 

[ABai* • • »m] = A[Bai - • • a J 

=-^ZaüZbaj, 

wo Aa alle Faktoren ai,* • • a^, mit Ausnahme des Faktors a^, 
enthftit, und zwar fo, dass [aaA J = [8183 • • • a,n] ist, und wo 
die Summe fich auf die Werthe a = l,**«- m bezieht. 

Beweis 1. Um den Ausdruck [ABai* ' * ^m\ zu entwickeln, 
muss man in die Lücken von AB nach und nach alle mög-* 
liehen Anordnungen der Faktoren ai,-«« a^ eintreten lassen; 
dabei muss alfo in A nach und nach jede der Grössen 81,* • • Bj^ 
eintreten. Wenn nun zuerst in A die Grösse 81 eintritt, fo 
müssen in B die übrigen Paktoren, alfo die Faktoren von A^ in 
allen möglichen Folgen und zwar gleichfalls mit dem Zeichen- 
gefetz eintreten, dass zwei fo hervorgehende Ausdrücke gleiches 
oder entgegengefetztes Vorzeichen haben ^ je nachdem die bei- 
den Reihenfolgen ein gleiches oder ent^gengefetztes kombi- 
natorisches Produkt liefern. Die fo hervorgehenden Gliedei^ 
werden alfo + Aai[BAi] liefern. Hier ist jedoch das -f^-^Zeichen 
zu wählen^ weil [aiAJ = [8183 • • • a^] ist. Aus gleichem Grutula 



360 €••• 

bt die Samme der Glieder, bei denen in A die Grösse a^ ein* 
Irin, sss -f AssCBA)] n. r. w.; alfo wird, da man diefe Summe 
noch durch die Anzahl ihrer Glieder dividiren muss, 

[ABai...aJ = -iZAäBAJ. 

2. Forner ist (nach 504) 

A[Bai.-.aJ = -iAi:äBAr 

= :^ZÄi:[BÄJ [39] 

= [ABai...aJ [Bew. 1]. 

SlO. Wenn C ein Ausdruck mit zwei Lücken gieicher 
Gattung ist, welcher durch Ausfüllung feiner Lücken eine 
Zahlgrösse wird, und a eine Grösse jener Gattung, B aber 
ein Produkt von 2n — 1 folchen Grössen , und 2n die Anzahl 
der Sinheiten ist, aus welchen die Grössen diefer Gattung ab- 
leitbar find, fo ist 

[CaCC^^B]] = [C^aB] 
fC[C»-iB]a] = [C^Ba]. 

Beweis. [C"aB] drückt, da die n Faktoren C alle ein- 
ander gleich find, und nach Ausfüllung ihrer Lücken Zahl- 
faktoren werden, alfo untereinander vertauschbar find, aus, 
dass a in eine Lücke eines der Faktoren, z. B. des ersten 
Faktors C, eintritt, wfthrend die 2n-r-l Faktoren von B in 
die andere Lücke jenes Faktors und in die übrigen Faktoren 
eintreten. Dasfelbe drückt aber die Formel [CaLC^'^B]] aus, 
alfo find beide gleich. Auf gleiche Weife ergiebt Hch die 
zweite Formel. 

911. Wenn Xdx (in dem Sinne von 502) auf n Glieder 
der Form Udu zurückführbar fein foll, d. h. 

Xdx = üxdui -}-.•• U^dUn 
fein foll, fo muss noth wendig 



lis. Es fei U^du^ 
^UadUa. bezeichnet, fo ist 



fein. 

Beweis. Es fei U^dui -| Ug^du^ der Kürze wegen mit 



wt) sei 



airo 



Somit 



Z^'iS"- 



d-, d V"lT ^ 



d* 
Da T-jHa ein Ausdruck mit zwei vertaaschbaren Lficken 

ist (451), Co können wir bei der Substitution von —K. in deii 

dx 



Ausdruck [x(^^x'yi (nach 507) die Glieder /~üa/i,Oa 
weglassen, und erbalten 

=Zhd]i''«d]^"*di"*di^'dx"'' • •> 

wo die Anzahl der Indices a, 6, c,*** gleich n -f 1 ist« Da 
aber u nur n verschiedene Indices hat^ To müssen unter den 
Indices a, by-*-* noihwendig mindestens zwei gleiche vor- 

kommen; alfo werden auch unter den Grössen j-Uai -j-^u 

T-Uc,--« noth wendig zwei gleiche vorkommen, alto ist (nach 

508) jedes Glied der obigen Summe null, Mo die Summe 
felbsti d. fa. 



[Ki^yi-o- 



Anm. Ich werde im Folgenden zeigen, dass diefe Bedingqnga- 
glelchung zugleich die vollkommen aasreichende ist, lo dass, wenn 
He erfüllt wird, auch allemal die Reduktion auf n Glieder der Form 
Üdu, alfo auch (nach 503) die Integration durch Vereine von n Glei- 
chungen möglich ist. Es ist daher diefe in der That wunderbar ein- 

a3* 



fache Formel von fehr weitreicheÄider Bedeutung. Dßt Beweis der- 
felben ist oben £o geführt, dtts« auch die Art, wie diefelbe gefanden 
ist, unmittelbar hin durchleuchtet. Auch liält es nicht schwer, die 
entsprechenden Formeln für den Fall zu entwickeln, dass Xdx eine 
extenfive Grösse ist*, und ich habe diefe letzteren Formeln hier nur 
deshalb nicht aufgestellt, weil, wie ETchon ob^n angedeutet, die Be- 
handlung diefes allgemeinen, die ganze Integralrechnung abschUesseo- 
den Falles hier unterbleiben musste. Dagegen werde ich die oben 
mltgetheilte Formel in der folgenden Nummer . in die gewöhnliche 
Analyfis kleiden. 

512. Aufgabe. Die Bedingungsgleichung aus 511, 
nftinlich 

durch Zahlgleichungen zu erfetzen. . 

Auflöfung. Es fei x = Xiei +• • • x^ea, woei,-««en4 

das System der Einheiten bilden. Dann ist dxs^eidxi -j 

Cm^x^; *iÄd es wird Xdx = Xei • dxj + # . • Xe^dx^ = X|dx, 

-j X^dx^, wenn wir die Zahlgrösßen Xej,- • • XOm bezieh- 

lieh mit Xi^- • • X„ bezeichnen. Die obige Bedingungsgleichung 

fagt dann (nach 506), da X eine und j-X zwei Lücken ent- 

bftlf, aus, dass 

(*) [x(AxJeie,...e,„+,] = 

fei, und auch bleibe, wenn man statt ei, 02,* * • .^204-1 beliebige 
2n + 1 unter den m Einheiten ei, • • • e^^ fetzt. Ist m = 2n -f- 1, 
fo tritt keine andere numerische Bedingungsgleichung als die 
(Jleichung (*) hervor; ist m<c2n + 1, fo tritt gar keine hervc*, 

weil dann je 2n + 1 Grössen, mit denen (Xf j-X J I mulli- 
plicirt werden mag, in einer Zahlbeziehung stehen, alfo 
fx^-pX j I dann mit ihnen muUipHcirt (nach ö05) null lie- 
fert, alfo (nach 506) feibst null ist. Wir nehmen daher jetzt 
an, dass m = > 2n -[- 1 fei; und fuchen unter diefer Voraus- 
felzung in der Gleichung ^, X und x durch die Zahlgrösscn 
X|e;/:Xnit x^i," x^fc zu erfelzen. Nun ist nach dem Obigen 



Xe,==sX„ ö^fo jjXe^e^ = ^X,e, = ^-X, (nach 451), folglich 
verwaiuleU fich die obige Formel (^) in 



i=2^+x,. 



WO man die lAdiees amf alle möglichen Arten zu vertauschen 
und dem jedesmaligen Gliedo das Zeichen 4* oder — vorEU-^ 
Tetzen hat, je nachdem die Anzahl der Vettauschungon, durch 
die es hervorging, eine gerade oder ungerade war. Bezeich- 
nen wir nach Jacobi's Vorgange (Grelle Journal 2, 351) 

7~X2 — j—Xg mit (2, 3) u. f. w., oder allgemein Tetzen wir 
0X3 0X2 

u-Xr--Ax. = (r,s), 
dx, ' dx, ■ ^ ' ^ ; 

ro kdnnen wir die vorige Formel auch schreiben 

« X+ X,(2, 3X4, 5) (2n, 2n + 1), 

wobei die V^rtauschungen je zweier in einer Klammer stehenden 
Indiees ausgeschlossen bleiben» Ebenfo können wir, ohne die 
Bedeutung der Gleicliung zu ändern, festreizen, dass der erste 
der beiden in Klammern geschlossenen Indiees von einem Faktor 
zum nächstfolgenden nur wachfe, nie abnehme. Denn da die 
Ordnung der Zahlfaktoren (2, 3) u. f. w. gleichgültig ist, fo 
können wir ihnen immer jene Anordnung geben. Wir be- 
zeichnen in diefem Sinne (mit Jacob i a. a. 0. p. 355) die 
Summe X+ (2, 3)(4, 5). • • • • (2n, 2n + 1) mit (2, 3, 4, 5, 
• • •, 2n^ 2n + 1), fo verwandelt fich die obige Gleichung in 

0=^X4: Xi(2, 3,. . . . 2n + 1), d. h. 

= Xi(2, 3,. . . 2n + 1) — Xjd, 3,. • . . 2n + 1) 

4X3(1, 2,4,... 2n + l) , 

was Jacobi (a. a. 0. p. 356) schreibt 

(*♦) = 2'Xi,(2,3,....,2n + l). 
Solcher Gleichungen giebt es fo ^iele, als es Kombina- 
tionen ohne Wiederholung aus |n Elementen zur (2n + l)-ten 
Klasse giebt. Aber diefe, Gleichungen find, wenn m^2n-fl 
ist, nicht unabhängig vpn einander. In der That können wir. 
zeigen, dass wenn die Gleichung (*), deren Tränsformirte die 



364 €*« 

Gleichung i**) ist, für alle Kpflubinationen ans et,* • • e» vüt 
(2n -f l)-ten Klasse, in denen eine Einheit e, vorkommt, deren 
zugehöriges Xe^ = Xr nicht null ist, als geltend angenommen 
wird, Tie auch für alle übrigen Kombinationen (in denen e, 
nicht vorkommt) gelten rouss. In der That, es fei Xi ^0, 
und gelte die Gleichung ^ fttr alle Kombinationen , in denen 
Ol vorkommt, d. h. es fei allemal 

[x(^x)"e.Ej = 0, 

wenn E, eine beliebige Kombination ohne Wiederholung aus 
e^y'^-e^ zur 2n-ten Klasse ist, fo ist zu zeigen, es Tei 
auch allemal 

[x(^x)\eJ=o, 

auch wenn e^ eine beliebige in £, nicht vorkommende Einheit 
bezeichnet. In der That ist (nach 508) i X^-pX J 1 allemal 

null, alfo ist (nach 506) auch [x^T— Xj eie.Ej = 0, d.h. 

es ist 

2^+Xe.[x(^x)"e.Ej = 0, 

WO die Summe fleh auf die verschiedenen Glieder bezieht, 
welche aus dem unter dem Summenzeichen stehenden dadurch 
hervorgehen, dass man Oi nach und nach mit jeder in e^E, 
vorkommenden Einheit vertauscht (und das Vorzeichen ftndert); 

allein alle diefe Glieder find null, weil dann |^( j--^! I "^'^ 

einer Kombination von Einheiten multiplicirt ist, unter denen 
Ci vorkommt, und diefe Produkte nach der Vorausretzung null 
flnd, alfo bleibt das unter dem Summenzeichen stehende Glied 
allein übrig, d. h. es ist 

Nun ist gleichfalls vorausgefetzt, dass die Zahlgrösse Xoi 
= Xi von Null verschieden fei, alfo erhält man 

[x(^x)"eA] = 0, 



**^> 385 

was zu zeigen war. Wir fassen nun das Reftiltat in einen 
Satz zurammen : 

5ia. Wenn der Aasdruck Xjdxi + ••• • X^dx^, in 
welchem X,,- • • X^^ Punktionen der Yariabeln x,,- • • • x^ find, 
[Ich auf n Glieder, nämlich auf Uidui +'** U,,dUa, foll reda-> 
ciren lassen können, oder, anders ausgedrückt, wenn die 

Gleichung X^dx^ H X^dx^sO, fioh foll durch Vereine 

von je n Gleichungen integriren lassen können, fo muss erstens, 
wenn m = 2n -f- 1 ist, die eine Bedingungsgleichung 

Zx,(ß, 3,...,2n + l) = 0, 
welche die in 512 beschriebene Bedeutung hat, erfüllt wer- 
den; wenn aber zweitens m^2n + i ist, fo treten fo viele 
folcher Gleichungen hervor, als es Kombinationen aus m Ele- 
menten zur (2n -f l)-ten Klasse giebt, indem man nSmlich 
statt der Indices 1, 2, • • • , 2n -f 1 in obiger Gleichung jede 
andere Gruppe von ebenfo vielen Indices fetzen kann; doch 
reicht unter diefen Gleichungen schon eine geringere Anzahl 
aus, indem, wenn z. B. Xi ungleich null ist, es ausreichend 
ist, wenn man in der obigen Gleichung statt der Gruppe der 
Indices 2, 3,--*2n4-l9 j^^^^ andere Kombination aus den 
Indices 2, 3--*- m zur 2n-ten Klasse fetzt. So bleiben nur 
foviel Bedingungsgleichungen übrig, als es Kombinationen ohne 
WiederJioIung aus m -> 1 Elementen zur 2n-ten Klasse giebt. 
A n m. Für den einfachsten Fall , wo m = 2n + 1 ist , hat J a c o b i 
(a. a. 0. p. 356) die Bedingungsgleichung aufgestellt. Für den Fall^ 
wo nr=l ist, erhält man die bekannten Bedingungsglcichungen der 

Integrabilität , welche (nach 511) in der Gleichung 1 X-t-XJ=0 zu- 

fammengefasst erscheinen. Es konxmt nun darauf an, die Zurück- 
führung von Xdx auf n Glieder der Form Udu, fobald nur die Be- 
dingungsgleichnng (511) für die Möglichkeit diefer Zurückführung er- 
fällt ist, auch wirklich zu vollziehen. Zu diefem Ende löfen wir nach 
Pf äff 's Vorgange die folgende Aufgabe: 

91 S. Au Tg ab e. Die Zahlgleichung 
(a) Xdx = 0, 
in welcher X eine Funktion von x, undx = Xiei +.. • x^Oa 
aus einem Systeme von m Einheiten abgeleitet ist, auf die 
Form zu bringen, dass die hervorgehende Gleichung nur m — 1 
veränderliche Zahlgrössen enthalte. 



366 e»*4 

Aufidfung. Es kommt zu dem Ende nur dact^uf an, x 
als Funktion einer aus m — 1 Einheiten ableitbaren Verfinctar* 
liehen a, und einer verändeirlichen Zahlgrösse t in der Art 
darzustellen^ dass, wenn man diefe Ausdrücke für x in die 
gegebene Gleichung einführt, dann der Koefficient von dt in 
der entwickelten Gleichung null wird, und der Koefficient von 
da entweder t gar nicht mehr enthält, oder nur in einem Zahl- 
faktor iV, fo dass, wenn man die Gleichung mit N dividirt, 
die fo hervorgehende Gleichung t nicht mehr enthält. Be- 
zeichnet man mit S' das DiiTerenzial nach a, wobei t konstant 
gefetzt ist, und mit ä den Differenzialquotientcn nach t, wo- 
bei a konstant gefetzt i^ty fo erhält man dx = ij'x -f Jx-dt; 
folglich müssen, wenn die verlangte Aufgabe gelöst fein feil, 
die beiden Gleichungen erfüllt werden 
(b) Xdx^O 

indem die letztere ausdrückt, dass Xd'x:N nicht mehr von 
t abhäiigig ist. Die letzte diefer Gleichung giebt, wenn man 

fetzt, 

(e) ;iX^'x = diXd'x') = 6X . J'x + Xäd'x. 
DiiTerenziirt man auch die Gleichung (b) nach a, fo er- 
hält man 

(0 =6'X'Sx + Xd'Sx. 

Subtrahirt man die zweite diefer Gleichungen von der 
ersten, fo erhält man 

(g) XXd'x = SX'd'x-S'X'Sx 

^^X'd'X'Sx'-^X'Sx'd'x 
dx dx 



(h) AX(i'x=r^x i'xfa]. 



Hier ist *pX ein Ausdruck mit zwei Lücken; und zwar 

ist hier als erste Lücke, d. fa. als diejenige Lücke in welche 
der zuerst gestellte Faktor (im ersten Gliede d'x) eintreten 



*«A) S67 

fbll, ' diejönig:e Lücke aufgefasst, welche in X enthalten ist, 
tind als zweite die durch die DifiRerenziation nach x und Divi- 
flon mit dx hinzutretende. Die Gleichung (h) wird nun offen- 
bar erfüllt Tein, wenn für jede Grösse c, die mit x (alfo auch 
mit S'x) von gleicher Gattung ist, 

(0 4Xc = [Ax.c.ax] 

ist. Ich zeige nun, dass, fobald diefe Gleichung (i) (für jede 
Grösse c) erfüllt ist, auch die beiden Gleichungen (b) und (c) 
erfüllt find, und alfo die verlangte Aufgabe gelöst ist, voraua- 
gefetzt, dass X von Null verschieden ist. Es ist d'x mit x 
von gleicher Grössengattung, muss alfo, wenn die Gleichung 
(i) allgemein gilt, in diefer Gleichung statt c eingefetzt wer- 
den können, wodurch man die Gleichung (h) erhält; alfo gilt 
auch die Gleichung (g), da fie mit (h) gleichbedeutend ist. 
Ferner ist auch 6x von gleicher Gattung mit x, kann alfo 
statt c in Gleichung 0) eingefetzt werden. Dann wird aber 
die rechte Seite derfelben (nach 505) null, alfo erhält man 
AXdx = 0, alfo da A^O (nach Vorausfelzungj, fo ergiebt fleh 
XJx=:0, d. h. die Gleichung (b) gilt. Dann aber gilt auch 
die daraus abgeleitete (f). Durch Addition der Gleichungen 
(f) und (g) geht aber die Gleichung (e) hervor. Setzt man nun 
log. iV = d^Udt, fo wird auch die Gleichung (d) erfüllt, und 
indem man den daraus fliessenden Werth von X in (e) einfetzt, 

XcJ'x 
auch die Gleichung (c), und es wird dann —- = die aus 

Xdx = transformirte Gleichung, welche nur noch a, alfö 
eine «us m — 1 Einheiten ableitbare Grösse als Variable ent- 
hält, und die Aufgabe ist gelöst. Dies in einem Satze dar- 
gestellt: V 
„Wenn die Zahlgleichunj^ 
(a) Xdx = 0, ' 
in welcher X eine Funktion von .x, und x aus m Einheiten 
ableitbar ist, angenommen wird, und man x als Funktion einer 
aus m — 1 ableitbaren Variabeln a und einer veränderlichen 
Zahl t fo bestimmt, dass, wenn ä* das DifTerenzial nach a, 
wobei t konstant gefetzt ist, und d den DifTerenzialquotienten 



368 t*** 

iiKch t| wobei a konstant geCatzt ist, bezeichnen, und c eine 
l)eliebige mit x gleichgattige Grösse, X aber eino noch unbe- 
kannte jedoch von Null verschiedeno Zahlgrösse darstellt, die 
Gleichung 

(i) AXc = [j^X.cax] 

erfüllt fei , fo wird die Gleichung (a) erretzt durch die Gleichung 

(k) ^ = 0, 

XS'x. 
in welcher ^^ nicht mehr von t abhfingt, und 

(1) log. JV=d-Udl 
ist.« 

51S. Fortfetzung. Es kommt zunächst darauf an, aus 
der gefundenen Gleichung 514 i die Grösse ^x auf eine Seite 
allein zu schaffen* Wir thun dies zunächst unter der Vor- 
ausfetzung, dass m = 2n fei. Jene Gleichung enthält, wenn 
man statt c nach und nach die Einheiten ei,-** ejn fetzt, 2n 
Zahlgleichungen, durch welche fich die Grössen Jx|,**- ^Xj^, 
welche in dx = ei(fxi -f ••• Cjn^Xan enthalten find, im Allge- 
meinen ausdrücken lassen. Es gelingt dies auf eine fehr ein- 
fache Weife, fobald vorausgefetzt wird, dass 

feien. In der That hat man dann, um dx, zu finden, nur in 
514 i statt c den Werth Tri-X J eJ zu fetzen, wo [eJB,] 

= 1 ist und E, als Faktoren die 2n — 1 von e, verschiedenen 

(d V~* 
j-X j im Ganzen 2n — 2 

Lücken enthält und E, ein Produkt von 2n — 1 Einheiten ist, 

fo wird (nach 504) | Tt-X j E, j eine Vielfachenfumme der 

Einheiten, aus denen x abgeleitet ist, alfo mit x von gleicher 
Gattung und kann alfo statt c in die Gleichung 514 i einge- 
fetzt werden. Dann verwandelt Heb diefe in 



Wandelt man die Unke Seite diefer Gleichung (naQh 509) und 
die rechte (nach 5tO) um, indem man bedenkt, dass -r-X ein 

Ausdruck mit zwei Lücken ist, und Towohl X als t-^X nach 

' dx 

Ausfüllung ihrer Lücken Zahlgrössen werden, To verwandelt 

fleh jene Gleichung in 

Setzen wir hierin statt dx feinen Werth e^ixi +•'• ©a.^Xjn, 
fo bleibt, da [E^eJ, wenn r von s verschieden ist, gleiche 

Faktoren enthalt, alfo das Produkt ICt^XJ^aI null wird, 

und da (nach 58) [E,eJ = - [erEJ = — 1 ist. 

Wenn nun die Yergleichungen (a) und (b) erfüllt lind , und man 

Cd) -3nA:[(jLxy] = M 
fetzt, fo erhält man 

Cd.) «x,=i[x(ix)-'B,], 
alfo wird 

d. h. (nach 509) 

(e) <rx=^[x(^x)"-^], 

oder (nach 2) 

Es bleibt noch zu zeigen, dass der Werth ^x aus der 
Gleichung (e), in welcher fi die durch (d) ausgedrückte Be- 
deutung hat, in die Gleichung 514 i eingefetzt, diefe für jeden 
beliebigen Werth c identisch macht. Setzt man zunächst staU 

24 



370 f*i» 

c eine der Einheiten, z. B. e,, fo wird die rechte Seite der 
Gleichung 514 i 

[lx„^,]=.[^,x4x(^x)-]]. 

Cd N"^* 
-r-X j nach Ausfüllung feiner 2n — 1 Lücken 

eine Zahlgrösse wird, fo können wir, ohne die Bedeutung 
desfelben zu öndern, ihm noch eine Lücke 1 hinzufügen (nach 
504). Diefe Lücke fei mit den übrigen von gleicher Gat- 
tung, fo wird (nach 504) [x(^Xy"'] = [iX^^X^"^'] 

= _rxi-^X°-*] (nach 508), und dies wieder (nach 509) 

= — — y XeJ l-r-X°"% L wo Ea die von e« verschiedenen 

Einheiten zu Faktoren hat, und [eßa\ = * isl; alfo erhält 
man, da Xca eine Zahlgrösse ist, alfo in dem Produkte be- 
liebig gestellt werden darf. 

Da nun E^ alle von e^ verschiedenen Einheiten als Pak- 
toren enthält, fo enthält es, wenn a von r verschieden ist, 
auche,; dann aber ist [e,Ea] (nach 60) null, alfo auch (nach 
505) der ganze Ausdruck, in welchem eß^ vorkommt, alfo 
reducirt fich die obige Summe auf das Glied, für welches 
a = r wird; da aber [erEJ = l ist, fo erhält man dann den 
obigen Ausdruck 

Setzt man hierin statt fi feinen Werth aus (d), fo wird der 
letzte Ausdruck 

= AXe,. 
Somit gilt die Gleichung 514 i für jede Einheit e,, die 
statt c gefetzt werden mag, alfo auch für jede Vielfachen- 
fumme diefer Einheiten, d. h. für jede Grösse c, die mit x 



*t#) 371 

von gleicher Gattung ist. Alfo ist bewieren, dass der Aus- 
druck (e) für dx unter den gemachten Yorausretzungen die 
Gleichung 514 i allgemein löst. 

Anm. In der erwähnten Abhandlung hat J a c o b i (Grelle 2, 354) 
die hier gemachten , durch die Vergleichungen (a) und (b) ausgedrück- 
ten Vorausfetzungen stillschweigend gleichfalls angekommen, und die 
übrigen Fälle, wo diefe Vorausfetzungen nicht eintreten, gar nicht 
bebandelt. Die refultirenden Formeln (e) oder (f) liefern in Form 
der gewöhnlichen Analyfis gekleidet, diefelben Gleichungen, welche 
Jacobi dort (p. 354 ff.) aufstellt, ohne jedoch den Beweis mitzutheilen. 
Die Determinante, welche aus den in 514 i enthaltenen 2n Zahlglei- 
chnngen direkt abgeleitet wird, enthält doppelt fo viel Faktoren, als 
die zur Löfung der Gleichungen dienenden Ausdrücke erfordern; es 
lässt fleh diefe Determinante aber als Produkt eines Quadrates und 
einer neuen Determinante, welche nur die einfache Anzahl der er- 
forderlichen Faktoren enthält, darstellen; jenes Quadrat föllt dann 
schliesslich aus den Ausdrücken für ^x^,*** ^zj^ hinweg, und diefe 
neue Determinante stimmt mit dem oben mitgetheilten Ausdrucke 

j I -T-Xj J überein. Alle diefe Umgestaltungen find durch die oben 

angewandte Methode, welche lieh von felbst darbietet, vermieden. 
Der Ausdruck für gx steht in einer merkwürdigen Beziehung zu der 
Bedingungsgleichung von No. 511, wofür fich der Grund weiterhin 
ergeben wird. Es bleibt noch übrig, die Methode für den Fall zu 
ergänzen, dass die durch die obigen Vergleichungen (a) und (b) dar- 
gestellten Vorausfetzungen nicht erfüllt werden. 

516. Fortretzung. Wenn zwar, wie in der vorigen 
Nummer, 



aber (b) [(^x)"] = 



ist, fo liefert die Gleichung 516c, welche von den Voraus- 
fetzungen 516a und b unabhängig ist, für X den Werth null. 
Alfo haben wir nicht mehr auf die Gleichung 514 i zurückzu- 
gehen, da diefe nur für den Fall, dass A^O fei, zu einer 
Löfung der Aufgabe führte. Es zeigt fich aber, dass dann 
die Gleichung 

wofür man auch die Kongruenz 



8T2 ۥǥ 

Tetzen kann, die Auflöfung der Aufgabe 514 ergiebt, d. h. die 
Gleichungen 514 b und c identisch macht. Denn dann wird 

x<rx=^x[x(^xy-] 

• (d) Xäx = [508]. 

Ferner wird aus gleichem Grunde, me in 515, 

nach der ersten Vorausretzung (a). Diefe Gleichung gilt für 
jede Einheit ey=^ei,- • • e2n, alfo auch für eine beliebige Viel- 
fachenrumme diefer Einheiten, alfo auch für d'x, da dies mit 
X von gleicher Gattung, alfo auch aus den Einheiten ei^* • • 62^ 
numerisch ableitbar ist. Es wird alfo 

r^X(l'x<Jx] = 0, d h. 

-^Xd'xdx — -^XSxd'x = 0. 
dx dx 

Es ist aber -j-Xdx=:dX und j-Xi'x=i'X: alfo bat man 
dx dx ' 

JXd'x — <J'X.Jx = 0. 

Differenziirt man nun die Gleichung (d) nach a, wfihrend 

t als konstant gefetzt ist, fo erhält man, da i' das zu diefer 

Differenziation gehörige Zeichen iVar, 

3'X'Sx + Xdd'x = 0. 

Addirt man diefe Gleichung zu der vorigen ^ fo hat man 

dX'd'x + XS3'x = 0, d.h. 

(e) d(Xd'x') = 0, d. h. 

es ini Xd'x von t unabhängig, und alfo, da (nach 504) Xdx 

=2XJ'x + Xdx war, und X(Jx = ist, 

Xdx=:XÄ'x, 

wo der letzte Ausdruck von t unabhängig ist, alfo nur von 

2n — 1 Variabein abhängt. 

Anm. Die Gleichung (b) ist alfo (unter der Yorausfetzung a) 

die Bedingungsgleichung dafür, dasB der Ausdruck Xdx fieh unmittel- 



M») 873 

bar (oline Hinzatreten einee Faktors) in einen Ansdraek tranBformiren 
lasse, der nur noeh 2n<^l Yeränderlicfae Zahlgrössen enthält; wenn 
dagegen die Gleichung (b) nicht erfüllt ist, fo gelang diefe Trans- 
formation nur vermittelst eines veränderlichen Faktors , dessen recipro- 
ker Werth oben mit JV bezeichnet war. Wenn ins Befondere n = 1 ist, 
d. h. Xdx die Form Xjdxj -f- X^dx^ hat, fo orgiebt fich die Gleichung 

I -r-xl = 0, als Bedingungsgleichung dafür, dass fich X^dzi -j^X^dzi 

in einen Dififerenzialausdruck Udu mit nur e ^n er veränderlichen Zahl- 
grOsse (u) verwandeln, alfo fich allfeitig integriren lässt. Die Gleichung 

r-r-X| = fagt aber aus, dass -v— X swei vertauschbare Lücken ent- 
hält, was mit No. 486 stimmt. Ehe ich nun zeige, wie die Aufgabe 
zu löfen ist, wenn die Bedingungsgleichung (a) wegfällt, will ich 
noch durch Integration der Gleichung 515 e die angedeutete Trans- 
formation wirklich vollziehen, wobei ich mich der Methode Jacob i*s 
(in Grelle 17 p. 138) bediene. 

517. Fortretzung. Die Kongruenz oder Gleichung 

(a) .X^[X(^X)"^] oder .x = 4x(^x)^] 

bestimmt nur das Verhältniss der Differenzialquotienten dxi, • • • 
Sx2j^; wir können alfo einen derfelben willkürlich annehmen, 
d. h« wir können t beli^ig wählen. Setzen wir t=X2n> fo 
wird Sx2n = 1* Setzen wir dann für den Augenblick x^ei -f • • • 
X2ii-i©2n-i = Yj fo wird X = y + te^n und dx = dy + e^n, 
dann erhftlt man 

.Jy = 4x(^x)-]-e,.. 

Hier bestimmt (ich fi aus der Vorausfetzung 8x2^^ = 1 ; 
fotzt man hierin statt dxa,^ feinen Werth aus 515 d^, fo er- 
hält man zur Bestimmung von (i die Gleichung 

wo E2b = — [eiöa* • • e2n_i] ist; fomit erhalten wir 

Hier ist die rechte Seite eine Funktion von x, alfo von 
y und t; und es kann daher diefe Gleichung nach der Methode 
494 integrirt werden. Es ergab fich y (nach 494 c) in der 
Form 



374 C^iV 

wo g> noch wieder eine Funktion von y und t, d. h. von x 
ist, und wo a der Werth ist, den y, und alfo auch x, für 
t=0 annimmt. Die Formel 494 d lehrte zugleich a als Funktion 
von y und t, d. h. hier als Funktion von x finden. Dann wird 
^^x, da d' die DifFerenziation nach a, wobei t konstant war, 
bedeutet, gleich J'y = da + 1<J'SP- Alfo wird X^'x ; iV, was, 
wie gezeigt, von t unabhängig ist, gleich X(^d2L + tS'g>^ : N. 
Wenn wir daher statt X und iV, um fle als Funktionen von 
X zu bezeichnen, X(x), NOO schreiben, fo erhalten wir 

XJ^x_ XfxXda + tJ^y) 
N ~ ' iV(x) * 

Da aber der Ausdruck links von t unabhängig ist, To muss 
es auch der Ausdruck rechts lein, alfo muss er denrelben 
Werth behalten, den er für t = hat. Da in diefem Falle 
y = a wird, und alfo auch x (==y + te2n) gleich a wird, fo 
erhält man 

X j^x _ X(a)da 
N ~ iV(a) • 
Nun war, da XJx = ist, Xdx = X<J'x = 0, alfo er- 
hält man 

X(a)da = 0, 
als die Transformirte von Xdx = 0; und zwar ist in jener a 
aus den Einheiten Oi, • • Oan-i ableitbar, alfo nur von 2n — 1 
veränderlichen Zahlgrössen abhängig, was verlangt war. 

Anm. Wir hätten dem Satze in 494, den wir hier benutzten, 
fär den hier vorliegenden Zweck auch die Form geben können : Wenn 
X aus mehreren (m) Einheiten ableitbar ist, und dx = f (x) gegeben 
ist, fo wird diefe Kongruenz integrirt durch eine Funktion (Fx) von 
X, welche einer aus m — 1 Einheiten ableitbaren Konstanten a gleich 
gefetzt ist ; und ins Befondere kann man diefer integrirenden Gleichung 
Fx = a (welche m — 1 Zahlgleichungen enthält) die Form geben, dass 
a derjenige Werth wird, welchen x für den Fall annimmt, dass eine 
der Ableitzahlen von x, z. B. xm, null wird. In diefer Form werde 
ich den Satz in der Folge benutzen, indem ja der Beweis des Satzes 
in diefer veränderten Form, ganz in dem oben Gcfagten enthalten ist. 
Um nun die vorliegende Aufgabe auch für den bisher ausgeschlossenen 
Fall löfen zu können, will ich noch einen Hülfsfatz voranstellen, wel- 
cher auch an fich von Interesse ist. 



»i§> 373 

818. Wenn [xf^xYl =0 ist, fo ist auch [r^xY^'l 

= 0. 

Beweis i. Die Lücken des ersteren diefer Ausdrücke 
werden durch 2n + Ij die des letzteren durch 2n 4- 3 Fak- 
toren ausgefüllt. Ich zeige nun zuerst, dass der zweite Aus- 
druck nach Ausfüllung feiner Lücken durch beliebige 2n -f- 2 
Faktoren »182 • * * * a2n+2 Tich als Vielfachenfumme von Aus- 
drücken der ersten Art darstellen lässt. Ich gehe, um beide 
Arten von Ausdrücken zu vermitteln, von dem Ausdrucke 



^^^LCdx V **^^ ' " * ^^''"^ 1 



aus. Ich will zu dem Ende mit F^ das Produkt der von a, 
verschiedenen <xrössen ai,- • • 8304.2 bezeichnen, und zwar dies 
Produkt fo genommen, dass [a^FJ = [aia2 • • • • 8204.2] fei, und 
ebenfo mit F, 3 das Produkt der von a, und a^ verschiedenen 
unter jenen Grössen und zwar fo, dass [a^agF^^ ^ = [8182 • • •82n-j-j] 
fei. Dann wird der obige Ausdruck 



=^4(^1^)°''"'''} 



Hierzu können wir, da [aiFJ, wenn i^i ist, nothwendig 
den Faktor ai zweimal enthält, alfo in diefem Falle (nach 
505) der obige Ausdruck null wird, fobald wir ajF^ statt aiF^ 
und gleichzeitig Xa^ statt Xaj schreiben würden, noch be- 
liebig viele Ausdrücke diefer Art hinzufügen; und wir erhalten 
den obigen Ausdruck 



-IHC^T'-^'l 



wo fich die Summe auf alle Werthe 6 = 1,- •2n + 2 beziehen 
foll. Diefer Ausdruck ist aber (nach 509) 



hlHi""'^'^]^^^^ 



2n+l, 

wenn F^ ^ die oben angegebene Bedeutung hat, d. h. [aja^Fj J 
= [8182- •• 820+2]» alfo [aaF6,a]=Fj ist, und alfo a von b 
verschieden ist und daher nur 2n + 1 verschiedene Werthe 
annehmen kann. Fassen wir jetzt (nach 509) den ersten und 
dritten der unter dem Summenzeichen stehenden Faktoren zu- 
fammen, fo erhalten wir den gefundenen Ausdruck (nach 509) 



39« OM« 

WO das Minus- Zeichen zu Tetzen ist, weil aus [aBaaF(^J = 

[«loa •••»20+2] folgt, dass Ka^Fj^a] ==— [«iffa- • ' •a2n+2] »s^ 
und alFo nach dem Princip der obigen Bezeichnung Fa = — 
[a^F^ a] fein muss. Die gewonnene Formel ist, alfo 

(.)■ x.[ax)-..p.]=-2"[^x...][<^x>.]. 

wo nach dem Obigen F^ ein Produkt ist, dessen Faktoren aus 
einer beliebig gewählten Faklorenreihe ai, a2,"-a2n4.2 ge- 
nommen flnd, und zwar fo, dass ausser aa alle Faktoren dierer 
Reihe darin vorkommen und [a^FJ = [aia2 • • • 820+2] Ist- 

8^ Wenn nun 1 xf j-X j 1 = ist, fo ist auch die rechte 
Seite der Formel (a) null, airo auch die linke. Airo müsste ent- 
weder Xai oder rr^^X J aiF^ J, d. h. [(^j]^*^ ai«2 • • «2.4-1 J 

null Tein. Sollte das erstere der Fall Tein , fo könnte man statt 
ai irgend eine andere dier Grössen ai, 82,- - • 8204.2 Tetzen; und 
wenn auch nur für eine derrelben a, das Produkt Xa^^O wird, 

Co ergiebt fich schon der zweite Faktor (rj-X J a, • • •83.4^ I 

gleich null. Sollten aber Xai, Xa2,«-* '^^2»H l^mmtlich null 

tein^ to würde auch j^Xa, für jeden Index r null, alfo aaeli 

j ^Xa^a, 1, alfo auch f-pX J 81 • • 82^+1 j gleich null. Diefer 
Ausdruck ist alfo für jede Faktorenreihe ai,*«* 820+3 gleich 
null, alfo (nach 506) [f^xY ^1 felbst gleich null. 

919. Fortfetzung der Aufgaben 514— 517. Es fei, wie 
in 514, die Zahlgleichung 

(a) Xdx = 
betrachtet, in welcher, wie dort, x aus einem Systeme von 
m Einheiten ableitbar ist. Immer wird fich ein Wcrth n von 
der Art angeben lassen, dass 



»!•) 377 

rei. Denn die Vergleichung (c) wird immer erfüllt, wenii 
n = l ist, wo fie Hch auf X^O reducirt; und die Gleichung 
(b) wird immer erfüllt wenn 2n -{- i >m ist; denn dann wird 
zwischen jeden 2n +. 1 Grössen, welche die Lücken des Aus- 
druckes |^(t~^J I auszufüllen vermögen, eine Zahlbezie- 
hung herrschen , weil fie aus weniger als 2n -f- 1 , nämlioh 
aus m Einheiten numerisch ableitbar wftren , folglich giebt jener 
Ausdruck mit jeden 2n 4* 1 Grössen, die feine Lücken füllen, 
multiplicirt (nach 505 J null; alfo ist er felbst null (nach 506)« 

m ^ 1 
Dies tritt alfo stets ein, wenn 2n -{- 1 >m, d. h. n > — ^ 

ist, folglich muss es zwischen 1 und — ^ — einen Werth n 

geben, für welchen die obigen Vergleichungen b und c er- 
füllt find. Diefer Werth fei für n angenommen. Nun kommt 
es (nach 514) darauf an, die Gleichung 

[j|Lxe3iJx]-^Xe. = 

für jedes s von 1 bis m zu erfüllen; indem, fobald diefe er- 
füllt ist, und X nicht null ist, die Gleichung (a) durch die 

Gleichung —-- = 0, erfetzl wird, in welcher die linke Seite 

nicht mehr von t abhängt und iV durch die Formel 514(1) be- 
stimmt ist. Bezeichnen wir der Kürze wegen mit 6^ den 
Ausdruck 

fo können wir die obigen Gleichungen schreiben 
= Gj = Ga = • • • = Gnj. 
Nun zeige ich, dass, wenn m>2n ist, zwischen jeden 
2n + 1 der Grössen 6i • • • • G^ eine Zahlbeziehung herrscht. 
Angenommen, es herrsche zwischen den 2n Grössen 6i,« • G^^ 



378 (*!• 

noch keine Zahlbeziehnng, To zeige ich, das9 jede der übrigen 
Grössen, z. B. 6^^ fich als Vielfachenrumme von Gi,^ •• Gj^ 
darstellen lasse. Bezeichnen wir mit E das? Produkt [0^02 - *e2uem] 
und mit F^ das Produkt aller von e^ verschiedener Faktoren 
des Produktes £, und zwar in dem Sinne, dass [eaFJ:;=E fei, 

und bezeichnen wir endlich mit o« den Ausdruck i ( yX j fAj 

fo wird, wenn man die folgenden Summen auf die Werthe 
1, 2**- 2n, und m, welche a nach und nach annehmen foll, 
bezieht, , 

was nach dem Begriffe der durch die scharfen Klammern be- 
zeichneten Produkte 

= - (2n + 1)[(^X J'^^e] - K2n + 1)[x(^x)"e] 

ist. Nun ist (nach b) rxr^Xyi = 0, und alfo (nach 518) 

auch I ( -j-X J 1 = 0, alfo wird die ganze rechte Seite gleich 
null, alfo auch 

d. h, zwischen den Grössen Gi, G2n und G^ und überhaupt 

zwischen jeden 2n + * der Grössen Gj,-«- G^j herrscht eine 
Zahlbeziehung. Es werden alfo unter ihnen 2n angenommen 
werden können, etwa Gi,«»* G2n, aus denen die übrigen nu- 
merisch ableitbar find. Wenn alfo die^Gleichungen Gi , Gj,* - • 
G2n = erfüllt find, fo werden auch die übrigen bis Gm = 
erfüllt. Alfo können wir auch von den Grössen ix^^" • dx^^i 
deren Verhältnisse durch die Gleichungen Gj,* • G,n = be- 
stimmt find, die Grössen <fx2n-f.i,« • - Jx^^ willkürlich annehmen, 
z. B. alle gleich 0, d. h. wir können X2n4-i,*'- Xj^ in Bezug 
auf die durch 8 ausgedrückte Differenziation als konstant an- 
fehen. Dann haben wir alfo, immer unter der Vorausfetzung 
dass ^^0 fei, die Gleichungen Gi=0,-«- G2n = mit nur 
2n Variabein (indem wir Xan+i,« • • x^, noch als konstant fetzen) 



»«•) 979 

und mit der Bedingung j xf -pX J 1^0. Dann erhallen wir 
alfo (nach 515) 

(d) «Jx^jX^-j-Xj ej • • . ejn j oder 

als eine Grösse, die die Gleichungen Gi,--* 63^ = 0, und 
alfe auch (wie To eben gezeigt) die Gleichungen Gi,- • • Gq^ssO 
erfüllt, und alfo auch den Ausdruck Xd'xiN von t unab- 
hängig, und Xdx null werden lässt. Integrirt man diefe Kon- 
gruenz nach der Methode von No. 517 (vergl. Anm.) durch 
eine Gleichung von der Form Fx = b, wo b den Werth bß- 
zeichnet, welchen x^ei + • • • • Xj^-iean«! für t = Xj. = an- 
nimmt, und fetzt a = b + Xan+ieja+i -j +^em9 fo wird, 

da x,n4.i,--- Xnj von t unabhängig find, a der Werth den x 
für t = annimmt; und da dann vermöge der Gleichungen 
G| 3=. . . =G|n3=:0, die Grösse X6'x:N von t unabhängig 
wird, fo erhält man aus demfelben Grunde, wie in 517, 
X(a)da = als die Gleichung, welche die Gleichung X • dx = 
oder X(x)dx = erfetzt, und welche nur noch von m— 1 
veränderlichen Zahlgrössen, nämlich von den Zahlgrössen, 
durch welche a aus den Einheiten Oi,- • • Oja-n Oan+i,- • • e« 
ableitbar ist, abhängt. Es war auch hier noch vorausge fetzt, 
dass ^ ^ war. Diefe Vorausfetzung könnei^ wir erfetzen 

durch die Vorausfetzunf , dass ir-r-X j 1^0 fei. Nämlich, 

man kann aus den Gleichungen Gi = G2 =• • * Gan = 0, ganz 
wiß in 515, die Gleichung (die dort mit c bezeichnet war 
nämlich) 

ableiten; fetzt man ins Befondere rr=2n, fo wird ^x, = <fx2. 
= 1 , und man erhält 

Ist alfo ITt-X jl von null verschieden, fo muss auch ^ von 



SSO 

null verschieden Tein. Es ist alfo nur noch der Fall zu be- 

rückfichtlgen, wo | ( -pX J j = ist. Ist aber diefe Gleichuirg 

erfüllt, fo ergiebt fich leicht, dass die deichung (d) gleich- 
falls der Aufgabe genügt. Denn es ergiebt fich dann, wie in 
516 d, dass X^X5=0 fei, ebcnfo ergiebt fich: 

was fich ganz, wie der entsprechende Ausdruck in 515, um- 
wandelt in 

wo [eftEJ = [ej • • • • 02 J und s jede der Zahlen 1 • • • • m fein 
kann. Die rechte Seite ist nach der gemachten Vorausfetzung 
null. Alfo 

wo statt Og jede der Einheiten Oi,* • • 6^9 alfo auch jede Viel- 
fachenfumme derfelben, alfo auch ^'x gefetzt werden kann» 
fomit erhält man 

und hieraus ergiebt fich, wie in 516, ^(X4'x) = und Xdx 
= X^'x. Alfo hat fich der Satz ergeben: 
„Wenn in der Zahlgleichung 
(a) Xdx = 0, 
in welcher X eine Funktion von x, und x aus den Einheiten 
^i>* * ' ^m durch die Zahlen X|,« • • x,^ ableitbar ist, die Grösse 
X die Eigenschaft hat, dass für irgend einen Werth n, lier 

kleiner als — ist^ 



™d (0 [<ix)-];o, 



ist, fo' lässt fich jene Gleichung (a) erfetzen durch eine 
Gleichung 



«it) 3S1 

(e) Ada = 0» • 
in welcher a aus m — 1 Einheiten ableitbar ist, d. h. nur 
m — 1 Terftnderliche Zahlen einscbliessl, und A dierelbe Funk- 
tion von a, wie X von x ist. Und zwar findet man die Grösse 
a durch Integration der Gleichung 



(d) ^x = 4x(^Xy 'e,.--c,J, 



in welcher 6 den Differenzialquotienten nach einer der Varia- 
bein Xj,*** x,,^, z. B. nach Xj», bedeutet, und alfo dx2ii = i 
ist, wodurch fich ju bestimmt, und in welcher x^^^u ^tm-hu' ' *^ 
als konstante Grössen behandelt werden. Wenn nun in dierem 
Sinne die Gleichung (d) durch eine Gleichung von der Form 

(f) Fx = b 

integrirt wird, wo b den Werth bezeichnet, den XiOj -f*"* 
^SB-i^n-4 für X3ii=0 annimmt, fo ist 

(g) a = Fx + x,„+ie2H-i H ^nfim^ 

alfo a aus den Einheiten Oi,--* e2n<-i9 ^la+i»*** ®m ableitbar. 
590. Zufatz 1* Wenn in der vorigen Nummer nur 
die Gleichungen (a) und (b) erfüllt find , aber nicht die Ver^ 
gleichung (c), fo lässt Tich, mag nun m = 2n oder :> 2n (ein, 
gleichfalls die Gleichung (a) auf m — 1 verftnderliche Zahl- 
grössen zurückführen und zwar auf eine Gleichung der Form 
Ada = 0, wo A diefetbe Funktion von a, wie X von x, und 
a aus m — 1 Einheiten ableitbar ist. 

Beweis. Denn wenn auch j Xf -pX j 1 = P fein feilte, 

fo muss, da doch schliesslich X ^ ist, fich ein Zahlwerth 
B^^n finden lassen von der Art, dass die Vergleichungen 
(b) und (c) gelten, fobald man n' statt n fetzt, da nun m>' 
oder ss2n war, fo ist m stets >* 2n^, alfo kann man dann 
nach dem vorigen Satze die Gleichung Xdx ss gleichfalls auf 
m -- 1 verftnderliche Zahlgrössen zurückfahren u. H w. 

521. Zufatz 2. Ins Befondere kann man, wenn m=s2n 
ist, stets die Gleichung Xdx = auf m — 1 verftnderliche 
Zahlgrössen zurückführen. 

Beweis. Denn dann gilt die Gleichung (b) stets (nach 
519); und wenn dann auch die Vergleichung (c) gilt, fo findet 



382 t«» 

die Zurttckßihrung (nach 5i7) statte \^enn jene Vergleichung 
aber nicht gilt, To geschieht fle nach 520, 

S22. Wenn die Gleichungen (a) und (b) in demfelben 
Sinne wie in 519 gelten, fo kann man die Gleichung 

Xdx = 
allemal auf 2n — 1 verSnderliche Zahlgrössen zurückführen, 
und zwar auf die Form 

Ada=0, 
wo A diefelbe Funktion von a, wie X von x ist, und a aus 
2n — 1 Einheiten ableitbar ist, d. h. nur noch 2n — 1 ver- 
änderliche Zahlgrössen einschiiesst. 

Beweis. Es foll hier nicht bloss der Satz erwiefen, 
fondern auch gezeigt werden, wie die neue Variable a als 
Funktion von x gefunden werden kann. Nach 520 kann man 
Xdx = durch eine Gleichung von der Farm Aidai=0 er- 
fetzen, wo ai, was aus m — 1 Einheiten ableitbar ist, eine 
bekannte Funktion von x, und Ai diefelbe Funktion von ai 
ist, wie X von x. Da nun die Gleichung (b) für jeden Werth 
von X gilt, alfo auch wenn man a^ stctttx fetzt, fo erhält man 



[<*.)"]=»■ 



Wenn alfo noch m — 1 (die Anzahl der Einheiten aus 
denen ai ableitbar ist) grösser als 2n ist, fo kann man aber- 
mals die Methode in 519 oder 520 anwenden, und erhält dana 
eine Gleichung der Form A2da2 =0, wo 82, was aus m — 2 
Einheiten ableitbar ist, eine bekannte Funktion von ai, alfo 
auch voh x ist, und A2 diefelbe Funktion von 83, wie Ai 
von ai, alfo auch wie X von x ist. Auf diefe Weife kann 
man fortfahren , fo lange noch die Anzahl der übrig bleibenden 
veränderlichefl Zahlgrössen grösser als 2n ist; ja (nach 521) 
auch noch, wenn diefe Anzahl =:2n ist. Wendet man dann 
dies Verfahren noch einmal an, fo reductrt Tich die Anzahl 
der veränderlichen Zahlgrössen auf 2n — 1. Wenn dann die 
fo refultirende Gleichung, die Gleichung Ada = ist, fo ist 
alfo a aus 2n — 1 Einheiten ableitbar, und eine brannte 
Funktion von x, und A ist dierelbe Funktion von a, wie X 
von ;c, , 



« 

Anm. Diefer SaU enth&H die allgemeingte Löfang der in 514 
begonnenen Aufgabe der Zurückführong auf eine möglichst geringste 

Anzahl yerftnderUcher Zahlgrössen. Dass, wenn 1 Xf-^X j 1 ungleich 

null (519c) ist, fich auch Xdx nicht auf weniger als 2n — 1 veränder- 
liche Zahlgrössen zurückfahren lässt, werde ich unten gelegentlich 
bewei£en. Noch bemerke ich, dass man, statt t=X2Q zu fetten, 
es auch gleich irgend einer Funktion der veränderlichen Zahlgrössen 
hätte fetzen können. Dann hätte man nur eine der letzteren, z. B. 
Xjn, durch t und die übrigen Variabein auszudrücken und diefen Aus- 
druck in die gegebene Gleichung einzuführen, und dann ganz die vor- 
her angegebene Methode zu befolgen. Ins Befondere kann man, wenn 
die Integration eine Funktion ergeben würde, die fürx3B = unstetig 
'wäre, t = Xjn — c fetzen, wo c eine Konstante bezeichnet; indem dann 
für t = 0, X2n = c wird und c fo gewählt werden kann, dass jene 
Funktion in t = 0, d. h. in X2n = c, stetig fei. 

523. Aufgabe. Den numerischen Ausdruck Xdx, in 
welchem X eine Funktion der extenflven Grösse x ist, unter 
der Vorausretzung, dass 

ist, auf die Form 

Xdx==üidui +•... U^du^, 
wo üi,--« ün, u,,--« Un Zahlgrössou find, zurückzuführen. 

A u f 1 ö f u n g: Man kann (nach 522) die Gleichung Xdx = 
auf 2n — i verftnderliche Zahlgrössen zurückführen, welche 
bekannte Funktionen von x find. Eine beliebige diefer ver- 
änderlichen Zahlgrössen fei mit U| bezeichnet, fo ist u^ gleich- 
falls ,eine bekannte Funktion von x. Nun fei Uj konstant ge- 
fetzt, fo bleiben nur noch 2n — 2 veränderliche Zahlgrössen 
übrig. Folglich können wir (nach 521) die erhaltene Glei- 
chung (welche nach den obigen Sätzen stets die Form Ada 
hat) auf 2n — 3 veränderliche Zahlgrössen zurückführen, welche 
bekannte Funktionen der obigen 2n — 1 Veränderlichen, und 
alfo auch bekannte Funktionen von x find; eine derfelben fei 
mit U2 bezeichnet, und fei U2 konstant gefelzt, fo hat man 
nur noch 2n — 4 veränderliche Zahlgrössen, welche fich auf 
2n — 5 folche zurückführen lassen, u. f. w. Hat man diere 
Methode r mal angewandt, fo nämlich, dass man nach und 
nach die Grössen u^, U2,** u,, welche fämmtlich bekannte 



Funktionen von x find, konstant gereizt hatte, To bleiben nnr 
noch 2(n ~ r) — 1 verftnderliche Zahlgrössen übrig. Setzt 
man aKo r = n — 1 , To bleibt nur noch eine veründerliche 
Zahlgrösse übrig und die rerultirende Gleichung hat die Form 
UndUn = Oy wo V^ nur von der variabeln Zahlgrösse u,^ ab- 
hftngt Setzt man alfo auch Uq gleich einer Konstanten, To 
werden jetzt alle Differenzialgleichungen, alfo namentlich auch 
die erste Xdx=:0 erfüllt, wenn die Funktionen U|,U2,**' u,^ 
Konstanten gleich gefetzt werden, alfo I{isst fleh nach der Me- 
thode 502 Xdx in der Form 

Xdx = üidui -}-.•.. U^dUa 
darstellen, und die Aufgabe ist gelöst. 

524. Der numerische Ausdruck Xdx, in welchem X 
eine Funktion der extennven Grösse x ist, ist dann und nur 
4aBji auf eine Summe von n Gliedern der iForm Udu, wo U 
und u Zahlgrössen vorstellen, zurückführbar ^ wenn 

ist. 

Beweis. Wenn die Gleichung (a) erfüllt ist, fo ist die 
genannte Zurückführung von Xdx auf n Gliedern der Form 
Udu (nach 523) ausführbar, und wenn umgekehrt diefe Zurück- 
f&hrung möglich ist, fo wird (nach 511) die Gleichung (a) 
erfüllt. 

929. Zufatz. Wenn x aus 2n Einheiten ableitbar ist, 
fo lässt fich Xdx allemal auf n Glieder der Form Udu, wo 
U und u Zahlen flnd, zurückführen« 

Beweis. Denn wenn x aus 2n Einheiten ableitbar ist, 

fo ist die Gleichung [xrdiXy| = (nach 519) stets erfüllt, 

und alfo Xdx (nach 524) auf n Glieder der Form Udu zurück- 
führbar. 

A n m. Es folgt ans diefen Sätzen fogleich, dass wenn rx| ^X^ I 

von null verschieden ist, fich auch die Gleichung Xdzr=0 nicht auf 
weniger als 2n — 1 veränderliche Zahlgrössen zur(lckfahi*en lasse. Denn 
liesse fie fich auch nur auf 2n — 2 folche zurückfahren , und fei Ada 
ssO die fo erhaltene Gleichung,, fo liease üch (nach S25) Ada auf 



»•*) 385 

n — 1 Glieder der Form Udu zurückfahren. Aber da die Gleioliungen 
Xdx == und Ada = lieh gegenfeitig erfetzen , fo können fie Heb 
nar durch einen Zahlfaktor unterscheiden. Es fei 'Xdx = iVAda, fo 
wird nun auch Xdx auf n — 1 Glieder der Form Udu zurttckgeföhrt 

fein; alfo (nach 511) [x(-^Xj 1=0 fein, was mit der Voraus- 

fetzung streitet. Alfo Iftsst (ich unter der gemachten Vorausfctzung 
die Gleichung Xdx = nicht auf weniger als 2n — 1 yeränderliche 
Zablgrössen zurückführen. Es bildet diefe Bemerkung eine schon oben 
angedeutete Ergänzung zu dem Satze 522. 

936. Aufgabe. Die Zahigleichung Xdx=sO, in vrelober 
X Funktion der extennven Grösse x ist, yollständig zu in- 
tegriren. 

Auflöfung. Es lässt fleh (nach 519) stets ein Werth 
n von der Art angeben, dass 

[<^x)>o, [<ix)->« 

(ei. Dann lässt fleh (nach 523, 524) Xdx stets auf n (aber 
nicht auf weniger als n) Glieder der Form Udu (wo U und u 
Zahlen flnd) zurftclLftthren. Es fei 

Xdx =t üidui -) UJa^ = 0, 

fo fuche man zu der Gleichung Uidui -f-*" Undu,| = (nach 
503) die fttmmtlichen integrirenden Vereine von je n Glei- 
chungen, fo integriren diefe Vereine alfo die mit jener iden- 
tische Gleichung Xdx = 0. 

521. Zufatz. Die Gleichung F^rT-xTl^O ist die 

nothwendige aber auch ausreichende Bedingungsgleichung da- 
fOr, dass fleh die Gleichung Xdx=3 durch Vereine von je 
n Gleichungen integriren lasse. 

Anm. Nach 500 ist mit der vollständigen Integration der Zahl* 
gleichung Xdx = zugleich die der partiellen Diflferenzialgleichungen 
erster Ordnung vollendet; während die Integration der partiellen Dif- 
ferenzialgleichungen höherer Ordnung (nach 501) auf die Integration 
der extenfiven Gleichung Xdx = zurdckftthrte, welche wir hier aus- 
geschlossen haben. 



25 



Alphabetisches Verzeichniss 

der gebrauchten Kunstansdrücke mit Angabe der 

ITnmmer, in welcher sie erklärt sind. 



Abgeleitete Fanktion -- 435 

Ableitung, nunienflche 1 

n TOD Fnnktioncn • • 392 

AblettuTigszahlen * • • •' 5 

Abfolate Einheit 3 

Abfarde Reihen 456 

Aechte Reihen 454 

Addition extenfiver Grössen* 6 
Algebraische Multiplikation* • 364 
Allfeitig normal- ' .'. . 152 

„ intcgrirbar 483 

Aeusserc Multiplikation 78 

Bestimmungsgleiehnngen • • • • 48 

Bezügliches Produkt . • 94 

9 „ von Lücken- C 504 

ausdrücken (506 

Bruch mit n Kennern 377 

Circuläre Aenderung 154 

Determinante 6% 

Differenz einer Funktion • • • • 428 

n höherer Ordnung • • 444 
Differenzial 429 

n höherer Ordnung- • 444 
Differenzialquotient 435 

„ partieller 436 

„ höherer Ordnung . . |*^^ 

Dlvifion mit Zahlen 11 

„ mit Funktionen • • • • 427 



Doppelabaland • • 345 

Ebenen-Gebilde 393 

Einfache Faktoren 52 

„ Grössen 77 

„ Normalsysteme ••^.. 158 

„ Punkte.. 216 

Einheiten 3 

„ m-ter Stufe 77 

Entgegengefetzt geordnet * * * 56 
Entsprechende Produkte • . > • 43 

„ Faktoren .43 

Ergänzung der Einheiten 89 

„ der Grössen 90 

Erfetsende Gleichungen • 27 

Extenfive Funktionen 349 

„ Grössen 6 

Fli&chengcbilde • 383 

Flöchentlieil 257 

Fupktion 348 

„ Zahl-, extenfiye ..-349 

Funktionaldeterminante 441 

Gebiet einer Grösse 77 

„ n-ter Stufe ••. • 14 

„ gemeinschaftliches etc. 15 

Gebilde 393 

Gemeinschaftliches Gebiet ... 15 

Gemischtes Produkt 114 

Gleichgeordnet 56 

Grösse 5 



387 



Grösse erster Stufe 5 

„ n-ter Stufe • ••• 77 

Orösseugftttung 413 

Hauptgebiet 86 

, des Bruches 387 

Hauptzfthl des Bruches 387 

Identische Gebiete* 15 

Incidente Gebiete » • • 15 

Innere Multiplikation • • • 137. 330 

Integrabilität 483 

Integral von ftdt 477 

9 eines bei. Ausdrucks 483 

S477 

„ eines Systemes von 
Differenzialgleichungen • • • • 491 
Kombinationen (multiplikat.) 64 
Kongruent 2 

Konst. Glied einer Funktion • |^^ 

Konvergente Reihe 456 

Konvergiren nach c 432 

Körpertheil 257 

Kreisfunktion • 394 

Kreisverwandtschaft 409 

Kurvengebilde 393 

Lineale Aenderung 71 

„ Multiplikation 51 

Liniengebilde • • • • 393 

Linientheil 249 

Lückenausdräcke 353. 357 

Multiplikation 37. 48 

„ algebraische 364 

„ äussere 78 

y, bezügliche 94. 504 

„ innere 137. 330 

„ kombinatorische • • • 53 

„ lineale 51 

„ mit Zahlen 10 

„ planimetrische 288 

„ progressive 94. 114 

„ regressive 94. 114 

„ stereometrische 288 

Multiplikative, kombinat. • • * 64 
Normal 152 



Normale Einh^ten • • • • 410-413 

„ Zurückleitung 164 

Normalsystem 153 

Null werden mit q • 430 

Numerische Ableitung 1 

Numerischer (pof.) Werthj^^^' ^^| 

Numerisch gleich 151 

„ grösser, kleiner • • 416 

Parallelepipedum 240. 242 

Parallelogramm ABC i p39 

ab \ (242 

Partielle Differenzialquot. • • • 436 
Planimetrische Multiplikation 288 

Potenzwerth des Bruches 383 

„ des Diflferenzialquotient. 441 

Produkt, reinesr 114 

„ gemischtes • 114 

„ mit n Lücken 353 

„ fiehe Multiplikation. 
Progressive Multiplikation 94. 114 
„ Zurückleitung •• • 127 

Punkte 229 

„ vielfache 216 

Quotient mit n Nennern • • • • 377 
Regressive Multiplikation- 97.114 

„ Zurückleitung 127 

Reines Produkt 114 

Relative Einheiten 3 

fmus (abc- • •) 195 

Spat ABCD, abc 240.242 

Stereometrische Multiplikat. • 288 

Stetig in x 426 

Stetigkeit des Differenzials • • 429 

Strecke 216 

Stufe, Gebiet n-ter • • • 14 

- „ Grösse Isrster • • • 5 

„ Grösse n-ter ^ • • 79 

Stufenzahl....... 14.79 

Subtraktion extenf. Grössen» 7 
Syncyclische Verwandtschaft. 406 
System von Bestimmungsgi. * 48 

„ von Einheiten 4. 153 

Uebergangsreihe 456 

üebergeordnct 15. 77 



388 



umkehrbarer Bnioh 377 

Unendlich entfernt 228 

Unendliche Reihe 454 

Untergeordnet ,* 15. 77 

Ursprüngliche Einheiten 3 

Verbindendes Gebiet 15 

Verschwinden mit q 420 

Vertauschbare LUcken 485A 

Verwandtschaft 401 

Vielfache Punkte 216 



Vollatftndig int^riren« •••••' 491 

Winkel AB 137 

Zahlbeziehung 2 

Zahlfunktion 349 

Zorackleitung 33. 127 

„ normale 164 

„ progressive* • • • 127 

„ regressive 127 

• Zufammengeletzte Grösse * • * 77 



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